BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHẠM THẾ QUYẾT SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, NĂM[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHẠM THẾ QUYẾT SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHẠM THẾ QUYẾT SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng THANH HÓA, NĂM 2022 Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1241/QĐ-ĐHHĐ ngày 13 tháng năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Chức danh Cơ quan cơng tác hội đồng TS Hồng Nam Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Toán học - Viện HLKHCNVN UV Phản biện TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện PGS TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐHGD - ĐHQGHN Ủy viên TS Đỗ Văn Lợi UV Thư ký Hội Toán học Việt Nam Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 18 tháng năm 2022 GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Phạm Thế Quyết i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Ngồi dẫn mặt khoa học, thầy cịn động lực giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả bày tỏ lòng biết ơn kính trọng thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới thầy TS Lê Anh Minh gợi ý dẫn khoa học thầy cho tác giả q trình hồn thiện luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phịng QLĐTSĐH, mơn Giải tích - PPGD Tốn, thầy giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lịng biết ơn đến Ban giám hiệu, mơn Tốn trường THPT Hậu Lộc - nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng năm 2022 Phạm Thế Quyết ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viêt tắt ký hiệu iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 3 1.2 Một số đánh giá sử dụng luận văn Chương Sự tương đương tiệm cận số lớp phương trình sai phân 2.1 Bài toán cân tiệm cận 2.2 7 Bài toán tương đương tiệm cận 16 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU X : Không gian Banach N: Tập số tự nhiên R: Tập số thực C: Tập số phức N(n0 ): Tập {n0 , n0 + 1, , n0 + k, } với n0 số nguyên không âm ∆: Tốn tử sai phân ∆x(n) = x(n + 1) − x(n) A(n): Ma trận vuông cấp n Φ(n): Ma trận nghiệm hệ tuyến tính ∆x(n) = A(n)x(n) Ω(n): Ma trận nghiệm hệ tuyến tính x(n + 1) = A(n)x(n) iv MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Bài tốn tương đương tiệm cận nghiệm hai phương trình sai phân cho ta thông tin mối liên hệ hai phương trình sai phân Thật vậy, có hai phương trình tương đương tiệm cận ta biết dáng điệu tiệm cận nghiệm hai phương trình đó, ta thu thơng tin dáng điệu tiệm cận phương trình cịn lại Có nhiều cách tiếp cận nghiên cứu tương đương tiệm cận phương trình sai phân cụ thể, chẳng hạn: sử dụng tính nhị phân nguyên lý ánh xạ co với