Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 37 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
37
Dung lượng
753,1 KB
Nội dung
-1- B GIO DC V O TO Tr-ờng đại học vinh trịnh thị hà biểu diễn nửa nhóm số lớp nhóm hữu hạn Tóm tắt luận văn thạc sÜ to¸n häc Vinh, 2010 -2- BỘ GIÁO DỤC VÀ O TO Tr-ờng đại học vinh trịnh thị hà biểu diễn nửa nhóm số lớp nhóm hữu hạn Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: §¹i Sè Lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 Ng-êi h-ớng dẫn khoa học PGS.TS Lê Quốc Hán -3- Vinh, 2010 Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Quốc Hán Phản biện 1: PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Phản biện 2: PGS.TS Ngun Thµnh Quang Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ trường Đại học Vinh vào tháng 12 năm 2010 -4- Có thể tìm hiểu Luận văn Thư viện trường Đại học Vinh -5- MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự 1.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt trường hữu hạn 12 Chương Biểu diễn nửa nhóm số lớp nhóm hữu hạn 19 2.1 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 19 2.2 Số khuyết biểu diễn nửa nhóm 24 2.3 Biểu diễn nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n;p) nhóm nhị diện D2n 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 -6- MỞ ĐẦU Một biểu diễn nửa nhóm tập hợp thứ tự A | R , A bảng chữ R quan hệ A+ - nửa nhóm tự A Một nửa nhóm S gọi xác định biểu diễn nửa nhóm A | R hay A | R biểu diễn nửa nhóm S S A / , tương đẳng A+ sinh quan hệ R, ký hiệu S = A | R Giả sử G nhóm, G trước hết phải nửa nhóm nên ta xét biểu diễn nửa nhóm A | R G Nếu G nhóm hữu hạn, ta chọn A R hữu hạn biểu diễn G A | R G biểu diễn hữu hạn Nhờ tính chất đặc biệt G (G nhóm G hữu hạn), tìm biểu diễn G cách tường minh Mục đích luận văn dựa báo "The semigroup eficiency of groups and monoids " H.Ayik, C.M.Campbell cộng đăng tạp chí Math Proceedings of Royal Irishn Academy năm 2000 để trình bày chi tiết biểu diễn số lớp nhóm hữu hạn đặc biệt lớp nhóm SL(n, p) (Nhóm nhân ma trận vng cấp n có định thức với phần tử trường hữu hạn Fp gồm p phần tử) nhóm thương PSL(n, p) SL(n, p) / Z (trong Z tâm SL(n, p) Ngoài ra, chúng tơi cịn xét biểu diễn nhóm nhị diện D2n Luận văn gồm hai chương : Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương hệ thống lại kiến thức liên quan đến nửa nhóm tự do, vị nhóm tự nhóm tuyến tính đặc biệt trường hữu hạn để làm sở cho việc trình bày chương sau -7- Chương Biểu diễn nửa nhóm số nhóm hữu hạn Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày biểu diễn nửa nhóm biểu diễn vị nhóm cấu trúc tự tương ứng Từ xét biểu diễn nửa nhóm số lớp nhóm cụ thể nhóm tuyến tính đặc biệt trường hữu hạn (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3) nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh (Định lý 2.3.1), nhóm