Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Viết Dược ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thiệu Huy PGS TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án Trịnh Viết Dược i Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng 1.2 1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng Nhị phân mũ họ tiến hoá 10 13 1.3.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh họ tiến hoá 13 1.3.2 Nhị phân mũ họ tiến hoá 16 1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính đa tạp ổn định 19 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH 2.1 22 Đa tạp tâm ổn định 22 2.2 Đa tạp không ổn định 26 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40 3.1 Đa tạp ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 41 3.2 Đa tạp tâm ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 49 3.3 Đa tạp không ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 54 KẾT LUẬN 72 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N = {1, 2, } tập số tự nhiên, R tập số thực, R+ tập số thực không âm Với số thực ≤ p ≤ ∞ ký hiệu Lp (I) =   {u : I → R : u p  {u : I → R : u ∞ = ( I |u(x)|p dx)1/p < +∞ ≤ p < ∞} = ess supx∈I |u(x)| < +∞ p = ∞} L1,loc (I) = {u : I → R | u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ I}, ω ⊂⊂ I nghĩa bao đóng ω tập compact I Ở đây, I = R+ R Ký hiệu t+1 M(R+ ) = f ∈ L1, loc (R+ ) : sup t≥0 với chuẩn f M := supt≥0 |f (τ )|dτ < ∞ t t+1 |f (τ )|dτ t X không gian Banach E không gian hàm Banach chấp nhận R+ ER không gian hàm Banach chấp nhận R Cb (R+ , X) không gian hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị X , xác định R+ với chuẩn u ∞ = supt∈R+ u(t) Với r > 0, ký hiệu C = C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], nhận giá trị X với chuẩn u C = supt∈[−r,0] u(t) MỞ ĐẦU Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ I, I = R+ R, A(t) toán tử tuyến tính khơng giới nội khơng gian Banach X với t ∈ I f : I × X → X toán tử phi tuyến Một vấn đề trọng điểm nghiên cứu lý thuyết định tính nghiệm phương trình vi phân tìm hiểu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định đa tạp tâm (ổn định, không ổn định) Việc nghiên cứu tồn đa tạp tích phân ln thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mặt mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định, mặt khác cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Để đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến phần tuyến tính (tức họ tốn tử (A(t))t∈I ) sinh họ tiến hố có nhị phân mũ tam phân mũ toán tử phi tuyến f Lipschitz theo nghĩa Những kết tảng tồn đa tạp tích phân thuộc nhà tốn học Hadamard [52], Perron [50, 51], Bogoliubov Mitropolsky [12] Đó kết tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân thường (tức trường hợp X = Rn A(t) ma trận) Sau đó, Daleckii Krein [18] mở rộng kết sang trường hợp A(t) tốn tử giới nội khơng gian Banach X Tiếp theo, Henry [21] phát triển kết tồn đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) tốn tử đạo hàm riêng không giới nội Về sau, nhờ phát triển mạnh mẽ giải tích hàm đại lý thuyết nửa nhóm tham số, kết tồn đa tạp tích phân chuyển sang nấc thang cho lớp phương trình tổng quát bao gồm phương trình đạo hàm riêng có trễ trung tính (xem [1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] tài liệu tham khảo đó) Có hai phương pháp để chứng minh tồn đa tạp tích phân phương pháp Hadamard phương pháp Perron Phương pháp Hadamard tổng quát hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform) sử dụng chẳng hạn [22, 40, 52] để chứng minh tồn đa tạp tích phân Phương pháp liên quan đến việc lựa chọn phép biến đổi phức hợp đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân Trong đó, phương pháp Perron mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron liên