BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHĨ HỊ CHÍ MINH
CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CÁP TRƯỜNG
THUẬT GIẢI CHO MỘT SĨ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI LỊ GIÁ TRỊ KHOẢNG
MA SO: T2015 - 45TD
Trang 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHƠ HỖ CHÍ MINH
BAO CAO TONG KET
DE TAI KH&CN CAP TRUONG TRONG DIEM
THUAT GIAI CHO MỘT SỐ LỚP
PHUONG TRINH VI PHAN GIA TRI KHOANG
Mã số: T2015- 45TD
Chủ nhiệm đề tài: Th.S Trương Vĩnh An
TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015
Trang 3Mục lục
Danh mục bảng biểu - ee
Một số kýhiệu .{Ÿ eee
Thơng tin kết quả nghiên cứu .- {co
CHƯƠNG1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Sơ lược về giải tích khoảng (ch nh nh nh ng
1.2 Tích trong trên khơng gian (Kc(R),H) . -
CHƯƠNG2_ Phương trình vi phân giá trị khoảng
2.1 Sự tổn tại và duy nhất nghiệm - ch nh nh
22 Thuậtgiải ch h he h hi th tờ
CHUONG 3 Phương trình vi phân giá trị khoảng cĩ chậm
3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm {ch c
3.2 Thuatgidi occ eee eee eens
Kat luan oes
Trang 4MỤC LỤC
Trang 5MỤC LỤC
Danh mục bảng biểu
Trong báo cáo này ta dùng những hình vẽ với các ý nghĩa xác định dưới đây:
- Hình 3.1-3.8: Biểu điễn nghiệm của lớp phương trình vi phân khoảng cĩ
Trang 6MỤC LỤC Một sơ kí hiệu Trong báo cáo này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: Kcc ") Ke(R) [44] {0} HỊA, B] len (A) Xứ) =|xX0,X0)] ACB Agu B DịXứŒ) D¿uX(Ð [(/) — gH]-khả vi [(i) - gH]-kha vi C([a, b], Kc(R))
Họ các tập con khác rỗng, lỗi và compắc của IR"
Họ các khoảng đĩng khác rỗng của IR
Các khoảng đĩng ( gọi tắt là khoảng) trên IR
phần tử khơng của Kc (R)
Khoảng cách Hausdorff giữa hai khoảng A, B
Độ dài của khoảng A (hoặc độ rộng của khoảng 4)
Hàm giá trị khoảng hay cịn gọi là hàm khoảng Hiệu Hukuhara của hai khoảng
Trang 7MỤC LỤC 5
Thơng tin kết quả nghiên cứu
1 Thơng tin chung:
- Tên dé tai: Thuật giải cho một số lớp phương trình vi phân giá trị khoảng
- Mã số: T2015-45TĐ
- Chủ nhiệm: Trương Vĩnh An
- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hỗ Chí Minh
- Thời gian thực hiện: 12 tháng (Từ tháng 06 năm 2014 đến tháng 12 năm 2015)
2 Mục tiêu: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp phương
trình vi phân giá trị khoảng dưới một vài cơng cụ khác nhau trong tốn học Xây
dựng thuật giải cho một số lớp phương trình vi phân giá trị khoảng
3 Tính mới và sáng tạo: Đề tài này để cập tới những lĩnh vực mới của tốn học
hiện đại, các kết quả của để tài sẽ được xuất bản trên những tạp chí cĩ uy tín Chúng cĩ đĩng gĩp trong việc mở ra một số lĩnh vực mới và ứng dụng trong nhiều vấn đề khác nhau như: kinh tế, tài chính, chỉ số chứng khốn, V v
4, Kết quả nghiên cứu:
- Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình vi phân giá
trị khoảng bằng cơng cụ định lý điểm bắt động
- Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tồn cục cho lớp phương trình vi
phân giá trị khoảng cĩ trễ Hơn nữa, phương pháp giải cho lớp bài tốn này cũng được trình bày
Trang 8MỤC LỤC 6
[1] Nguyen Dinh Phu , Truong Vinh An, Ngo Van Hoa, Nguyen Thi Hien, Interval- valued functional differential equations under dissipative conditions, Advances in Dif-
ference Equations, 2015, 2014:198 (ISI)
6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dung:
Sản phẩm của để tài được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học, nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành tốn ứng dụng
Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm để tài
(ký, họ và tên) (ký, họ và tên)
Z
Trang 9MỤC LỤC 7 INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 1 General information: - Project title: The algorithm for solving some classes of interval-valued differ- ential equations - Code number: T2015-45TD
- Coordinator: Truong Vinh An
- Implementing institution: University of Technical Education, Ho Chi Minh
City, Vietnam
- Duration: from June, 2014 to December, 2015
