Tiểu luận tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic

Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phươngtrình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử này đã được nghiên cứu gầnđây trong cả trường hợp ôtônôm và không ôtônôm xem, chẳn

cổ điển, nhiều lớp phương trình parabolic xuất hiện trong hóa học, sinh học vàtrong cơ học chất lỏng Nghiên cứu tính điều khiển được của các phương trìnhparabolic đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong khoảng haithập niên gần đây Sau những nghiên cứu tiên phong của Fursikov và Imanu-vinov [37, 43], Lebeau và Robbiano [46] bằng công cụ ước lượng Carleman,

đã có nhiều tiến bộ trong việc tìm hiểu về các tính chất điều khiển được củacác phương trình parabolic không suy biến với các hệ số biến thiên Các kết

quả này cũng được mở rộng cho các bài toán parabolic nửa tuyến tính trong[29, 31, 32, 33, 34, 70, 71] Các kết quả đạt được đều dựa trên công cụ chính làbất đẳng thức Carleman cho nghiệm của bài toán liên hợp tương ứng Các bấtđẳng thức Carleman được thiết lập khi này yêu cầu phần chính của phươngtrình là toán tử elliptic đều, miền bị chặn và không có thế vị kì dị Bên cạnh

đó, tính điều khiển được của các phương trình parabolic đều trong miền không

bị chặn cũng đã được nghiên cứu trong [18, 38, 55] Có thể nói ngày nay líthuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic đều đã khá hoànthiện trong cả trường hợp tuyến tính và nửa tuyến tính

Trong khoảng một thập kỉ trở lại đây, tính điều khiển được của phươngtrình parabolic suy biến, không có hoặc có thế vị kì dị, đã được nghiên cứubởi nhiều nhà toán học Những nghiên cứu này được thúc đẩy bởi nhiều bàitoán vật lí khác nhau như mô hình tầng lớp biên [17], các mô hình di truyền

quần thể cá, các mô hình khí hậu Bydyko-Sellers, Tuy nhiên, hầu hết các

kết quả đạt được hiện tại chủ yếu trong trường hợp một chiều (xem [2, 19, 20,

23, 24, 35, 36, 52, 53, 62] và các tài liệu trích dẫn trong đó), trong khi mớichỉ có rất ít kết quả điều khiển được trong trường hợp nhiều chiều, chủ yếu là

trường hợp hai chiều đối với phương trình parabolic chứa toán tử div(A(x) ∇u)

với A(x) là ma trận vuông cấp hai đối xứng [25], phương trình parabolic chứa

toán tử Grushin [12], phương trình Kolmogorov [11, 45], và một lớp phươngtrình suy biến nhiều chiều với số hạng đối lưu [65, 66, 67] Ngoài ra, các kếtquả về tính điều khiển được của các phương trình suy biến/kì dị nửa tuyếntính vẫn còn rất ít Đây đang là những vấn đề thời sự thu hút được sự quantâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Chúng tôi sẽchọn những vấn đề này làm đề tài nghiên cứu trong luận án tiến sĩ của mình

2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Như đã đề cập đến trong phần Lí do chọn đề tài, việc nghiên cứu tính điềukhiển được của các phương trình parabolic suy biến hoặc có thế vị kì dị trongtrường hợp nhiều chiều hoặc trong trường hợp nửa tuyến tính đang là vấn đềthời sự hiện nay Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu theohướng nghiên cứu này:

Một trong những lớp phương trình suy biến nhiều chiều được nghiên cứumạnh trong vài năm gần đây là lớp phương trình chứa toán tử Grushin

G s u = ∆ x u + |x| 2s∆y u, s ≥ 0.

