Tính α ổn định mũ với xác suất 1 của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có nhiều trễ

0 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu 1 Một số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 12 1.4 Tính ổn định theo xấp xỉ thứ 18 1.5 Phương pháp hàm Liapunov 19 Về tính α - ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có nhiều trễ 22 2.1 Về tính α - ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có nhiều trễ 22 2.2 Về tính α- ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính có nhiều trễ 27 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 LỜI NÓI ĐẦU Trong thực tiễn nhiều toán đề cập đến vấn đề kĩ thuật, kinh tế thường liên quan đến hệ động lực mô tả phương trình vi phân hay sai phân ngẫu nhiên ổn định tính chất quan trọng lí thuyết định tính hệ động lực sử dụng nhiều lĩnh vực học, vật lý toán, kỹ thuật, kinh tế Việc nghiên cứu toán ổn định hệ thống ngày trở thành hướng nghiên cứu thiếu lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Vì lí chúng tơi chọn đề tài "Tính α - ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có nhiều trễ" Luận văn đề cập đến việc nghiên cứu tính α− ổn định mũ với xác suất lớp hệ phương trình ngẫu nhiên Luận văn gồm có hai chương: • Chương Trình bày số kiến thức • Chương Trình bày tính α− ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có nhiều trễ Luận văn thực trường Đại học Vinh hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tâm nhiệt tình hướng dẫn dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Trần Xn Sinh, TS Nguyễn Trung Hồ thầy, giáo khoa Toán, khoa đào tạo sau Đại học bạn lớp cao học 15 Toán thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành khố học Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nó ứng dụng nhiều lĩnh vực khác kinh tế khoa học kỹ thuật, sinh thái học mơi trường học Chương trình bày nét lý thuyết ổn định giới hạn khái niệm ổn định theo nghĩa Liapunov 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Các khái niệm chương chúng tơi trình bày theo [1] Xét hệ phương trình vi phân viết dạng ma trận - vectơ sau: dX = F (X, t) dt X =(x1 , x2 , , xn )T , (1.1) F (X, t) = (f1 (X, t), f2 (X, t), , fn (X, t))T dx1 dx2 dxn T dX =( , , , ) dt dt dt dt t biến độc lập, x1 (t), x2 (t), , xn (t) hàm cần tìm, hàm fj (j = 1, 2, , n) xác định miền T = Dx × Ia+ , Ia+ = (a, +∞) Với Dx tập mở thuộc Rn a số - ∞, sau để tiện cách trình bày ta viết ∞ thay cho +∞ (nếu khơng có nhầm lẫn) ta giả thiết hàm fj (j = 1, 2, , n) xác định miền T, liên tục theo t có đạo hàm riêng cấp theo biến x1 , x2 , , xn liên tục; T phép chuyển vị 1.1.1 Định nghĩa Nghiệm X = X(t) (a < t < ∞)) hệ phương trình vi phân (1.1) gọi ổn định theo Liapunov t → ∞ (gọi tắt ổn định) với ε > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ (ε, t0 ) > cho tất nghiệm Y(t) hệ (1.1) thoả mãn điều kiện Y (t0 ) − X(t0 ) < δ (1.2) Y (t) − X(t) < ε, ∀t ≥ t0 (1.3) Nói cách khác, nghiệm X(t) ổn định theo Liapunov nghiệm Y(t) gần với thời điểm ban đầu t0 hoàn toàn nằm ống ε nhỏ tùy ý dựng quanh nghiệm X(t), với t ≥ t0 Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân    dx1 = x2 dt dx2   = −x1 dt Dễ thấy hệ phương trình có nghiệm tầm thường (x1 (t), x2 (t)) ≡ (0, 0) nghiệm tổng quát hệ (y1 (t), y2 (t)) = (Acos(t − α), −Asin(t − α)) A α số tuỳ ý Với t0 = 0, với ε chọn δ = ε ta có, (y1 (0), y2 (0)) − (x1 (0), x2 (0)) = (y1 (0), y2 (0)) = |A| < δ suy (y1 (t), y2 (t)) − (x1 (t), x2 (t)) = |A| < δ = ε Vậy nghiệm tầm thường hệ ổn định Nhận xét Trong trường hợp đặc biệt, F(0, t) ≡ 0, nghiệm tầm thường (còn gọi trạng thái cân bằng) X0 (t) ≡ (a < t < ∞) ổn định với ε > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ(ε, t0 ) > cho bất đẳng thức Y (t0 ) < δ kéo theo Y (t) < ε, ∀t ≥ t0 1.1.2 Định nghĩa Nghiệm X(t) (a < t < ∞) hệ phương trình vi phân (1.1) gọi ổn định với ε > tồn δ = δ(ε) cho tất nghiệm Y(t) (1.1) thoả mãn X(t0 ) − Y (t0 ) < δ kéo theo X(t) − Y (t) < ε với t0 ∈ (a, ∞) 1.1.3 Định nghĩa Nghiệm X(t) (a < t < ∞) hệ phương trình vi phân (1.1) gọi ổn định tiệm cận t → ∞ i) Nó ổn định; ii) Với t0 ∈ (a, ∞) tồn ∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm Y(t) (t0 ≤ t < ∞) thoả mãn điều kiện Y (t0 ) − X(t0 ) < ∆ có tính chất lim Y (t) − X(t) t→∞ = (1.4) Ví dụ Xét hệ phương trình vi phân    dx1 = −2x1 dt dx2   = −3x2 dt Hệ phương trình có nghiệm tầm thường (x1 (t), x2 (t)) ≡ (0, 0) Với t0 = ta đặt x1 (0) = a x2 (0) = b, dễ thấy nghiệm hệ phương trình (y1 (t), y2 (t)) = (ae−2t , be−3t ) Với ε ta chọn δ = ε, (y1 (0), y2 (0)) − (x1 (0), x2 (0)) = a2 + b < δ suy a2 + b2 < δ = ε, ∀t ≥ (y1 (t), y2 (t)) − (x1 (t), x2 (t)) ≤ Do nghiệm tầm thường hệ ổn định Hơn ta có √ lim (y1 (t), y2 (t)) − (x1 (t), x2 (t)) = lim a2 e−4t + b2 e−6t = t→∞ t→∞ Vậy nghiệm hệ ổn định tiệm cận Nhận xét Nghiệm tầm thường X0 (t) ≡ (trường hợp F(0, t) ≡ 0) hệ phương trình vi phân (1.1) ổn định tiệm cận, nếu: i) X0 (t) ≡ ổn định; ii) Với t0 ∈ (a, ∞) tồn ∆(t0 ) > cho nghiệm Y(t) (t0 ≤ t < ∞) thoả mãn điều kiện Y (t0 ) < ∆ có tính chất lim Y (t) = t→∞ Ví dụ Xét hệ phương trình vi phân    dx1 = x2 dt dx   = −x1 + 2x2 dt Hệ phương trình có nghiệm tầm thường (x1 (t), x2 (t)) ≡ (0, 0) Dễ thấy (y1 (t), y2 (t)) = (tet , (t + 1)et )cũng nghiệm hệ phương trình Khi nghiệm tầm thường hệ khơng ổn định Thật vậy, với δ ta có lim t→∞ (y1 (t), y2 (t)) − (x1 (t), x2 (t)) = lim t→∞ t2 e2t + (t + 1)2 e2t = ∞ 1.1.4 Định nghĩa Giả sử hệ phương trình vi phân (1.1) xác định nửa không gian Ω = {Y : Y < ∞} × {a < t < ∞} Nghiệm X(t) (a < t < ∞) gọi ổn định tiệm cận toàn cục nghiệm X(t) ổn định tiệm cận t → ∞và tất nghiệm Y(t) (t0 ≤ t < ∞, t0 > a) có tính chất (1.4) Bây ta xét hệ phương trình vi phân có nhiễu dX = F (X, t) + B (X, t) dt (1.5) B(X, t) hàm véctơ xác định miền T, liên tục theo t có đạo hàm riêng cấp theo x1 , x2 , , xn liên tục 1.1.5 Định nghĩa Nghiệm X(t) (a < t t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ(ε, t0 ) > cho B(X, t) < δ tất nghiệm Y(t) hệ (1.5) thoả mãn điều kiện Y (t0 ) − X(t0 ) < δ kéo theo Y (t) − X(t) < ε, ∀t ∈ [t0 , ∞) 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính viết dạng ma trận - vectơ sau: dX = A (t) X + G (t) (1.6) dt ma trận A(t) hàm vectơ G(t) liên tục khoảng (a, ∞) Hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng là: dX = A (t) X dt (1.7) 1.2.1 Định nghĩa Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) gọi ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov tất nghiệm tương ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov t → ∞ 1.2.2 Định nghĩa i) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) gọi ổn định tiệm cận nghiệm ổn định tiệm cận t → ∞ ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) gọi ổn định nghiệm ổn định t → ∞ 1.2.3 Định lý Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (1.7) ổn định theo Liapunov Chứng minh Điều kiện cần Giả sử hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định; X(t) (t0 < t < ∞) nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.7) Khi tồn hai nghiệm X1 (t), X2 (t) hệ (1.6) cho X(t) = X1 (t) − X2 (t) Do hệ (1.6) ổn định nên nghiệm X1 (t) ổn định t → ∞ Do với ε > t0 ∈ (a, ∞)tồn δ > cho X1 (t0 ) − X2 (t0 ) < δ kéo theo X1 (t) − X2 (t) < ε, ∀t ≥ t0 Điều tương đương với X(t0 ) < δ kéo theo X(t) < ε, ∀t ≥ t0 ; hay nghiệm tầm thường Y(t) ≡ hệ (1.7) ổn định Điều kiện đủ Giả sử nghiệm tầm thường Y(t) ≡ hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.7) ổn định ; X(t), Y(t) hai nghiệm hệ phương trình tuyến tính khơng (1.6) Khi đó, ta đặt X(t) = X (t) − Y (t) X(t) nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1.7) Mặt khác, nghiệm tầm thường hệ (1.7) ổn định , nên với ε > 0, t0 ∈ (a, ∞) tồn δ > cho X(t) < ε, ∀t ≥ t0 X(t0 ) < δ Điều tương đương với X0 (t) − Yo (t) < δ kéo theo X(t) − Y (t) < ε, ∀t ≥ t0 hay nghiệm X(t) hệ (1.6) ổn định Do X(t) nghiệm nên hệ (1.6) ổn định Hệ Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định (khơng ổn định) theo Liapunov có nghiệm ổn định (tương ứng khơng ổn định) theo Liapunov Chứng minh • Giả sử X(t) nghiệm ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) Y(t) nghiệm hệ phương trình vi phân tương ứng (1.7) Khi đó: Z(t) = X(t) − Y (t) nghiệm hệ (1.7) Do nghiệm X(t) hệ (1.6) ổn định , nên suy với ε > 