Nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình vi phân có miền xác định không trù mật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHẠM TIẾN HÙNG NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ MIỀN XÁC ĐỊNH KHƠNG TRÙ MẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHẠM TIẾN HÙNG NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ MIỀN XÁC ĐỊNH KHƠNG TRÙ MẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng THANH HÓA, NĂM 2022 Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1239/QĐ-ĐHHĐ ngày 13 tháng năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Chức danh Cơ quan cơng tác hội đồng TS Hồng Nam Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Toán học - Viện HLKHCNVN UV Phản biện TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện PGS TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐHGD-ĐHQGHN Ủy viên TS Mai Xuân Thảo UV Thư ký Hội Toán học Việt Nam Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 15 tháng năm 2022 GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Phạm Tiến Hùng i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy động lực giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả bày tỏ lòng biết ơn kính trọng thầy Tác giả bày tỏ lịng biết ơn đến Ban giám hiệu, phịng QLĐTSĐH, mơn Giải tích - PPGD Tốn, TS Lê Anh Minh, thầy cô bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, tổ chun mơn Tốn trường THPT Hậu Lộc 1- nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng năm 2022 Phạm Tiến Hùng ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viêt tắt ký hiệu iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn 3 1.2 Nửa nhóm liên tục mạnh họ tiến hóa Chương Nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình vi phân có miền xác định khơng trù mật 2.1 Tốn tử Hille - Yosida khơng gian ngoại suy 9 2.2 2.3 Công thức biến thiên số 10 Nghiệm tuần hoàn phương trình khơng 12 2.4 Nghiệm tuần hồn phương trình nửa tuyến tính có trễ 2.5 hữu hạn 16 Nghiệm tuần hồn phương trình trung tính có trễ hữu 2.6 hạn khơng 23 Nghiệm tuần hồn phương trình trung tính nửa tuyến tính có trễ hữu hạn 28 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU N: Tập số tự nhiên R: Tập số thực C: Tập số phức X : Khơng gian Banach ∥ · ∥: Chuẩn ⟨·⟩:Tích đối ngẫu D(A): Miền xác định tốn tử tuyến tính A X0 : Bao đóng D(A), tức X0 := D(A) L1loc (R+ ): Không gian hàm khả tích địa phương R+ ρ(A): Tập giải toán tử A σ(A): Tập phổ toán tử A R(λ, A): Giải thức toán tử A C := C([−r, 0], X): không gian hàm nhận giá trị X liên tục [−r, 0] ut : Hàm lịch sử thuộc không gian C xác định công thức ut (θ) := u(t + θ) iv MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết định tính phương