2 Objective(s): We study the problems of existence and uniqueness of solution for some classes of interval-valued differential equations under some different methods Several methods are presented to solve the above problems
3 Creativeness and innovativeness: The results of this project are the new fields of modern mathematical sciences All of the results of the project shall be pub- lished in the prestigious journals in the world They will contribute to opening
up some new fields in modern mathematics and its applications in various fields,
including: economics, finance, stock market, the consumer price index, ect
4, Research results: We study the existence and uniqueness properties of so- lutions to interval-valued differential equations and interval-valued differential
equations with delay To prove this assertion we use a new concept of inner prod-
uct on the space of compact convex subsets of real line Using this inner product
Trang 10MỤC LỤC 8
the above problems
5 Products: 01 paper ISI (Springer)
[1] Nguyen Dinh Phu, Truong Vinh An, Ngo Van Hoa, Nguyen Thi Hien, Interval-
valued functional differential equations under dissipative conditions, Advances in Dif-
ference Equations, 2015, 2014:198 (ISI) -
Trang 11Mo dau
1 Tổng quan tinh hinh nghién ctu: = Phuong trình vi phân và phương trình tích phân tập là một bộ phận quan trọng của giải tích giá trị tập Chúng cĩ nhiều
ứng dụng quan trọng trong lý thuyết điều khiển và đã được bắt đầu nghiên cứu
từ năm 1969 bởi De Blasi và Iervolino [18] Hiện nay, phương trình vi phân tập
và phương trình tích phân tập đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà khoa học và cĩ
nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Để tìm hiểu lý thuyết cơ sở về phương trình vi phân tập và phương trình tích phân tập, ta cĩ thể tham khảo một số sách và
bài báo trong [1, 2, 3, 19, 27, 29, 31, 33, 37, 47] Bên cạnh đĩ, những mơ hình của
phương trình tích phân và vi tích phân được ứng dụng để nghiên cứu trong nhiều
lĩnh vực của khoa học ( ví dụ như trong lý thuyết điều khiển hệ thống, sinh học,
mơi trường, y học, v v [20, 28, 32])
Giải tích khoảng và phương trình tích phân khoảng (HEs) là một trường hợp đặc biệt của giải tích tập và phương trình tích phân tập Trong nhiều trường hợp, khi những mơ hình của thế giới thực, thơng tin về trạng thái của một hệ động lực khơng chắc chắn thì phương trình tích phân khoảng và phương trình vi phân
khoảng là một cách thức tự nhiên để mơ hình hĩa những bài tốn hệ động lực liên
quan đến khơng chắc chắn (thơng tin khơng chắc chắn) Như ta đã biết, hầu hết
Trang 12MỤC LỤC 10
tính chất tiền định, chúng là các quá trình ngẫu nhiên, quá trình mờ, thậm chí
là các quá trình khơng chắc chắn Ví dụ như chỉ số giá tiêu dùng CPI, chi s6 gia
chứng khốn, giá bảo hiểm, Những quá trình này luơn cĩ “đáy” và cĩ “đỉnh”
nên tạo ra các hàm cĩ giá trị khoảng Phương trình tích phân khoảng cĩ thể được
hiểu như là phương trình tích phân thường “khơng chắc chắn” và cĩ nhiều ứng
dụng trong các lớp bài tốn vật lý, kỹ thuật khi đữ liệu đo được sai sĩt hoặc khơng
xác định Hiện nay, chủ để này đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong cả lý
thuyết lẫn ứng dụng ( xem [13, 17, 39, 44], [21]-[25]
2 Tính cấp thiết: Hiện nay, các bài tốn ứng dụng ngày càng được áp dụng
nhiều trong các lĩnh vực vật lý, y học, khoa học cơng nghệ, kinh tế, tài chính,
kỹ thuật nhất là những bài tốn về lý thuyết khơng chắc chắn trong lĩnh vực
tốn học
Trong để tài này chúng tơi nghiên cứu khái niệm tích trong trên khơng gian
(Kc(R),H) và phương trình vi phân cĩ chậm Bên cạnh đĩ, việc kết hợp giữa mơ
hình phương trình vi phân với chậm và phương trình vi phân khơng chắc chắn
nĩi chung và phương trình vi phân khoảng nĩi riêng đang là vấn để được nhiều
nhà tốn học quan tâm nghiên cứu
3 Mục tiêu: Sử dụng khái niệm tích trong, chúng tơi xây dựng một số điều kiện tiêu biến cho phương trình vi phân hàm giá trị khoảng, và chứng mỉnh sự tồn tại
duy nhất nghiệm tồn cục cho lớp phương trình này