0, t0 ∈ (a, ∞) tồn δ > cho X(t0 ) − Z(t0 ) = Y (t0 ) < δ 18 Đổi biến X = TY, (T không suy biến) Y thoả mãn phương trình dY = (T −1 AT )Y ; Y (0) = T −1 dt Giả sử A có n giá trị riêng phân biệt λ1 , λ2 , , λn ; theo kết Đại số tuyến tính tồn ma trận không suy biến T cho T −1 AT = diag(λ1 , , λn ) A = T diag(λ1 , , λn )T −1 Từ ta suy Y = diag(eλ1 t , , eλn t )T −1 Bởi vậy, ta có X(t) = eAt = T diag(eλ1 t , , eλn t )T −1 Nếu Reλj ≤ nghiệm X(t) bị chặn Theo Định lý 1.3.1 hệ (1.15) ổn định Nếu Reλj < nghiệm X(t) → t → ∞ Theo Định lý 1.2.4 hệ (1.15) ổn định tiệm cận Từ Định lý 1.3.4 muốn chứng minh tính ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.15) ta cần chứng tỏ tất nghiệm λ1 , λ2 , , λn phương trình đặc trưng det(A − λ) = có phần thực âm 1.4 Tính ổn định theo xấp xỉ thứ Xét hệ phương trình vi phân sau dX = F (t, X) thoả mãn F (t, 0) ≡ dt (1.16) 19 Khai triển Taylor vế phải (1.16) theo X lân cận gốc toạ độ ta được: dX = A(t).X + R(t, X) dt Khi hệ vi phân tuyến tính dX = A(t) dt gọi hệ phương trình xấp xỉ thứ (1.16) (1.17) (1.18) Định nghĩa 1.4.1 Hệ vi phân (1.18) gọi dừng theo xấp xỉ thứ ma trận A ma trận số Định lý 1.4.2 Nếu hệ vi phân (1.18) dừng theo xấp xỉ thứ R bị chặn theo t, đồng thời tất nghiệm phương trình đặc trưng {A − λE} = có phần thực âm nghiệm tầm thường x ≡ hệ (1.17) (1.18) ổn định tiệm cận Định lý 1.4.3 Nếu hệ vi phân (1.18) dừng theo xấp xỉ thứ R bị chặn theo t tồn nghiệm phương trình đặc trưng {A − λE} = có phần thực dương nghiệm x ≡ khơng ổn định Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân:    dx1 = −x1 + 2x2 − 3x21 dt dx2   = 3x1 − 2x2 + x42 dt Dễ thấy điểm (0,0) điểm cân det(A − λE) = −1 − λ −2 − λ = ⇔ (λ + 2)(λ − 1) − = ⇔ λ2 + 3λ − = Ta thấy: −4 có ∆1 = ∆2 = −12 < Do (0,0) không ổn định 1.5 Phương pháp hàm Liapunov Xét hàm số V = V(t,X) liên tục theo t theo x1 , , xn miền Z0 , Z0 = {a < t < +∞, X < h} 20 Đầu tiên, đưa khái niệm hàm có dấu xác định hàm có dấu khơng đổi Định nghĩa 1.5.1 Hàm V(t,X) gọi hàm có dấu khơng đổi (dấu dương dấu âm) miền Z0 V(t,X) ≥ (hoặc V(t,X) ≤ 0) Định nghĩa 1.5.2 Hàm V(t,X) gọi hàm xác định dương miền Z0 tồn hàm W(X) cho V(t,X) ≥ W(X) > với X = V(t,0) = W(0) = Hàm V(t,X) gọi hàm xác định âm miền Z0 tồn hàm W(X) cho V(t,X) ≤ W(X) < với X = V(t,0) = W(0) = Định nghĩa 1.5.3 Hàm V(t,X) gọi hàm có giới hạn vơ bé bậc cao X → với ε > tồn δ = δ(ε) > cho |V (t, X)| < ε ||X|| < δ t ≥ t0 Xét hệ phương trình vi phân sau dX = F (t, X) thoả mãn F (t, 0) ≡ (1.19) dt Định lý 1.5.4 Nếu hệ (1.19) tồn hàm xác định dương V(t,X) có đạo hàm theo t xác định âm nghiệm tầm thường X ≡ hệ cho ổn định Định lý 1.5.5 Giả sử hệ (1.19) tồn hàm xác định dương V(t,X) có giới hạn vô bé bậc cao X → có đạo hàm theo t xác định âm Khi nghiệm tầm thường