Toán tử này được đưa ra đầu tiên bởi Grushin trong [41] Chú ý rằng G0 = ∆

là toán tử Laplace, và G s khi s > 0, không là elliptic trong những miền có giao với mặt x = 0 Đây là ví dụ điển hình cho lớp toán tử hypoelliptic, nhưng

không là elliptic Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phươngtrình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử này đã được nghiên cứu gầnđây trong cả trường hợp ôtônôm và không ôtônôm (xem, chẳng hạn, [4, 5, 7]).Tính điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin đượcnghiên cứu đầu tiên trong trường hợp hai chiều bởi Beauchard, Cannarsa vàGuglielmi [12] Xem thêm kết quả gần đây trong [14] Tuy nhiên, tính điềukhiển được của lớp phương trình này trong trường hợp nhiều chiều vẫn cònnhiều vấn đề mở

Một lớp phương trình parabolic rất được quan tâm khác là lớp phương

trình parabolic chứa toán tử Laplace với thế vị kì dị: A µ = −∆ − µ/|x|2 Cáckết quả về tính đặt đúng của bài toán cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm của

phương trình parabolic chứa tử A µ đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học(xem [8, 9, 16, 64] và các tài liệu trích dẫn trong đó) Trong khi đó, tính điềukhiển được của phương trình parabolic chứa toán tử này đã nhận được trongcác công trình của Vancostenoble-Zuazua [63] và Ervedoza [30] cho trường hợp

kì dị ở bên trong miền, và Cazacu [26] cho trường hợp kì dị ở trên biên Gầnđây, trong trường hợp hai chiều, tính điều khiển được xấp xỉ cho phương trình

parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị µ/ |x|2 đã được nghiên cứu bởiMorancey [56] nhờ tính chất thác triển duy nhất của toán tử tương ứng Hơnnữa, trong [21], các tác giả đã chứng minh tính điều khiển được về 0 khi thờigian đủ lớn cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị

µ/ |x|2 khi s = 1 và miền không gian là (0, 1) × (0, 1), tức là, với suy biến và kì

dị ở trên biên Như đã đề cập trong [21, 56], tính điều khiển được về 0 là vấn

đề hoàn toàn mở khi có suy biến và thế vị kì dị ở bên trong miền

Xét toán tử parabolic suy biến và có thế vị kì trong trường hợp một chiều:

cục (với mọi λ ∈ R) nếu β < 2 nhưng trái lại thì nghiệm bùng nổ hoàn toàn

(với mọi giá trị của λ) nếu β > 2 Do đó, số mũ β = 2 là số mũ tới hạn Điều

đó cho thấy trường hợp có thế vị λ/ |x|2 thực sự thú vị Khi số mũ là tới hạn,

tức là khi β = 2, giá trị của tham số λ sẽ quyết định dáng điệu nghiệm của

phương trình Thật vậy, cũng trong [9] đã chỉ ra rằng nghiệm dương tồn tại

toàn cục khi λ ≤ 1/4 và nghiệm bùng nổ hoàn toàn khi λ > 1/4 Giá trị tới

hạn 1/4 của tham số λ là giá trị tối ưu trong bất đẳng thức Hardy

∫ 1 0

u2x dx ≥ 1

4

∫ 1 0

u2

x2dx với mọi u ∈ H1

Trong trường hợp toán tử (1) không có kì dị (β = 0), tính điều khiển được về

0 khi α ∈ [0, 2), (khi α ≥ 2, tính không điều khiển được về 0 được chứng minh

trong [22]), được chứng minh trong [24] mà công cụ chính là đi thiết lập ướclượng Carleman dựa trên bất đẳng thức Hardy sau

vị λ/x β là β = 2 −α khi α ̸= 0 Điều này dẫn đến khi xét toán tử P phải có giả

thiết β ≤ 2 − α Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng β > 0 vì khi β ≤ 0,

thế vị không còn kì dị và kết quả tính điều khiển được có ngay được từ [24] Như

trong trường hợp α = 0, giá trị tới hạn của tham số λ khi β = 2 − α được cho

bởi hằng số tối ưu trong (3), tức là λ(α) = (1 − α)2/4 Do vậy, toán tử P được

nghiên cứu với các giả thiết λ ≤ λ(α) trong trường hợp tới hạn β = 2 − α, và

không cần điều kiện của λ trong trường hợp dưới tới hạn, tức là khi β < 2 − α.