4 Cách tiếp cận: Chúng tơi đã cĩ một số kết quả khởi đầu trong lĩnh vực này
Hiện nay chúng tơi đang phân tích từ một số kết quả đạt được trên thể giới (tham
khảo [13, 39, 44]) nhằm để tập trung nghiên cứu thật sâu về lĩnh vực này
5 Phương pháp nghiên cứu:
Trang 13MỤC LỤC 11
- Tổ chức seminar theo nhĩm
- Xây dựng và giải quyết mơ hình lý thuyết trên - Giải quyết các van dé dat ra
- Thảo luận kết quả
- Tham gia hội nghị trong nước để được đánh giá về kết quả
- Xây dựng mơ hình ứng dụng
- Tính tốn, chạy số
- Gửi bài báo đến các tạp chí cĩ uy tín
6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về tồn tại và duy nhất nghiệm của một số
lớp phương trình vi phân giá trị khoảng và tìm những thuật giải cho những
lớp bài tốn này
- Pham vi nghiên cứu: Nghiên cứu tơn tại nghiệm và các thuật giải
7 Nội dung nghiên cứu:
Trong [13, 44], các tác giả đã nghiên cứu phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát cĩ dạng
X’(#) = F(t, X(#)), X(to) = Xo e Kc(R),t € [fo, TÌ, (0.0.1)
ở đây dấu đạo hàm “ được ký hiệu bởi 2 loại đạo hàm như là đạo hàm Hukuhara
cổ điển (1967) và đạo hàm Hukuhara loại 2 (2005) Trong mơ hình này, các tác giả
Trang 14MỤC LỤC 12
thỏa điều kiện Lipschitz (xem [13]) Phương pháp chứng minh dựa vào xây dựng
dãy xấp xỉ hội tụ về nghiệm của bài tốn Trong [44], dưới điều kiện Lipschitz tổng quát, Malinowski đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài tốn (0.0.1)
Mục đích nghiên cứu của để tài là sử các kết quả gần đây nhất trong giải tích
hàm và giải tích khoảng để ứng dụng nghiên cứu vào lý thuyết phương trình vỉ
phân khoảng như các dạng nguyên lý điểm bất động Banach (của ánh xạ tựa co
hoặc dạng nửa co) trong khơng gian metric mờ, nguyên lý Schauder mở rộng trong khơng gian Banach nửa tuyến tính Do đĩ, trong chương 2, ta sử dụng nguyên lý điểm bất động để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
tốn (0.0.1) Hơn nữa, phương pháp giải cũng được để xuất
Mặt khác, phương trình vi phân cĩ chậm đĩng một vai trị quan trọng trong sự
phát triển của các mơ hình về hệ thống sinh học, kỹ thuật, vật lý, y khoa, và một
số nghành khoa học khác Bên cạnh đĩ, việc kết hợp giữa mơ hình phương trình
vi phan với chậm và phương trình vi phân khơng chắc chắn nĩi chung và phương trình vi phân khoảng nĩi riêng đang là vấn để được nhiều nhà tốn học quan tâm phát triển trong các bài tốn ứng dụng Ví dụ sự gia tăng dân số ở một khu vực cĩ thể chịu ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố độc lập nhau như : chất lượng nơi cư trú, nguồn tài nguyên, mơi trường làm việc, y tế, an ninh xã hội, .v.v.; Những yếu tố này khơng phải lúc nào cũng được đánh giá hay đo lường theo nghĩa cổ điển Phương thức phổ biến nhất hiện nay là dựa vào lý thuyết khơng chắc chắn để
cĩ thể phỏng đốn trực quan các yếu tố này Trong để tài này, bằng cách sử dụng
khái niệm tích trong trên khơng gian mờ (E", D), đã được giới thiệu và nghiên cứu
Trang 16MUC LUC 14 Nội dung chính của báo cáo được chia lam 3 chương cụ thể như sau,
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chúng tơi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về
giải tích khoảng và khái niệm tích trong trong khơng gian (Kc(R), H)
Chương 2: Phương trình ui phân khoảng Trong chương này chúng tơi trình bày
về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân khoảng bằng cơng
cụ lý thuyết điểm bất động Thuật giải cho lớp phương trình này cũng được trình bày
Chương 3: Phương trình ơi phân khoảng cĩ chậm Chúng tơi chứng mình sự tồn
tại và duy nhất nghiệm tồn cục của phương trình vi phân khoảng cĩ trễ dưới các
Trang 17Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
11 Sơ lược về giải tích khoảng
Trong phần này, chúng tơi trình bày lại một số khái niệm sơ lược về các phép tốn
và giải tích khoảng như: phép cộng hai khoảng, phép trừ hai khoảng, phép nhân
hai khoảng, tính chất liên tục và hội tụ của hàm khoảng, khả tích của hàm khoảng, kha vi cua hàm khoảng, v.v
