BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HÀ VĂN QUYỀN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP PHÂN THỨ TRỪU TƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH H[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HÀ VĂN QUYỀN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP PHÂN THỨ TRỪU TƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— HÀ VĂN QUYỀN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP PHÂN THỨ TRỪU TƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Văn Lợi THANH HÓA, 2021 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 969/QĐ-ĐHHĐ ngày 27 tháng năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Trường ĐH Hồng Đức TS Hoàng Văn Thi Chức danh Cơ quan công tác hội đồng Chủ tịch HĐ Viện Toán học GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện HLKHCNVN Trường ĐH Hồng Đức TS Mai Xuân Thảo PGS TS Vũ Trọng Lưỡng TS Nguyễn Văn Lương UV Phản biện UV Phản biện Trường ĐHGD-ĐHQGHN Ủy viên Trường ĐH Hồng Đức Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 06 tháng năm 2021 (ký, ghi rõ họ tên) TS Đỗ Văn Lợi * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức Bộ mơn Giải tích - PPGD Tốn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn khoa học TS Đỗ Văn Lợi Các kết trình bày luận văn trung thực, nội dung luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Hà Văn Quyền i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Đỗ Văn Lợi Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy động lực giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả bày tỏ lịng biết ơn kính trọng thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phịng QLĐTSĐH, mơn Giải tích - PPGD Tốn, thầy giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lịng biết ơn đến Ban giám hiệu, mơn Tốn trường THPT Triệu Sơn 3- nơi tác giả cơng tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng năm 2021 Hà Văn Quyền ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viêt tắt ký hiệu v Mở đầu Chương Phương trình sai phân khơng gian Banach 1.1 Không gian Banach không gian Hilbert 1.2 Toán tử tuyến tính 1.3 Các ví dụ phương trình sai phân khơng gian trừu tượng 1.4 Các khái niệm tính ổn định nghiệm 1.5 Tiêu chuẩn so sánh 10 1.6 Hàm Lyapunov 13 1.7 Tính ổn định phương trình sai phân tuyến tính ơtơnơm 17 1.7.1 Phương trình 17 1.7.2 Phương trình khơng 18 1.7.3 Phương trình dạng có nhiễu 19 Chương Tính ổn định phương trình sai phân cấp phân thứ 2.1 23 Các kết bổ trợ 23 iii 2.2 Sự tồn công thức biểu diễn nghiệm đủ tốt 33 2.3 Tính chất ổn định nghiệm đủ tốt 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iv CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU N: Tập số tự nhiên R: Tập số thực C: Tập số phức X : Không gian Banach ∥ · ∥: Chuẩn H : Khơng gian Hilbert (·, ·): Tích vơ hướng Rλ (A): Toán tử giải ρ(A): Tập giá trị quy tốn tử A σ(A): Tập giá trị phổ tốn tử A rs (A): Bán kính phổ toán tử A σp (A): Tập phổ điểm toán tử A σc (A): Tập phổ liên tục toán tử A σr (A): Tập phổ dư toán tử A ∆: Toán tử sai phân α C∆ : Toán tử sai phân kiểu Caputo cấp α Sˆ: Khai triển Laplace S Se: Khai triển Z S B(X): Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục X v MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong thập kỷ gần đây, nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu tồn tính chất định tính nghiệm (rời rạc) phương trình sai phân cấp phân thứ, chẳng hạn [2, 3, 12, 13] Năm 1974, Kutter [16] Diaz Osler [9] lần nghiên cứu toán tử sai phân cấp phân thứ dạng rời rạc dạng chuỗi Grey Zhang [14] đề xuất phép tính cấp phân thứ cho tốn tử sai phân ngược Sau đó, nhiều nhà tốn học phát triển ứng dụng cơng cụ giải tích phân thứ (rời rạc) vào phương trình sai phân cấp phân thứ Mặc dù, có nhiều cơng trình công bố liên quan đến lĩnh vực này, nhiên nhiều câu hỏi mở cần giải đáp Đặc biệt, tính ổn định nghiệm lớp phương trình sai phân cấp phân thứ với tốn tử tuyến tính khơng