Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chun ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 9460101.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy PGS.TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy PGS.TS Đặng Đình Châu Các kết luận án hoàn toàn trung thực Tất tham khảo trích dẫn tham chiếu đầy đủ Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2020 Nghiên cứu sinh Lê Anh Minh MỤC LỤC Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 13 1.1 Các đánh giá nhị phân 13 1.2 Không gian hàm Banach 17 Chương Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 2.1 Về tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa cấp hai 2.2 23 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận số lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 2.3 23 31 Đa tạp quán tính chấp nhận phương trình Fisher Kolmogorov Chương 47 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn 51 3.1 Về khơng gian pha cho phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 51 3.2 Sự tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa có trễ vơ hạn 3.3 52 Đa tạp quán tính chấp nhận phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ vơ hạn dạng phân phối 68 Kết luận Kiến nghị 73 Những kết đạt 73 Đề xuất số hướng nghiên cứu 73 Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 74 Tài liệu tham khảo 75 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU D (A) miền xác định toán tử A Aβ lũy thừa bậc β toán tử A Xβ miền xác định toán tử Aβ λN trị riêng thứ N toán tử A eN P hàm (vector) tương ứng với trị riêng λN λN +1 + λN xác định γ = λN +1 − λN xác định α = phép chiếu X lên span {ek : k = 1, 2, , N } Id toán tử đồng G(t, τ ) hàm Green (xem (1.5)) χ[a,b] hàm đặc trưng eα ký hiệu hàm số eα (t) = e−α|t| , ∀t ∈ R Λ1 Λ1 : E → E xác định (Λ1 ϕ)(t) = γ α t ϕ(τ )dτ t−1 E không gian hàm Banach (xem Định nghĩa 1.6) E không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach E (xem Định nghĩa 1.7) Cβ không gian Bannach hàm liên tục [−r, 0], nhận giá trị Xβ (xem (2.19)) Cgβ không gian Bannach hàm liên tục (−∞, 0], Aβ φ(θ) nhận giá trị Xβ cho sup < +∞ g(θ) θ R(λ, A) toán tử giải toán tử A ρ(A) tập giải toán tử A σ(A) tập phổ toán tử A I tập tập số thực R · Cβ xác định φ Cβ Aβ φ(θ) , ∀φ ∈ Cβ = sup θ∈[−r,0] · β Cg xác định φ β Cg = sup θ Aβ φ(θ) , ∀φ ∈ Cgβ g(θ) hàm lịch sử xác định bởi: ut ut (θ) = u(t + θ), ∀θ ∈ [−r, 0] trường hợp trễ hữu hạn, ut (θ) = u(t + θ), ∀θ trường hợp trễ vơ hạn số trễ r Pˆ tốn tử chiếu Cβ xác định (Pˆ φ)(θ) = e−θA P φ(0), ∀φ ∈ Cβ E γ,t0 ,β không gian Banach gồm tất hàm đo mạnh h : (−∞, t0 ] → Xβ cho e−γ(t0 −·) Aβ h(·) ∈ β E(−∞,t với chuẩn h 0] γ,β := e−γ(t0 −·) Aβ h(·) β u∗ quỹ đạo rút gọn u đa tạp L+ γ,s khơng gian tuyến tính bao gồm hàm v(·) nhận giá trị Xβ , liên tục [s − r, +∞) cho sup eγ(t−s) Aβ v(t) < +∞ t s−r · s,+ chuẩn không gian L+ γ,s xác định v sup eγ(t−s) Aβ v(t) , ∀v ∈ L+ γ,s t s−r s,+ = MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu tồn đa tạp qn tính tốn lý thuyết định tính hệ động lực Trong thời gian gần xuất phát từ u cầu mơ hình ứng dụng, toán thường xét phạm vi khái quát nhận nhiều kết thú vị Trong luận án chúng tơi xét tốn tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho phương trình tiến hóa, tương ứng với số dạng phương trình vi phân