trình vi phân nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu Một hướng trọng tâm nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn Để nghiên cứu tồn tính nghiệm tuần hồn, thơng thường tác giả thường xét phần phi tuyến Lipschitz sử dụng ánh xạ Poincare Tuy nhiên, số mơ hình phức tạp phần phi tuyến phụ thuộc thời gian Khi cách xây dựng nghiệm bị chặn sử dụng ánh xạ Poincare không khả thi Đặc biệt, phương trình xác định khơng trù mật Vì để nghiên cứu cách hệ thống kết tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân có miền xác định không trù mật phần phi tuyến không Lipschitz đều, chọn đề tài nghiên cứu luận văn “Nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình vi phân có miền xác định khơng trù mật” Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu tồn tính nghiệm tuần hồn lớp phương trình vi phân khơng trù mật có dạng du = (A + B(t))u(t) + F (t, ut ) , t ≥ 0, dt dạng trung tính du Dut = (A + B(t))Dut + F (t, ut ) , t ≥ 0, dt với u0 = ϕ ∈ C([−r, 0], X) Trong đó, A tốn tử có miền xác định khơng trù mật thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida B(t), D, F thỏa mãn số điều kiện Đối tượng nghiên cứu • Cơng thức biến thiên số phương trình vi phân xác định khơng trù mật • Phương trình vi phân phương trình vi phân trung tính xác định khơng trù mật có trễ hữu hạn • Tính chất tuần hồn nghiệm phương trình vi phân không gian Banach Phạm vi nghiên cứu • Nghiên cứu lý thuyết chuẩn bị toán tử tuyến tính có miền xác định khơng trù mật • Nghiên cứu tồn nghiệm, tính nghiệm phương trình vi phân có trễ phương trình vi phân trung tính có miền xác định không trù mật Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, seminar mơn, nhóm hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Tổng hợp hệ thống hóa lý thuyết để nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình vi phân phương trình vi phân trung tính có miền xác định không trù mật Ý nghĩa luận văn Luận văn tổng hợp trình bày cách chi tiết, có hệ thống tính chất ổn định phương trình sai phân khơng gian Banach phương trình sai phân cấp phân thứ không gian Banach Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị Trước tiên khái niệm không gian định chuẩn, khái niệm tốn tử tuyến tính không gian định chuẩn Tiếp theo khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh họ tiến hóa với số tính chất Cuối khơng gian hàm tính chất khơng gian hàm sử dụng luận văn • Chương Nghiệm tuần hồn số lớp phương trình vi phân có miền xác định không trù mật Trong chương này, nghiên cứu trình bày hệ thống kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân phương trình vi phân trung tính có trễ hữu hạn có phần phi tuyến không