nhị diện D2n (Mệnh đề 2.3.5, Định lý 2.3.6) Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, người đặt vấn đề trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối xin Trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Khoa Sau Đại học, thầy, giáo khoa tổ Đại số tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy, giáo bạn học viên Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả -8- CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm Lý thuyết nửa nhóm vị nhóm có sử dụng luận văn 1.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Một tập X S gọi sinh S cách tự S = X S ánh xạ α0 : X P (trong P nửa nhóm bất kỳ) mở rộng thành đồng cấu α : S P cho αX = α0 Khi ta nói α mở rộng đồng cấu ánh xạ α0 Nếu S sinh tự tập S gọi nửa nhóm tự 1.1.2 Ví dụ ( N*, +) nửa nhóm tự với x = {1} tập sinh tự Nếu α0: X P ánh xạ, ta định nghĩa α : N* P α(n) = α0(1)n Khi αX = α0 α đồng cấu, : α(m+n) = α0 (1)m+n = α0(1)m α0(1)n = α(m) α(n) (N*, ) nửa nhóm tự Thật vậy; Giả xử X N*, chọn P = (N*, +) giả sử α0(n) = n ,n X Nếu α : (N*, ) P đồng cấu α0(n) = α0(1.n) = α(1)+ α(n) α(1) = P Như α mở rộng α0 1.1.3 Đinh lý Nếu S sinh tự X α0 : X P ánh xạ, α0 có mở rộng đồng cấu α : S P Chứng minh Theo định nghĩa, α0 có mở rộng Giả sử α : S P β : S P mở rộng đồng cấu α0 -9- Khi với x S, x = x1x2 xn với phần tử xi X đó, X sinh S Thế α(x) = α(x1) α(x2) α(xn) = α0(x1)α0(x2) α0(xn) = β(x1) β(x2) β(xn) = β(x1x2 xn) = β(x) α = β 1.1.4 Định lý Một nửa nhóm tự đẳng cấu với nửa nhóm từ A+ với bảng chữ A+ Chứng minh Giả sử S sinh tự tập X S A bảng chữ với |A| = |X| Khi tồn song ánh 0 : A X Vì A sinh A+ cách tự nên tồn mở rộng toàn cấu : A+ 1 S Vì : X A song ánh S sinh tự X nên 01 có mở rộng toàn cấu β : S A+ Cái hợp thành β : A+ A+ toàn cấu thỏa mãn điều kiện: β A = β0 = (β/X)0 = 01 0 = iA Vì iA: A A mở rộng cách tới đẳng cấu đồng iA+ : A+ A+ nên β = iA+ Vì β = iA+ song ánh nên đơn ánh song ánh Từ đẳng cấu Mặt khác, giả sử tồn đẳng cấu : A+ S Khi S = ( A) S có ánh xạ ngược -1: S A+ đẳng cấu Xác định ánh xạ 0 = |A X = (A) Giả xử P nửa nhóm tuỳ ý α0 : X P ánh xạ Thế ánh xạ α00: A P mở rộng cách thành đồng cấu : A+ P Xét ánh xạ = -1 : S P Đó đồng cấu -1 đồng cấu Hơn nữa, với x X, (x) = (-1(x)) = 00 01 (x) = 0(x) X = 0, nghĩa mở rộng đồng cấu 0 Theo định nghĩa, S sinh tự X 1.1.5 Hệ i) Nếu S sinh tự tập X S A+ với A = X ii) Nếu S R nửa nhóm sinh tự tương ứng X Y cho X = Y S R - 10 - 1.1.6 Hệ Mỗi nửa nhóm tự có luật giản ước Chứng minh Suy từ luật giản ước có A+ Bây ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi-Dubreil Jacotin nửa nhóm tự dựa nhân tử hố phần tử Giả sử X S Ta nói x = x1x2 xn phân tích thành nhân tử phần tử x X xi X, i = 1,2, n Nếu X sinh S phần tử x S có nhân tử hố X Nói chung phân tích khơng nhất, nghĩa xảy x1x2 xn = y1y2 yn với xi X, yj X xk yk 1.1.7 Định lý Một nửa nhóm