X ≡ hệ cho ổn định tiệm cận dX = F (X) xác định hàm V(X) > dt dV ≤ nghiệm tầm thường X ≡ hệ ổn định dt dX Định lý 1.5.7 Nếu hệ = F (X) xác định hàm V(X) > dt dV < nghiệm tầm thường X ≡ hệ ổn định tiệm cận dt dX Xét hệ phương trình = AX với X(0) = I (I ma trận đơn vị) dt A ma trận Khi đó, có Định lý sau Định lý 1.5.6 Nếu hệ 21 Định lý 1.5.8 Nếu tồn ma trận H xác định dương, đối xứng dX thoả mãn điều kiện AT H + HA = −I hệ = AX nói ổn định dt tiệm cận Với I ma trận đơn vị Chứng minh Ta chọn hàm Liapunov hệ dX = AX dt V (X) = X T HX dV d(X T HX) Khi V(X) > = dt dt dV dX T dX Suy = HX + X T H dt dt dt = (AX)T HX + X T HAX = X T AT HX + X T HAX = X T (AT H + HA)X dV < Theo Định lý 1.5.7 dt dX nghiệm X ≡ ổn định tiệm cận Suy hệ = AX ổn định tiệm dt cận Do đó, AT H + HA = −I 22 CHƯƠNG VỀ TÍNH α - ỔN ĐỊNH MŨ VỚI XÁC SUẤT CỦA MỘT LỚP HỆ VI PHÂN NGẪU NHIÊN CÓ NHIỀU TRỄ Khái niệm α - ổn định (ổn định mũ với tốc độ hội tụ a > 0) phận lý thuyết ổn định Liapunov Thông qua hàm Liapunov người ta nghiên cứu hệ thống, q trình tượng ngẫu nhiên có trễ thời gian, muốn cho hệ thống ổn định so với trạng thái cân Chương thiết lập điều kiện đủ cho tính α - ổn định mũ với xác suất hệ thống mơ tả hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, có nhiều trễ 2.1 Về tính α - ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có nhiều trễ Trong [1] Đậu Thị Thu Hiền Phan Đức Thành nghiên cứu tính α - ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có trễ Ta đưa vào kí hiệu: λmax (A) = max {Reλ : λ ∈ λ (A)} A = λmax AAT , n (A) = 12 λmax A + AT C ([a, b] , Rn ) = f : [a, b] → Rn liên tục xét hệ m Ai x(t − hi )dt + Bx(t)dWt , t > dx(t) = A0 x(t)dt + i=1 x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] (2.1) 23 h = max = {hi , i = 1, 2, , m} , B, Ai , (i = 0, , m) ma trận φ(t) ∈ C([−h, 0], Rn ), Wt trình Wienner tiêu chuẩn Định nghĩa Hệ (2.1) gọi α− ổn định với xác suất tồn hàm ξ: R+ → R+ cho với φ(t) ∈ C([−h, 0], Rn ) nghiệm x(t, φ) hệ thoả mãn: x(t, φ ≤ ξ ( φ ) e−αt , ∀t > hầu chắn (h.c.c) Bổ đề [1]: Giả sử S ∈ Rn×n ma trận đối xứng, xác định dương Khi với P, Q ∈ Rn×n ta có Px, x + Qy, x − Sy, y ≤ P + QS−1 QT x, x ∀x, y ∈ Rn Định lý sau cho ta điều kiện đủ để hệ (2.1) α - ổn định với xác suất Định lý Hệ (2.1) α - ổn định với xác suất tồn ma trận P đối xứng, xác định không âm thoả mãn phương trình ma trận: A0,α T [P + I] + [P + I] A0,α + n [P + I]Ai,α Ai,α T [P + I] i=1 +mI + B T [P + I] B = A0,α = A0 + αI, Ai,α = eα,hi Ai , i = 1, 2, m Chứng minh Giả sử P ma trận đối xứng, xác định khơng âm thoả mãn phương trình ma trận Đặt y(t) = eαt x(t) Khi hệ (2.1) có dạng: m Ai,α y(t − hi )dt + By(t)dWt , t > dy(t) = A0,α y(t)dt + i=1 y(t) = eαt φ(t), t ∈ [−h, 0] Xét hàm Liapunov: m V (t, y(t)) = P