Cho Kc(R") là khơng gian của những tập con lỗi, compact, khác rỗng của ÏR" Tập của những khoảng thực sẽ được ký hiệu bởi Ke(R)
- Phép cộng và phép nhân: phép cộng và phép nhân vơ hướng trên khoảng được
định nghĩa như sau: cho A,B e Kc(R),A = [A,4],B = [B, B], trong dé A < A,B <
B, vaA>0,
A+B=[A+B,A+B], AA=[AA,AA], (-AA =[-AA,-AA))
Hon niva, cho A € Kc(IR), Ai, A2,A3, Aq € Reva A3,Aq > 0, ta cd Ay(AgA) = (AyA2)A
và (Äs + À4)A = À3A + À4A,
- Khoảng cách Hausdorff giữa hai khoảng: Cho A, B e Kc(R), khoảng cách Haus-
Trang 1811 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 16
dorff H trên Kc(R) được định nghĩa như sau:
HỊA, B] = max [|A ~ B|, A-B|) (1.1.1)
Dé dang kiểm chứng rằng, (Kc(R),H) là một khơng gian mêtric đây đủ, tách được
và compact địa phương
- Độ rộng của khoảng: Ta định nghĩa độ lớn và chiều đài (độ rộng) của A e Kc(R)
bởi:
A
HIA, (0)] = [All = max[|A|,|A|], len(A) = A-A
trong dé {0} 1a phần tử zero của Kc(R) Ta cĩ khoảng cách Hausdorff (1.1.1) thỏa các tính chất theo sau: HỊA +CB+C]= HỊA,BỊ và HỊA,B] = HỊ[B,A], HỊA +B,C + DỊ < HỊA, C] + HỊB, DỊ, HỊAA, AB] = |A| HỊA, B], trong dé A,B,C, Dé Kc(R) và À e R
- Hiệu Hukuhara cổ điển: Hiệu Hukuhara cổ điển được xây dung va bat dau phát triển từ năm 1967 và nĩ được xây dựng nhằm biểu diễn phép trừ của hai khoảng
Định nghĩa 1.1.1 Cho A,B € Kc(R), néu tén tai mdt khoang C € Kc(IR) sao cho
A= B+C, khi đĩ ta gọi C là hiệu Hukuhara của A và B Khoảng C ký hiệu bởi
AoB
Chi ¥ ring AOB # A+(-)B Ta dé dang kiểm tra rằng A©B tổn tại trong trường hợp
len(A) > len(B) Trong ([39, 44, 45, 46]) cĩ những tính chất sau của hiệu Hukuhara:
Trang 191.1 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 17
- Nếu A@B,A oC tơn tại, thì H(A © B,A © C) = H(B,C);
- Nếu A©B,CeD tồn tại, thì H(A © B,CeD) = H(A + D,B +C);
- Nếu A©B, Ae(B+C) tồn tại, thì cĩ tồn tại (4©B)©C và (4AeB)eC = Ao(B+C);
- Nếu A©B, AoC, CeB tồn tại, thì cĩ tồn tại /4©B)©(A©C) và (Aa9B)e(AeC) =
CeB
Ta nhận thầy rằng hiệu Hukuhara giữa hai khoảng khơng phải lúc nào cũng tồn
tại mà phải thỏa một ràng buộc về độ dài Do đĩ, để khắc phục tình trạng này ta
xây dựng khái niệm hiệu Hukuhara tổng quát
- Hiệu Hukuhara tổng quát: Hiệu Hukuhara tổng quát được xây dựng và bắt
đầu phát triển từ năm 2005 và nĩ được xây dựng nhằm biểu điễn phép trừ của
hai khoảng bắt kỳ và phép trừ này lúc nào cũng tổn tại
Định nghĩa 1.1.2 Hiệu Hukuhara tổng quát (generalized Hukuhara difference)
giữa hai khoang A = [A, A], B = [B, B] được định nghĩa như sau:
A @gu B= [A, A] Ogu [B, B] = [ min{A — B,Ä ~ B),max|A - B, A - BỊ (112)
Ta cĩ thể biểu diễn hiệu Hukuhara tổng quát trong Định nghĩa 1.1.2 thơng qua
hiệu Hukuhara cổ điển như sau: cho hai khoảng bắt kỳ 4 = [4,4], = [B, B], khi
đĩ
AeB= [A- B,A- BỊ, nếu len(A) > len(B),
A Ogi B= —
(-1)(A@B) = [A- B,A— B] nêu len(A) < len(B)
- Giới hạn và liên tục: Do Ke(R) là khơng gian nửa tuyến tính cho nên giới hạn và
Trang 201.1 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 18
cách H Cho hàm khoảng X : [a,b] — Kc(R) cĩ dạng Xứ) = [X(Ð, X(Ð], khi đĩ
lim Xứ) tổn tai néu va chi néu lim X(t) va lim X( (£) tồn tại hữu hạn và tty Pty ty lim X(t) = [im X(P), lim X0] toto Cho X,Y: [a,b] — Kc(R) là hai hàm khoảng Nếu tổn tại lim X(t) = Ava lim YỢ) = ty hy B, thi lim(X Seu Y)Œ) tồn tại với bắt kỳ f e [ø, b], và lo
lim(X Ogu Y)(t) = A Ogu B
Cho X : [a,b] — Kc(R), liên tuc néu va chi néu X(£) và X(t) liên tục Hoặc ta cĩ thể '
phát biểu định nghĩa theo khoảng cách H:
Định nghĩa 1.1.3 ([44]) Hàm khoảng X : [a,b] c R* — Kc(R) liên tục tại £ € [z, b]
nếu cho mỗi e > 0 tồn tại 6 = ư(£,e) > 0 sao cho, với mọi s € [a, b]: |t — s| < ỗ, ta cĩ
H(X(#), X(s)) < €
Hệ quả 1.1.1 Cho X : [a,b] > Kc(IR) cé dang X(t) = [X@),Xứ)] Khi đĩ
lim X(t) =A © m(Xứ) ©¿n A) = {0}
trty
lim X(t) = X(to) © lim(X(t) Oge X(to)) = (0),
các giới hạn trên được hiểu theo khoảng cách H
- Tích phân của hàm khoảng: Tích phân hàm khoảng là một trường hợp đặc biệt của tích phân những hàm giá trị tập Cho X : [z,b] — Kc() cĩ dạng Xứ) =