quan quan đến phương pháp Lyapunov Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc tốn tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hố, để từ tồn đa tạp tích phân Phương pháp Lyapunov-Perron thích hợp việc xử lý dòng nửa dòng sinh phương trình tiến hố nửa tuyến tính, trường hợp việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron thuận lợi gắn kết với kỹ thuật tiêu chuẩn phương trình vi phân thường (ODE), chí dòng xác định tập khơng gian pha Chúng ta xem cơng trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] tài liệu tham khảo vấn đề Điều kiện phổ biến phần phi tuyến f xét toán tồn đa tạp tích phân phương trình tiến hố nửa tuyến tính f thoả mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ bé, tức f (t, φ) − f (t, ψ) ≤ q φ − ψ C với q số đủ nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]) Tuy nhiên, với phương trình nảy sinh từ trình tương tác-khuyếch tán, f đại diện cho nguồn vật chất số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]) Do đó, cố gắng mở rộng điều kiện phần phi tuyến để chúng mơ tả q trình tương tác-khuyếch tán Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron không gian hàm Banach chấp nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đưa điều kiện tổng quát phần phi tuyến xét tồn đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), hệ số Lipschitz phần phi tuyến phụ thuộc thời gian thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận có số kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm công bố thời gian gần [2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32] Trên sở đó, chúng tơi nghiên cứu tồn đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Đó nội dung luận án Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình tài liệu tham khảo, luận án bao gồm chương • Chương phần kiến thức chuẩn bị Ở đây, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất không gian hàm Banach chấp nhận (xem [25, 36]) Sau đó, chúng tơi trình bày nhị phân mũ họ tiến hoá đa tạp ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính [25, 27] • Chương nghiên cứu tồn đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), dt t ∈ I, A(t) tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X với t cố định f : I × X → X tốn tử phi tuyến Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 sinh họ tốn tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức f (t, x) − f (t, y) ≤ ϕ(t) x − y với ϕ hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Với giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy chứng minh tồn đa tạp ổn định (xem [25]) Khi mở rộng họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ tồn đa tạp tâm ổn định Sau đó, thay xét phương trình nửa đường thẳng, chúng tơi xét phương trình tồn đường thẳng để từ tồn đa tạp không ổn định đa tạp có tính chất hút quỹ đạo nghiệm Các kết Chương lấy báo [3] Danh mục cơng trình khoa học tác giả • Chương nghiên cứu tồn đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng du = A(t)u(t) + f (t, ut ), dt t ∈ I, A(t) tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X với t cố định f : I × C → X toán tử phi tuyến liên tục Với r > cố định, ký hiệu C := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0] trang bị chuẩn sup Khi họ toán tử (A(t))t∈I sinh họ tiến hố có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), tìm điều kiện f để phương trình có đa tạp tích phân Điều kiện phổ biến hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ nhỏ, tức f (t, φ) − f (t, ψ) ≤ q φ − ψ C với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] tài liệu tham khảo đó) Tuy nhiên, phương trình nảy sinh từ trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất q trình số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]) Do đó, cố gắng mở rộng