y(t), y(t) + y(t) t + y(s) i=1 t−h i ds 24 áp dụng quy tắc vi phân Itô lấy vi phân hàm V ta được: dV = P dy, y + P dy, dy + P by, Bydt + dy, y + By, Bydt + m y(t) m dt − y(t − hi) dt i=1 = (P + I)dy, y + (P + I)y, dy + (P + I)By, Bydt +m y(t) m dt − y(t − hi) i=1 dt m (P + I)Ai,α y(t − hi),ydt = (P + I)A0,α y, ydt + i=1 + (P + I)By, ydW + (P + I)y, A0, ydt m (P + I)y, Ai,α yt − hi )dt + (P + I), y, BydW + i=1 + (P + I)By, Bydt + m y(t) = y T A0,α T (P + I) + (P + I) A0,α m − y(t − hi ) dt i=1 + BT (P + I) B ydt m (P + I) Ai,α y(t − hi ), y(t)dt +2 i=1 +y T (B T (P m + I) + (P + I)B)ydW + m y(t) dt y(t − hi ), y(t − hi ) dt − i=1 = −y T m m (P + I)Ai,α Ai,α (P + I) + mI ydt + m y(t) dt i=1 (P + I) Ai,α y(t − hi ), y(t)dt +2 i=1 +y T (B T (P m =− i=1 m y(t − hi ), y(t − hi )dt + I) + (P + I)B)ydW − i=1 (P + I)Ai,α AT i,α (P + I)y, ydt − (P + I)Ai,α y(t − hi ), y + y(t − hi ), y(t − hi ) } (Vì EdW = 0) áp dụng bổ đề với S := I, Q := (P + I)Ai,α , P := P, x := y, y := y(t − hi ) ta có dV ≤ 0, ∀t > dt Suy dV (t, y(t)) ≤ 0, ∀0, h.c.c E Lấy tích phân vế từ đến t ta V (t, y(t)) − V (0, y(0)) ≤ 0, ∀t > 0, h.c.c 25 Do P y, y + y(t) t m + y(s) ds ≤ i=1 t−hi P y(0), y(0) + y(0) n + y(s) ds, h.c.c i=1 −hi Vì t P, y, y ≥ 0, y(s) ds ≥ t−hi 0 y(s) eαs x(s) ds = −hi −hi ds −hi eαs ≤ eαs φ(s) ds = φ(s) −hi 2αs e |−hi ≤ 2α φ ds ≤ = e2αs φ ds −hi −2αhi ) 2α (1 − e φ Nên kéo theo : y(t) ≤ P ≤ P y(0), y(0) + y(0) y(0) 2 + y(0) m + i=1 ≤ P φ + φ m + i=1 −2αhi ) 2α (1 − e −2αhi ) 2α (1 − e m 2 + i=1 φ (1 − e−2αhi ) φ 2α φ h.c.c h.c.c h.c.c Suy m y(t) ≤ P +1+ i=1 (1 − e−2αhi ) 2α φ := ξ ( φ ) h.c.c Mà y(t) = eαtx(t) nên suy : x(t, φ) ≤ e−αt ξ ( φ ) , ∀t > 0, h.c.c Điều chứng tỏ hệ ((2.1)) α− ổn định với xác suất 26 Định lý 2: Hệ (2.1) α− ổn định với xác suất tồn ma trận đối xứng, xác định khơng âm P thoả mãn phương trình ma trận AT0 P + P A0 + mI + B T (P + I)B = Khi tốc độ hội tụ α >0 số thoả mãn: m η(A0 ) + α PI + PI e2αh A PI = P + I, A = max Ai 2 ≤0 , i = 1, m , η(A0 ) = 12 λmax (A0 + AT0 ) Chứng minh Để chứng minh định lý ta sử dụng kỹ thuật cách chứng minh định lý Tức cần làm Liapunov V(t,y(t)) cho E dV ≤ dt Lấy hàm Liapunov m V (t, y(t)) = P y(t), y(t) + y(t) t + y(s) ds i=1 t−h i Từ dV = y T AT0,α (P + I)A0,α + B T (P + I)B ydt m +2 (P + I)Ai,α y(t − hi ), y(t)dt i=1 T +y B T (P +m y(t) + I) + (P + I)B)ydW m dt − y(t − hi ), y(t − hi )dt i=1 Và T T (P + I) A0,α + AT 0,α (P + I) = A0 P + PA0 + A0 + A0 + 2α((P + I) Ta có dV = y T (AT0 P + P A0 + mI + B T (P + I)B)ydt +y T (AT0 + A0 )ydt + 2αy T (P + I)ydt m +2 (P + I) Ai,α y(t − hi ), y(t)dt i=1 T +y I(B T (B m −2 + I) + (P +)B)ydW y(t − hi ), y(t − hi )dt i=1 27 Lấy kỳ vọng hai vế ta EdV = y T (AT0 P + P A0 + mI + B T (P + I)B)ydt +y T (AT0 + A0 )ydt + 