S sinh tự X phần tử x thuộc S có nhân tử hóa X Chứng minh Trước hết ta nhận xét khẳng định Định lý 1.1.7 thoả mãn với nửa nhóm A+ Giả sử A bảng chữ cho A = X 0: X A song ánh Giả thiết X sinh S Giả sử x = x1x2 xn = y1 y2 ym hai nhân tử hoá x X mở rộng đồng cấu 0 (x) = 0(x1)0(x2) 0(xn) = 0(y1)0(y2) 0(ym) hai nhân tử hố (x) A Vì A+ thoả mãn khẳng định định lý, nên ta phải có 0(xi) = 0(yi) với i = 1,2 , n (và m = n) Vì 0 song ánh nên xi = yi, với i = 1,2, ,n Và S thoả mãn khẳng định Định lý 1.1.7 Giả sử S thoả mãn điều kiện ký hiệu 0 = 0-1 giả sử : A+ S mở rộng đồng cấu 0 Khi tồn ánh (vì X sinh S) đơn ánh (vì (u) = (v) với u, v A+, u v (u) có hai cách nhân tử hoá khác X: trái giả thiết) Vậy song ánh đẳng cấu 1.1.8 Định nghĩa Đối với nửa nhóm S, tập B(S) = S\S2 = {x S y,z S: x yz} gọi sở S - 23 - Gọi u phần tử sinh K* K* = {u : < m < q - 1} Khi ta mn u 1 có: = um m (q1) Do u có cấp q-1 m.n (q-1) u 1 q dk Đặt d = (n,q-1) , (l,d) = Suy n dl mn = mdl dk m = {k, 2k, , dk} nên {e C(SL(n,q))}= {mm k} = d Vậy C(SL (n,q)) = d = ( n, q- 1) 1.2.16 Định nghĩa Giả sử K trường Nhóm thương PSL(n, K) nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n,K) theo tâm gọi SLn; q nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(n, K) = C ( SLn; q ) 1.2.17 Mệnh đề Cấp nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh cho cơng thức PSL (n,q) = n 1 n (q i d (q 1) – qi) : d = (n, q - 1) Chứng minh Suy trực tiếp từ Mệnh đề 1.2.6 1.2.15 - 24 - CHƯƠNG BIỂU DIỄN NỬA NHÓM CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM HỮU HẠN 2.1 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Khi tồn toàn cấu : A+ S với nửa nhóm từ A+ Thế S A Khi gọi biểu diễn đồng cấu S ker ( ) Các chữ A gọi ký hiệu sinh S, (u,v) ker() u = v gọi hệ thức hay đẳng thức S Như vậy, Một biểu diễn S gồm ký hiệu sinh A = {a1, a2 } hệ thức R = {ui= vi i I }, viết S = a1, a2, ui = vi (i I) hay S = A R ker() tương đẳng nhỏ A+ chứa hệ thức {(ui, vi) iI } Nói riêng (ui) = (vi) tất ui = vi R Tập hợp R hệ thức giả thiết có tính đối xứng, nghĩa u = v R v = u thoả mãn Cần nhớ từ w A+ phần tử S ánh xạ vào S Chúng ta nói từ w A+ biểu diễn phần tử (w) S Cùng phần tử S biểu diễn nhiều cách khác (bởi từ khác nhau) Nếu (u) = (v) hai từ u, v biểu diễn phần tử S Giả sử S = A R biểu diễn Ta có hệ thức u = v (nghĩa (u) = (v) tồn dãy u = u1u2u3 , uk = u từ cho ui+1 nhận từ ui cách thay nhân tử ui vi ui = vi R Chính xác hơn, ta nói từ v dẫn xuất trực tiếp từ từ u u w1u,w2 v w1v,w2 với u, = v, R - 25 - Rõ ràng v dẫn xuất từ u u dẫn xuất từ v (vì R đối xứng) (u) = (w1)(u,)(w2) = (w1)(u,)(w2) = (v) , nên u = v hệ thức S Từ v gọi dẫn xuất từ u tồn dãy hữu hạn u u1, u2, uk = v cho với j = 1,2, , k-1; uj+1 dẫn xuất trực tiếp từ uj Thế v dẫn xuất từ u có (u) = (v), (u) = (u1) = (u2) = = (uk-1)(uk) = (v) u = v hệ thức S Nó viết thành u