điều kiện phần phi tuyến để chúng mơ tả trình tương tác-khuyếch tán Vì vậy, nghiên cứu tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 C , điều kiện số Lipschitz q t+1 đủ nhỏ thay điều kiện supt∈I t ϕ(τ )dτ đủ nhỏ, hàm ϕ nhận giá trị lớn tuỳ ý Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyến tính gặp khó khăn khơng gian pha đa tạp tích phân xây dựng C họ tiến hoá sinh toán tử A(t) xác định X Do đó, phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng [1, 40] không áp dụng Để khắc phục khó khăn này, chúng tơi sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron xây dựng toán tử chiếu C thơng qua họ tiến hố sinh toán tử A(t) Các kết Chương viết báo [1, 2] thuộc Danh mục cơng trình khoa học tác giả Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy PGS.TS Đặng Đình Châu, hai người thầy vơ mẫu mực, tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Hai thầy dìu dắt tơi đường tốn học, đưa tơi bước vào lĩnh vực tốn học đầy thú vị, tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ hai người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy Trong q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận án, nhận nhiều giúp đỡ quý báu thầy cô Bộ môn Giải tích Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội Tôi xin trân trọng giúp đỡ thầy cô Tôi muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học phòng ban chức Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Hà Nội, năm 2014 Nghiên cứu sinh Trịnh Viết Dược Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất khơng gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng R+ (xem [25, 27, 36]) Sử dụng thay đổi, thu khái niệm tính chất khơng gian hàm Banach chấp nhận đường thẳng thực (xem [3] Danh mục cơng trình khoa học tác giả) Sau đó, chúng tơi trình bày nhị phân mũ họ tiến hoá đa tạp ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính 1.1 Khơng gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vectơ E gồm hàm thực đo Borel R+ gọi không gian hàm Banach (R+ , B, λ), B đại số Borel λ độ đo Lebesgue R+ , (1) (E, · E) không gian Banach ϕ ∈ E , ψ hàm thực đo Borel cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ ψ ∈ E ψ E ≤ ϕ (2) Hàm đặc trưng χA ∈ E với A ∈ B có độ đo hữu hạn supt≥0 χ[t,t+1] ∞, inf t≥0 χ[t,t+1] E E E < > (3) E → L1,loc (R+ ), tức với đoạn compact J ⊂ R+ tồn βJ > cho J |f (t)|dt ≤ βJ f E với f ∈ E Bổ đề sau cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra xem hàm liệu có thuộc khơng gian hàm Banach E hay khơng Bổ đề 1.1.2 Cho không gian hàm Banach E, ϕ ψ hàm thực đo Borel R+ cho hai hàm trùng bên đoạn compact bị chặn cốt yếu đoạn Khi đó, ϕ ∈ E ψ ∈ E Chứng minh Giả sử ϕ ∈ E ϕ = ψ J = [a, b] Do ψ bị chặn cốt yếu J nên tồn M > cho λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = Đặt A = {t ∈ J : |ψ(t)| > M } B = J \ A Do E không gian hàm Banach nên |ϕ| ∈ E χB ∈ E Bởi vậy, |ϕ|+χB ∈ E Ngồi ta có, |ψ| ≤ |ϕ|+M χB (λ-h.k.n), suy ψ ∈ E Định nghĩa 1.1.3 Không gian hàm Banach E gọi chấp nhận thoả mãn (i) Tồn số M ≥ cho b |ϕ(t)|dt ≤ a M (b − a) ϕ χ[a,b] E E với [a, b] ⊂ R+ ϕ ∈ E (ii) E bất biến với toán tử Λ1 , Λ1 ϕ(t) = t+1 ϕ(τ )dτ t (iii) E Tτ+ Tτ− bất biến với τ ∈ R+ ,   ϕ(t − τ ) t ≥ τ ≥ Tτ+ ϕ(t) = 0 ≤ t < τ , Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với t ≥ Hơn nữa, tồn N1 , N2 > cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với τ ∈ R+ Ví dụ 1.1.4 Khơng gian Lp (R+ ) với ≤ p ≤ ∞ không gian t+1 M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup t≥0 |f (τ )|dτ < ∞ t t+1 với chuẩn f M := supt≥0 t |f (τ )|dτ không gian hàm Banach chấp nhận Ngồi ra, số khơng gian hàm lý thuyết nội suy không gian Lorentz Lp, q với < p < ∞, < q < ∞ không gian hàm Banach chấp nhận Với s ≤ t0 , có w(s) = u(s) t0 G(s, τ )f (τ, uτ )dτ = U (s, t0 )| ν1 = U (s, t0 )| ν1 + −∞ s t0 U (s, τ )| (I − P (τ ))f (τ, uτ )dτ U (s, τ )P (τ )f (τ, uτ )dτ − + −∞ s t0 = U (s, t0 )| ν1 − s U (s, τ )| (I − P (τ ))f (τ, wτ )dτ + G(s, τ )f (τ, wτ )dτ −∞ s s t = U (s, t)| ν2 − U (s, τ )| (I − P (τ ))f (τ, wτ )dτ + G(s, τ )f (τ, wτ )dτ −∞ s t G(s, τ )f (τ, wτ )dτ = U (s, t)| ν2 + −∞ Do đó, với s ≤ t, tồn ν2 ∈ KerP (t) cho t G(s, τ )f (τ, wτ )dτ w(s) = U (s, t)| ν2 + −∞ Do wt ∈ Ut , tính nghiệm u(·) nên ut = wt ∈ Ut với t > t0 Trường hợp 2: Với t < t0 , lấy s ≤ t ≤ t0 ta có t0 G(s, τ )f (τ, uτ )dτ u(s) = U (s, t0 )| ν1 + −∞ t0 = U (s, t0 )| ν1 − U (s, τ )| (I − P (τ ))f (τ, uτ )dτ s s + U (s, τ )P (τ )f (τ, uτ )dτ −∞ t0 Đặt ν2 = U (t, t0 )| ν1 − U (t, τ )| (I − P (τ ))f (τ, uτ )dτ ∈ KerP (t) Khi t t0 U (s, t)| ν2 = U (s, t0 )| ν1 − U (s, τ )| (I − P (τ ))f (τ, uτ )dτ t t0 = U (s, t0 )| ν1 − U (s, τ )| (I − P (τ ))f (τ, uτ )dτ s t U (s, τ )| (I − P (τ ))f (τ, uτ )dτ + s 64 Vì vậy, t u(s) = U (s, t)| ν2 − U (s, τ )| (I − P (τ ))f (τ, uτ )dτ s s t + G(s, τ )f (τ, uτ )dτ U (t, τ )P (τ )f (τ, uτ )dτ = U (s, t)| ν2 + −∞ −∞ với s ≤ t Do đó, ut ∈ Ut Chú ý 3.3.7 Khi mở rộng khái niệm họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có tam phân mũ R+ sang R, đồng thời sử dụng kỹ thuật dịch chuyển họ tiến hoá cách thức chứng minh Định lý 3.2.1 Khi đó, nhận điều kiện đủ cho tồn đa tạp tâm không ổn định cho nghiệm phương trình (3.17) Khi đa tạp tâm không ổn định tồn tại, cho phép thu hẹp khơng gian pha phương trình nghiên cứu ổn định nghiệm tầm thường Cuối cùng, chứng minh đa tạp không ổn định U = { Ut }t∈R hút cấp mũ tất nghiệm phương trình (3.17) tức u(·) nghiệm phương trình (3.17) u(·) bị hút cấp mũ tới quỹ đạo nghiệm u∗ (·) nằm đa tạp không ổn định U Cụ thể, chứng minh định lý sau Định lý 3.3.8 Giả sử điều kiện Định lý 3.3.6 thoả mãn l < 1, N eνr (1 + H) +1 1−k νr l = ke Khi đa tạp khơng ổn định U = { Ut }t∈R hút cấp mũ nghiệm phương trình (3.17) theo nghĩa sau, gọi u(·) nghiệm phương trình (3.17) với điều kiện ban đầu uξ , tồn nghiệm u∗ (·) nằm U (tức là, u∗t ∈ Ut với t ∈ R) số α > cho ut − u∗t C ≤ Ce−α(t−ξ) uξ − u∗ξ C , với t ≥ ξ Chứng minh Cố định ξ ∈ R, ký hiệu Cξ,ν = {w ∈ C([ξ − r, ∞), X) cho sup eν(t−ξ) w(t) < ∞} t≥ξ−r không gian Banach với chuẩn |w|ν = supt≥ξ−r eν(t−ξ) w(t) Chúng ta tìm u∗ (·) dạng u∗ (t) = u(t) + w(t) cho w ∈ Cξ,ν Chúng ta thấy u∗ (·) nghiệm phương trình (3.17) w(·) nghiệm phương trình t U (t, τ )[f (τ, uτ + wτ ) − f (τ, uτ )]dτ w(t) = U (t, ξ)w(ξ) + ξ 65 Để đơn giản, đặt F (t, wt ) = f (t, ut + wt ) − f (t, ut ) Khi đó, F : R × C → X ϕ-Lipschitz F (t, 0) = Phương trình w(t) biểu diễn qua F t w(t) = U (t, ξ)w(ξ) + U (t, τ )F (τ, wτ )dτ (3.25) ξ Từ Bổ đề 3.1.4 Chú ý 3.1.5, nhận thấy nghiệm w(t) phương trình (3.25) bị chặn [ξ − r, ∞) thoả mãn phương trình ∞ G(t, τ )F (τ, wτ )dτ w(t) = U (t, ξ)ν0 + (3.26) ξ với ν0 ∈ ImP (ξ) t ≥ ξ Hơn nữa, w(·) điểm cố định ánh xạ (Sw)(t) =    U (2ξ − t, ξ)ν0 + ∞   U (t, ξ)ν0 + ∞ G(2ξ − t, τ )F (τ, wτ )dτ với t ∈ [ξ − r, ξ], ξ G(t, τ )F (τ, wτ )dτ với t ≥ ξ ξ Cb ([ξ − r, ∞), X) Do đó, hàm w thoả mãn phương trình ∞ w(t) = U (2ξ − t, ξ)ν0 + G(2ξ − t, τ )F (τ, wτ )dτ (3.27) ξ với t ∈ [ξ − r, ξ] Chúng ta chọn ν0 ∈ ImP (ξ) cho u∗ξ = uξ + wξ ∈ Uξ Nghĩa (I − P (ξ))(uξ + wξ )(θ) = Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (θ) Do đó, ν0 = (wξ − P (ξ)wξ )(0) = −(uξ − P (ξ)uξ )(0) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0) = −P (ξ)u(ξ) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0) (3.28) Thay (3.28) vào (3.26) (3.27), nhận w(t) =     U (t, ξ) −P (ξ)u(ξ) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0)    ∞     G(t, τ )F (τ, wτ )dτ t ≥ ξ + ξ    U (2ξ − t, ξ) −P (ξ)u(ξ) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0)    ∞     + G(2ξ − t, τ )F (τ, wτ )dτ t ∈ [ξ − r, ξ]  ξ 66 (3.29) Khi