Trang 2111 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 19
phân của hàm khoảng X được định nghĩa như sau:
b b b
ƒ X(Đát = ƒ X(bdt, ƒ xoa]
Ta cĩ thể chứng tỏ rằng hàm khoảng X khả tích trên [z,b] nếu và chỉ nếu X đo
được và H[X(), {0)] khả tích trên [a, b]
- Đạo hàm của một hàm khoảng: Dựa vào quá trình phát triển của hiệu Hukuhara,
chúng ta tiếp cận được các khái niệm đạo hàm tương ứng Dựa vào hiệu Hukuhara,
năm 1967 tác giả đã đưa ra khái niệm đạo hàm Hukuhara cổ điển Tuy nhiên với khái niệm đạo hàm này các kết quả nghiên cứu chỉ cĩ thể sử dụng cho những hàm khoảng cĩ độ rộng tăng Do đĩ, các lớp hàm tương ứng cho việc sử dụng khái niệm đạo hàm Hukuhara cịn rất hạn chế Mãi năm 2005, nhĩm tác giả Bede [11] da khắc phục được nhược điểm này bằng cách dùng hiệu Hukuhara dé dua ra khái niệm khả vi Hukuhara tổng quá mạnh Dưới khái niệm này, ta cĩ thể tiếp cận
được hàm cĩ độ rộng tăng hoặc cĩ độ rộng giảm Sau đĩ, dựa vào hiệu Hukuhara
tổng quát, Bede [13] xây dựng và phát triển đạo hàm cho một hàm khoảng bất
kỳ (độ rộng thay đổi bat kỳ, tức là một khoảng chéo nhau tại một thời điểm bất
kỳ) Loại đạo hàm này khắc phục được tất cả các nhược điểm của đạo hàm cho
một hàm khoảng từ trước đến nay Tuy nhiên cho đến nay, các kết quả này cịn khá mới và vẫn chưa được sử dụng để nghiên cứu rộng rãi Sau đây, chúng tơi sẽ
trình bày sơ lược về khái niệm hai loại đạo hàm này và các tính chất liên quan
Khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát mạnh đã được giới thiệu trong [11] và được
nghiên cứu trong [39]-{42]
Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm khoảng X : [a,b] — Kc(R) và £ e [a,b] Ta ndi ham X
Trang 2211 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 20
() với mọi h > 0 đủ nhỏ, 3Xứ + h) © Xứ), 3X() © Xứ — h) và những giới hạn Xứ+h)©Xứ) ¢ _ XŒứ)oX(t—h) ng _ ae mm” ,D?,X(ĐỊ =0, ` — ,D;,X(#)| = 0 hoac (i) với mọi h > 0 đủ nhỏ, 3X(t) © X(t +h), AX(E - h) © X(#) và những giới hạn Xứ)©X(t+h) „s _ l Xứ -h)©XŒ) -z _ tan | SOSA , Dy, X(t)| = 0, Nà ——p , Di, X(t)} = 0 hoac (iii) v6i moi h > 0 đủ nhỏ, 3XứŒ + h) © Xứ), 3X(tT— b) © X() và những giới hạn X(E+h)O XE) -s _ X(t—h)© Xứ) -; _ po H — Dz,X(£)| = 0, a —_ - D3,X(t)| =0 hoac (iv) với mọi h > 0 đủ nhỏ, 3Xứ) © Xứ + h), 3X( © Xứ - b) và những giới hạn Xứ#)oXứ-—h) lim H [2 © X(t +h) oh ANO is = i l =
h ,Dix0] 0, lin] Dix¢o| 0
Trong định nghĩa này, trường hợp khả vi () ( ta viét (i)-kha vi ) tương ứng với
đạo hàm Hukuhara cổ điển, vì thế khái niệm khả vi trong định nghĩa trên sẽ tổng
quát hơn khái niệm khả vi Hukuhara cổ điển
Dựa vào hiệu Hukuhara tổng quát, ta cĩ thể phát biểu đạo hàm tổng quát của một
hàm khoảng như sau:
Trang 231.1 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 21
tổng quát của một hàm khoảng X : [a,b] > Kc(R) tai tp duge định nghĩa
„1
DgutX(to) = lim =[X(to + ht) Spx X(to)] (1.1.3)
Nếu D„X(o) e Kc(R) thỏa (1.1.3) tồn tại, chúng ta nĩi rằng X khả vi Hukuhara tổng quat tai fo
Tương ứng với định nghĩa trên, ta dinh nghia dao ham Hukuhara tổng quát trái Dey X(to) e Kc(R) (với điều kiện nĩ tồn tại) như sau
7 "-'
DạX(n) = Jim T|Xfa + h) Ogu Xtto))
và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải D)„u,X§) e Kc(R) (với điều kiện nĩ tổn tại)
như sau
D*,,X(to) = lim =[X(to +h) © X(t | gH h¬0* ] gH OUT
Ta chú ý rằng đạo hàm Hukuhara tổng quát tồn tại tai fp néu va chi néu dao ham trái và đạo hàm phải tại fọ tồn tại và bằng nhau Ta nĩi rằng X khả vi Hukuhara
tổng quát trên [z, b] nêu D„X(f) e Kc(R) tồn tại tại mỗi điểm ¿ e [a, b] Tại những
điểm đầu mút của [a,b] ta chỉ xét đạo hàm Hukuhara tổng quát một phía
Dinh nghia 1.1.6 Cho X : [a,b] > Kc(R) được biểu diễn dưới dạng Xứ) =
[X@,X(Đ] và khả vi Hukuhara tổng quát tai tp € [a,b] Ta néi rang X [(i)-gH]-
> : k
kha vi tai tp néu
( DenX(ta) = [EX(to), £Xo)]
Trang 2411 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 22 va X [(ii)-gH]-kha vi tai fo néu
(ii) DguX(to) = 5 X to), £X(to)}
(1.1.5)
