Luận án tiến sĩ nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGƠ Q ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGÔ QUÝ ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 12 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định nhị phân mũ 12 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 12 1.1.2 Tính ổn định nhị phân mũ 14 Không gian hàm Banach chấp nhận không gian giảm nhớ 16 1.2.1 Không gian hàm Banach chấp nhận 16 1.2.2 Không gian giảm nhớ (fading memory space) 19 1.2.3 Bất đẳng thức nón 21 1.3 Nhị phân mũ họ tiến hoá 22 1.4 Đa tạp ổn định địa phương phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 25 Chương SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 28 NỬA TUYẾN TÍNH 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính 28 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 35 2.3 Sự tồn nghiệm tuần hoàn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 38 2.4 Ổn định có điều kiện 43 i Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN 51 TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN ϕ-LIPSCHITZ 3.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 51 3.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ 3.3 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương 58 55 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 69 CÓ TRỄ 4.1 Sự tồn nghiệm tuần hồn phương trình có trễ hữu hạn 69 4.2 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương 73 4.3 Trường hợp phương trình có trễ vơ hạn: Sự tồn nghiệm tuần hoàn 4.4 85 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương phương trình có trễ vơ hạn 92 KẾT LUẬN 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 113 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Tất kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình Hà Nội, ngày 06 tháng năm 2017 Người hướng dẫn khoa học Tác giả PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Ngô Quý Đăng LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vơ mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Thầy bảo suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị ln tạo thử thách giúp tự học hỏi, tìm tịi, sáng tạo Đó tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô bạn xemina Dáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy chủ trì Đây mơi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo Sau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội, đặc biệt thầy, cô giáo Bộ mơn Tốn bản, Viện Tốn ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo đồng nghiệp Khoa GD Tiểu học, Phịng Khảo thí Đảm bảo chất lượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm R− : tập số thực không dương C : tập số phức   Z := u : R → R kukp = ( |u(x)|p dx)1/p < +∞ , ≤ p < ∞ R  := u : R → R F tốn tử tuyến tính kF (t)(φ)k ≤ ψ(t)kφk với φ ∈ Ba (0), h(t, ·) hàm tuần hồn theo t với chu kì nên g(t, φ) hàm tuần hồn theo t với chu kì 1, với hàm φ ∈ Ba (0) Hơn nữa, kg(t, 0)k = ψ(t)kh(t, ·)k ≤ π  21 R |h(t, x)|2 dx , γψ(t) với γ := sup t∈[0,1] kg(t, ut (θ, ·)) − g(t, vt (θ, ·))k = ψ(t)kut (θ, ·)ku(t, ·)k − vt (θ, ·)kv(t, ·)kk = ψ(t) (ku(t, ·)kkut (θ, ·) − vt (θ, ·)k + kvt (θ, ·)kku(t, ·) − v(t, ·)k) ≤ 2aψ(t) sup kut − vt k với ut , vt ∈ Ba (0) θ∈[−1,0] Vì Zt+1 sup |ψ(τ )|dτ ≤ sup t≥0 n∈N t 2n+1 + 2c Z (t − n)dt = 2c−1 2n+1 − 2c Do đó, F g thỏa mãn giả thiết 2c−1 γ Định lý 4.2.3 Định lý 4.2.4 với ρ = a, L := ρ + 2ρ , ϕ(t) = 2ρψ(t) nên ψ ∈ M kψkM ≤ ϕ(t) ˜ = 4ρψ(t) Từ Định lý 4.2.3 Định lý 4.2.4 c đủ lớn (tương ứng với, kF (·)kM +kϕkM kF (·)kM +kϕk ˜ M đủ nhỏ) phương trình (4.18) có nghiệm đủ tốt uˆ ∈ Bρ (0) tuần hồn với chu kì nghiệm uˆ ổn định có điều kiện theo Chú ý 3.3.2 Hơn nữa, theo Định lý 4.2.7, tồn đa tạp ổn định địa phương nghiệm đủ tốt phương trình (4.18) xung quanh nghiệm uˆ 4.3 Trường hợp phương trình có trễ vô hạn: Sự tồn nghiệm tuần hồn Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ vơ hạn với phần phi tuyến g(t, φ) ϕ-Lipschitz, φ lấy giá trị không gian giảm nhớ, ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận 85 Trước hết, đưa số giả thiết, kí hiệu, chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính: Kí hiệu: kφ(s)k = 0, ν > 0} s→−∞ e−νs Cν = {φ : φ ∈ CR− lim không gian giảm nhớ với chuẩn kφkν = sup s≤0 kφ(s)k e−νs ˆ hình cầu tâm φ, ˆ bán kính a Cν sau: BCaν (φ) ˆ := {φ ∈ Cν : kφ − φk ˆ ν ≤ a} BCaν (φ) Định nghĩa 4.3.1 (Hàm ϕ-Lipschitz địa phương) Cho E không gian hàm Banach chấp nhận được, ϕ ∈ E hàm không âm Hàm g : [0, ∞) × BCρν (0) → X gọi thuộc lớp (L, ϕ, ρ)Cν với số dương L, ρ g thỏa mãn (i) kg(t, φ)k Lϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ φ ∈ BCρν (0), (ii) kg(t, φ1 ) − g(t, φ2 )k ϕ(t)kφ1 − φ2 kν hầu khắp nơi với t ∈ R+ với φ1 , φ2 ∈ BCρν (0) Chú ý 4.3.2 Nếu g(t, 0) = từ điều kiện (ii) định nghĩa suy g thuộc lớp (ρ, ϕ, ρ)Cν Xét phương trình du = A(t)u(t) + g(t, ut ), t ≥ dt (4.20) tốn tử phi tuyến g : [0, +∞) × Cν → X thỏa mãn: (1) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ)Cν với L, ρ > < ϕ ∈ P; (2) ánh xạ t 7→ g(t, vt ) biến hàm tuần hồn với chu kì thành (4.21) hàm tuần hồn với chu kì với v ∈ Cb (R, X) 86 Nghiệm đủ tốt phương trình (4.20) với điều kiện đầu u0 = φ ∈ Cν hàm u liên tục thỏa mãn phương trình u(t) = U (t, 0)u(0) + Zt U (t, τ )g(τ, uτ )dτ với t ≥ (4.22) Định lý 4.3.3 Giả sử tồn số M cho với f ∈ M phương trình (3.1) có nghiệm đủ tốt u thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X), kukCb ≤ M kf kM , họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn: lim kU (t, 0)xk = với x ∈ X cho U (t, 0)x bị chặn R+ t→∞ Với hàm g thỏa mãn điều kiện (4.21) Khi đó, với γ := kϕkM đủ nhỏ phương trình (4.20) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hồn với chu kì hình cầu nhỏ thuộc Cb (R, X) Chứng minh Xét tập đóng Bρ1 ⊂ Cb (R, X) xác định sau Bρ1 := {v ∈ Cb (R, X) : v tuần hồn với chu kì kvkCb (R,X) ρ} Theo Chú ý 1.2.9, với v ∈ Bρ1 hàm tuần hồn với chu kì ta có vt ∈ Cν kvt kν ≤ kvkCb (R,X) ≤ ρ, t ≥ Xét phép biến đổi Φ xác định sau: Với v ∈ Cb (R, X) xét phương trình u(t) = U (t, 0)u(0) + Zt U (t, τ )g(τ, vτ )dτ với t ≥ 0 Khi đó, với v ∈ Bρ1 đặt  u(t) với t ≥ 0, Φ(v)(t) := u˜(t) với t < 0, 87 (4.23) u ∈ Cb (R+ , X) nghiệm tuần hoàn với chu kì phương trình (4.23) (do tính tồn nghiệm u suy từ Định lý 3.1.1), u˜(t) với t < 0, hàm tuần hồn chu kì mở rộng u đoạn (−∞, 0) Chúng ta chứng minh γ đủ nhỏ biến đổi Φ tác động từ Bρ1 vào Bρ1 ánh xạ co Thật vậy, với v ∈ Bρ1 bất kì, từ tính chất hàm g thỏa mãn điều kiện (4.21) ta có kg(τ, vτ )kM Zt+1 = sup kg(τ, vτ )kdτ t≥0 ≤ sup t≥0 t Zt+1 |ϕ(τ )|(L + kvτ kν )dτ t Zt+1 ≤ (ρ + L) sup |ϕ(τ )|dτ t≥0 t ≤ (ρ + L)kϕkM := (ρ + L)γ Áp dụng Định lý 3.1.1 với vế phải g(τ, vτ ) thay f , với v ∈ Bρ1 tồn nghiệm đủ tốt u tuần hồn với chu kì phương trình (4.23) thỏa mãn kΦ(v)kCb (R,X) = kukCb (R+ ,X) (M + 1)Keα kg(τ, vτ )kM (M + 1)K(ρ + L)γeα Do đó, γ đủ nhỏ, ánh xạ Φ tác động từ Bρ1 vào Bρ1 Tiếp theo, từ cơng thức (4.23) ta có biểu diễn Φ sau  Rt  U (t, 0)u(0) + U (t, τ )g(τ, vτ )dτ với t ≥ Φ(v)(t) =  u˜(t) với t < 0, 88 (4.24) đó, hàm u˜(t) hàm tuần hồn chu kì mở rộng hàm tuần hồn u(t) = U (t, 0)u(0) + Zt U (t, τ )g(τ, vτ )dτ với t ≥ 0 khoảng (−∞, 0) Với v1 , v2 ∈ Bρ1 u1 = Φ(v1 ), u2 = Φ(v2 ) từ biểu diễn (4.24) ta có u = u1 − u2 = Φ(v) − Φ(w) nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì phương trình  Rt  u(t) = U (t, 0)u(0) + U (t, τ )(g(τ, vτ ) − g(τ, wτ ))dτ với t ≥ 0,  u(t) = u˜(t) = u˜ (t) − u˜ (t) với t < Vì u(t), t ≥ 0, hàm tuần hồn chu kì 1, với t < hàm u˜(t) hàm tuần hồn chu kì mở rộng u đoạn (−∞, 0), nên kΦ(v) − Φ(w)kCb (R,X) = sup ku(t)k = sup ku(t)k t∈R t≥0 Vậy, từ Định lý 3.1.1 g thỏa mãn điều kiện (4.21) ta có Zt+1 ku(t)k 6(M + 1)Keα sup kg(τ, vτ ) − g(τ, wτ )kdτ t≥0 6(M + 1)Keα sup t≥0 t Zt+1 kg(τ, vτ ) − g(τ, wτ )kdτ t Zt+1 62(M + 1)Keα sup |ϕ(τ )|kvτ − wτ kν dτ t≥0 t 62(M + 1)Keα kϕkM kvt − wt kν với t ≥ 0, từ v w hàm tuần hồn với chu kì Chú ý 1.2.9 ta có kvt − wt kν ≤ kv − wkCb (R,X) với t ≥ 89 Vậy, kΦ(v) − Φ(w)kCb (R,X) 2(M + 1)Keα kϕkM kv − wkCb (R,X) Do đó, với giá trị γ := kϕkM đủ nhỏ phép biến đổi Φ : Bρ1 → Bρ1 ánh xạ co, nên tồn điểm bất động uˆ Bρ1 Φ, cách xác định biến