Các kết quả về tính điều khiển được của lớp phương trình parabolic mộtchiều tuyến tính/nửa tuyến tính suy biến không có thế vị kì dị đã được nghiêncứu trong [2, 19, 20, 23, 24, 52, 53] Trong trường hợp suy biến và có thế vị

kì dị (toán tử cho bởi (1)), tính điều khiển được về 0 mới được Vancostenoble[62] nghiên cứu cho trường hợp tuyến tính Tính điều khiển được trong trườnghợp nửa tuyến tính vẫn hoàn toàn mở

Từ những phân tích ở trên, chúng ta thấy rằng bên cạnh những kết quảđạt được, tính điều khiển được của các phương trình tiến hóa kiểu parabolicsuy biến hoặc có thế vị kì dị vẫn còn nhiều vấn đề mở Nói riêng, những vấn

đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:

• Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử

Grushin trong trường hợp nhiều chiều

• Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử

Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy µ/ |x|2 trong trường hợp nhiều chiều

• Tính điều khiển được của phương trình parabolic một chiều suy biến với

thế vị kì dị trong trường hợp nửa tuyến tính.

Khi nghiên cứu tính điều khiển được của phương trình parabolic tuyến tínhthì tính điều khiển được chính xác thường không đạt được do hiệu ứng trơncủa nghiệm so với dữ kiện ban đầu Hơn nữa tính điều khiển được về 0 kéo theotính điều khiển được xấp xỉ của hệ Do vậy trong luận án này chúng tôi chỉtập trung vào việc nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của những lớp phươngtrình trên Ngoài ra, chúng tôi cũng chỉ xét bài toán khi điều khiển có giá bêntrong miền Bài toán điều khiển biên đối với lớp phương trình parabolic suybiến/kì dị là một vấn đề rất phức tạp và mới chỉ có một vài kết quả gần đây[15, 40]

Chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của luận án

tiến sĩ: "Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic".

3 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

• Mục đích luận án: Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình

parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp nhiều chiều, phươngtrình parabolic chứa toán tử Grushin có thế vị kì dị trong trường hợpnhiều chiều, phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến

có thế vị kì dị

• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán điều khiển đối với lớp phương trình

parabolic chứa toán tử Grushin không có hoặc có thế vị kì dị trongtrường hợp nhiều chiều và lớp phương trình parabolic một chiều nửatuyến tính suy biến có thế vị kì dị

• Phạm vi nghiên cứu:

◦ Nội dung 1: Bài toán điều khiển được đối với phương trình parabolic

chứa toán tử Grushin trong miền nhiều chiều

◦ Nội dung 2: Bài toán điều khiển được đối với phương trình parabolic

chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy trong miền nhiềuchiều

◦ Nội dung 3: Bài toán điều khiển được đối với lớp phương trình

parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán tuyến tính, chúng tôi sử

dụng phương pháp duy nhất Hilbert (HUM): Tính điều khiển được củabài toán tuyến tính được đưa về tính quan sát được của bài toán liên hợptương ứng Sử dụng khai triển Fourier và bởi đẳng thức Bessel-Parseval,vấn đề này được đưa về tính quan sát được đều theo tần số của hệ sốFourier Bất đẳng thức quan sát được đều sẽ được thiết lập nhờ các bấtđẳng thức Carleman mới tương ứng và các đánh giá phù hợp của tốc độtán xạ

• Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến tính, chúng

tôi sử dụng phương pháp điểm bất động đề xuất bởi Zuazua: Kết hợptính điều khiển được của bài toán tuyến tính hóa tương ứng và các định

lí điểm bất động phù hợp (trong luận án sử dụng định lí Schauder)

5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đạt được những kết quả chính sau đây:

• Đối với bài toán điều khiển cho phương trình parabolic chứa toán tử

Grushin trong trường hợp nhiều chiều: Chứng minh được tính điều khiển

được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1) (suy biến yếu) Khi s = 1

(suy biến mạnh) ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thờigian điều khiển đủ lớn và tính không điều khiển được về 0 khi thời gian

điều khiển quá nhỏ Chứng minh được tính không điều khiển được về 0

khi s > 1 (suy biến quá mạnh).

• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ

lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế

vị kì dị µ/ |x|2 trong trường hợp nhiều chiều

• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình

parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị

Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việchoàn thiện lí thuyết điều khiển được đối với lớp phương trình parabolic suybiến không có/có thế vị kì dị

Các kết quả chính đạt được đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạpchí khoa học quốc tế uy tín (trong danh mục ISI) và đã được báo cáo tại:

• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 08/2013;

• Hội thảo quốc tế "On Equilibrium and Fixed Point Problems Theory

and Algorithms", Viện NCCC về Toán, Hà Nội, 25-26/08/2014;

• Hội thảo quốc tế "Some Selected Problems in Optimization and Control

Theory", Viện NCCC về Toán, Hà Nội, 04-07/02/2015;

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 23-25/04/2015;

• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội;

• Xêmina của Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm

Khoa học và Công nghệ Việt Nam;

• Xêmina của Bộ môn Toán ứng dụng và Tính toán khoa học, Khoa

Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và danhmục Tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một sốkiến thức chuẩn bị Chương 2 trình bày các kết quả tính điều khiển được về 0của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộpnhiều chiều Chương 3 trình bày tính điều khiển được về 0 khi thời gian đủ

lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì

dị kiểu Hardy bên trong miền trong trường hợp nhiều chiều Chương 4 trìnhbày tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiềunửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị, baogồm: Một số không gian hàm, lí thuyết điều khiển được cho các hệ tuyến tínhtrong không gian vô hạn chiều, một số bất đẳng thức thường dùng và một sốkết quả thường dùng

1.1 MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

1.1.1 Một số không gian hàm

Cho Ω là tập mở trong RN với biên ∂Ω Trong luận án này, chúng tôi có

sử dụng các không gian hàm quen thuộc sau (xem, chẳng hạn [1]):

• L p (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả

tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn

Chú ý rằng L p (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < + ∞;

Không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

• L ∞(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn

hầu khắp trên Ω với chuẩn

∥u∥∞ := esssup

Ω |u(x)|.

• H1(Ω) là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm u ∈ L2(Ω) sao cho

có đạo hàm suy rộng ∂u

∂x1, ,

∂u

∂x N ∈ L2(Ω) và có chuẩn được xác địnhbởi

0 (Ω) trong chuẩn của H1(Ω) Khi Ω là miền

bị chặn thì chuẩn của H01(Ω) thường dùng là

• H2(Ω) là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm u ∈ L2(Ω) có các

đạo hàm suy rộng D α u ∈ L2(Ω), |α| ≤ 2, và chuẩn xác định bởi

1.1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian

Với X là không gian Banach phản xạ với chuẩn ∥ · ∥X và T > 0, khi đó ta có

định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian như sau (xem [1]):

• C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u :

Khi đó L p (0, T ; X) là không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p <

+∞ Không gian đối ngẫu của L p (0, T ; X) là L q (0, T ; X ′ ) với 1/p+1/q =

1 và X ′ là không gian đối ngẫu của X.

• Với X là không gian Banach, ta định nghĩa H1(0, T ; X) là không gian Banach bao gồm các hàm u ∈ L2(0, T ; X) sao cho tồn tại đạo hàm suy rộng ∂ t u ∈ L2(0, T ; X) với chuẩn

(1.1)

Ở đó, u0 ∈ X cho trước, v là điều khiển; A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến

tính không bị chặn sinh ra nửa nhóm {S(t)}t ≥0 và B : U → V là các toán tử

xác định trong các không gian Banach sao cho hệ (1.1) đặt đúng

1.2.1 Một số định nghĩa

Ta quan tâm đến tính điều khiển được của (1.1) với các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1 Ta nói rằng hệ điều khiển (1.1) là điều khiển được chính

xác tại tại thời điểm T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi u0, u1 ∈ X , tồn tại hàm

điều khiển v ∈ L2(0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:

u(T ) = u1.

Định nghĩa 1.2 Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được chính xác đến quỹ

đạo tại thời điểm T > 0 nếu và chỉ nếu với mọi quỹ đạo u (nghiệm của (1.1) ứng với v và điều kiện ban đầu u(0) = u0 nào đó), mọi u0 ∈ X , tồn tại hàm

điều khiển v ∈ L2(0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:

u(T ) = u(T ).

Định nghĩa 1.3 Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được về 0 tại tại thời điểm

T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi u0 ∈ X , tồn tại hàm điều khiển v ∈ L2(0, T ; U)

sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:

u(T ) = 0.

Định nghĩa 1.4 Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được xấp xỉ tại thời điểm

T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi u0, u1 ∈ X , và mọi ε > 0, tồn tại hàm điều

khiển v ∈ L2(0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:

∥u(T ) − u1∥X < ε.