bị chặn Lý thuyết phương trình sai phân cấp phân thứ cơng cụ hữu ích cho ứng dụng sinh học vật lý mà có xuất hiệu ứng “trễ” Do đó, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “Tính ổn định lớp phương trình sai phân cấp phân thứ trừu tượng” Mục tiêu nghiên cứu Tính ổn định dạng phương trình sai phân phi tuyến, tuyến tính nhất, tuyến tính khơng dạng có nhiễu (với phần tuyến tính bị chặn) khơng gian Banach Tính ổn định nghiệm toán giá trị ban đầu C ∆α u(n) = Au(n + 1), n ∈ N0 u(0) = u0 ∈ X, A tốn tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật khơng gian Banach C ∆α toán tử sai phân kiểu Caputo Đối tượng nghiên cứu Giải tích cấp phân thứ; Phương trình sai phân khơng gian Banach Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết chuẩn bị giải tích cấp phân thứ, phương trình sai phân cấp phân thứ tuyến tính không gian Banach Nghiên cứu tồn nghiệm tính ổn định lớp phương trình sai phân cấp phân thứ trừu tượng Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, seminar môn, nhóm hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Sử dụng phương pháp, kỹ thuật, kết giải tích Ý nghĩa luận văn Luận văn tổng hợp trình bày cách chi tiết, có hệ thống tính chất ổn định phương trình sai phân khơng gian Banach phương trình sai phân cấp phân thứ không gian Banach Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương Chương Phương trình sai phân khơng gian Banach Chương chúng tơi trình bày khái niệm kết khơng gian Banach, khơng gian Hilbert, tốn tử tuyến tính phổ tốn tử tuyến tính khơng gian Banach phương trình sai phân tính chất ổn định số lớp phương trình sai phân khơng gian Banach Chương Tính ổn định phương trình sai phân cấp phân thứ Chương chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm đủ tốt tính ổn định nghiệm đủ tốt lớp phương trình sai phân cấp phân thứ không gian Banach (−1)n h [ pn (t)(a ∗ S)(t)xdt = a ∗ S(λ)(x) n! λ=1 i(n) (−1)n h ˆ = a ˆ(λ)S(λ)x n! λ=1 29 n h i(k) (−1)n X k ˆ = Cn [ˆ a(λ)](n−k) S(λ)x n! k=0 λ=1 n (−1) X k (n − k)! k! Cn = a(n − k) S(k)x n! (−1)n−k (−1)k n k=0 = n X a(n − k)S(k)x, ∀x ∈ X, n ∈ N0 k=0 Định lý chứng minh Ta nhắc lại, tích phân Riemann-Liouville cấp α > hàm khả tích địa phương u : [0, ∞) → X cho Itα u(t) := (gα ∗ u)(t) := Zt gα (t − s)u(s)ds với gα định nghĩa (2.7) Đạo hàm Riemann-Liouville cấp < α < hàm u Dtα u(t) := d dt Zt g1−α (t − s)u(s)ds Định lý 2.1.9 ([17]) Cho u : R+ → X hàm bị chặn khả tích địa phương Khi đó, ta có Z∞ pn+1 (t)Dtα u(t)dt = ∆α u(n), n ∈ N0 , với u(n) cho công thức Z∞ u(n) := pn (t)u(t)dt, n ∈ N0 (2.9) Chứng minh Cho n ∈ N0 < α < Do u bị chặn, nên tồn số M > cho ∥u(t)∥ ≤ M, ∀t ≥ 30 Hơn nữa, ta có ∥g1−α ∗ u(t)∥ ≤ M Zt g1−α (t − s)ds ≤M Zt g1−α (τ )dτ ≤ M g2−α (t), ∀t ≥ Từ đó, suy ∥pn (t) (g1−α ∗ u) (t)∥ ≤ e−t 1 n+1−α t n! Γ(2 − α) Sử dụng tích phân phần, ta Z∞ pn+1 (t)Dtα u(t)dt = Z∞ pn+1 (t) d (g1−α ∗ u) (t)dt dt =− Z∞ p′n+1 (t) (g1−α ∗ u) (t)dt, ∀n ∈ N0 Do −p′n+1 (t) = pn+1 (t) − pn (t), n ∈ N0 nên Z∞ pn+1 (t)Dtα u(t)dt = Z∞ pn+1 (t) (g1−α ∗ u) (t)dt − Z∞ pn (t) (g1−α ∗ u) (t)dt Suy Z∞ pn+1 (t)Dtα u(t)dt = n+1 X k 1−α (n + − k)u(k) − k=0 n X k 1−α (n − k)u(k) k=0 = k 1−α ∗ u (n + 1) − k 1−α ∗ u (n) = ∆−(1−α) u(n + 1) − ∆−(1−α) u(n) = ∆ ◦ ∆−(1−α) u(n) = ∆α u(n) Từ ta có điều phải chứng minh 31 Hệ 2.1.10 ([17]) Giả sử < α < < α < β số thực cho trước Khi ∆α k β (n) = k β−α (n + 1), n ∈ N0 Chứng minh Theo định nghĩa đạo hàm cấp phân thứ kiểu RiemannLiouville Dtα gβ = gβ−α ta có ∆α k β (n) = Z∞ pn+1 (t)Dtα gβ (t)dt Z∞ = pn+1 (t)gβ−α (t)dt = k β−α (n + 1), ∀n ∈ N0 Mệnh đề 2.1.11 ([17]) Cho {S(t)}t≥0 họ toán tử tuyến tính liên tục mạnh bị chặn mũ khơng gian Banach X Khi (i) Nếu {S(t)}t≥0 bị chặn, {S(n)}n∈N0 bị chặn (ii) Nếu tồn số M > ω > cho ∥S(t)∥ ≤ M e−ωt với t ≥ ∥S(n)∥ ≤ M , ∀n ∈ N0 (1 + ω)n+1 (iii) Nếu X dàn Banach S(t)x ≥ với x ≥ với t ≥ 0, S(n)x ≥ 0, ∀x ≥ 0, n ∈ N0 Chứng minh (i) Giả sử tồn M > cho ∥S(t)∥ ≤ M với t ≥ Khi ∥S(n)∥ ≤ Z∞ pn (t)∥S(t)∥dt 32