đó, u∗ (t) nghiệm phương trình (3.17) thoả mãn u∗ξ ∈ Uξ w(t) nghiệm phương trình (3.29) Tiếp theo, tìm w(t) nghiệm phương trình (3.29) khơng gian Banach Cξ,ν Trên không gian Banach Cξ,ν , định nghĩa ánh xạ T sau     U (t, ξ) −P (ξ)u(ξ) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0)    ∞    + G(t, τ )F (τ, wτ )dτ t ≥ ξ,  ξ (T w)(t) =    U (2ξ − t, ξ) −P (ξ)u(ξ) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0)    ∞     + G(2ξ − t, τ )F (τ, wτ )dτ t ∈ [ξ − r, ξ]  ξ Trước tiên, T w ∈ Cξ,ν Thật vậy, với t ≥ ξ − r ∞ ν(t−ξ) e (T w)(t) ≤ N ν0 + N (1 + H)e e−ν|t−τ | ϕ(τ ) wτ ν(t−ξ) 2νr e C dτ ξ ≤ N ν0 + N (1 + H)e2νr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ − e−ν ∞ |w|ν = N ν0 + keνr |w|ν Ở k xác định (3.21) Vì Φξ ánh xạ Lipschitz nên có ν0 ≤ Φξ (P (ξ)uξ )(0) − P (ξ)u(ξ) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0) − Φξ P (ξ)uξ (0) N keνr ≤ Φξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ C + P (ξ)wξ C 1−k N keνr ≤ Φξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ C + N (1 + H) wξ C 1−k N keνr ≤ Φξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ C + N (1 + H)eνr |w|ν 1−k Do đó, |T w|ν ≤ N Φξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ C+ N keνr N (1 + H)eνr |w|ν + keνr |w|ν 1−k (3.30) Như vậy, T w ∈ Cξ,ν Tiếp theo, chứng minh T ánh xạ co 67 Lấy w, v thuộc Cξ,ν Khi đó, eν(t−ξ) (T w)(t) − (T v)(t) ∞ e−ν|t−τ | F (τ, wτ ) − F (τ, vτ ) dτ ν(t−ξ) 2νr ≤ N ν0 − µ0 + N (1 + H)e e ξ ∞ e−ν|t−τ | ϕ(τ ) wτ − vτ 2νr ν(t−ξ) ≤ N ν0 − µ0 + N (1 + H)e e C dτ ξ ≤ N ν0 − µ0 + keνr |w − v|ν Mặt khác, ta có ν0 − µ0 = Φξ P (ξ)(uξ + wξ ) (0) − Φξ P (ξ)(uξ + vξ ) (0) N keνr N keνr P (ξ)wξ − P (ξ)vξ C ≤ N (1 + H) wξ − vξ ≤ 1−k 1−k N keνr N (1 + H)eνr |w − v|ν ≤ 1−k C Do đó, |T w − T v|ν ≤ keνr N eνr (1 + H) + |w − v|ν = l|w − v|ν 1−k Vì l < nên T ánh xạ co không gian Banach Cξ,ν Vì vậy, phương trình T w = w có nghiệm w ∈ Cξ,ν Từ (3.30) có |w|ν ≤ N Φξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ 1−l C Chúng ta chứng minh tồn u∗ = u + w nghiệm phương trình (3.17) thoả mãn u∗t ∈ Ut với t ≥ ξ u∗t − ut C = wt C ≤ eνr e−ν(t−ξ) |w|ν ≤ e−ν(t−ξ) = N eνr Φξ (P (ξ)uξ ) − (I − P (ξ))uξ 1−l N eνr −ν(t−ξ) ∗ e uξ − uξ 1−l với t ≥ ξ Định lý chứng minh 68 C C Ví dụ 3.3.9 Chúng ta minh hoạ kết ví dụ sau  ∂ ∂2  −α|t|   u(t, x) = u(t, x) + au(t, x) + b e ln(1 + |u(t + θ, x)|)dθ   ∂t ∂x  −r     với t ∈ R, x ∈ [0, π],    u(t, 0) = u(t, π) = 0, t ∈ R,       u(t, x) = φ(t, x), ≤ x ≤ π, −r ≤ t ≤ (3.31) Trong đó, a > số cho a ∈ / N, α > b = Chúng ta chọn X = L2 [0, π] xét toán tử A : X → X xác định Au = ∂2 u + au, ∂x2 D(A) = {u ∈ H ([0, π]) : u(0) = u(π) = 0} Khi đó, phương trình (3.31) viết dạng toán Cauchy trừu tượng    d u(t, ·) = Au(t, ·) + F (t, ut (θ, ·)) với t ≥ 0, dt  u0 (θ, ·) = φ(θ, ·) ∈ C với θ ∈ [−r, 0] với F : R × C → X xác định −α|t| ln(1 + |(φ(θ))(x)|)dθ, F (t, φ)(x) = b e x ∈ [0, π] −r Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có π |F (t, φ)(x)|2 dx π = |b| e−α|t| ln(1 + |(φ(θ))(x)|)dθ π ≤ |b| e−α|t| ln (1 + |(φ(θ))(x)|)dx −r 0 π ≤ |b| e−α|t| |(φ(θ))(x)|2 dx −r = |b| e−α|t| φ(θ) −r 69 dx −r 0 2 dθ < ∞ dθ dθ Do đó, F (t, φ)(·) ∈ X Mặt khác, thấy (xem [19, Chương II]) A sinh nửa nhóm chỉnh hình (etA )t≥0 phổ A có dạng σ(A) = {−12 + a, −22 + a, , −n2 + a, } Theo định lý ánh xạ phổ cho nửa nhóm chỉnh hình, ta có (etA )t≥0 nửa nhóm hyperbolic Do đó, họ tiến hoá (U (t, s))t≥s sinh A (tức U (t, s) := e(t−s)A ) có nhị phân mũ với số nhị phân N, ν Tương tự Ví dụ 3.2.2, thấy F ϕ-Lipschitz với ϕ(t) = |b|re−α|t| ∈ E = Lp (R) với p ≥ Trong không gian Lp (R) số N1 , N2 Định nghĩa 1.2.2 Chúng ta có t+1 Λ1 ϕ(t) = ϕ(τ )dτ t Do đó, Λ1 ϕ ∞ ≤ 2|b|r Theo Định lý 3.3.6, α |b|r e−νr (1 − e−ν ) ≤ α 4N (1 + H)(1 + N eνr ) tồn đa tạp khơng ổn định bất biến U cho nghiệm đủ tốt