Nhận xét 1.1 Từ các định nghĩa trên ta có

• Hệ (1.1) điều khiển được chính xác thì sẽ điều khiển được chính xác đến

quỹ đạo, điều khiển được về 0 và điều khiển được xấp xỉ

• Hệ (1.1) điều khiển được chính xác tới quỹ đạo thì điều khiển được về 0.

Nhận xét 1.2 Nếu (1.1) là parabolic đều thì

• Tính điều khiển được chính xác của hệ (1.1) không đạt được vì hiệu ứng

trơn của nghiệm (nghiệm trơn hơn điều kiện ban đầu)

• Tính điều khiển được chính xác đến quỹ đạo của (1.1) tương đương với

tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1)

• Tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1) suy ra tính điều khiển được xấp

xỉ của (1.1)

Do đó trong lí thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolictuyến tính, người ta đặc biệt quan tâm đến bài toán điều khiển được về 0.

1.2.2 Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM)

Ta xét bài toán điều khiển (1.1) Để cho đơn giản ta giả sử X = L2, U =

L2(ω), V = L2, với ω là miền con mở khác rỗng của miền không gian tương

ứng

Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán (1.1), ta sử dụng phươngpháp duy nhất Hilbert (HUM) do J.-L Lions sử dụng đầu tiên vào năm 1988(xem [48, 49, 50])

Ta xét bài toán liên hợp của Bài toán (1.1):







−∂t φ − A ∗ φ = 0, φ(T ) = φ T ,

(1.2)

ở đây A ∗ là toán tử liên hợp của A.

Hệ (1.2) là hệ liên hợp của (1.1), bởi vì kết quả sau

Bổ đề 1.1 [39, Chương 1] Cho u là một nghiệm của (1.1) trong [0, T ] và φ

là một nghiệm của (1.2) trong [0, T ] Khi đó

[⟨u, φ⟩L2]T0 =

∫ T

0

⟨v(t), B ∗ φ(t) ⟩L2(ω) dt, với B ∗ là toán tử liên hợp của B.

Từ Bổ đề 1.1, ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.1 [39, Chương 1] Hàm v là điều khiển mà chuyển trạng thái của

hệ (1.1) từ trạng thái ban đầu u0 đến u1 ∈ L2 tại thời điểm T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi φ T ∈ L2, ta có

với φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φ T.

Bổ đề 1.2 [39, Chương 1] Nếu J có cực tiểu φ T , thì khi đó v := B ∗ φ, ở đó

φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φ T , là điều khiển mà chuyển trạng thái của

(1.1) từ trạng thái ban đầu u0 đến u1 tại thời điểm T > 0.

Định nghĩa 1.5 Ta nói rằng hệ liên hợp (1.2) quan sát được (trạng thái φ(0)

là quan sát được bởi B ∗ tại thời điểm T > 0) nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số

C > 0 sao cho với mọi φ T ∈ L2, nghiệm φ của (1.2) thỏa mãn

Mệnh đề 1.1 [39, Chương 1] Tính quan sát được của (1.2) tương đương với

tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1).

Nhận xét 1.3 Một cách khác để chứng minh tính quan sát được suy ra tính

điều khiển được về 0 bằng cách xét phiếm hàm

Trong phần này chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức kiểu Hardy cần dùng

• Bất đẳng thức Hardy cho toán tử ∆ trong trường hợp nhiều chiều:

Đầu tiên là hai bất đẳng thức Hardy cổ điển (có thể xem trong [16, 54])

Bổ đề 1.3 Với mọi N ≥ 3, khi đó

Tiếp theo là những bất đẳng thức Hardy mở rộng.

Bổ đề 1.5 [16] Cho Ω là miền mở, bị chặn trong RN , N ≥ 3 Khi đó tồn tại hằng số C(Ω) > 0 sao cho với mọi u ∈ H1

• Bất đẳng thức Hardy đối với toán tử Grushin.

Bổ đề 1.7 [3, Định lí 3.3] Với mọi miền mở bị chặn Ω = Ω1× Ω2 ⊂ R N1 ×

• Một số bất đẳng thức kiểu Hardy trong trường hợp một chiều.

Đầu tiên là bất đẳng thức Hardy cổ điển

Bổ đề 1.8 [42] Với mọi u ∈ H1

0(0, 1), ta có

∫ 1 0

u2x dx ≥ 1

4

∫ 1 0

u2

Tiếp theo là những bất đẳng thức Hardy mở rộng của (1.5).

