Nghiên cứu về sự ổn định và ổn định hóa đối với một lớp phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ

i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Viết Sáng ii Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Hoàng Văn Thi người thầy bảo tận tình cho tác giả nhận xét quí báu để tác giả hồn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, người tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn cách thuận lợi Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu tập thể giáo viên trường PTTH Lương Đắc Bằng - Hoằng Hóa - Thanh Hóa ln tạo điều kiện, giúp đỡ, động viên trình tác giả thực luận văn iii Ký hiệu luận văn R: Tập số thực Rn : khơng gian thực n chiều Rn×n : khơng gian ma trận thực cấp n × n C0 : Tập hợp hàm liên tục từ [−H, 0] vào Rn K : Tập tất hàm liên tục tăng chặt từ R+ → R+ λmax (P) : Giá trị riêng lớn ma trận đối xứng P λmin (P) : Giá trị riêng nhỏ ma trận đối xứng P kxk : chuẩn Euclide véctơ x E : ma trận đơn vị AT : Chuyển vị ma trận A Với ma trận đối xứng A, B,C ∈ Rn×n , ký hiệu A > B ⇔ A − B > ⇔ A − B ma trận xác định dương, ma trận khơng cấp n × n iv Mục lục Ký hiệu luận văn iii Mở đầu Chương Bài tốn ổn định ổn định hóa 1.1 Bài tốn ổn định ổn định hóa 1.1.1 Bài toán ổn định 1.1.2 Phương pháp ổn định Lyapunov 1.1.3 Bài toán ổn định hóa 1.2 Bài tốn ổn định, ổn định hóa hệ có trễ 1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 1.2.2 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển có trễ 8 10 Chương Ổn định hệ phương trình vi phân trung tính khơng chắn có trễ 12 2.1 Phương trình vi phân trung tính khơng chắn có trễ 12 2.2 Giải tích ổn định hệ phương trình vi phân trung tính khơng chắn có trễ 13 Chương Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân trung tính khơng chắn có trễ 26 3.1 Ổn định hóa cho hệ với trạng thái đo 27 3.2 Ổn định hóa đầu 29 3.3 Áp dụng 31 3.4 Ví dụ số 33 v Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tế kỹ thuật Các cơng trình nghiên cứu năm cuối kỷ XIX nhà toán học người nga Lyapunov Cùng với phát triển lý thuyết điều khiển toán học người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi ổn định hóa hệ điều khiển Từ đến nay, hai tính chất trở thành hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống lý thuyết lẫn ứng dụng, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước Trong thực tế, hệ động lực phần lớn mô tả phương trình tốn học phi tuyến, phương trình vi tích phân, phương trình vi phân trung tính Vì ổn định hóa hệ phương trình vi phân trung tính nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Lyapunov đưa hai phương pháp nghiên cứu hệ vi phân phương pháp nghiên cứu thông qua số mũ Lyapunov phương pháp dựa vào tồn lớp hàm trơn đặc biệt (gọi hàm Lyapunov) Cùng với phát triển lý thuyết điều khiển hệ động lực học, tốn ổn định hay cịn gọi tốn ổn định hóa quan tâm nghiên cứu tìm nhiều ứng dụng thực tiễn Hiện tượng chậm thời gian xuất nhiều hệ thống vật lý Vì thế, ổn định ổn định hóa hệ có trễ thời gian nhận ý đáng kể chủ đề quan tâm nhiều lý thuyết điều khiển Đây ứng dụng lý thuyết, tượng làm chậm trễ gặp thường xuyên học khác nhau, vật lý, sinh học, y học, kinh tế hệ kỹ thuật, bệnh dịch ADIS, làm ổn định máy bay, cơng nghệ hóa, khống chế dịch bệnh, phân phối lưới, suy rộng mô hình, điều khiển tay, dao động vi sóng, mơ hình laze, lưới thần kinh, lị phản ứng hạt nhân, mơ hình động lực dân số, làm ổn định tàu Hơn nữa, thường xuyên chậm trễ thời gian nguồn gốc không ổn định nguồn gốc sinh giao động nhiều hệ Trong thực hành, giải tích mơ hình tốn học thường bước quan trọng cho kỹ sư điều khiển điều khiển hệ Tuy nhiên, mơ hình tốn học ln chứa vài phần tử khơng chắn Tính bất định cộng tính Do đó, giải tích ổn định ổn định hóa mạnh với hệ trễ không chắn trở thành tiêu điểm việc nghiên cứu năm gần Luận văn đặt vấn đề nghiên cứu ổn định ổn định hóa lớp phương trình vi phân trung tính khơng chắn có trễ Luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục, tài liệu tham khảo cịn có bố cục trình bày theo chương sau: Chương 1, trình bày số khái niệm tính