phương trình (3.31) Kết luận Chương Trong chương này, kết Định lý 3.1.6, 3.1.7, 3.2.1, 3.3.5, 3.3.6, 3.3.8 Các kết đạt là: • Đưa điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định, không ổn định, tâm ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng với giả thiết họ tiến hố có nhị phân mũ tam phân mũ phần phi tuyến thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz Các nghiệm đa tạp ổn định hút với tốc độ giảm cấp mũ, nghiệm đa tạp tâm ổn định hút với tốc độ hút bị chặn hàm mũ với số mũ dương, nghiệm đa tạp không ổn định hút với tốc độ giảm cấp mũ theo chiều âm Hơn nữa, đưa điều kiện đủ để đa tạp khơng ổn định có tính hút • Đưa số ví dụ minh hoạ cho kết đạt nhằm khẳng định điều kiện đưa kiểm tra áp dụng vào mơ hình (phương trình) thích hợp Cùng ví dụ (chẳng hạn Ví dụ 3.3.9), việc điều chỉnh tham số phương trình thu kết Định lý 70 Về mặt hình học, hình dung đa tạp xây dựng cách ghép mặt cong với theo thời gian t mà lát cắt đa tạp thời điểm t đồ thị ánh xạ Lipschitz đồ thị vẽ không gian pha C Khi xét tồn đa tạp ổn định, không ổn định, tâm ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, khó khăn cần vượt qua khác biệt không gian pha, họ tiến hố xác định khơng gian Banach X đa tạp xây dựng C Để khắc phục, chúng tơi xây dựng tốn tử chiếu C thơng qua họ tiến hố toán tử chiếu tuơng ứng với họ tiến hoá họ tiến hố có nhị phân mũ tam phân mũ Khi xét họ tiến hố có tam phân toàn đường thẳng, điều kiện đủ cho tồn đa tạp tâm không ổn định với cách chứng minh tương tự Định lý tồn đa tạp tâm ổn định Điểm kết luận án mở rộng điều kiện đặt lên hàm phi tuyến, cụ thể hàm phi tuyến thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz với hàm ϕ thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Khi đó, điều kiện số Lipschitz đủ bé thay trung bình tích phân hệ số Lipschitz đủ bé Các kết Chương viết báo [1, 2] thuộc Danh mục cơng trình khoa học tác giả 71 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu tồn đa tạp tích phân dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trình đạo hàm riêng Những kết luận án đạt là: • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp tâm ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp không ổn định phương trình vi phân nửa tuyến tính, đa tạp khơng ổn định có tính chất hút cấp mũ quỹ đạo nghiệm phương trình vi phân nửa tuyến tính • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, nghiệm đa tạp hút cấp mũ • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp tâm ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn đa tạp khơng ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, đa tạp khơng ổn định có tính chất hút cấp mũ quỹ đạo nghiệm phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, tâm ổn định, khơng ổn định cho phương trình vi phân hàm trung tính • Nghiên cứu tồn đa tạp qn tính cho phương trình vi phân nửa tuyến tính với tốn tử tuyến tính khơng autonomous • Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân thuộc lớp E cho phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 72 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N.T Huy, T.V Duoc (2014), "Integral manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on a half-line", J Math Anal Appl., 411, pp 816-828 [2] N.T Huy, T.V Duoc (2014), "Unstable manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on the whole line", Vietnam J Math., DOI 10.1007/s10013-014-0070-6 [3] N.T Huy, T.V Duoc (2012), "Integral manifolds and their attraction property for evolution equations in admissible function spaces", Taiwanese J Math., 16, pp 963-985 [4] N.T Huy, T.V Duoc (2010), "Robustness of dichotomy of evolution equations under admissible perturbations on a half-line", International J Evol Eq., 3, pp 57-72 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] B