Bổ đề 1.9 [28, Mục 5.3] Với mọi α ∈ [0, 2), ta có

∫ 1 0

x α u2x dx ≥ (1− α)2

4

∫ 1 0

Bổ đề 1.10 [62, Định lí 2.1] Cho α ∈ [0, 2) cố định Với mọi n > 0 và

0 < γ < 2 − α, tồn tại hằng số C0 = C0(α, γ, n) > 0 sao cho, với mọi

u2dx ≥ λ(α)

∫ 1 0

u2

x2−α dx + n

∫ 1 0

• Bất đẳng thức Young với ϵ:

ab ≤ ϵa p + C(ϵ)b q , (a, b, ϵ > 0), với C(ϵ) = (ϵp) −q/p q −1.

• Bất đẳng thức H¨older: Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ +∞, 1

• Bất đẳng thức Gronwall ([59, Chương 2, tr 54-55]): Với hàm liên tục

tuyệt đối y(t) trên [0, T ] và thỏa mãn

dy

dt ≤ a(t)y + b(t), với hầu khắp t ∈ [0, T ],

trong đó a(t) và b(t) là các hàm khả tích trên [0, T ] Khi đó

y(t) ≤ y(0)e A(t)+

• Định lí điểm bất động Schauder trong không gian Banach:

Định lí 1.1 [60] Cho X là không gian Banach, K ⊂ X là tập khác rỗng, lồi đóng Khi đó mọi ánh xạ liên tục τ : K → K mà τ(K) là compact tương đối trong X, đều có điểm bất động trong K.

Định lí 1.3 [51, p254] Giả sử H là không gian Hilbert tách được với

tích vô hướng ⟨·, ·⟩ Với {en}n ∈N ∗ là một cơ sở trực giao của H Khi đó

• Công thức tọa độ cầu trong không gian R N , N ≥ 3:

Với x = (x1, x2, , x N) ∈ R N Khi đó tọa độ cầu (ρ, ϕ1, ϕ2, , ϕ N −1)

của x được cho bởi:

x N −1 = ρ sin ϕ1sin ϕ2· · · sin ϕN −2 cos ϕ N −1 ,

x N = ρ sin ϕ1sin ϕ2· · · sin ϕN −2 sin ϕ N −1 ,

(1.8)

với ρ ≥ 0, ϕi ∈ [0, π] ∀i = 1, , N − 2 và ϕN −1 ∈ [0, 2π].

Chương 2

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 củaphương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiềuchiều Đầu tiên, chúng tôi đặt bài toán và phát biểu kết quả chính của chương.Sau đó, chúng tôi đi chứng minh các kết quả bổ trợ bao gồm: tính đặt đúngcủa bài toán, khai triển Fourier, đánh giá tốc độ tán xạ, và đặc biệt là việcthiết lập bất đẳng thức Carleman mới Tiếp theo, sử dụng phương pháp HUM,khai triển Fourier, các đánh giá về tốc độ tán xạ và bất đẳng thức Carlemanmới vừa thiết lập, việc chứng minh tính điều khiển được đưa về tính quan sátđược đều đối với tần số của hệ số Fourier của hệ liên hợp sau khi đã biến đổiFourier Tính không điều khiển được về 0 trong trường hợp suy biến quá mạnhđược chứng minh trong phần cuối của chương

Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình

đã công bố

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 củaphương trình parabolic tuyến tính chứa toán tử Grushin sau:

ở đó Ω := Ω1× (0, 1) N2,Ω1 = (−1, 1) N1 ⊂ R N1, hàm điều khiển v( ·, ·, t) có giá

nằm trong miền ω là miền con mở khác rỗng của Ω và s > 0.

Ta nói rằng (2.1) là điều khiển được về 0 (tại thời điểm T ) nếu với mỗi

u0 ∈ L2(Ω) cho trước, tồn tại điều khiển v ∈ L2(ω × (0, T )) sao cho (2.1) có

nghiệm u(x, y, t) thỏa mãn u( ·, ·, T ) = 0.

Mục tiêu của chương này là chứng minh kết quả sau

Định lí 2.1 Cho ω = ω1× (0, 1) N2 là miền con mở khác rỗng của (0, 1) N1 ×

(0, 1) N2.