2αy T (P + I)ydt m m (P + I) Ai,α y(t − hi ), y(t)dt − +2 i=1 y(t − hi ), y(t − hi )dt i=1 Vậy hệ (1) α - ổn định với xác suất 2.2 Về tính α- ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính có nhiều trễ Xét PTVP ngẫu nhiên có dạng sau: dx(t) = [A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h) + f (t, x(t − h)] dt + B(t)x(t)dw(t) (2.2) x (t) = Φ (t) ;t ∈ [−h; 0] A(t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×n φ(t) ∈ (C[−h, 0], Rn ) tồn hàm liên tục a(t), a1 (t) : R+ → R+ cho: f (t, x, y) ≤ a(t) x + a1 (t) y Xét phương trình hàm: d ˙ ˜ + B T (t)P (t)B(t) + I = P (t) + A˜T (t)P (t) + P (t)A(t) dt ˜ = A(t) + αI đây: A(t) Đặt: P = Sup P (t) , a1 = Sup a1 y(t) = t∈R+ αt e x(t) t∈R+ Khi phương trình (2.2) có dạng: ˜ ˜ dy(t) = A(t)y(t) + A˜1 (t)y(t − h) + f˜(t, y(t), y(t − h) dt + B(t)d W (t) 28 đó: A˜1 (t) = eαt A1 (t), ˜ = eαt B(t) B(t) f˜(t, y(t), y(t − h) = eαt f (t, e−αt y(t), e−δ(t−h) y(t − h) Ta lấy hàm Liapunov ngẫu nhiên dạng t V (t, y(t)) = y t (t)P (t)y(t) + y(s) dS t−h Chú ý rằng: f˜(t, y(t), y(t − h) = eαt f (t, e−αt y(t), e−α(t−h) y(t − h) ≤ eαt a(t)e−αt y(t) + a1 (t)e−α(t−h) y(t − h) = a(t) y(t) + a1 (t)eαt y(t − h) Lấy vi phân hàm Liapunov ta có: dV = P˙ (t)y(t), y(t) dt + P (t)y(t), ˙ y(t) dt y(t) − y(t − h) 2 −A˜T P − P A˜ − B T P B − I y, y dt + B T P By, y dt T + B(t) P (t)B(t)y(t), y(t) dt + = ˜ + A˜1y (t − h) + Byd ˜ W + f˜ , y + y(t) − y(t − h) +2 P Ay ˜ − P Aˆ , y − Iy, y + P Aˆ y, y = − P y, Ay +2 P Aˆ1 y(t − h), y + P f˜(.), y + ˆ = y, P Ay ˆ Do P(t) đối xứng: P y, Ay y(t) − y(t − h)2 nên ta có: EdV = − Iy, y + P A˜1 y(t − h), y + P f˜(.), y y(t) − y(t − h) Chú ý rằng: A˜1 (t) ≤ A1 eαh + 2 P A˜1 y(t − h), y ≤ 2P A1 eαh y(t − h) y(t) 29 P (t)f˜(.), y(t) ≤ 2P f˜(.) y(t) đó: E dV ≤ − y(t) + 2pA1 eαh y(t − h) y(t) dt +2p f˜(.) y(t) 1 y(t) ≤ − y(t − h) − 2 +2pA1 eαh y(t − h) y(t) − y(t − h) 2 +2pa(t) y(t) + a1 (t)eαh y(t − h) ≤ − + 2pa(t) + 2p(a1 + A1 )eαh y(t − h) y(t) ≤ − + 2pat + 2p2 (A1 + a1 )2 e2αh y(t) 2 Giả sử thoả mãn điều kiện: Sup a(t) ≤ − P (A1 + a1 )2 e2αh 4P t∈R+ Khi đó: ∃γ > cho: − y(t − h) 2 y(t) V˙ (t, yt ) ≤ −γ y(t) ∀t ∈ R+ h.c.c Lấy tích phân hai vế từ đến t bất đẳng thức ta có: t P (t)y(t), y(t) + y(s) dS − P (0)y(0), y(0) t−h − t y(S) dS ≤ −γ −h y(S) dS Lấy P(0) = I ý rằng: y(S) = eαS x(S) = eαS φ(S) với ∀t ∈ [−h, 0] ta có : y(S) ≤ eαS φ(S) ≤ eαS Sup φ(S) = M Do suy ra: t y(S) dS ≤ 1 y(0), y(0) + hM γ 2γ 30 Cho t → ∞ ta đến : ∞ y(S) dS < +∞ ˜ hệ (2.2) thuộc L2 [(0, +∞), Rn ) Điều chứng tỏ nghiệm y(t, Φ) ˜ hay: ∃N > cho y(t) ≤ N Φ x(t, Φ) ≤ N e−αt Φ h.c.c Từ ta đến định lý sau Định lý: Giả sử tồn ma trận đối xứng xác định dương thoả mãn phương trình hàm: dP (t) ˜ ) + B T (t)P (t)B(t) + I = + A˜T (t)P (t) + P (t)A(T dt thoả