u1 = u2 = = uk v 2.1.2 Định lý Giả sử S = A R biểu diễn, với R đối xứng Thế RC = {u,v)u = v hay v dẫn xuất từ u } Do u = v S v dẫn xuất từ u Chứng minh Ký hiệu quan hệ xác định uv u = v v dẫn xuất từ u Rõ ràng i nên phản xạ Vì R đối xứng nên đối xứng Tính bắc cầu hiển nhiên Vậy quan hệ tương đương Nếu w A+ v dẫn xuất từ u wv dẫn xuất từ wu vw dẫn xuất từ uw Vậy tương đẳng Giả sử tương đẳng cho R Giả thiết v dẫn xuất trực tiếp u : u = w1u,w2 , v = w1u,w2 u, = v, R Vì R nên (u,, v,) Do tương đẳng nên (w1u,w2, w1u,w2) hay (v,u) Do nhờ tính bắc cầu , có tương đẳng nhỏ chứa R, nghĩa RC = + + 2.1.3 Định lý Giả sử A bảng chữ R A × A quan hệ đối xứng Thế nửa nhóm S = A R C có biểu diễn S = Au = v với (u,v) R Hơn nữa, tất nửa nhóm có biểu diễn đẳng cấu với 2.1.4 Ví dụ Xét biểu diễn nửa nhóm sau: - 26 - S= a,b aa = ab, ba = aab, bbb = aba Trong biểu diễn ta có hai phần tử sinh ba hệ thức xác định S có đẳng thức baabbaa = bbaaba, u1 = baabbaa = b aab.baa = b.ba.baa = u2 u2 = bbabaa = bba ba.a = bba aba a = bbaaab Cũng vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = baa = bab S, aaab = bab S Một biểu diễn nửa nhóm từ có tập hệ xác định tập rỗng: A+ = A Tất nửa nhóm (và vị nhóm) có biểu diễn Thật vậy, S = Aker() biểu diễn, : A+ S tồn cấu biểu diễn Tuy nhiên nói chung biểu diễn phức tạp Chúng ta quan tâm nhiều nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa biểu diễn S = A R , A bảng chữ hữu hạn R tập hữu hạn hệ thức Ở ta nói tất vị nhóm có biểu diễn (với tư cách nửa nhóm) Tuy nhiên tiện lợi sử dụng biểu diễn vị nhóm mà biểu diễn có ưu phần tử đơn vị 2.1.5 Định nghĩa M = a1 , a2 , ui vi i I biểu diễn vị nhóm ui, vi A+, A = {a1, a2 } bảng chữ Trong biểu diễn vị nhóm giả thiết có hệ thức dạng u = 1, nghĩa từ u bị xố từ từ khác hay bổ sung vào vị trí hai chữ 2.1.6 Ví dụ Giả sử A = a, bab ba biểu diễn vị nhóm M Thế M A * R C A = {a,b} R ={ab= ba} Có toàn cấu : A* M M sinh phần tử x = (a) y = (b) Vị nhóm M giao hốn, hệ thức ab = ba cho phép ta thay đổi - 27 - vị trí a b Nếu phần tử thuộc tập sinh M giao hoán với M giao hốn Do (a).(b) = (ab) = (ba) = (b)(a) hay xy = yx Hơn nữa, phần tử z M có dạng chuẩn Giả sử z = z1.z2 zn với zi = (ai) (ai = a = b, z = (a1)(a2) (an) = (a1,a2 an) = (akbm) = (a)k(b)m = xnym với m, k đó, ( m > 0, k > 0) Do vị nhóm M vị nhóm giao hốn tự do, vị nhóm giao hoán sinh hai phần tử ảnh tồn cấu M Biểu diễn vị nhóm M = a, baba xác định nhóm Thực ra, A nhóm đẳng cấu với (Z, +) Thật vậy, giả sử M vị nhóm với biểu diễn M RC , A = {a,b} R = {aba = 1} giả sử : A* M toàn cấu tương ứng Thế M sinh phần tử x = (a) y = (b), ab = ba.aba = aba.ba xy = yx Điều kéo theo M vị nhóm giao hốn Do đó, phần tử z M có dạng z = (ambn) với m > 0, n > Hơn a.ba = ba.a = ab.a = nên ba nghịch đảo a Tương tự a2 nghịch đảo b, b = (aa)-1 Điều có nghĩa tất phần tử M có dạng z = (ak) với k Z Thế : M ( Z, +) xác định (a) = - (b) = đẳng cấu Xác định hai ánh xạ , : N N xác định 0 n (n) = n n (n) = n+ 1, ( n > 0) ; Xét vị nhóm bixyclic B = [, ] xác định hai phép biến n 0 từ n n đổi Dễ thấy = i (n) = k k l(n) = n n k n k - 28 - Giả sử A = {a,b} bảng chữ Xác định đồng cấu : A* B (a) = , (b) = (bằng cách mở rộng tính chất trở thành xác định ảnh ký hiệu sinh a b Từ * tồn cấu B A ker( ) theo ab = hệ thức B Giả sử B phần tử tuỳ ý vị nhóm bixiclic, = nn-1 1 i = j = Vì = i nên giả thiết j = số đó, t = tất t thoả mãn j < t < n Điều chứng tỏ = k m với k, m > 0, từ B = { km k,m > 0} Hơn nữa, phần tử hoàn toàn khác Nếu = k m = r s (o) = km(o) = k(o) =k (0) = r s (o) = r(o) = r , với n > max {k,r} có (n) = km(n) = k(n-m) = n - m - k (n) = r s(n) = s(n-s) = n-s-r Do = trường hợp k = r m = s Điều có nghĩa B = a, b ab biểu diễn vị nhóm Vị nhóm bixiclic có nhiều biểu diễn nửa nhóm Chúng ta quan tâm đến biểu diễn sau: B = a, b aba = aab, a = aab, bab = abb, b = abb 2.1.7 Định lý (Định lý Evans) Giả sử S nửa nhóm sinh tập đếm Thế S nhúng vào nửa nhóm sinh hai phần tử 2.1.8 Định lý (Định lý Sierprinski) Giả sử 1, 2 phép biến đổi tập hợp N*, tồn phép biến đổi 1,2 : N* N* cho i hợp thành từ hai phép biến đổi đó: i [1,2] Chứng minh Ta định nghĩa Xn = {2n(2m-1) -1 m = 1,2, } Khi Xn Xm = với n m Vì k Xn n luỹ thừa cao mà 2n chia hết cho k+1 Cũng vậy, Xn= N + từ tập Xn tạo thành n 1 phân hoạch tập hợp tất số nguyên dương lẻ - 29 - Định nghĩa 1(n) = 2n, (n > 1) n ch½n n 2(n) = ( k 1) 21 ) n X k k (2 Thế với k > 1, ta có k = 22 1k 21 22 1k 21 (n) = k -1 k 22 1k 2(2n) = 22 1k (2n-1) = 22 (2 (2n-1) +2 ) = 2 (2 (2n-1) -1) = k (2-(k+1)( 2k(2n-1) + 2-1) = k(2-1(2n-1+1) = k(n) 2.2 Số khuyết biểu diễn nửa nhóm Giả sử A bảng chữ cái, ký hiệu A+ nửa nhóm tự A, gồm tất từ khác rỗng A; ký hiệu A* vị nhóm tự A+ { } từ rỗng Ta nhắc lại biểu diễn nửa nhóm ( hay vị nhóm ) tập hợp thứ tự A R R A+ × A+ (hay R A* × A*) Một nửa nhóm (hay vị nhóm) S gọi xác định biểu diễn nửa nhóm (hay vị nhóm) A R S * A (hay S A ), tương đẳng A+ (tương ứng A* ) sinh quan hệ R 2.2.1 Định nghĩa a) Giả sử nửa nhóm S biểu diễn R A p= AR Khi hiệu gọi số khuyết biểu diễn p ký hiệu def ( p) b) Giả sử S nửa nhóm biểu diễn hữu hạn Khi số khuyết S xác định defS(S) = {def(p) p biểu diễn hữu hạn S} 2.2.2.Chú ý a) Giả sử M vị nhóm Khi số khuyết vị nhóm M xác định defM(M) = {def(p)| p biểu diễn vị nhóm hữu hạn M} - 30 - Mặt khác, M nửa nhóm nên ta xác định số khuyết nửa nhóm defS(M) Định nghĩa 2.2.1(b) b) Giả sử G nhóm Khi số khuyết nhóm G xác định defG(G) = min{def(p) | p biểu diễn nhóm hữu hạn M} Mặt khác, G lại nửa nhóm vị nhóm nên ta xác định số khuyết nửa nhóm defS(G) số khuyết vị nhóm defM(G) G theo Định nghĩa 2.2.1(b) theo ý (a) 2.2.3.Chú ý Theo [6], S nửa nhóm (hoặc vị nhóm hay nhóm ) hữu hạn defS(S) Hơn biểu diễn nửa nhóm hay biểu diễn vị nhóm nhóm G biểu diễn nhóm G nên def S (G) defG (G) def M (G) defG (G) Định lý 2.2.5 sau chứng tỏ def M (G) = defG (G) Để chứng minh định lý đó, ta cần đến bổ đề sau ( xem [5] ) 2.2.4 Bổ đề Giả sử p = A R biểu diễn nửa nhóm i) Nếu tồn từ e A+ cho a A , ea = a (đơn vị trái) uaa = e ua A+ (nghịch đảo trái), nửa nhóm xác định p nhóm ii) Nếu nửa nhóm S xác định p nhóm, S đẳng cấu với nhóm xác định p xét p biểu diễn nhóm 2.2.3 Định lý Giả sử pG = A R biểu diễn nhóm hữu hạn G Xét biểu diễn vị nhóm pM = A , A’ R’ , aa’ = (a A) A’ = { a,, a A} A R’ nhận từ R cách thay a-1 (nếu xuất hiện) a a, hệ thức thuộc R Thế pM xác định G vị nhóm Chứng minh Vì aa, = aa,(aa,a) = (aa,a)a,a = a,a , nên - 31 - a2a, = a,a2= aa,a = a2 nghịch đảo a, aa, nghịch đảo a Từ pM xác định nhóm Rõ ràng nhóm đẳng cấu với nhóm G Chú ý nhóm G tổng quát, xảy ra: defs(G) > defG(G) Bất đẳng thức suy trực tiếp từ kết sau 2.2.6 Định lý Nếu A R biểu diễn nửa nhóm nhóm G R > A Chứng minh Nếu R chứa hệ thức dạng a = b, a b phần tử sinh khác thuộc A, ta khử a b mà không làm thay đổi hiệu biểu diễn Như vậy, khơng tổng qt, giả thiết R không chứa hệ thức Thế a A tuỳ ý, giả sử wa A+ từ biểu diễn nghịch đảo a G Khi hệ thức a = aw,a a G, nghĩa aw,a a nhận từ a hệ thức áp dụng từ R Ta kết luận a A có hệ thức dạng a = ua R Ngồi ra, uaA nên tất hệ thức khác nhau, từ đóR>A Trong tiết sau ta chứng tỏ số lớp nhóm quen thuộc, đẳng thức defG(G) = defS(G) Bây ta trở lại kiểm tra defM(M) defs(M) vị nhóm M Dễ thấy defM(M) < defs(M)+1, Thật vậy, A R biểu diễn nửa nhóm tùy ý M, e A+ từ biểu diễn 1M , A R, e biểu diễn vị nhóm M Ta chứng minh kết mạnh defM(M) < defs(M) trường hợp sau 2.2.7 Định lý Nếu M vị nhóm mà phần tử khả nghịch trái khả nghịch phải (nói riêng, M hữu hạn) defs(M) > defM(M) - 32 - Chứng minh Ký hiệu G nhóm phần tử khả nghịch M Vì phần tử M khả nghịch trái khả nghịch phải nên M \ G iđêan M Từ suy biểu diễn nửa nhóm tuỳ ý p = A R M chứa biểu diễn p1 = A1 R1 A1 A, R1 = R A+ xác định G Vì P1 biểu diễn nhóm G, nên tồn biểu diễn vị nhóm p2 = A R2 G thoả mãn def( p2) = def( p1) theo Định lý 2.2.5 2.3 BiĨu diƠn cđa nhãm tun tÝnh đặc biệt SL(n;p) v nhóm nhị diện D2n Tit ny ta xét biểu diễn nhóm hữu hạn Một vấn đề đặt ra: defG(G) = defs(G) nhóm hữu hạn G Chúng ta xét số lớp nhóm quen thuộc hữu hạn mà đẳng thức thoả mãn Biểu diễn nửa nhóm nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2,p) nhiều tác giả nghiên cứu: H.J.Zanssenhaus (1969), M.J.Beetham (1971), J.G.Sunday (1972) Bây xét Biểu diễn nửa nhóm 2.3.1 Định lý Biểu diễn nửa nhóm GP = x, y|x x, yxyxy x, (xy xyy p1 2 ) yp1 y xác định nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL( 2,p) Chứng minh Từ hệ thức thứ hai GP, ta có x2y = (yx yx) xy yx (yx yxy) = yx2 x2 phần tử trung tâm Tiếp theo, từ hệ thức thứ hai thứ ba có ((xy4x y p 1 )2 