1) Nếu s ∈ (0, 1), thì bài toán (2.1) là điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0.

2) Nếu s = 1, tồn tại hai thời điểm T1 > T2 > 0 sao cho

• với mọi T > T1 bài toán (2.1) là điều khiển được về 0 tại thời điểm

1, thì bài toán (2.1) không điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0.

Tính điều khiển được về 0 của bài toán (2.1) đã được nghiên cứu gần đâybởi Beauchard, Cannarsa và Guglielmi [12] trong trường hợp hai chiều, tức

là khi N1 = N2 = 1 và miền xét phương trình có dạng Ω = (−1, 1) × (0, 1).

Chứng minh dựa trên cấu trúc hình học đặc biệt của Ω, tính điều khiển đượcliên kết chặt chẽ với tính quan sát được một chiều của các hệ số Fourier của

hệ liên hợp, đều đối với tần số Fourier Mục đích của chương này là mở rộngkết quả đó sang trường hợp hình hộp nhiều chiều

Ở đây ta dùng lược đồ chứng minh được sử dụng trong [12], tuy nhiên việctính toán phức tạp hơn nhiều vì ta làm việc trong trường hợp nhiều chiều Nóiriêng là ta phải sử dụng lí thuyết chuỗi Fourier cho các hàm nhiều biến Hơnnữa, một số khó khăn thiết yếu mới xuất hiện, mà không có trong trường hợphai chiều, khi ta thiết lập bất đẳng thức Carleman mới Đây là công cụ chủyếu dùng trong chứng minh Để vượt qua khó khăn này, bên cạnh việc chọn

hàm trọng thích hợp σ(x, t), ta sử dụng hằng số λ trong (2.15) dưới đây và

khai thác một số kĩ thuật được sử dụng trong chứng minh Bổ đề 5.2 trong[32] Các kết quả nhận được, nói riêng, là mở rộng kết quả đã có trong trườnghợp hai chiều, và trả lời câu hỏi mở được đưa ra trong [12, Sect 5]

2.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

2.2.1 Tính đặt đúng của bài toán

Ta sẽ sử dụng không gian S01(Ω) là bao đóng của C ∞

Hơn nữa, phép nhúng S01(Ω) , → L2(Ω) là compact (xem chi tiết trong [61])

Ta kí hiệu S −1 (Ω) là không gian đối ngẫu của S1

Sử dụng phương pháp Galerkin, ta có kết quả sau (xem, chẳng hạn [4]).

Định lí 2.2 Với mọi u0 ∈ L2(Ω) và v ∈ L2(ω × (0, T )) cho trước, bài toán

(2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u thỏa mãn

ở đó C là hằng số dương không phụ thuộc vào u0 và v.

2.2.2 Khai triển Fourier

Bởi Định lí 2.2, nghiệm u của bài toán (2.1) thuộc C([0, T ]; L2(Ω)), do đó

y 7→ u(x, y, t) thuộc vào L2(Ω) với hầu khắp (x, t) ∈ Ω1× (0, T ), do vậy ta có

thể khai triển u(x, y, t) thành chuỗi Fourier theo y (xem [57, Định lí 9B.1])

Thay (2.2) vào (2.1), ta nhận được mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1 Với mọi α = (α1, α2, , α N2)∈ (N ∗)N2, thì u α (x, t) là nghiệm

yếu của bài toán

Khi đó dáng điệu (khi |α| → +∞) của λα,s cho bởi mệnh đề sau.

Mệnh đề 2.2 Với mọi s > 0, tồn tại c ∗ = c ∗ (s) > 0 và c ∗ = c ∗ (s) > 0 sao cho

c ∗ |α| 2

1+s ≤ λα,s ≤ c ∗ |α| 2

1+s ∀α ∈ (N ∗)N2. (2.4)

Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề theo các bước trong [12, Mệnh đề 4].

Đầu tiên, ta chứng minh chặn dưới Đặt α s :=|α| 1

Tiếp theo, ta chứng minh chặn trên trong Mệnh đề 2.2 Với mọi k > 0 ta xét

N1+ 1 − 2

N1+ 2

)

CN1 > 0.