Dinh nghia 1.1.7 Cho X : [a,b] — Kc(R) được biểu diễn dưới dang X(t) =
[XŒ),XŒ)] Ta nĩi rằng X cĩ độ rộng tăng ( w-ting) (tuong ting cho w-giam) trên
[a,b] néu ham thuc ¢ + len(X(t)) tang (tương ứng cho giảm) trên [a,b] Nếu X w-tăng hoặc w-giảm trên [ø,b], khi đĩ ta nĩi rằng X w-đơn điệu trên [ø, Ù]
Nhận xét: Định nghĩa 1.1.5 tống quát hơn Định nghĩa 1.1.4 trong việc xét những
hàm khoảng cĩ w-đơn điệu bất kỳ Tuy nhiên, nếu ta xét các lớp hàm chỉ cĩ w-tăng
hoặc w-giảm thì hai định nghĩa trên là tương đương nhau Tiếp theo ta cĩ một kết
quả chung cho hai loại đạo hàm trên khi xét những hàm cĩ w-đơn điệu
Hệ quả 1.1.2 Cho X : [a,b] > Kc(R) duge biếu diễn dưới dạng Xứ) = [Xứ),XU@)],t
[a„b] Nếu X là hàm w-đơn điệu và khả vi tổng quát trên [z, b], thì s0 và “x
tồn tại với mọi £ e [a, b] Hơn nữa:
X(t), = Xu] với mọi £ e [a, b], nêu X cĩ w-tăng; 6) D„X@) = [2X (ii) DguX(t) = l§ —X(b), £x() | véi moit € [a,b], néu X cd w-giam — + Cho X : [ø,b] => Kc(R) được biễu diễn dưới dạng X() = [Xứ),X()] và “ă(), +
Re) tồn tại hữu han, trong dé 7 € (a,b)
Nếu X là w-ting trén [a, t] va w-gidm trén [t, b] thì
= fs + d*— +
Trang 251.1 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 23 Nếu X là w-gidm trén [a, z] và t0-lăng trên [x, b] thì 'uX() = ee XP -_XŒ), “ XU) và D?„X(x) = 5 x0), Xí] Trong cả hai trường hop ta thay rang Dz, X(t) = Dy, X(t) nếu và chỉ nếu d= d* X(t) = “-Xú) và ai) = Be:
Ví dụ 1.1.1 Xét hai ham khoang X, Y : [0,00) > Kc(R) được được cho béi X(t) =
let, 24], Y(t) = [-e7#, e'] Do len(X(t)) = ee va len(Y()) = e+e, ta thay len(X())
Trang 2611 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 24 [,2] nên ta Y() và Ÿ(0) kha vi tren [0,2)\ (1), Sa) = yay = 1 va EY) = dt— $ > yn -2, ae = 2 Suy ra Dey) = [+2,1] va DuY0) = [1,2], Y gH-khả vi trên {0,2]\ 11) và [-2t1, te[0,1) DguY(Ð = [L?21, te(1,2]
Chu y 1.1.1 Cho X : [a,b] > Ke(IR) được biểu diễn bởi Xứ) = [Xứ),Xứ)] Nếu
X € C([a, b], Kc(IR)) va w-don diéu trên [a, b] thi X gH-kha vi trén [a, 5] Hé qua 1.1.3 Cho X € C([a, b], Kc(R)) và w-đơn điệu trên [z, b], khi đĩ
t
f Dgextoas = X(t) Ogu X(a), for te [a,b] (1.1.6) Chú ý 1.1.2 Cho X : [a,b] — Kc(R) được biểu diễn dưới dạng X() = [Xứ),Xứ)]
Nếu X cĩ w-tăng trên [a,b] khi đĩ (1.1.6) tương đương với t X(t) = X(a) + ƒ DeutX(s)ds, a va néu X 1A w-giam trén [a,b] khi đĩ (1.1.6) tương đương với t X(t) = Xứ) © (—1) [buxe&,
với mọi £ € [a, b]
Chú ý 1.1.3 Phát biểu của Mệnh để 1.1.3 khơng thỏa nếu X khơng w-đơn điệu
Trang 2711 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH KHOẢNG 25
thơng thường thì ta đễ đàng thu được đ f Pextoas = (X(t) Ogu X(a)) + (X(E) Oger X(t) = X(t) © X(a) + (—1)(XŒ) © Xứ) = [X(t) — X(a) — X(z) + X(t), X(t) — X(@) - X(z) + XI] # X(t) Sgn X(a) trong đĩ t € [0, £]
Ví dụ 1.1.3 Ta xét lại hàm khoảng X : [0,1] — Kc(R) được cho trong Ví dụ 1.1.2,
Trang 2812 TICH TRONG TREN KHƠNG GIAN (Kc(R),H) 26
1.2 Tích trong trên khơng gian (Kc(R),H)
Cho A, B e Kc(R) ta định nghĩa hàm (; A, B) : IR* — IR
š(h;A,B) = A (1.2.1)
Bổ để 1.2.1 ((30]) Với mỗi A, B € Kc(R), giới hạn
[A,B] = lim HỊA +hB, (0) - HA, t0] (1.2.2) h—0* h tồn tại Tiếp theo, với mỗi A, B € Kc(IR) ta định nghĩa fích trong trên Kc(R) là 42 H?(A + hB, {0}) — H?(A, {0}) (4, B)s = lim, = : (1.2.3) Từ (1.2.3) dễ thấy
(A,B); = HỊA, {011LA, BỊ (1.2.4)
Dinh ly 1.2.1 ((30]) Cac ham [-,-]4,(-,)+ : Kc(R) x Kc(R) — IR 1a na lién tục trên
Bổ đề 1.2.2 Cho A,B e Kc(R), ta cĩ các tính chất sau:
() IU4,B]+| < HỊB, {0}],
(ii) |[A, B]+ — [A,C]+] < HIB, Cl,
(iii) [A, AA]4 = AHTA, {0}], voi A > 0, (iv) [kA, AB], = AH[B, (0}], voik, A 2 0,
Trang 291.2 TICH TRONG TRÊN KHƠNG GIAN (Kc(R),H) 27
Chitng minh (i) Với mỗi A,B e Kc(R) và h > 0, ta cĩ
: _ 1 1
\[A, B]:| = lim, &(h; A, B)| = jim = |HIA +hB,{0}] — H[A, (0) < jim n”a +hB, A)
Qua gidi han khih — 0*, ta được () Tương tự với A,B,C € Kc(IR) vah > 0, ta
được
1
|LA, B]- - [A,C]-| = jim ; [Hn {0}] — H[AC, (0)I|