khơng gian Hilbert Năm 1985, [60] (xem thêm [23]), Foias, Sell Temam xét lớp phương trình tiến hóa phi tuyến dạng du + Au + R(u) = 0, dt (1) A tốn tử tuyến tính, không bị chặn, tự liên hợp không gian Hilbert tách X với miền xác định D (A) trù mật X Hơn nữa, giả sử A xác định dương, với A−1 compact Khi đó, tồn sở trực chuẩn {en }n X bao gồm hàm riêng A, Aen = λn en với giá trị riêng thỏa mãn < λ1 λ2 · · · , λn → ∞ n → ∞ Phần phi tuyến R : X → X liên tục Lipschitz địa phương Giả sử tồn số dương ρ0 , ρ1 , ρ2 cho lim sup u(t) t→∞ ρ20 , lim sup A1/2 u(t) t→∞ ρ21 , lim sup Au(t) t→∞ ρ22 (2) Gọi S(t) : u(0) → u(t) nửa nhóm tốn tử xác định nghiệm phương trình (1) Lưu ý rằng, từ (2) ta nghiệm tùy ý S(t)u0 phương trình (1) thuộc vào cầu tâm 0, bán kính ρ0 ln lại cầu Tiếp theo, giả sử θ : R+ → [0, 1]      θ(s) = tùy ý     cho |θ (s)| với s hàm trơn cho trước xác định s < s < s Foias, Sell Temam cố định ρ = 2ρ2 xét phương trình "modified" phương trình (1) dạng du + Au + θρ (|Au|) R(u) = dt (3) với θρ (s) := θ (s/ρ) , với s Khi đó, tác giả S(t)u0 nghiệm phương trình (3) ứng với điều kiện ban đầu u(0) = u0 ∈ X thỏa mãn |AS(t)u0 | ρ với t S(t)u0 nghiệm phương trình (1) Hơn nữa, tác giả đưa khái niệm đa tạp quán tính cho phương trình (3) sau ([23, p.320]): Một tập M ⊆ X gọi đa tạp quán tính phương trình (3) ba tính chất sau thỏa mãn (i) M đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều; (ii) M bất biến, nghĩa S(t)M ⊆ M với t 0; (iii) M hút cấp mũ nghiệm phương trình (3) theo nghĩa dist (S(t)u0 , M ) → 0, t → ∞ Lưu ý, từ điều kiện (2) t đủ lớn quỹ đạo nghiệm thuộc đa tạp hoàn tồn nằm hình cầu tâm 0, bán kính ρ Hay nói cách khác quỹ đạo chúng bị chặn Như vậy, đa tạp quán tính tồn cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Việc nghiên cứu mang lại kết quan trọng nội toán học, mà đem đến ứng dụng thực tế đầy ý nghĩa Sự tồn đa tạp quán tính chứng minh chi tiết số lớp phương trình vi phân, chẳng hạn: số dạng điều chỉnh phương trình Navier - Stokes [24, 58], phương trình Boussinesq trung bình [4], phương trình hyperbolic [2, 7, 8, 25, 48], phương trình Moore-Greitzer [15], phương trình Cahn-Hilliard [36], phương trình Smoluchowski [53, 54], mơ hình Leray-α [35, 38], mơ hình thú mồi [32], mơ hình FitzHugh-Nagumo [45], phương trình vi phân đạo hàm riêng tổng quát [6, 16, 30], phương trình phản ứng khuếch tán, tiêu hao [37, 50, 59], phương trình nửa tuyến tính dạng tổng qt [11, 28, 34], phương trình trung tính [31] Khái niệm đa tạp quán tính thay đổi mở rộng cho số nhiều lớp phương trình vi phân tổng quát, chẳng hạn: phương trình vi phân khơng autonomous [33], phương trình vi phân đạo hàm riêng có trễ [1, 2, 44] hay phương trình vi phân ngẫu nhiên [3, 5, 10, 13, 14, 18, 51, 55], đa tạp quán tính cho hệ rời rạc [47, 57], đa tạp qn tính cho phương trình parabolic có xung [56] số kết khác Trong đó, tác giả sử dụng phương pháp sau ❼ Phương pháp Hadamard (hay gọi phương pháp biến đổi đồ thị) (chẳng hạn [17, 40]) ❼ Phương pháp Lyapunov - Perron (dựa công thức biến thiên số) (chẳng hạn [9, 23, 52]) ❼ Phương pháp quy elliptic (chẳng hạn [19, 22]) Ta nhận thấy điểm chung tất kết quỹ đạo nghiệm nằm mặt Lipschitz đa tạp quán tính sau co giãn Như vậy, Aβ q¯(0) ¯ s Φs (P u(s)) − Qu N1 λβN eα n + 1− n β β + β Cg e−λN θ e−γθ sup sup θ g(θ) θ g(θ) ¯ s Φs (P u(s)) − Qu N1 λ2β N eα n + 1− n β β w s β Cg ∞ e−λN θ e−γθ sup sup θ g(θ) θ g(θ) β eγ(s−τ ) Aβ G(s, τ ) ϕ(τ )dτ s,+ + β Cg ¯ s Φs (P u(s)) − Qu N1 λ2β N eα n + 1− n β ∞ w e−α(τ −s) ϕ(τ )dτ s,+ s + e−λN θ sup θ g(θ) e−γθ sup θ g(θ) N2 Λ1 ϕ − e−α (3.26) ∞ w s,+ Hơn nữa, +∞ eγ(t−τ ) Aβ G(t, τ ) ϕ(τ )dτ s +∞ t eγ(t−τ ) Aβ G(t, τ ) ϕ(τ )dτ + −∞ t t β t−τ β β t−τ β −∞ t−1 e −α(t−τ ) N1 λβN +1 + N2 λβN ϕ(τ )dτ + Λ1 ϕ − e−α t e −α(t−τ ) β t−τ ϕ(τ )dτ + −∞ + eγ(t−τ ) Aβ G(t, τ ) ϕ(τ )dτ ∞ β e−α(t−τ ) ϕ(τ )dτ t−1 N1 λβN +1 + N2 λβN − e−α Λ1 ϕ ∞ N1 β β + N1 λβN +1 + N2 λβN Λ1 ϕ − e−α ∞+β 1−β 2β 1+β 1+β Λ1 ϕ 1−β 1−β 1+β ∞ (3.27) 66 Thay (3.26) (3.27) vào (3.25) ta eγ(t−s) Aβ (U w)(t) ¯ s Φs (P u(s)) − Qu β Cg + w ∀t s,+ , s (3.28) Suy Uw := sup eγ(t−s) Aβ (U w)(t) s,+ t s ¯ s Φs (P u(s)) − Qu β Cg + w s,+ < +∞, với định nghĩa (3.16) + + Như vậy, U : Lγ,s → Lγ,s Mặt khác, từ R (t, wt1 )− R (t, wt2 ) ϕ(t)·sup θ e−γθ −γ(t−s) ·e w −w2 g(θ) s,+ , + ∀w1 , w2 ∈ Lγ,s , ta có eγ(t−s) Aβ ((U w1 )(t) − (U w2 )(t)) eγ(t−s) e−(t−s)A Aβ (¯ q1 (0) − q¯2 (0)) +∞ eγ(t−s) Aβ G(t, τ ) R (τ, wτ1 ) − R (τ, wτ2 ) dτ + s e−γθ β A (¯ q1 (0) − q¯2 (0)) + sup · w1 − w2 g(θ) θ Aβ (¯ q1 (0) − q¯2 (0)) + w1 − w2 +∞ eγ(t−s) Aβ G(t, τ ) ϕ(τ )dτ s,+ s s,+ (3.29) + + hay, U : Lγ,s → Lγ,s ánh xạ co < Như vậy, tồn + w ∈ Lγ,s cho U (·, w) = w Từ cách xác định U cho thấy w + nghiệm thuộc Lγ,s phương trình (3.24) với t + (3.28) với w ∈ Lγ,s ta có w ¯ s Φs (P u(s)) − Qu s,+ 1− 67 β Cg s Hơn nữa, từ Mặt khác từ định nghĩa w, ta suy tồn nghiệm u∗ = u − w phương trình (3.3) cho u∗t ∈ Mt với t s, u∗ thỏa mãn Aβ [u∗t (θ) − ut (θ)] = Aβ w(t + θ) e−γθ · e−γ(t−s) w e −γθ · s,+ ¯ s Φs (P u(s)) − Qu β Cg 1− e−γ(t−s) , ∀t s Từ đó, suy ut − u∗t với β Cg H e−γ(t−s) , ∀t ¯ s e−γθ Φs (P u(s)) − Qu H := sup · 1− θ g(θ) s β Cg Kết luận, M hút nghiệm u phương trình (3.3) với cấp độ mũ Nhận xét 3.2 Theo cách xác định , điều kiện (3.17) thỏa mãn λN +1 − λN đủ lớn, và/hoặc chuẩn Λ1 ϕ 3.3 ∞ = supt∈R t t−1 ϕ(τ )dτ đủ nhỏ Đa tạp quán tính chấp nhận phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ vơ hạn dạng phân phối Trong phần này, ta áp dụng kết cho lớp phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ vơ hạn dạng phân phối  ∂ w(t, x) ∂w(t, x)  −θ2 +θ |w(t + θ, x)|  = − rw(t, x) + a(t) e dθ    ∂t ∂x2 + |w(t + θ, x)| −∞     t > s, < x < π    w(t, 0) = w(t, π) = 0, t ∈ R      w(s + θ, x) = φ(θ, x), x π, θ 0, s ∈ R, (3.30) r > số, a(t) hàm số cho công thức  1   n t ∈ n − n+c , n + n+c với n = 1, 2, 2 a(t) =   trường hợp lại 68 Chọn X = L2 (0, π) xét toán tử A : X ⊃ D (A) → X xác định Au = −u + ru, ∀u ∈ D (A) = H01 (0, π) ∩ H (0, π) Khi đó, A thỏa mãn Giả thiết với σ(A) = 12 + r, 22 + r, · · · , n2 + r, · · · Tiếp theo, ta chọn g(θ) = eθ β = Khi X0 = X Lúc này, ta định nghĩa không gian Banach Cg0 = φ ∈ C((−∞, 0]; X) : sup θ φ(θ) < +∞ , eθ với chuẩn φ Cg0 φ(θ) , eθ := sup θ định nghĩa toán tử R : R × Cg0 → X R(t, φ) := a(t) e−s +s φ(s) ds, ∀φ ∈ Cg0 + φ(s) −∞ Khi đó, với φ1 , φ2 ∈ Cg0 tùy ý, ta có R(t, φ1 ) − R(t, φ2 ) e−s a(t) −∞ es a(t) +s [φ1 (s) − φ2 (s)] ds φ1 (s) − φ2 (s) ds e s2 −∞ a(t) φ1 − φ2 es ds Cg0 −∞ a(t) φ1 − φ2 Dễ thấy, R(t, φ) a(t)(1 + φ Cg0 ), Cg0 ∀φ ∈ Cg0 Như vậy, R ϕ-Lipschitz với ϕ(t) = a(t) 69 Tính tốn đơn giản, ta có λ2 N +1 e−λN +1 θ e−λN +1 θ = e sup = sup