Lipschitz Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn, nửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, bất đẳng thức Gronwall, 1.1 Tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn Trong luận văn này, ta ký hiệu tập số phức C, tập số thực R K tập số thực tập số phức Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Cho X K - không gian véctơ Một chuẩn X hàm x 7→ ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X , λ ∈ K (i) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = x = 0, (ii) ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥, (iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Một dãy (xn )∞ n=1 phần tử thuộc X gọi hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) đến x ∈ X lim ∥xn − x∥ = n→∞ Định nghĩa 1.1.3 ([4]) Một dãy (xn )∞ n=1 phần tử thuộc X gọi dãy (dãy Cauchy) ∥xn − xm ∥ → m, n → ∞ Định nghĩa 1.1.4 ([4]) Nếu dãy gồm phần tử thuộc X hội tụ đến phần tử thuộc X , X gọi không gian Banach Với x0 ∈ X r > ta ký hiệu Dr (x0 ) := {x : ∥x − x0 ∥ < r} , cầu mở tâm x0 bán kính r Khi Định nghĩa 1.1.5 ([4]) Tập M không gian định chuẩn X gọi là: Lúc này, với w ∈ B1,α ta xét hàm ψ xác định    u(t) với t ≥ 0, ψ(w)(t) =   u ˆ(t) với −r ≤ t ≤ 0, u nghiệm τ -tuần hồn (2.26) u ˆ(.) thác triển τ -tuần hoàn u(.) [−r, 0] Ta chứng minh ∥φ∥S đủ nhỏ, ψ từ B1,α vào Thật vậy, uˆ thác triển τ -tuần hoàn u [−r, 0) nên ta có ∥u∥BC ≤ R(C + [τ ] + 1)eδτ h∥φ∥S Để áp dụng định lý ánh xạ co cho ψ , ta lấy w1 , w2 ∈ B1,α Khi đó, u = ψ (w1 ) − ψ (w2 ) = u1 − u2 nghiệm τ - tuần hồn tốn    u(t) = UB (t, 0)u(0)   Z t  + lim UB (t, σ)λR(λ, A) (F (σ, w1σ ) − F (σ, w2σ )) , t ≥ 0,  λ→∞     u(t) = uˆ(t) = uˆ1 (t) − uˆ2 (t), −r ≤ t ≤ Dễ thấy u ˆ(.) τ -tuần hồn thác triển τ -tuần hồn u(.) [−r, 0) Do ∥ψ (w1 ) − ψ (w2 )∥BC = sup ∥u(t)∥ = sup ∥u(t)∥ t≥−r t≥0 Z t+1 ≤ R(C + [τ ] + 1)eδτ sup ∥F (σ, w1σ ) − F (σ, w2σ )∥ dσ t≥0 t   Z t+1 ≤ R(C + [τ ] + 1)eδτ sup φ(σ) ∥w1 − w2 ∥BC t≥0 t ≤ R(C + [τ ] + 1)eδτ ∥φ∥S ∥w1 − w2 ∥BC Như vậy, ∥φ∥S đủ nhỏ ψ ánh xạ co Từ áp dụng định lý điểm bất động Banach suy tồn hàm tuần hoàn bị chặn u˜(.) thuộc B1,α cho ψ(˜ u) = u˜ Lúc này, từ cách xác định ψ suy u˜(.) nghiệm (2.19) 22 2.5 Nghiệm tuần hồn phương trình trung tính có trễ hữu hạn không Tiếp theo, không gian Banach X ta xét D : C → X tốn tử tuyến tính bị chặn cho cơng thức Dϕ = ϕ(0) − D0 ϕ, ∀ϕ ∈ C , (2.28) D0 ϕ = Z0 [dη(θ)]ϕ(θ), ∀ϕ ∈ C , −r η : [−r, 0] → L (X) có biến phân bị chặn khơng atomic 0, tức η thỏa mãn điều kiện: (H7 ): tồn hàm liên tục, không giảm δ : [0, r] → [0, 1] thỏa mãn δ(0) = Z [dη(θ)ρ(θ)] ≤ δ(s) sup ∥ρ(θ)∥, ∀ρ ∈ C , s ∈ [0, r] (2.29) −r≤θ≤0 −s Lúc này, với f ∈ s ta xét phương trình trung tính khơng dạng   d Du = (A + B(t))Du + f (t), t ≥ 0, t t dt (2.30)  u0 = Φ ∈ CD := {Φ ∈ C : Dϕ ∈ X0 } Khi đó, tương tự Định lý 2.2.2 nghiệm nhẹ (2.30) cho  Z t  Dut = UB (t, 0)DΦ + lim UB (t, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, với t ≥ 0, λ→∞  u = Φ (2.31) Để nghiên cứu tồn nghiệm tuần hoàn (2.30), ta xét không gian  E˜ := Dϕ với ϕ ∈ C thỏa mãn Dϕ ∈ X0 giả sử (H8 ): Không gian E˜ = Y ′ với Y khơng gian Banach tách Hơn nữa, Y không gian Y ′′ bất biến tác động toán tử UB′ (τ, 0), (toán tử đối ngẫu UB (τ, 0)) 23 Định lý 2.5.1 ([1]) Giả sử giả thiết (H1 ) − (H3 ), (H7 ) (H8 ) thỏa mãn Cho f ∈ s hàm τ - tuần hồn Khi đó, phương trình (2.30) có nghiệm bị chặn u [−r, ∞) thỏa mãn ∥u∥BC ≤ C∥f ∥s (2.32) có nghiệm u ˜ tuần hoàn với chu kỳ τ thỏa mãn ∥˜ u∥BC (C∥D∥ + [τ ] + 1)M eτ τ ≤ ∥f ∥s , − δ(r) (2.33) [·] hàm phần nguyên Hơn nữa, họ tiến hóa (UB (t, s))t≥s≥0 thỏa mãn lim ∥UB (t, 0)x∥ = t→∞ ˜ mà UB (t, 0)x bị chặn R+ , với x ∈ E (2.34) nghiệm Chứng minh Từ giả thiết (H2 ) suy UB (t, s) τ - tuần hoàn Do để tồn nghiệm nhẹ τ - tuần hoàn ta cần tồn y ∈ E˜ thỏa mãn Z τ y = UB (τ, 0)y + lim UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ λ→∞ Ta xét Dut := UB (t, 0)DΦ + lim λ→∞ Z t UB (t, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, (2.35) D u bị chặn D toán tử tuyến tính bị chặn nên Du· ∈ BC (R+ , X) Sử dụng quy nạp, ta nhận thấy f τ - tuần hồn với p ∈ N ta có Du(p+1)τ = UB (τ, 0)Dupτ + lim λ→∞ τ Z UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ (2.36) Xây dựng tổng Cesaro sau: n 1X Dupτ yn := n p=1 (2.37) Sử dụng đánh giá (2.32) ta có sup ∥Dupτ ∥ ≤ C∥D∥∥f ∥s p∈N 24 (2.38) Kết hợp với (2.37) (2.38) ta sup ∥yn ∥ ≤ C∥D∥∥f ∥s n∈N ˜ đối ngẫu không gian Banach tách Y nên áp dụng định Do E lý Banach-Alaoglu suy tồn dãy (ynk ) dãy (yn ) cho ∗ ynk → y, với ∥y∥ ≤ C∥D∥∥f ∥s (2.39) Mặt khác, từ (2.37) suy Z τ UB (τ, 0)yn + lim UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ − yn λ→∞     Z n τ X UB (τ, 0)Dupτ + lim UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ − Dupτ  =  λ→∞ n p=1   n
X Du(p+1)τ − Dupτ  =  n p=1 =
Du(n+1)τ − Duτ n Vì (Dunτ )n∈N bị chặn, nên  Z lim UB (τ, 0)yn + lim n→∞ λ→∞ τ UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ − yn 
Du(n+1)τ − D.uτ = n→∞ n = lim Suy UB (τ, 0)ynk + lim τ Z λ→∞ ∗ UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ − ynk → (2.40) Từ (2.39) (2.40) suy UB (τ, 0)ynk + lim λ→∞ Z τ ∗ UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ → y (2.41) ˜ = Y ′ Y Do Y bất Tiếp theo, ta ký hiệu ⟨., ⟩ tích đối ngẫu E biến tác động UB′ (τ, 0) nên với g ∈ Y , từ giả thiết (H8 ) ta có  UB (τ, 0)ynk + lim λ→∞ Z τ UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, g 25   = ⟨UB (τ, 0)ynk , g⟩ + = ⟨ynk , UB′ (τ, 0)g⟩ Z τ lim λ→∞  + Z τ lim λ→∞ UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, g   UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, g , cho nk → ∞ ta  τ UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, g  = ⟨UB (τ, 0)y, g⟩ + lim UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, g λ→∞   Z τ = UB (τ, 0)y + lim UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, g  = ⟨y, UB′ (τ, 0)g⟩ + Z lim λ→∞  Z λ→∞ τ Do UB (τ, 0)ynk + lim λ→∞ Z τ UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ Z τ ∗ → UB (τ, 0)y + lim UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ λ→∞ (2.42) Mặt khác, tính giới hạn ∗ -yếu, nên từ (2.41) (2.42) ta có y = UB (τ, 0)y + lim Z λ→∞ τ UB (τ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ Như vậy, nghiệm bị chặn u ˜ (2.30) có điều kiện ban đầu ψ thỏa mãn Dψ = y u ˜ τ - tuần hoàn Để chứng minh (2.33), quy nạp ta Z pτ y = Dψ = UB (pτ, 0)Dψ + lim UB (pτ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ, ∀p ∈ N∗ λ→∞ (2.43)   t , ta có Chọn p := τ D˜ ut = UB (t, 0)Dψ + lim t Z UB (t, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ Z pτ =UB (t, pτ )UB (pτ, 0)Dψ + lim UB (t, pτ )UB (pτ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ λ→∞ Z t + lim UB (t, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ λ→∞ pτ   Z pτ =UB (t, pτ ) UB (pτ, 0)Dψ + lim UB (pτ, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ λ→∞ λ→∞ 26 Z t UB (t, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ Z t =UB (t, pτ )Dψ + lim UB (t, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ + lim λ→∞ pτ λ→+∞ pτ Suy Z t ∥D˜ ut ∥ ≤ ∥UB (t, pτ )Dψ∥ + lim U (t, σ)λR(λ, A)f (σ)dσ B λ→∞ pτ ≤ M ecτ C∥D∥∥f ∥s + M eτ τ ([τ ] + 1)∥f ∥s ≤ M ecτ (C∥D∥ + [τ ] + 1)∥f ∥s Sử dụng giả thiết (H0 ), ta ∥˜ u(t) − D0 u˜t ∥ ≤ M ecτ (C∥D∥ + [τ ] + 1)∥f ∥s , ∀t ≥ 0, ∥˜ u(t)∥ ≤ M ecτ (C∥D∥ + [τ ] + 1)∥f ∥s + ∥D0 u˜t ∥ , ∀t ≥ Hơn u ˜ τ - tuần hoàn nên sup ∥˜ u(t)∥ = sup ∥˜ u(t)∥ ≤ M ecτ (C∥D∥ + [τ ] + 1)∥f ∥s + δ(r) sup ∥˜ ut ∥C t≥−r t≥0 t≥0 ⇒ ∥˜ u∥BC (1 − δ(r)) ≤ M ecτ (C∥D∥ + [τ ] + 1)∥f ∥s Như ∥˜ u∥BC M ecτ (C∥D∥ + [τ ] + 1) ≤ ∥f ∥s , − δ(r) tức ta có (2.33) Cuối cùng, để chứng minh tính nghiệm tuần hồn bị chặn, ta giả sử v w hai nghiệm bị chặn tuần hoàn chu kỳ τ tùy ý đặt z := v − w Khi đó, z tuần hồn chu kỳ τ từ (2.31) ta có Dzt = UB (t, 0)D (v0 − w0 ) (2.44) Lại z bị chặn [−r, ∞), theo (2.34) lim Dzt = t→∞ (2.45) Lúc này, ta nhận thấy D tốn tử tuyến tính bị chặn C , độc lập với t z tuần hoàn chu kỳ τ nên Dzt tuần hoàn chu kỳ τ từ (2.45) ta suy Dzt = ∀t ∈ R+ 27 Mặt khác, D khả nghịch nên zt = với t ≥ Điều có nghĩa z(t) = 0, ∀t ≥ −r Như vậy, nghiệm nhẹ tuần hoàn (2.30) 2.6 Nghiệm tuần hoàn phương trình trung tính nửa tuyến tính có trễ hữu hạn Trong phần này, ta xét tính tuần hồn nghiệm nhẹ phương trình trung tính có dạng   d Du = (A + B(t))Du + F (t, u ), t ≥ 0, t t t dt  u0 = Φ ∈ CD (2.46) Định nghĩa 2.6.1 ([1]) Cho Φ ∈ CD Một hàm liên tục u : [−r, +∞) → X gọi nghiệm nhẹ (2.46) thỏa mãn u0 = Φ Dut = T0 (t)DΦ + Zt T−1 (t − σ) [B(σ)Duσ + F (σ, uσ )] dσ, t ≥ (2.47) Định lý 2.6.2 ([1]) Giả sử điều kiện (H1 ) - (H3 ), (H5 ) (H7 ) thỏa mãn Φ ∈ CD Khi đó, ∥φ∥S đủ nhỏ phương trình (2.46) có nghiệm nhẹ u ∈ Bα (0) cho công thức  Zt    Dut = UB (t, 0)DΦ + lim UB (t, σ)λR(λ, A)F (σ, uσ )dσ, với t ≥ 0, λ→∞    u = Φ (2.48) Hơn nữa, giới hạn Zt lim λ→∞ UB (t, σ)λR(λ, A)F (σ, uσ )dσ ∈ X0 hội tụ theo t ≥ nghiệm nhẹ phụ thuộc liên tục theo điều kiện ban đầu Φ 28 Chứng minh Xét khơng gian đóng  BT1 ,α := w ∈ BC([−r, T1 ], X) : w0 = Φ,  sup ∥w(t)∥ ≤ α −r≤t≤T1 với chuẩn ∥w∥BC(T1 ) = sup ∥w(t)∥ −r≤t≤T1 Trên BT1 ,α ta xét ánh xạ DΦ cho công thức  Zt    UB (t, 0)DΦ + lim UB (t, σ)λR(λ, A)F (σ, uσ )dσ, t ≥ 0,
λ→∞ DΦ u (t) =    DΦ, −r ≤ t ≤ Mặt khác, D = δ0 − D0 với δ0 toán tử Dirac tập trung ∥D0 ∥ < nên ta xác định toán tử ξ˜ : BC([−r, T1 ], X) → BC([−r, T1 ], X) sau ˜ (ξu)(t) = ( D0 ut , ≤ t ≤ T1 , − r ≤ t ≤ Do ∥D0 ∥ < nên ∥ξ˜ ≤ ∥D0 ∥ < Suy ra, toán tử I − ξ˜ khả nghịch Ta đặt D0 Φ −1 ˜ DΦ G := I − ξ  Sử dụng chuỗi Newmann, ta có " ∞ ! # X (Gu)(t) = ξ˜n DΦ u (t) n=0 ˜ Φ u)(t) + · · · + (ξ˜n DΦ u)(t) + · · · = (DΦ u)(t) + (ξD Với t ≥ −r, quy nạp ta chứng minh ˜n (ξ DΦ u)(t)   Zt ˜ n ∥UB (t, 0)DΦ∥ + lim  U (t, σ)λR(λ, A)F (σ, u )dσ ≤ ∥ξ∥ B σ λ→∞
˜ n M ecT1 ∥DΦ∥ + M hecT1 [T1 + 1] ∥φ∥S ≤ ∥ξ∥ [·] hàm phần nguyên Mặt khác, ∞   X n ˜ ∥(Gu)(t)∥ ≤ ∥ ξ DΦ u (t)∥, t ≥ −r n=0 29 nên ∥ (Gu) ∥BC(T1 ) ≤
M ecT1 ∥DΦ∥ + M hecT1 [T1 + 1] ∥φ∥S − ∥D0 ∥ Ta chọn T1 ∥φ∥S đủ nhỏ, G ánh xạ từ BT1 ,α vào Hơn nữa, với u, v thuộc BT1 ,α ta có ∞     X ˜n n ˜ ∥(Gu)(t) − (Gv)(t)∥ ≤ ξ Dϕ u (t) − ξ Dϕ v (t) n=0 M ecT1 [T1 + 1]∥φ∥S ∥u − v∥BC(T1 ) ≤ − ∥D0 ∥ Như ∥(Gu) − (Gv)∥BC(T1 ) M ecT1 ≤ [T1 + 1]∥φ∥S ∥u − v∥BC(T1 ) − ∥D0 ∥ Ta chọn ∥φ∥S T1 đủ bé G ánh xạ co Theo nguyên lý điểm bất động Banach, tồn nghiệm u phương trình (2.48) thuộc vào BT1 ,α Tiếp tục khoảng [Tn , Tn+1 ] với n ∈ N∗ liên tiếp chọn Φ = uTn , ta suy tồn u ∈ Bα (0) thỏa mãn Gu = u hay u nghiệm nhẹ (2.48) Bα (0) Để chứng minh nghiệm u phương trình tích phân (2.48) nghiệm nhẹ (2.46) Bα (0) với u ∈ Bα (0) ta đặt Zt zλ (t) := UB (t, σ)λR(λ, A)F (σ, uσ )dσ, t ≥ 0 Lúc này, tương tự chứng minh Định lý 2.4.3 ta thấy z(t) = lim zλ (t) thỏa mãn λ→∞ Zt z(t) = T−1 (t − σ)B(σ)z(σ)dσ + Zt T−1 (t − σ)F (σ, uσ ) dσ, t ≥ 0 (2.49) 30 Từ (2.5) (2.49) ta có Z t Dut = UB (t, 0)DΦ + lim UB (t, σ)λR(λ, A)F (σ, uσ ) dσ λ→∞ Z t = UB (t, 0)DΦ + T−1 (t − σ)B(σ)z(σ)dσ Z t + T−1 (t − σ)F (σ, uσ ) dσ Z t = T0 (t)DΦ + T−1 (t − σ)B(σ)UB (σ, 0)DΦdσ Z t Z t + T−1 (t − σ)B(σ)z(σ)dσ + T−1 (t − σ)F (σ, uσ ) dσ 0 Z t Z t = T0 (t)DΦ + T−1 (t − σ)B(σ)Duσ dσ + T−1 (t − σ)F (σ, uσ ) dσ 0 Z t = T0 (t)DΦ + T−1 (t − σ) (B(σ)Duσ + F (σ, uσ )) dσ Như vậy, u nghiệm nhẹ (2.46) Để chứng minh tính nhất, ta giả sử u v hai nghiệm nhẹ (2.46) Bα (0), với u0 = ϕ1 v0 = ϕ2 Khi đó, với ≤ t ≤ T , ta có ∥u(t) − v(t)∥ = ∥D0 (ut − vt ) + T0 (t)D (ϕ1 − ϕ2 ) Z t T−1 (t − σ) (B(σ)D (uσ − vσ ) + F (σ, uσ ) − F (σ, vσ )) dσ∥ + ≤ δ(r) ∥ut − vt ∥C + ∥T0 (t)D (ϕ1 − ϕ2 )∥ Z t + T (t − σ)B(σ)D (u − v ) dσ −1 σ σ Z t + T (t − σ) (F (σ, u ) − F (σ, v )) dσ −1 σ σ wT ≤ δ(r) ∥ut − vt ∥C + N e ∥D∥ ∥ϕ1 − ϕ2 ∥C Z T + ∥T−1 (t − σ)B(σ)D∥ ∥uσ − vσ ∥C dσ Z T ˜ +M ew(t−σ) φ(σ) ∥uσ − vσ ∥C dσ wT ≤ δ(r) ∥ut − vt ∥C + N e ∥D∥ ∥ϕ1 − ϕ2 ∥C Z T   w(t−σ) ˜ + max ∥T−1 (t − σ)B(σ)D∥ , M e φ(σ) ∥uσ − vσ ∥C dσ (2.50) 31 Do với −r ≤ t ≤ ∥ut − vt ∥C = ∥ϕ1 − ϕ2 ∥C nên từ (2.50) với ≤ t ≤ T ta suy ∥ut − vt ∥C ≤ δ(r) ∥ut − vt ∥C + max(1, N ewT ∥D∥) ∥ϕ1 − ϕ2 ∥C Z T   w(T −σ) ˜ + max ∥T−1 (T − σ)B(σ)D∥ , M e φ(σ) ∥uσ − vσ ∥C dσ Từ đó, với ≤ t ≤ T ta có 
∥ut − vt ∥C ≤ max 1, N ewT ∥D∥ ∥ϕ1 − ϕ2 ∥C + − δ(r) Z T   i w(T −σ) ˜ + max ∥T−1 (T − σ)B(σ)D∥ , M e φ(σ) ∥uσ − vσ ∥C dσ Áp dụng bất đẳng thức Gronwall:
max 1, N ewT ∥D∥ CT ¯ e ∥ϕ1 − ϕ2 ∥C , với ≤ t ≤ T, ∥ut − vt ∥C ≤ − δ(r) C˜ > số Từ đó, ta suy tính nghiệm nhẹ ánh xạ Φ 7→ ut (., Φ) liên tục [0, T ] Tiếp theo, ta có kết tuần hoàn nghiệm nhẹ (2.30) định lý sau: Định lý 2.6.3 ([1]) Giả sử giả thiết (H1 ) - (H3 ) (H5 ) - (H8 ) thỏa mãn Nếu với hàm f ∈ s τ - tuần hồn ln tồn nghiệm nhẹ bị chặn (2.30) thỏa mãn ∥u∥BC ≤ C∥f ∥s (2.51) họ tiến hóa (UB (t, s))t≥s≥0 thỏa mãn lim ∥UB (t, 0)µ∥ = với µ ∈ E˜ mà UB (t, 0)µ bị chặn R+ t→∞ Khi đó, ∥φ∥S đủ nhỏ phương trình (2.46) có nghiệm nhẹ τ - tuần hoàn Bα (0) Chứng minh Ta xét tập đóng Bα ⊂ BC([−r, ∞), X) sau:   Bα := w ∈ BC([−r, ∞), X) : sup ∥w(t)∥ ≤ α w τ - tuần hoàn t≥−r với chuẩn ∥w∥BC = sup ∥w(t)∥ t≥−r 32 Khi đó, với w ∈ Bα , ta xét hàm u τ - tuần hoàn thỏa mãn Z t u(t) = D0 ut + UB (t, 0)Du0 + lim UB (t, σ)λR(λ, A)F (σ, wσ ) dσ, λ→∞ (2.52) ánh xạ ψ : Bα → Bα cho công thức    u(t), với t ≥ ψ(w)(t) =   u ˆ(t), với − r ≤ t ≤ Để chứng minh ψ hoàn toàn xác định, ta đặt f (σ) := F (σ, wσ ) Theo giả thiết (H5 ) ta có Z t+1 Z t+1 φ(σ)dσ ≤ h∥φ∥s ∥F (σ, wσ )∥ dσ ≤ h sup ∥f ∥s = sup t≥0 t≥0 t t Hơn nữa, theo giả thiết (H6 ) f τ - tuần hoàn nên w τ - tuần hoàn Áp dụng Định lý 2.5.1 ta thấy tồn nghiệm u τ - tuần hồn phương trình tích phân (2.52) thỏa mãn ∥u∥BC (C∥D∥ + [τ ] + 1)M ecτ ≤ h∥φ∥S − δ(r) (2.53) Như vậy, u hoàn toàn xác định Ta xét u ˆ thác triển τ - tuần hoàn u [−r, 0), (2.53) u ˆ Ta chọn ∥φ∥S đủ nhỏ để ψ ánh xạ từ Bα vào nó, ta có ∥ψ(w)∥BC ≤ (C∥D∥ + [τ ] + 1)M ecτ h∥φ∥S − δ(r) Khi đó, với v, w ∈ Bα ta có   u(t), ψ(v) − ψ(w) =  uˆ(t), với t ≥ với − r ≤ t ≤ nghiệm τ - tuần hoàn Z t Dut = UB (t, 0)Du0 + lim UB (t, σ)λR(λ, A) (F (σ, vσ ) − F (σ, wσ )) dσ λ→∞ 33 Dễ thấy u ˆ hàm τ - tuần hồn thác triển tuần hoàn u [−r, 0) Do ∥ψ(v) − ψ(w)∥BC = sup ∥u(t)∥ t≥0 Z t+1 (C∥D∥ + [τ ] + 1)M ecτ ≤ sup ∥F (σ, vσ ) − F (σ, wσ )∥ dσ − δ(r) t≥0 t   Z t+1 (C∥D∥ + [τ ] + 1)M ecτ sup φ(σ)dσ ∥v − w∥BC ≤ − δ(r) t≥0 t (C∥D∥ + [τ ] + 1)M ecτ ∥φ∥S ∥v − w∥BC ≤ − δ(r) Khi ∥φ∥S đủ nhỏ ψ ánh xạ co theo định lý điểm bất động Banach, tồn w ∈ Bα thỏa mãn ψ(w) = w, hay w nghiệm tuần hoàn (2.46) thuộc vào Bα 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, cách sử dụng tính chất tốn tử Hille - Yosida, khơng gian ngoại suy, họ tiến hóa khơng gian ngoại suy, nguyên lý ánh xạ co, định lý Banach-Alaoglu, trung bình Cesaro chúng tơi trình bày cách hệ thống kết tồn nghiệm tuần hồn thơng qua tồn nghiệm bị chặn nửa trục số lớp phương trình vi phân: khơng nhất, nửa tuyến tính, phương trình trung tính khơng phương trình trung tính nửa tuyến tính Luận văn phân tích tổng hợp từ nhiều kết liên quan đến tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân có miền xác định khơng trù mật Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên, sinh viên chun ngành Tốn giải tích Do thời gian lực hạn chế luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý thầy, bạn 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] Chiraz J (2021), “Periodic solutions for partial neutral non densely differential equations” Appl Anal 100, no 8, pp 1752–1773 [2] Chiraz J (2019), “On the theory of periodic solution for some nondensely nonautonomous delayed partial differential equations”, Math Methods Appl Sci 42, no 18, pp 6588–6606 [3] Dang N.Q., Huy N.T (2016), “Periodic solutions to evolution equations: existence, conditional stability and admissibility of function spaces”, Ann Polon Math 116, pp 73-195 [4] Eidelman Y , Milman V , Tsolomitis A (2004), Functional Analysis: An introduction, AMS, Providence, Rhode Island [5] Engel K-J., Nagel R (2000), One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, New York [6] Guhring G, Rabiger F (1999), “Asymptotic properties of mild solutions for non-autonomous evolution equations with applications to retarded differential equations,” J Abstract Appl Anal , 4, pp 169194 [7] Nagel R., Sinestrari S (1994), “Inhomogeneous Volterra integrodifferential equations for Hille- Yosida operators” in Functional Analysis, Lecture Notes in Pure and Appl Math., vol 150, Dekker, New York, pp 51–70 [8] Rhandi A (1998), “Extrapolation methods to solve non-autonomous retarded partial differential equations”, Studia Math , 126(3), pp 219-233 36