qua giới hạn khi h — 0 , ta được (ii) Các hệ thức (1), (iv), (v) được suy ra từ (i) n Từ bổ để 1.2.2, chúng ta dé dàng suy ra các tính chat của tích trong trên Kc(R) như sau: Hệ quả 1.2.1 Với mọi A,B e Kc(R) ta cĩ: (@) I(4,B).| < HỊA,{0)]HIB, (0)],
(ii) (kA,AB) < kAHỊA, (0)]HIB, {0)], với k,À > 0, (1i) (&A,ÄA)+ < kAH?(A, {0)), với k,À > 0,
(v) (A,B+C)+ < (A,PB): + (A,C)+
Định lý 1.2.2 Nếu X() : [a,b] —› Kc(R) là hàm khả vi liên tục trên [a, b] thì ||X()|| =
H[X(), (0)] : [a,b] — IR khả vi liên tục trén [a,b] và
Tix =[Xứ),DịX(].: Yte [ab] (1.2.5)
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh trường hợp X là (¡)-khả vi, các trường hợp cịn
Trang 31Chương 2
Phương trình vi phân giá trị khoảng
Xét bài tốn Cauchy cho phương trình vi tích phân khoảng đưới dạng
D,Xự) = F(,X(Ð), Xứo) = Xo (2.0.1)
vil € [tp, T], trong đĩ F : ï = [fo,T] x Kc(R) —› Kc(R) là ánh xạ liên tục trén I
2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Bổ đề 2.1.1 ([13, 39, 44]) Phương trình ui phân khoảng D?.X(Ð) = Fứ, X(),Xứa) =
Xp € Kc(R), trong đĩ F : [fo, T] x Kc(R) — Kc(R) là hàm liên tục, sẽ tương đương uới
mét trong các phương trình tích phân sau t X(t) = Xo +f F(s,X(s))ds, Vt € [to,T] ty hoặc Xo= Xứ) +(—1) | FQ@,X@))đ4s, Vt € [fo,T] tụ
trên khoảng dưới điều kiện khả ơi tổng quát loại (¡) hoặc (ii) tương ứng
Định nghĩa 2.1.1 Cho X : [to TỊ —= Kc(R) là một hàm khoảng (¡)-khả vi Nếu X tà
Trang 322.1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 30
đạo hầm của nĩ thỏa bài tốn (2.0.1), ta nĩi X là ()-nghiệm (nghiệm loại 1) của bài tốn
(2.0.1)
Định nghĩa 2.1.2 Cho X : [fo,T] — Kc(R) là một hầm khoảng (đ)-khả ơi Nêu X 0à
đạo hàm của nĩ thỏa bài tốn (2.0.1), ta nĩi X là (ii)-nghiệm (nghiệm loại 2) của bài tốn (2.0.1)
Định nghĩa 2.1.3 Nghiệm X : [tạ, T] — Kc(R) là duy nhất nếu SUP;e[iy,TỊ HIX@),Y(@] = 0.Ở đây, Y : [tạ, T] — Kc(IR) la mot nghiém bắt kỳ của (2.0.1) trên [to, TÌ
Hiện nay, trong [13, 44], các tác giả đã nghiên cứu phương trình (2.0.1) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn (2.0.1) được chứng minh với giả thiết F thỏa
điều kiện Lipschitz (xem [13]) Tác giả đã sử dụng phương pháp xây dựng dãy
xắp xỉ về nghiệm để chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm tồn cục
cho phương trình vi phân (2.0.1) Trong [44], dưới điều kiện Lipschitz tổng quát,
Malinowski đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của
bài tốn (2.0.1)
Định lý 2.1.1 ([44]) Giả sử F : I = [tạ,T] x Kc(R) Kc(f) là hàm khoảng liên tục
trên I va tén tai mot hang sé L > 0 sao cho
max {H[F(t, X1), F(t, X2)]} < LH[X1, X2]
voi moi t € I, X1,X2 € Kc(IR) Khi dé bai todn (2.0.1) tồn tại duy nhất một nghiệm X địa
phương trên khoảng [fo, TŒT < T~ tụ) cho mỗi trường hợp ( (i)-nghiém va (ii)-nghiém )
Chú ý 2.1.1 Với những giả thiết của Định lý 2.1.1, sự tần tại nà du nhất nghiệm của hai bài tốn (2.0.1) cĩ thể chứng mình được bằng sử dụng nguyên lý điểm bắt động
Trang 332.1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIÊM 31
khơng gian C([a,a + p], Kc(R)) ta xét khoảng cách sau:
H{(A,B)= sup HỊA(@,BỌ te[a,a+p] Cho một hằng số k > 0, ta xét X? là tap hop cua nhting ham A € C([a,a+p], Kc(R)) sao cho sup H[A(t), {0}] exp(—kt) < os te[a,a+p]
Trên X9, ta cĩ thể định nghĩa một khoảng cách (metric) sau đây:
H;(A,B) = sup |HỊA@),B()]exp(—E9)]-
te[a,a+p]
Rõ ràng XO là một khơng gian mêtric đẩy đủ Ký hiệu SỞ = (XØ,/7),S” =
(X0,Hp), ta thay rang sp cũng là một khơng gian mêtric day đủ cho bat ky k > 0
Tiếp theo, chúng tơi xét những giả thiết sau để nghiên cứu sự tổn tại và duy
nhất của (ï)-nghiệm:
(Al) F:[z,a + p] x Kc(R) —› Kc(R) liên tục
(A2) tồn tại một hang sé L > 0 sao cho
H[Fụ, A),Fứ,B)] < LHỊA, BỊ,
với mọi A,B e Kc(R) và £ e [a,a + p]
Định nghĩa một tốn tử IP: X — {X|X : [a,a +p] —= Kc(R)) dưới dạng:
t
(PX)(t) = Xo + J F(s,X(s))ds, t € [a,a +p], (2.1.1)
Trang 342.1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 32
và dãy xấp xỉ liên tiếp (X") men C X cho bdi:
X?() = Xụ, và X"() = (PX""}\(Ð, te [a,a + p]