Aulbach, N.V Minh (1996), "Nonlinear semigroups and the existence and stability of semilinear nonautonomous evolution equations", Abstr Appl Anal., 1, pp 351 - 380 [2] C.T Anh, L.V Hieu, N.T Huy (2013), "Inertial manifolds for a class of nonautonomous semilinear parabolic equations with finite delay", Discrete and continuous Dyn Systems, 33, pp 483-503 [3] L Barreira, C Valls (2005), "Center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic diffeomorphisms", J Math Pures Appl., 84, pp 1693-1715 [4] L Barreira, C Valls (2005), "Smoothness of invariant manifolds for nonautonomous equations", Comm Math Phys., 259, pp 639-677 [5] L Barreira, C Valls (2005), "Higher regularity of invariant manifolds for nonautonomous equations", Nonlinearity, 18, pp 2373-2390 [6] L Barreira, C Valls (2006), "Stable manifolds for nonautonomous equations without exponential dichotomy", J Differential Equations, 221, pp 58-90 [7] L Barreira, C Valls (2006), "Smooth invariant manifolds in Banach spaces with nonuniform exponential dichotomy", J Funct Anal., 238, pp 118-148 [8] L Barreira, C Valls (2007), "Smooth center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic trajectories", J Differential Equations, 237, pp 307-342 [9] P Bates, C Jones (1989), "Invariant manifolds for semilinear partial differential equations", Dyn Rep., 2, pp - 38 [10] A Ben-Artzi, I Gohberg (1992), "Dichotomies of systems and invertibility of linear ordinary differential operators", Oper Theory Adv Appl., 56, pp 90-119 74 [11] A Ben-Artzi, I Gohberg, M.A Kaashoek (1993), "Invertibility and dichotomy of differential operators on a half-line", J Dyn Diff Eq., 5, pp 1-36 [12] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1963), "The method of integral manifolds in nonlinear mechanics", Contributions to Differential Equations, 2, pp 123-196 [13] L Boutet de Molvel, I.D Chueshov, A.V Rezounenko (1998), "Inertial manifolds for retarded semilinear prabolic equations", Nonlinear Anal., 34, pp 907-925 [14] J Carr (1981), Applications of Centre Manifold Theory, Applied Mathematical Sciences 35, Springer-Verlag, New York-Berlin [15] C Chicone (1999), Ordinary Differential Equations with Applications, SpringerVerlag [16] I.D Chueshov (1995), "Approximate inertial manifolds of exponential order for semilinear parabolic equations subjected to additive white noise", J Dyn Diff Eq., 7, pp 549-566 [17] I.D Chueshov, M Scheutzow (2001), "Inertial manifolds and forms for stochastically perturbed retarded semilinear parabolic equations", J Dyn Diff Eq., 13, pp 355-380 [18] Ju L Daleckii, M.G Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Transl Amer Math Soc Provindence RI [19] K.J Engel, R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Text Math 194, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg [20] C Foias, G.R Sell, R Temam (1988), "Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations", J Differential Equations, 73, pp 309-353 [21] D Henry (1981), Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer, Berlin [22] N Hirsch, C Pugh, M Shub (1977), Invariant Manifolds, Lecture Notes in Math, Springer, New York [23] N.T Huy (2013), "Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations", J Differential Equations, 254, pp 2638 - 2660 [24] N.T Huy (2012), "Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces", J Math Anal Appl., 386, pp 894–909 75 [25] N.T Huy (2009), "Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line", J Math Anal Appl., 354, pp 372 - 386 [26] N.T Huy (2009), "Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations", J Differential Equations, 246, pp 1820-1844 [27] N.T Huy (2006), "Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line", J Funct Anal., 