y p ) x = (xy4 x y xy xy = x Từ từ hệ thức thứ ba suy (xy4 x y p 1 p 1 )2 yp+1xy xy = )2 y p đơn vị trái Rõ ràng (xy4x y p 1 )2 y p 1 nghịch đảo trái y - 33 - Bây chứng tỏ x nghịch đảo trái Thật vậy, (xy x y 2 nên x = ((xy x y p 1 p 1 2 )2 y p 1 đơn vị trái x2 phần tử trung tâm, ) y ) x = x y xy p p 1 xy x y p 1 y p = (xy4 x y p 1 )2 y p điều cần thoả mãn Do theo Mệnh đề 2.2.4 GP xác định nhóm với đơn vị (xy4x y p 1 )2 y p Khi ta xét GP biểu diễn nhóm, xác định PSL(2,p) p số nguyên tố lẻ (xem Định lý 3, [8]) xác định biểu diễn nửa nhóm 2.3.2 Định lý Biểu diễn nửa nhóm p 1 p p,k = x,y yxy xy = x , ( xy4x y )2y px2ky = y xác định nhóm tất số nguyên dương p k Nếu p số nguyên tố lẻ k = P phần nguyên P , pP,k xác định nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2,p) Chứng minh Từ hệ thức thứ thứ hai ((xy4x y p 1 )2yp x2k)x = (xy4x y p 1 )2yp x2k) ypx2kyxy xy = yxyxy = x Từ hệ thức thứ hai suy ra: (xy x y Vì (xy x y p 1 2 p 2k-1 )y x p p,k có p 1 )2ypx2k đơn vị trái nghịch đảo trái x (xy x y nghịch đảo trái y, nên từ Bổ đề 2.2.4 suy p 1 )2ypx2k-1yyxx pp,k xác định nhóm Phần lại định lý suy từ Định lý [8] 2.3.3 Định lý Biểu diễn nửa nhóm p = x, y y3 x2y = y, ((y2 xyx)4y2x)2(xy)7xy3 = x Xác định nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2,23) Chứng minh Theo [6] , nhóm xác định 2.2.4 chứng tỏ p SL(2,23) Bổ đề p - biểu diễn nửa nhóm - xác định nhóm Từ hệ thức thứ thứ hai, nhận (y3x2)x = - 34 - y3x2((y2 xyx )4y2x)2 = (xy)7xy3 = ((y2xyx)4y2x2)2.(xy)7 = xy3 = x Từ hệ thức thứ suy y3x2 đơn vị trái y3x nghịch đảo trái x y3x((y2xyx)4 y2x)2 (xy)7xy2 nghịch đảo trái y, từ Bổ đề 2.2.4 suy p xác định nửa nhóm Cho đến nay, tốn: Tìm nhóm hữu hạn G để defS(G) defG(G) mở Nhắc lại khái niệm nhóm nhị diện 2.3.4 Định nghĩa Giả sử Rn (n> 2) n - giác mặt phẳng P Các chuyển động mặt phẳng (tương đẳng P) giữ Rn bất biến phép quay góc k 2 (k = 0,1, ,n-1) quanh tâm O Rn, n phép đối xứng trục đường trung trực cạnh Rn , đường phân giác góc đỉnh Nếu n lẻ, phép đối xứng với trục đường trung trực cạnh trùng với phép đối xứng trục phân giác góc đối diện, với n tuỳ ý có 2n chuyển động giữ Rn bất biến Một chuyển động P chuyển điểm p P thành điểm q P ký hiệu q = (p) Nếu ρ chuyển động khác P điểm (p) chuyển thành điểm ρ((p)) lại chuyển động, đồng với phép toán định nghĩa Nếu chuyển động, phép biến đổi ngược -1 chuyển động Nếu , chuyển động, hai ( ) ( ) chuyển động biến điểm p thành điểm ( ((P))) luật kết hợp thoả mãn Do tất chuyển động P tạo thành nhóm với phép tốn xác định trên; tập hợp 2n chuyển động P giữ n - giác Rn bất biến tạo thành nhóm hữu hạn cấp 2n với phép tốn Nhóm bao gồm 2n chuyển động gọi nhóm nhị diện cấp 2n thường ký hiệu D2n - 35 - 2.3.5 Mệnh đề Đối với n > n lẻ, biểu diễn nhóm sau xác định nhóm nhị diện D2n cấp 2n Pn x, y y y x 1, y n 1 x n 1 x y n 1 x Chứng minh Từ hệ thức thứ suy x2 phần tử trung tâm nhóm G xác định pn Tính giao hốn G chứng minh x2 G’ Vì nhóm thương G x đẳng cấu với G D2n có nhân tử tầm thường n lẻ, nên x2 = G D2n 2.3.6 Định lý Đối với n chẵn, n > 2, nhóm nhị diện D2n cấp 2n xác định biểu diễn nửa nhóm a,b a3 = a, a2 = bn , abn-1 a = b n lẻ, n > 3, biểu diễn nửa nhóm n 1 Qn x , y y x y y , y m y n n 1 x Chứng minh Biểu diễn nửa nhóm D2n với n chẵn, n > xác định (Định lý 2.2.[5]) Bây giờ, ta xét trường hợp n lẻ Từ hệ thức ynx2y = y n n n 1 n 1 n 1 n 1 y x = y x y x y = y x y = x suy ynx2 đơn vị trái nửa nhóm xác định Qn ynx nghịch đảo trái n n 1 x Kiểm tra trực tiếp y x y x y y n 1 nghịch đảo trái y Từ Bổ đề 2.2.2(i) suy Qn xác định nhóm Theo Bổ đề 2.2.2 (ii) lập luận chứng minh Mệnh để 2.3.1 suy nhóm D2n - 36 - KẾT LUẬN Luận văn thực nội dung sau : Hệ thống số kiến thức sở nửa nhóm từ nửa nhóm tự do, vị nhóm từ Định lý khuyết; biểu diễn nửa nhóm biểu diễn vị nhóm cấu trúc tự tương ứng Hệ thống lại kết nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trường hữu hạn Trình bày chứng minh biểu diễn nhóm nhị diện D2n (Mệnh đề 2.3.5 Định lý 2.3.6), biểu diễn nửa nhóm số nhóm tuyến tính đặc biệt nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt (Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3) - 37 - Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G.B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2009), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Đại học Vinh [4] S.Lang (1974), Đại số, Bản dịch Trần văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Tiếng Anh [5] H Ayik, C M Campbell, J J O‘ Connor and N Ruskuc (2000), Minimal presentations and efficiency of semigoups, Semigoup Forum, 60, 231-242 [6] H Ayik, C.M.Campbell, J.J.O’ Connor and N Ruskuc (2000), The semigroup eficiency of groups and monoids, Math Proceedings of Royal Irish Academy,100/(2), 171-176 [7] J G Sunday (1972), Presentations of the groups PSL(2,m) and SL(2,m), Canadian Juornal of Mathematical, 24, 1129-1131 [8] H J Zassenhaus (1969), A presntation of the groups PSL(2,p) with three defining relations, Canadian Journal of Mathematics, 21 , 310-11 ... 1.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự 1.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt trường hữu hạn 12 Chương Biểu diễn nửa nhóm số lớp nhóm hữu hạn 19 2.1 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 19 2.2 Số khuyết biểu diễn nửa. .. phải nửa nhóm nên ta xét biểu diễn nửa nhóm A | R G Nếu G nhóm hữu hạn, ta chọn A R hữu hạn biểu diễn G A | R G biểu diễn hữu hạn Nhờ tính chất đặc biệt G (G nhóm G hữu hạn) , tìm biểu diễn. .. 1.2.15 - 24 - CHƯƠNG BIỂU DIỄN NỬA NHÓM CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM HỮU HẠN 2.1 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Khi tồn tồn cấu : A+ S với nửa nhóm từ A+ Thế S