đổi Φ, hàm uˆ nghiệm đủ tốt phương trình (4.20) tuần hồn với chu kì hình cầu Bρ1 Tiếp theo, chúng tơi xét phương trình (4.22) trường hợp họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ Ở đây, chúng tơi sử dụng tính tồn nghiệm bị chặn của phương trình (3.2) để tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình (4.22) Sử dụng phép chiếu P (t), t ≥ X, định nghĩa họ toán tử Pe(t), t ≥ Cν sau Pe(t) : Cν → Cν , (Pe(t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0), ∀θ ∈ (−∞, 0] (4.25) Khi đó, (Pe(t))2 = Pe(t) tốn tử Pe(t), t ≥ 0, phép chiếu Cν Hơn nữa, ImPe(t) = {φ ∈ Cν : φ(θ) = U (t − θ, t)v0 với θ ∈ (−∞, 0] v0 ∈ ImP (t)} Bổ đề sau cho công thức biểu diễn nghiệm bị chặn phương trình (4.22) Bổ đề 4.3.4 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 số nhị phân N, ν > 0; g thỏa mãn điều kiện (4.21) Nếu u(t) liên tục nghiệm phương trình (4.22) cho ( ) max ku0 kν , sup ku(t)k t∈R+ ≤ρ với ρ > cố định hàm u(t) biểu diễn dạng  R∞  u(t) = U (t, 0)η + G(t, τ )g(τ, uτ )dτ  u = φ ∈ C ν 90 (4.26) với t ≥ 0, η = P (0)φ(0) ∈ X0 , G X0 xác định Bổ đề 3.2.1(a) Chứng minh Đặt y(t) := R∞ G(t, τ )g(τ, uτ )dτ với t ≥ Vì g thỏa mãn điều kiện (4.21), kết hợp với ước lượng (1.9) (1.4) ta có ky(t)k ≤ (1 + H)N Z∞ e−ν|t−τ | kg(τ, uτ )kdτ ≤ (1 + H)N Z∞ e−ν|t−τ | (L + kuτ kν )ϕ(τ )dτ, 0 đó, ky(t)k ≤ (1 + H)N (N1 + N2 ) (L + ρ)kϕkM với t ≥ − e−ν (4.27) kykC(R+ ,X) ≤ (1 + H)N (N1 + N2 ) (L + ρ)kϕkM − e−ν Bằng cách chứng minh tương tự Bổ đề 2.3.1(b) ta có y(·) thỏa mãn y(t) = U (t, 0)y(0) + Zt U (t, τ )g(τ, uτ )dτ với t ≥ 0 Vì u(t) nghiệm phương trình (4.22) ta có u(t)−y(t) = U (t, 0)(u(0)− y(0)) với t ≥ Đặt η = u(0) − y(0), u(·) y(·) bị chặn R+ nên η ∈ X0 P (0)u(0) = P (0)φ(0) = η Vậy từ u(t) = U (t, 0)η + y(t) với t ≥ ta có đẳng thức (4.26) Chú ý 4.3.5 Phương trình (4.26) gọi phương trình Lyapunov-Perron Bằng cách chứng minh tương tự Chú ý 2.3.2 ta có khẳng định ngược lại Bổ đề 4.3.4 Tức là, nghiệm phương trình (4.26) thỏa mãn phương trình (4.22) với t ≥ 91 Cuối cùng, cách chứng minh tương tự Định lý 3.2.3 ta có định lý sau tính tồn nghiệm bị chặn phương trình (4.22) (tức nghiệm đủ tốt bị chặn (4.20)) Từ ta phương trình (4.22) có nghiệm tuần hồn Định lý 4.3.6 Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y ′ , xét phương trình (4.22) Giả sử Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ N, ν số nhị phân; g thỏa mãn điều kiện (4.21) với số ρ, L hàm ϕ ∈ P Nếu kϕkM đủ nhỏ phương trình (4.22) có nghiệm tuần hồn với chu kì hình cầu nhỏ thuộc Cb (R, X) 4.4 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương phương trình có trễ vơ hạn Trong phần này, chúng tơi chứng minh tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn, tính