235, pp 330 - 354 [28] N.T Huy (2004), "Exponentially dichotomous operators and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line", Integral Equations and Operator Theory, 48, pp 497-510 [29] N.T Huy (2004), "Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past", J Math Anal Appl., 289, pp 301-316 [30] N.T Huy, P.V Bang (2012), "Hyperbolicity of solution semigroups for linear neutral differential equations", Semigroup Forum, 84, pp 216–228 [31] N.T Huy, N.V Minh (2001), "Exponential dichotomy of difference equations and application to evolution equations on the half-line", Computer and Mathematics with Appl., 42, pp 301-311 [32] N.T Huy, R Nagel (2012), "Exponentially dichotomous generators of evolution bisemigroups on admissible function spaces", Houston J Math., 2, pp 549-569 [33] B.M Levitan, V.V Zhikov (1978), Almost Periodic Functions and Differential Equations, Moscow Univ Publ House, English tranl by Cambrige University Press, 1982 [34] J Mallet-Paret, G.R Sell (1988), "Inertial manifolds for reaction–diffusion equations in higher space dimensions", J Amer Math Soc., 1, pp 805-866 [35] R Martin (1976), Nonlinear Operators and Differential Equations in Banach Spaces, Wiley Interscience, New York [36] J.J Massera, J.J Schăaffer (1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York [37] M Miklavcic (1991), "A sharp condition for existence of an inertial manifold", J Dyn Diff Eq., 3, pp 437-456 76 [38] N.V Minh, N.T Huy (2001), "Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line", J Math Anal Appl., 261, pp 28-44 [39] N.V Minh, F Răabiger, R Schnaubelt (1998), "Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line", Integral Equations Operator Theory, 32, pp 332 - 353 [40] N.V Minh, J Wu (2004), "Invariant manifolds of partial functional differential equations", J Differential Equations, 198, pp 381 - 421 [41] J.D Murray (2002), Mathematical Biology I: An Introduction, Springer-Verlag Berlin [42] J.D Murray (2003), Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Springer-Verlag Berlin [43] R Nagel, G Nickel (2002), "Well-posedness for non-autonomous abstract Cauchy problems", Progr Nonlinear Differential Equations Appl., 50, pp 279 - 293 [44] A Pazy (1983), Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin [45] F Răabiger, R Schnaubelt (1996), "The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions", Semigroup Forum, 48, pp 225 239 [46] R Schnaubelt (2001), "Asymptotically autonomous parabolic evolution equations", J Evol Eq., 1, pp 19-37 [47] G.R Sell, Y You (2002), Dynamics of Evolutionary Equations, Springer Verlag, New York [48] J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer Verlag [49] A Yagi (2009), Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer Verlag Tiếng c ă [50] O Perron (1929), "Uber stabilităat und asymptotisches verhalten der integrale von differentialgleichungssystemen", Math Z., 29, No 1, pp 129160 77 [51] O Perron (1930), "Die stabilităatsfrage bei differentialgleichungen", Math Z., 32, pp 703–728 Tiếng Pháp [52] J Hadamard (1923), "Sur l’intération et les solutions asymptotiques des equations différentielles", Bull Soc Math France, 29, pp 224-228 78 ... 26 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40 3.1 Đa tạp ổn định phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 41 3.2 Đa tạp tâm ổn định phương trình vi phân hàm đạo... định tính nghiệm phương trình vi phân tìm hiểu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định đa tạp tâm (ổn định, không ổn định) Việc nghiên cứu tồn đa tạp tích phân thu hút... phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Để đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến phần tuyến tính (tức họ toán tử (A(t))t∈I ) sinh họ tiến hố có nhị phân