Với s ∈ (0, 1], T > 0 và với mọi wT ∈ L2(Ω1) cho trước, ta đi thiết lập bất

đẳng thức Carleman cho nghiệm w = w(x, t) của bài toán:

• nếu s ∈ [1/2; 1] thì β ∈ C4(RN1;R+) và

D2β(ξ, ξ) < 0 trong Ω1\ ω ′1 với mọi 0̸= ξ ∈ R N1, (2.11)

• nếu s ∈ (0, 1/2) thì β là hàm xác định trong Ω1, mà trơn lớp C4 trong

sign(s i)|si | 2s +Ci ds i với mọi |x| < ε, (2.13)

trong đó C0;Ci , i = 1, , N1 là các hằng số đủ lớn sao cho β ≥ 1 và

βx i < 0 trong |x| < ε tương ứng Khi đó D2β( ∇β, ∇β) kì dị tại 0.

Ở đây, ⃗ n là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của biên.

Nhận xét 2.1 Không khó để chỉ ra sự tồn tại của hàm β thỏa mãn

Bây giờ ta đi chứng minh bất đẳng thức Carleman sau.

Mệnh đề 2.3 (Bất đẳng thức Carleman) Với s ∈ (0, 1], T > 0 và với mọi

w T ∈ L2(Ω1) cho trước Cho w = w(x, t) là nghiệm của bài toán (2.6) Khi đó

tồn tại các hằng số dương K1 = K1(β), λ0 = λ0(β) và K2 = K2(β) sao cho

Chứng minh Cho w là nghiệm của (2.6), khi đó với hằng số dương λ ≥ 1 được

∫∫

Q

|∆σ|2|z|2dxdt, (2.19)

Bây giờ ta tính toán cho từng số hạng I i , i = 1, 2, 3.

Số hạng I1: Lấy tích phân từng phần và sử dụng (2.18) cùng với điều kiện

ở đây ∂ n := ⃗ n · ∇ và ds xác định vết của độ đo Lebesgue trên ∂Ω1

Bên cạnh đó, ta có thể kiểm tra rằng

Hơn nữa, sử dụng (2.11), ta nhận được hằng số dương C6 = C6(β) sao cho với mọi M ≥ M1,

Do đó, ta có với δ = δ(β, s) đủ nhỏ thỏa mãn

C9δ2 ≤ s C3

4thì

Do vậy, thêm cùng đại lượng

Định nghĩa 2.2 Bài toán (2.46) là quan sát được trong ω tại thời điểm T

nếu tồn tại C > 0, sao cho với mọi w T ∈ L2(Ω), nghiệm w của (2.46) thỏa

φ α (y) = 2 N2/2 sin(πα1y1) sin(πα2y2)· · · sin(παN2y N2),

Khi đó w α (x, t) là nghiệm của bài toán (bài toán liên hợp của (2.3))

Điều này có được từ đẳng thức Bessel-Parseval Do đó, tính quan sát được

của (2.46) tương đương tính quan sát được đều theo α ∈ (N ∗)N2 của bài toán(2.47)

Định nghĩa 2.3 (Tính quan sát được đều) Cho ω1 là tập mở của (0, 1) N1

Bài toán (2.47) là quan sát được trong ω1 đều theo α ∈ (N ∗)N2 nếu tồn tại

C > 0 (không phụ thuộc vào α), sao cho với mọi α ∈ (N ∗)N2 và w T ,α ∈ L2(Ω1),nghiệm của (2.47) thỏa mãn

Định lí 2.3 Cho ω1 miền con bất kì của (0, 1) N1.

1) Nếu s ∈ (0, 1), thì bài toán (2.47) quan sát được trong ω1 đều theo α ∈

(N∗)N2.

2) Nếu s = 1, thì tồn tại T1 > 0 sao cho với mọi T > T1, bài toán (2.47) quan sát được trong ω1 đều theo α ∈ (N ∗)N2.

t(T − t) e −2λ0σ ≤

t(T − t) M

(

M t(T − t)

)2

e − M t(T −t) e −σ ≤ C0e −σ t(T − t)

M ≤ C0e −σ

4K1 ,

ở đó C0 = max{sup{ζ3e −2ζ | ζ ∈ R+}, sup{ζ2e −ζ | ζ ∈ R+}} Do vậy, ta nhận

được từ (2.14) cho nghiệm w α (x, t) của (2.47):