hút cấp mũ nghiệm xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình (4.22) cách sử dụng bất đẳng thức nón (Định lý 1.2.11) Trước tiên, chúng tơi chứng minh ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình (4.22) Với vˆ ∈ Cb (R, X) kí hiệu:  v ) : = v ∈ C(R, X) : vt , vˆt ∈ Cν BaCν (ˆ    max kv0 − vˆ0 kν , sup kv(t) − vˆ(t)k ≤ a, t ≥ t∈R+ ut , t ≥ 0) tuần hồn với chu Xét BρCν (0)(BCρν (0)) hình cầu chứa nghiệm uˆ(ˆ kì đạt Định lý 4.3.6 92 Giả sử tồn hàm dương ϕ˜ ∈ P cho: Cν kg(t, φ1 ) − g(t, φ2 )k ≤ϕ(t)ku ˜ t − vt kν , ∀φ1 , φ2 ∈ B2ρ (0), t ≥ (4.28) Định lý 4.4.1 Với giả thiết Định lý 4.3.6; xét uˆ nghiệm tuần hồn với chu kì phương trình (4.22) đạt Định lý 4.3.6; cho g thỏa mãn điều kiện (4.28) Khi đó, kϕk ˜ M đủ nhỏ với u(0)) ∩ P (0)X có ζ ∈ Cν cho kζ − uˆ0 kν ≤ ρ/2 P (0)ζ(0) ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ nghiệm u(·) phương trình (4.22) R thỏa mãn điều u) Hơn nữa, với u(t) uˆ(t) ta có ước lượng: kiện u0 = ζ u ∈ BρCν (ˆ kut − uˆt kν ≤ Cµ ρe−µt với t ≥ 0, (4.29) số dương Cµ µ không phụ thuộc vào u uˆ Chứng minh Đặt w := u − uˆ, đó, u nghiệm phương trình (4.22) u) với u0 = ζ w nghiệm hình cầu hình cầu BρCν (ˆ BρCν (0) phương trình   U (t, 0)(ζ(0) − uˆ(0))     Rt   w(t) = + U (t, τ ) g(τ, wτ + uˆτ ) − g(τ, uˆτ ) dτ     ζ(t) − uˆ(t) với t ≥ (4.30) với t ≤ Ta chứng minh phương trình (4.30) có nghiệm hình cầu u(0), BρCν (0) Thật vậy, đặt ξ := P (0)ζ(0) − P (0)ˆ g˜(t, wt ) := g(t, wt + uˆt ) − g(t, uˆt ), g˜(t, 0) = k˜ g (t, wt ) − g˜(t, vt )k ≤ ϕ(t)kw ˜ t − v t kν , t ≥ 0, w, v ∈ BρCν (0) Xét phép biến đổi K xác định sau  R∞  U (t, 0)ξ + G(t, τ )˜ g (τ, wτ )dτ (Kw)(t) =  ζ(t) − uˆ(t) 93 với t ≥ với t ≤ Ta chứng minh phép biến đổi K tác động từ BρCν (0) vào BρCν (0) ánh xạ co Thật vậy, theo cách xác định K ta có đánh giá  R∞  N e−νt kξk + (1 + H)N e−ν|t−τ | kwτ kν ϕ(τ ˜ )dτ với t > 0 k(Kw)(t)k ≤  e−νt kζ − uˆk với t < ν  R∞  e−ν(t) ρ + (1 + H)N ρ e−ν|t−τ | ϕ(τ ˜ )dτ với t > ≤  e−νt ρ với t < Với t + θ ∈ R, t ∈ R+ cố định θ ∈ R− ta có,  R∞  e−ν(t+θ) ρ + (1 + H)N ρ e−ν|t+θ−τ | ϕ(τ ˜ )dτ k(Kw)(t + θ)k ≤  e−ν(t+θ) ρ với t + θ > với t + θ ≤ Do đó, ρ k(Kw)t (θ)k ≤ e−νt + (1 + H)N ρ −νθ e Z∞ e−ν|t−τ | ϕ(τ ˜ )dτ với t ≥ 0, θ ≤ 0, suy ra, ρ (1 + H)N ρ(N1 + N2 )kϕk ˜ M + − e−ν đủ nhỏ phép biến đổi K tác động từ BρCν (0) vào BρCν (0) kKwkν ≤ Vậy, kϕk ˜ M Với x, z ∈ BρCν (0) ta có ước lượng k(Kx)(t) − (Kz)(t)k ≤ Z∞ kG(t, τ )kk˜ g (τ, xτ ) − g˜(τ, zτ )kdτ ≤ (1 + H)N Z∞ e−ν|t−τ | ϕ(τ ˜ )kxτ − zτ kν dτ, t > 0 Từ Chú ý 1.2.9 k(Kx)(t) − (Kz)(t)k = với t ≤ ta có k(Kx) − (Kz)kν ≤ (1 + H)N (N1 + N2 )kϕk ˜ M kx − zkν với t ∈ R − e−ν 94 Do đó, kϕk ˜ M đủ nhỏ phép biến đổi K : BρCν (0) → BρCν (0) ánh xạ co Vậy, tồn w ∈ BρCν (0) cho Kw = w Từ cách xác định K, Bổ đề 4.2.1 Chú ý 2.3.2 ta có w nghiệm phương trình (4.30) BρCν (0) với t ∈ R Chú ý từ Bổ đề 4.2.1 nghiệm w phương trình (4.30) biểu diễn dạng w(t) =  R∞  U (t, 0)ξ + G(t, τ )˜ g (τ, wτ )dτ  ζ(t) − uˆ(t) với t ≥ 0 với t ≤ (4.31) Từ cách đặt w := u − uˆ, ta trở lại nghiệm u phương trình (4.22) u) nghiệm phương trình (4.22) với u0 = ζ u ∈ BρCν (ˆ Chúng chứng minh bất đẳng thức (4.29) Từ công thức (4.31) với giả thiết kξk ≤ ρ 2N kw(t)k ≤ ku0 − uˆ0 kν ≤ ρ2 ta có  R∞  e−νt ρ + N (1 + H) e−ν|t−τ | ϕ(τ ˜ )kwτ kν dτ với t > 0  e−νt ρ với t < Với t + θ ∈ (−∞, t], t ∈ [0, ∞) θ ∈ (−∞, 0], ta có  R∞  e−ν(t+θ) ρ + N (1 + H) e−ν|t+θ−τ | ϕ(τ ˜ )kwτ kν dτ kw(t+θ)k ≤  e−ν(t+θ) ρ với t + θ > với t + θ < Do đó, ρ eνθ kw(t + θ)k ≤ e−νt + (1 + H)N Z∞ e−ν|t−τ | ϕ(τ ˜ )kwτ kν dτ, t > 0, θ ≤ 0, hay ρ kwt kν ≤ e−νt + (1 + H)N Z∞ e−ν|t−τ | ϕ(τ ˜ )kwτ kν dτ 95 với t > Đặt φ(t) = kwt kν Khi supt>0 φ(t) < ∞ ρ φ(t) ≤ e−νt + (1 + H)N Z∞ e−ν|t−τ | ϕ(τ ˜ )φ(τ )dτ với t > (4.32) (4.32) chứng minh tương tự (4.12) định lý 4.2.4 Với họ tiến hóa ổn định mũ (xem Định nghĩa 1.3.3 (2)) ta có hệ sau suy trực tiếp từ Định lý 4.4.1 Hệ 4.4.2 Giả sử uˆ nghiệm tuần hoàn phương trình (4.22) đạt Định lý 4.3.6 Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 ổn định mũ Khi đó, nghiệm tuần hồn uˆ phương trình (4.22) ổn định mũ tức nghiệm u liên tục phương trình (4.22) cho u0 ∈ Cν , ku0 − uˆ0 kν ≤ ρ ρ đủ nhỏ kut − uˆt kν ≤ Cρe−µt với t ≥ (4.33) số dương C µ khơng phụ thuộc vào u uˆ Chứng minh Áp dụng Định lý 4.4.1 cho trường hợp P (t) = Id với t ≥ ta có điều phải chứng minh Tiếp theo, chúng tơi chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình (4.22) Bằng cách thay C Cν , ˆ định nghĩa 4.2.6 phép chiếu Pe(t) xây dựng tương ˆ BCν (φ) Bρ (φ) ρ tự (4.25), có định nghĩa đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình (4.22) Định lý 4.4.3 Với giả thiết Định lý 4.3.6 Định lý 4.4.1, xét uˆ nghiệm tuần hoàn với chu kì phương trình (4.22) đạt Định lí 4.3.6 Khi đó, kϕk ˜ M đủ nhỏ, tồn đa tạp địa phương S xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ phương trình (4.22) 96 Chứng minh Giả sử uˆ nghiệm tuần hồn phương trình (4.22) hình cầu BρCν (0) Đặt w := u − uˆ đó, u nghiệm phương trình (4.22) hình cầu BρCν (ˆ u) w nghiệm hình cầu BρCν (0) phương trình w(t) = U (t, 0)w(0) + Zt   U (t, τ ) g(τ, wτ + uˆτ ) − g(τ, uˆτ ) dτ, t ≥ (4.34) Đặt g˜(t, wt ) := g(t, wt + uˆt ) − g(t, uˆt ), ta có g˜(t, 0) = k˜ g (t, wt ) − g˜(t, vt )k ≤ ϕ(t)kw ˜ t − v t kν , t ≥ 0, w, v ∈ BρCν (0) Phương trình (4.34) viết dạng: w(t) = U (t, 0)w(0) + Zt U (t, τ )˜ g (τ, wτ )dτ, t ≥ (4.35) Như vậy, thay việc chứng minh đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm uˆ tuần hoàn phương trình (4.22), chứng minh đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm phương trình (4.35) Theo giả thiết, họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 có nhị phân mũ, nên với t ≥ không gian pha Cν tách thành tổng trực tiếp hai không gian, tức e0 (t) ⊕ X e1 (t), X e0 (t) = ImPe(t) X e1 (t) = KerPe(t) với phép chiếu Cν = X Pe(t), t ≥ 0, xác định (4.25) supt≥0 kPe(t)k < ∞ Ta xây dựng đa tạp S = {(t, St )}t≥0 ổn định địa phương nghiệm phương trình (4.35) e0 (t0 ), xét phép biến đổi K xác định sau: Với φ ∈ BCρν (0) ∩ X 2N (Kw)(t) =  R∞   U (t, t )φ(0) + G(t, τ )˜ g (τ, wτ )dτ  t0 ∞ R   G(2t0 − t, τ )˜ g (τ, wτ )dτ U (2t − t, t )φ(0) +  0 t0 97 với t ≥ t0 với t < t0 Ta thấy,  R∞ −ν|t−t −τ | −ν(t−t )  0  kwτ kν ϕ(τ ˜ )dτ Ne kφ(0)k + (1 + H)N e    t     với t > t0 k(Kw)(t)k ≤ R∞ −ν|2t −t−τ |  ν(t−t0 )  N e kφ(0)k + (1 + H)N e kwτ kν ϕ(τ ˜ )dτ    t0     với t < t0 Khi đó, với t + θ ∈ R, t ≥ t0 cố định θ ∈ R− ta có,  R∞ −ν|t−t +θ−τ | −ν(t−t0 +θ) ρ   + (1 + H)N ρ e ϕ(τ ˜ )dτ e    t     với t − t0 + θ > k(Kw)(t + θ)k ≤ ∞ R −ν|2t −t+θ−τ |  ν(t−t0 +θ) ρ  e + (1 + H)N ρ e ϕ(τ ˜ )dτ    t0     với t − t0 + θ < 0, đó, ˜ M ρ (1 + H)N ρ(N1 + N2 )kϕk + − e−ν đủ nhỏ phép biến đổi K tác động từ BρCν (0) vào BρCν (0) kKwkν ≤ Vậy, kϕk ˜ M Mặt khác, với x, z ∈ BρCν (0) ta có ước lượng R∞   g (τ, xτ ) − g˜(τ, zτ )kdτ với t ≥ t0  kG(t − t0 , τ )˜ k(Kx)(t) − (Kz)(t)k ≤ tR∞   g (τ, xτ ) − g˜(τ, zτ )kdτ với t ≤ t0  kG(2t0 − t, τ )˜ t 0 R∞ −ν|t−t −τ |   e ϕ(τ ˜ )kxτ − zτ kν dτ với t ≥ t0 (1 + H)N  t0 ≤ R∞ −ν|2t −t−τ |   (1 + H)N e ϕ(τ ˜ )kxτ − zτ kν dτ với t ≤ t0  t0 Do đó, k(Kx) − (Kz)kν ≤ (1 + H)N (N1 + N2 )kϕk ˜ M kx − zkν − e−ν 98 Vậy, kϕk ˜ M đủ nhỏ phép biến đổi K : BρCν (0) → BρCν (0) ánh xạ co Do đó, theo Bổ đề 4.2.1 Chú ý 2.3.2 ta có w nghiệm phương trình (4.35) BρCν (0) Bây giờ, xác định mặt St với t ≥ sau: e0 (t0 )} ⊂ Cν St := {φ + Φt (φ) : φ ∈ BCρν (0) ∩ X 2N đó, với t0 ≥ tốn tử Φt0 cho công thức Z∞ Φt0 (φ)(θ) = G(t0 − θ, τ )˜ g (τ, wτ )dτ với θ ≤ t0 w(·) nghiệm phương trình (4.35) BρCν (0) thỏa mãn e1 (t0 ), P (t0 )w(t0 ) = φ(0) Từ định nghĩa hàm Green G ta có Φt (φ) ∈ X kΦt0 (φ)(θ)k ≤ Z∞ kG(t0 − θ, τ )kk˜ g (τ, wτ )dτ k t0 ≤ N (1 + H) Z∞ e−ν|t+θ−τ | ϕ(τ ˜ )kwτ kν dτ t0 Do đó, với kϕk ˜ M đủ bé cho kΦt0 (φ)(θ)kν ≤ ρ (1 + H)N ρ(N1 + N2 )kϕk ˜ M ≤ − e−ν e0 (t0 ) vào Vậy, với kϕk ˜ M đủ bé Φt0 ánh xạ tác động từ BCρν (0) ∩ X 2N e1 (t0 ) BCρν (0) ∩ X Hơn nữa, Φt0 liên tục Lipschitz với số Lipschitz không phụ e0 (t0 ) ta có thuộc vào t0 Thật vậy, với φ1 φ2 thuộc BCρν (0) ∩ X 2N kΦt0 (φ1 )(θ) − Φt0 (φ2 )(θ)k ≤ N (1 + H) Z∞ e−ν|t0 −θ−τ | ϕ(τ ˜ )kwτ − vτ kν dτ t0 ≤ N (1 + H) sup kwτ − vτ kν τ ≥t0 Z∞ t0 99 e−ν|t0 −τ | eν|θ| ϕ(τ )dτ,