Định lý 2.1.2 Với các giả thiết (A1)-(A2) ta cĩ POX®) € XƠ, tức là tốn tử IP xác định tốt (tuell-defined) va phương trình ui phân khoảng (2.0.1) cĩ (i)-nghiệm du nhất X* € sp
thỏa lim, « H;(X", X') = 0 Hơn nữa, tạ cũng cĩ bắt đẳng thức sau thỏa:
„
1=€
H;(X",X') < H;O(€,X9, VmeIN'
trong đĩ k được chọn sao cho C = L/k < 1
Chứng minh Để chứng mình định lý này chúng tơi sử dụng nguyên lý điểm bắt động Banach Trước hết, ta chứng minh P là một ánh xa tir X vào trong Xx (tức là P@X9) c X®) Do X liên tục tục trên tập compắc [a,a +p] và F thỏa điều kiện
Trang 352.1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIEM 33 Hơn nữa, với mỗi † > ø, ta cĩ t H[(PX)(), (0}] = H[ Xo + ƒ F(s, X(s))4s, {0}] a t < HIXo,(0)] + ƒ (HIF, X(s)),F(s, (0)] + HIF(, (01), (0)])as a t < H[Xo, (0}] +L f Hx, {0}}ds a
Mặt khác, do X e X0, nên tồn tại một hằng số ø > 0 sao cho H[X(), (0)] < pe" với
mọi £ € [a,a + p} Từ đĩ, với mọi f > 4,
t
sup |H|(PX)0, (O)|e*} < sup {(H{Xo, {0}] + pL ƒ đ6-94s)Ì + MrŒ — 8)
te[a/a+p] te[a,a+p] ý
< H(Xu I0] + ÊẼ + Mẹ a) <0,
Trang 362.1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 34 mội £ > a, ta được t t H(PX)0, (P#)0)] <L J H[X(s), X(s)]ds < L f Hy(X, De“ds suy ra t Hy(PX,PX) = sup {H((PX)(), (PR)(O)e*} telaa+p] < LHA(X,%) sup | 44s telantp] J „ LHŒ, #) <s——
Vi vay, Hj(PX, PX) < THỊ %) va ta chon k > L, khi đĩ tốn tử IP là một ánh xạ co trên khơng gian SỈ” Theo nguyên lý điểm bất động Banach suy ra (2.0.1) cĩ
(i)-nghiém duy nhat X* € SẼ, ly se A(X", X*) = Ova bat dang thức sau thỏa: HE (1-C) Hy(PX", X") < Hy(X°,X}), Vn >1, trong dé C = L/k n Tiếp theo, ta chứng minh sự tổn tại và duy nhất (1)-nghiệm của phương trình (2.0.1) Xét tập t x) = {A € C([a,a + p], Kc(IR)) : A(a) © (—1) [TA tồn tại với £ € [a,a +p) a
Trang 372.1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 35
Hukuhara trong Xf? nếu bất đẳng thức sau thỏa:
t
f entets, atoms < len(A(a)), Vt € [a,a + p]
a
Ta dé dang kiểm ra được sự liên tục của hàm F dẫn đến X“ 1a một tập đĩng trong C([a,a + pl, Kc(R))„ Khi đĩ Xf? là một khơng gian mêtric đầy đủ với khoảng cách Hi Ta xét phương trình vi phân khoảng (2.0.1) thỏa những điều kiện sau: (A3) Xf? khác rỗng (A4) Tồn tại A e C([a,ø + p], Kc(R)) sao cho hiệu Hukuhara t A(a) © (-1) [A6 ton tại với mọi f [a,ø + p], khi đĩ hiệu Hukuhara t A6)o(-) [ F6,(©AJ6)/4
tồn tại với mọi £ € [a,a + ÿ]
Trong (A4), xét ánh xạ Q : X? € C(Ía,a + p], Kc(R)) > C([a,a + p], Kc(R)) cho bởi:
t
(QA)(t) = A(a) © (-1) f Fos Acas, te [a,a+p) (2.1.2)
Định lý 2.1.3 Với nhitng gid str (A3)-(A4) ta cb Q(X) CX, tite Ia todn tir Q xc
Trang 382.2 THUẬT GIẢI 36
Xe sị thỏa lim„_,« H;(X", X') = 0 Hon nita, bat dang thúc sau cũng thơn:
cm
Hy(X",X") < 1-=GHIX',X?), Ym eTĐ,
trong dé k duoc chon sao cho L/k < 1
Chung minh Vi X‘ la một tập khác rỗng thỏa điều kiện (A3) nên ánh xạ Q : X“ C
C([a,a + p],Kc(R)) — C([a,a + ?Ì,Kc(R)) được xác định tốt Tương tự như trong chứng minh của Định lý 2.1.2, ta được OX liên tục trên [a,a+p] và hiệu Hukuhara
Xo©(-1) fre, (OX)(s))4s tồn tại với £ € [a,a + p], do điều kiện (A4) Điều này
chứng tỏ tơng OQX e XỈ) Cho bat kỳ X,X € X), Khi đĩ
Hy(QX, QR) = sup {H(OX)0),(Ộ)0))£*) < THK, 8) te[a,a+p]
Do vậy, nếu : < 1, khi đĩ Q là một ánh xạ co trên Xứ), n
2.2 Thuật giải
Sau đây, ta sẽ trình bày một thuật giải cho lớp phương trình (2.0.1) bằng cách
sử dụng hai loại đạo hàm trên Xét lại phương trình vi phân khoảng:
DEX() =F, X(), t¢1=[0,T],
(2.2.1)
X(0) = Xo,
trong đĩ F : I x Kc(IR) > Kc(R) la mét ham khoang lién tuc va Xo khac rỗng (tức
là len(Xo) # 0) Ứng với 2 kiểu khả vị, ta cĩ 2 trường hợp theo sau
# vụ, ROL Khi đĩ, (3.2.1) trở thành hệ
Trang 402.2 THUẬT GIẢI 38 Ta cĩ hệ phương trình vi phân thường sau: SX0)= =a()XŒ) + B(Œ, t>0, + Xự )=a()Xứ) + BŒ), t>0, dt ~ (2.2.6) ° X(0) =X) X(0) = Xo
Giải hệ trên, ta thu được nghiệm của (2.2.5) cĩ dạng: X(/) = [XứŒ),X()], với
X(f) = cosh ass} {X + (Besos a(r)dr) - B(s)sinh( acts}
+ sn ash} Ke + [sesm( a(r)dr) + B(s)cosh( ac a}
ey) = sini / ahs} {x ot fs 0
+ os a( sis Ro +
[seszi( a(r)dr) — B(s)sinh( ay) sh