giả thiết Lipschitz phần phi tuyến; sử dụng tiêu chuẩn so sánh kết hợp với phép chiếu nhị phân, Việc nghiên cứu cách có hệ thống phương pháp ứng dụng tốn xét tương đương tiệm cận số lớp phương trình sai phân cụ thể, mở rộng kết có đặt mang tính thời Do đó, chúng tơi chọn đề tài luận văn là: “Sự tương đương tiệm cận số lớp phương trình sai phân” Mục tiêu nghiên cứu Xét tương đương tiệm cận số lớp phương trình sai phân sau: • Các phương trình sai phân tuyến tính phương trình sai phân nửa tuyến tính • Các phương trình sai phân tuyến tính phương trình sai phân tựa tuyến tính Đối tượng nghiên cứu • Phương trình sai phân ứng dụng thực tiễn • Sự tương đương tiệm cận phương trình sai phân Phạm vi nghiên cứu • Một số dạng phương trình sai phân thường gặp tính chất bản: tuyến tính, nửa tuyến tính tựa tuyến tính, phi tuyến • Một số phương pháp nghiên cứu tương đương tiệm cận số lớp phương trình sai phân • Các kết tương đương tiệm cận ví dụ minh họa Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, seminar mơn, nhóm hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Sử dụng phương pháp, kỹ thuật, kết giải tích, phương trình sai phân, lý thuyết ma trận Ý nghĩa luận văn Luận văn tổng hợp trình bày cách chi tiết, có hệ thống tính chất tiệm cận nghiệm phương trình sai phân Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, kết sử dụng luận văn: không gian định chuẩn, không gian ℓp (N(n0 ), Rm ) (với ≤ p < ∞), không gian ℓ∞ (N(n0 ), Rm ), tiêu chuẩn so sánh bất đẳng thức dạng rời rạc, • Chương Sự tương đượng tiệm cận phương trình sai phân: Trong chương với điều kiện đưa ra, sử dụng định lý điểm bất động Schauder tương đương tiệm cận (và cân tiệm cận) lớp phương trình sai phân dạng tuyến tính dạng tuyến tính có nhiễu, phương trình sai phân phi tuyến với Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức về: không gian định chuẩn, bất đẳng thức liên quan đến dãy số Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1, 2] 1.1 Không gian định chuẩn Trong luận văn này, ta ký hiệu tập số phức C, tập số thực R K tập số thực tập số phức Định nghĩa 1.1.1 Cho X K - không gian véctơ Một chuẩn X hàm x 7→ ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X , λ ∈ K (i) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = x = 0, (ii) ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥, (iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Khi đó, cặp (X, ∥ · ∥) gọi không gian định chuẩn Trong luận văn này, không gian định chuẩn (X, ∥ · ∥) viết tắt X Định nghĩa 1.1.2 Tập E không gian định chuẩn X gọi là: (i) bị chặn tồn số K cho ∥x∥ ≤ K, ∀x ∈ E (ii) tập lồi với x, y ∈ E tùy ý ax + (1 − a)y ∈ E, ∀a ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.1.3 