mãn điều kiện: Sup a(t) < t∈R+ − p(A1 + a1 )2 e2αh 4p Khi nghiệm x(t) hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.2) α - ổn định với xác suất 31 kết luận Sau trình làm việc hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn, tác giả đã đạt kết sau: 1.1 Trình bày có hệ thống số kiến thức lý thuyết ổn định( theo nghĩa Lyapunov ) hệ phương trình vi phân bao gồm nội dung: – Các định nghĩa lý thuyết ổn định – Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính – Tính ổn định theo xấp xỉ thứ – Phương pháp hàm Liapunov 1.2 Thiết lập điều kiện đủ cho tính α -ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ Với nội dung – Định nghĩa khái niệm α -ổn định mũ với xác suất – Trình bày điều kiện đủ cho tính α -ổn định mũ với xác suất hệ vi phân ngẫu nhiên dx (t) = A0 x (t) d (t) + Ai x (t − h) d (t) + Bx (t) dwt – Trình bày điều kiện đủ cho tính α -ổn định mũ với xác suất hệ vi phân nửa tuyến tính dx(t) = [A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h) + f (t, x(t − h)] dt +B(t)x(t)dw(t) Vấn đề mở cần tiếp tục Trình bày điều kiện đủ cho tính α -ổn định mũ với xác suất hệ vi phân nửa tuyến tính có dạng: dx(t) = [A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h) + f (t, x(t − h)] dt + g(t, x)dw(t) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thu Hiền Phan Đức Thành, (2007), Về tính α− ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có nhiều trễ, Tạp chí khoa học.Đại học Huế 8(42) 12- 2007 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, ( 2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục, Việt Nam [3] Vũ Ngọc Phát, ( 2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, Việt Nam [4] Nguyễn Duy Tiến − Vũ Viết Yên, ( 2001), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội [5] V N Phat and N M linh, (2001), Exponential stability of nonlinear time- varing differential equations and applications, Elect J Diff Equations 2001 N 34 [6] Vu Ngoc Phat and Phan Thanh Nam, (2005), Exponential stability criteria of linear nonautonomous systems with multiple delays,Electronic J of Diff Equations Vol 2005 N.58 1- ... định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có nhiều trễ Trong [1] Đậu Thị Thu Hiền Phan Đức Thành nghiên cứu tính α - ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có. .. i =1 Vậy hệ (1) α - ổn định với xác suất 2.2 Về tính α- ổn định mũ với xác suất lớp hệ vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính có nhiều trễ Xét PTVP ngẫu nhiên có dạng sau: dx(t) = [A(t)x(t) + A1 (t)x(t... (1. 7) ổn định tiệm cận ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1. 6) ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng (1. 7) ổn định 1. 3 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1. 3.1