ổn định ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chương 2, dành cho việc nghiên cứu trình bày kết tính ổn định hệ phương trình vi phân trung tính khơng chắn có trễ Chương 3, dành cho việc trình bày điều kiện đủ tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân trung tính khơng chắn có trễ Chương Bài toán ổn định ổn định hóa Chương này, dành cho việc trình bày khái niệm bản, số kết kinh điển phương pháp nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân thường lớp hệ phương trình vi phân có trễ 1.1 Bài tốn ổn định ổn định hóa 1.1.1 Bài tốn ổn định Xét hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) x(t) ∈ Rn véctơ trạng thái; f : R+ × Rn → Rn hàm véctơ cho trước f (·) thỏa mãn điều kiện : ∀(t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn hệ (1.1) có nghiệm qua điểm (t0 , x0 ) nghiệm thác triển ∀t ≥ t0 Khi nghiệm ký hiệu x(t;t0 ; x0 ) Với x0 (t) nghiệm hệ (1.1), z(t) = x(t) − x0 (t) hệ (1.1) chuyển dạng z˙(t) = f (t, z(t) + x0 (t)) − f (t, x0 (t)) (1.2) Đặt F(t, z(t)) = f (t, z(t) + x0 (t)) − f (t, x0 (t)) F(t, 0) ≡ nghiệm z(t) ≡ hệ (1.2) tương ứng với nghiệm x0 (t) hệ (1.1) Do đó, thay nghiên cứu tính ổn định nghiệm x0 (t) hệ (1.1) ta nghiên cứu nghiệm z(t) ≡ hệ (1.2) Vì vậy, khơng tính tổng qt ta giả sử f (t, 0) ≡ tức hệ (1.1) có nghiệm Khi ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 [1] Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định với số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn δ = δ (ε,t0 ) cho nghiệm x(t,t0 , x0 ) với kx0 k < δ , ta có kx(t,t0 , x0 )k ≤ ε, ∀t ≥ t0 Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định ∃δ0 > (phụ thuộc vào t0 ) cho nghiệm x(t,t0 , x0 ) với kx0 k < δ0 lim kx(t,t0 , x0 )k = t→+∞ Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định mũ tồn số N > số α > cho kx(t,t0 , x0 )k ≤ N.e−α(t−t0 ) kx0 k, t ≥ t0 , (1.3) N gọi hệ số ổn định Lyapunov, α gọi số mũ ổn định; α, N gọi chung hệ số ổn định Lyapunov Để ngắn gọn, thay nói nghiệm hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) Ngay từ cơng trình đầu tiên, Lyapunov đưa tiêu chuẩn quan trọng cho tính ổn định mũ hệ tuyến tính dừng dạng: x(t) ˙ = Ax(t), t ≥0 (1.4) dựa vào giá trị riêng ma trận A Cụ thể : Hệ (1.4) ổn định mũ ⇔ phần thực tất giá trị riêng A âm Hệ (1.4) ổn định ⇔ với ma trận Q đối xứng xác định dương, phương trình Lyapunov AT P + PA = −Q có nghiệm P đối xứng xác định dương 1.1.2 Phương pháp ổn định Lyapunov Cho hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.5) x(t) ∈ Rn véctơ trạng thái hệ, f : R+ × Rn → Rn hàm véctơ cho trước với giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ≥ Ký hiệu K tập hàm liên tục tăng ngặt a(·) : R+ → R+ , a(0) = Định nghĩa 1.1.2 [1] Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R khả vi liên tục thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ gọi hàm Lyapunov hệ (1.5) nếu: i) V (t, x) hàm xác định dương theo nghĩa ∃ a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ii) V˙ (t, x(t)) := ∂V ∂t + ∂V ∂ x f (t, x(t)) ≤ nghiệm x(t) hệ (1.5) Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm điều kiện: iii) ∃ b(·) ∈ K : V (t, x) ≤ b(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn 29 3.2 Ổn định hóa đầu Khi trạng thái hệ không đo được, sử dụng trạng thái hệ thông tin ngược.Trong trường hợp này, sử dụng điều khiển ngược đầu u(t) = −Ly(t) để ổn định hóa hệ (2.1), sau bb x(t) ˙ = [A + ∆A0(t)]x(t) + [A1 −C + ∆A1(t)]x(t − h(t)) + [A2 + ∆A2(t)]x(t ˙ − τ(t)) −C Zt x(s)ds, ˙ (3.3) t−h(t) x(t) = φ (t), t ∈ [−H, 0], bb A = A0 +C − BLD Các ma trận L ∈ Rm×q, C ∈ Rn×n, D ∈ Rq×n chọn bb theo GA, cho ma trận A Hurwitz kết sau thỏa mãn Định lý 3.2.1 [18] Hệ (2.1) với (2.2) - (2.3) ổn định tiệm cận u(t) = −Ly(t), kA2k + kH2k · kE2k < tồn ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R, S số dương εi, i = 0, 1, 2, cho điều kiện bất đẳng thức LMI 30 sau  Σ Σ Σ Σ  11 12 13 14  T Σ12 Σ22 0   T Σ13 Σ33   ΣT 0 Σ44  14 Γ= ΣT ΣT ΣT  15 25 35   T Σ16 0   T Σ17 0  ΣT18 0  Σ15 Σ16 Σ17 Σ18 Σ25 0 Σ35 0 0 Σ55 Σ56 Σ57 ΣT56 Σ66 ΣT57 Σ77 ΣT58 0           