Dãy (xn )∞ n=1 phần tử thuộc X gọi hội tụ đến x ∈ X lim ∥xn − x∥ = n→∞ Định nghĩa 1.1.4 Dãy (xn )∞ n=1 phần tử thuộc X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn N = N (ε) cho ∥xn − xm ∥ < ε, ∀m, n ≥ N ι : N (n0 ) × R+ → R+ hàm không giảm theo biến u với n ∈ N (n0 ) Hơn nữa, ta giả sử nghiệm u(n) phương trình sai phân ∆u(n) = ι(n, u(n)), u (n0 ) = u0 , n ≥ n0 , (2.11) bị chặn N (n0 ) Khi đó, nghiệm x(n) hệ (2.1) cho |x(n)| ≤ r với n ≥ n0 thỏa mãn tính chất tiệm cận (2.2) Chứng minh Giả sử x(n) nghiệm tùy ý hệ (2.1) Khi đó, ta có |x (n, n0 , x0 )| ≤ |x0 | + ≤ |x0 | + n−1 X s=n0 n−1 X |f (s, x(s))| ι(s, |x(s)|) s=n0 Nếu u0 = |x0 |, |x(n)| − n−1 X ι(s, |x(s)|) ≤ |x0 | = u0 = u(n) − s=n0 n−1 X ι(s, u(s)), n ≥ n0 s=n0 Sử dụng Bổ đề 1.2.1 ta |x(n)| < u(n), n ≥ n0 (2.12) Do nghiệm hệ (2.11) bị chặn N (n0 ), nên từ (2.12) ta suy nghiệm x(n) hệ (2.1) bị chặn N (n0 ) Hơn nữa, với n > m ≥ n0 tùy ý, ta có |x(n) − x(m)| ≤ ≤ ≤ n−1 X s=m n−1 X s=m n−1 X |f (s, x(s))| ι(s, |x(s)|) (2.13) ι(s, u(s)) = u(n) − u(m) s=m Tiếp theo, nghiệm u(n) hệ (2.11) không giảm bị chặn N (n0 ), ta suy với ε > bé tùy ý, ta chọn T > đủ lớn cho ≤ u(n) − u(m) < ε với n ≥ T Lúc này, theo (2.13) suy |x(n) − x(m)| < ε với n ≥ m ≥ T , hay nghiệm x(n) hệ (2.1) hội tụ đến ξ ∈ Rm n → ∞ 12 Lưu ý rằng, từ điều kiện (2.10) ta tồn nghiệm hệ (2.1) hội tụ đến ξ ∈ Rm Định lý 2.1.9 ([1]) Giả sử giả thiết Định lý 2.1.8 thỏa mãn Hơn nữa, ta giả sử f (n, x) liên tục theo x cố định n ∈ N (n0 ) sup |xj (n0 )| = uˆ0 ≤ ρ (2.14) j≥0 Khi đó, với ρ > tồn n0 đủ lớn cho với ξ ∈ Rm thỏa mãn |ξ| ≤ ρ, tồn nghiệm x(n) hệ (2.1) hội tụ đến ξ n → ∞ Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.1.6, với ξ ∈ Rm tùy ý thỏa mãn 2|ξ| < ρ Ta xét tập hợp Bρ = {x = (x(n)) ∈ ℓ∞ (N(n0 ), Rm ) : ∥x∥∞ ≤ ρ} xét toán tử S Bρ cho công thức Sx(n) = ξ − ∞ X f (s, x(s)), n ≥ n0 (2.15) s=n Khi đó, ta thấy rằng: (i) Tồn n0 cho S biến Bρ thành Thật vậy, u(n) hội tụ nên ta chọn n0 đủ lớn cho ∞ X s=n0 ρ ι(s, u(s)) ≤ Khi x ∈ Bρ với n ≥ n0 , |Sx(n)| ≤ |ξ| + ∞ X ι(s, |x(s)|) s=n ∞ X ρ + ι(s, u(s)) s=n ρ ρ ≤ + 2 ≤ (ii) Toán tử S liên tục Cho x ∈ Bρ {xj }∞ j=0 dãy tùy ý phần tử Bρ thỏa mãn lim ∥xj − x∥∞ = Do nghiệm uˆ(n) u(n) hệ (2.11) với j→∞ 13 điều kiện ban đầu u ˆ (n0 , n0 , uˆ0 ) = uˆ0 u (n0 , n0 , u0 ) = |x0 |, hội tụ, nên với ε > tùy ý ta chọn n1 ∈ N (n0 ) đủ lớn cho ∞ ∞ X X ε ι(s, uˆ(s)) + ι(s, u(s)) < s=n s=n 1 Sử dụng (2.14) (2.15), ta ∞ X |f (s, xj (s)) − f (s, x(s))| |Sxj (n) − Sx(n)| ≤ s=n ≤ ≤ ≤ nX −1 s=n0 nX −1 s=n0 nX −1 s=n0 |f (s, xj (s)) − f (s, x(s))| + ∞ X ι (s, |xj (s)|) + s=n1 |f (s, xj (s)) − f (s, x(s))| + ∞ X ∞ X ι(s, |x(s)|) s=n1 ι(s, uˆ(s)) + s=n1 ∞ X ι(s, u(s)) s=n1 ε |f (s, xj (s)) − f (s, x(s))| + Hơn nữa, từ tính liên tục f suy "n −1 # X lim |f (s, xj (s)) − f (x(s))| = j→∞ s=n0 lim sup |Sxj (n) − Sx(n)| = j→∞ n≥n1 Như vậy, S liên tục (iii) Tập SBρ compact tương đối Ta cần SBρ bị chặn đồng hội tụ đến ξ Do |x (n0 )| ≤ u0 ≤ ρ với x ∈ Bρ tùy ý, ta có |Sx(n)| ≤ |ξ| + ∞ X ι(s, u(s)) < ∞ s=n Do đó, SBρ tập bị chặn ℓ∞ (N(n0 ), Rm ) Hơn nữa, đồng hội tụ đến ξ , với ε > 0, tồn T = T (ξ) cho ∞ X |Sx(n) − ξ| ≤ ι(s, u(s)) < ε s=n với n ≥ T x ∈ Bρ Như vậy, SBρ tập compact tương đối 14 Lúc này, áp dụng định lý điểm bất động Schauder suy tồn x ∈ Bρ cho Sx = x Nói cách khác, tồn nghiệm x(n) hệ (2.15) Dễ thấy x(n) nghiệm toán giá trị ban đầu ∆x(n) = f (n, x(n)), x (n0 ) = x0 = lim x(n) n→∞ Định lý chứng minh hoàn toàn Hệ 2.1.10 ([1]) Nếu giả thiết Định lý 2.1.9 thỏa mãn hệ (2.1) cân tiệm cận Ta minh họa Hệ 2.1.10 qua ví dụ sau: Ví dụ 2.1.11 Xét hệ phương trình sai phân ∆x(n) = f (n, x(n)) = an x7 (n) sin(nx(n)), + 4x6 (n) x (n0 ) = x0 (2.16) với a số thỏa mãn < a < Khi đó, hệ (2.16) cân tiệm cận Chứng minh Ta có n a x (n) | sin(nx(n))| |f (n, x(n))| ≤ + 4x6 (n) ≤ an |x(n)| ≡ g(n, |x(n)|) Suy g(n, u) hàm không giảm theo u ứng với n ≥ n0 ≥ Hơn nữa, nghiệm u(n) phương trình sai phân ∆u(n) = g(n, u(n)) = an u(n), u (n0 ) = u0 cho công thức u(n) = n−1 Y (1 + as ) u (n0 ) s=n0 Sử dụng bất đẳng thức + as < exp (as ), ta ! ! n−1 n−1 ∞ X Y X (1 + as ) ≤ exp as ≤ exp as s=n0 ≤ exp s=n0 n0 a 1−a 15 s=n0 ≡ M, (2.17) M số dương Mặt khác, f (n, x) liên tục theo x với n ∈ N (n0 ) giả thiết Định lý 2.1.9 thỏa mãn Suy hệ (2.16) cân tiệm cận Ta nhận thấy, u(n) bị chặn không giảm N (n0 ), nên u(n) hội tụ đến ξ ∈ R+ với ξ ∈ R tồn nghiệm u(n) hệ (2.17) cho ξ lim u n, n0 , n→∞ y0 = ξ, lim n→∞ n−1 Y (1 + as ) = y0 ̸= s=n0 Như vậy, hệ (2.17) cân tiệm cận 2.2 Bài toán tương đương tiệm cận Trong phần này, với A(n) hàm ma trận cấp m × m xác định N (n0 ), ta xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ∆x(n) = A(n)x(n) (2.18) hệ có nhiễu (hay, nửa tuyến tính) tương ứng hệ (2.18) có dạng ∆y(n) = A(n)y(n) + g(n, y(n)) (2.19) g : N (n0 ) × Rm → Rm Định nghĩa 2.2.1 ([1, 2]) Ta nói hệ (2.18) (2.19) tương đương tiệm cận, với nghiệm x(n) tùy ý hệ (2.18), tồn nghiệm y(n) hệ (2.19) cho y(n) = x(n) + o(1), n → ∞ (2.20) ngược lại, với y(n) nghiệm tùy ý hệ (2.19), tồn nghiệm x(n) hệ (2.18) cho (2.20) Trước hết, giả sử Φ ma trận nghiệm hệ tuyến tính (2.18), ta tìm điều kiện để nghiệm y hệ nửa tuyến tính (2.19) thỏa mãn tính chất tiệm cận y(n) = Φ(n)[ξ + o(1)] n → ∞ (2.21) Cuối cùng, sử dụng kết ta tương đương tiệm cận nghiệm hệ (2.18) (2.19) 16 Định lý 2.2.2 ([2]) Giả sử Φ(n) ma trận nghiệm hệ tuyến tính (2.18) Hơn nữa, giả sử với (n, y) ∈ N(n0 ) ×Rm ta có p −1