Tính ổn định mũ của hệ phương trình sai phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— NGUYỄN THỊ LIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— NGUYỄN THỊ LIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học TS PHAN LÊ NA VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức lý thuyết ổn định 1.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.2 Ổn định hệ tuyến tính 1.3 Hàm có dấu xác định 13 Chương Tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân 15 2.1 Tính ổn định hệ sai phân 15 2.2 Tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân 18 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ổn định đóng vai trị quan trọng nhiều ứng dụng thực tiễn Hiện nay, lý thuyết ổn định quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, lĩnh vực kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học, mơi trường Bài tốn ổn định hệ thống nhiều nhà toán học nghiên cứu, đặc biệt nhà toán học V Liapunov đến trở thành hướng nghiên cứu thiếu lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Sau đó, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định mũ phương trình sai phân phi tuyến Gần đây, số nhà toán học tiến hành khảo sát tính ổn định nghiệm khơng phương trình sai phân Islam Raffoul [5] nghiên cứu tính ổn định nghiệm khơng hệ sai phân tuyến tính cách biểu diễn nghiệm thông qua ma trận giải thức R(n, s) Tuy nhiên, hạn chế ma trận giải thức khái niệm trừu tượng đòi hỏi cần điều kiện khả tổng Để tránh việc sử dụng trực tiếp ma trận giải thức, họ sử dụng hàm Liapunov xác định khơng âm nghiên cứu tính ổn định mũ nghiệm không hệ phi tuyến sau x(n + 1) = f (n, x(n)), n ≥ x(n0 ) = x0 , n0 ≥ 0, x(n) ∈ Rk , f (n, x(n)) : Rk × Z+ →Rk hàm phi tuyến cho trước thỏa mãn điều kiện f (n, 0) = với n ∈ Z+ Giả thiết f (n, x) có điều kiện cần thiết cho có nghiệm với n ≥ Trên sở tài liệu phương trình vi phân lý thuyết ổn định, áp dụng phương pháp thứ hai Liapunov số bất đẳng thức để nghiên cứu "Tính ổn định mũ phương trình sai phân phi tuyến" Luận văn trình bày khái niệm tính chất lý thuyết ổn định, tính ổn định hệ phương trình sai phân phi tuyến theo nghĩa Liapunov Sau dựa vào tính chất tính ổn định tìm điều kiện ổn định mũ hệ phương trình sai phân phi tuyến Luận văn gồm hai chương Chương Một số kiến thức lý thuyết ổn định Gồm nội dung: 1.1 Tính ổn định phương trình vi phân 1.2 Ổn định hệ tuyến tính 1.3 Hàm có dấu xác định Chương Tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân phi tuyến Nội dung chương gồm: 2.1 Tính ổn định hệ sai phân 2.2 Tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân Luận văn hồn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn trực tiếp tận tình giáo TS Phan Lê Na Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo dành cho tác giả giúp đỡ tận tình thời gian thực luận văn Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo Tổ Giải tích, khoa Tốn, khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu thầy cô giáo Trường THPT Đô Lương tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian lực thân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH Chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định phương trình vi phân Các khái niệm tính chất tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ nghiệm hệ vi phân (xem [1], [2], [3], [4], [5]) 1.1 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Xét hệ thống mơ tả phương trình vi phân x˙ = f (t, x), t ≥ (1.1) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ, f : R+ × Rn →Rn hàm vectơ cho trước Giả thiết f (t, x) hàm thỏa mãn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ tồn Khi dạng tích phân nghiệm cho cơng thức t f (s, x(s))ds x(t) = x0 + t0 1.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ (1.1) gọi ổn định với số ε > 0, t0 ≥ tồn δ > (phụ thuộc vào ε, t0 ) cho nghiệm y(t0 ) = y0 hệ thỏa mãn y0 − x0 ≤ δ nghiệm bất đẳng thức y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ t0 Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định nghiệm khác hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu x(t) đủ gần suốt thời gian t ≥ t0 1.1.2 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định có số δ > cho với y0 − x0 < δ lim y(t) − x(t) = t→∞ Nghĩa là, nghiệm x(t) ổn định tiệm cận ổn định nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 tiến tới gần x(t) t tiến tới vô vùng Nhận xét Bằng phép biến đổi (x, y)→z, (t−t0 )→τ hệ phương trình (1.1) đưa dạng quy đổi Z˙ = F (τ, z), (1.2) F (τ, 0) = Khi ổn định nghiệm x(t) hệ (1.1) đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm không hệ (1.2) Để ngắn gọn ta quy ước nói hệ (1.2) ổn định thay cho nói nghiệm khơng hệ ổn định Do đó, từ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm khơng, tức F (t, 0) = 0, t ∈ R+ Ta nói: - Hệ (1.1) ổn định với ε > 0, t0 ∈ R+ tồn số δ > (phụ thuộc vào ε, t0 ) cho nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 thỏa mãn x < δ x(t) < ε với t ≥ t0 - Hệ (1.1) ổn định tiệm cận hệ ổn định có số δ < cho x0 < δ lim x(t) = t→∞ Nếu số δ > định nghĩa không phụ thuộc vào thời gian t0 tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) gọi ổn định (hay ổn định tiệm cận đều) 1.1.3 Định nghĩa Nghiệm x = hệ gọi ổn định mũ t→∞ nghiệm x(t) = x(t, x0 , t0 ) hệ ta có x(t) ≤ N x(t0 ) e−α(t−t0 ) , t0 ≤ t < ∞, N, α > không phụ thuộc x(t) 1.1.4 Nhận xét Nghiệm ổn định mũ nghĩa nghiệm dần t→∞ với tốc độ hàm mũ Sau khái niệm ổn định mũ nghiệm không tầm thường 1.1.5 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ (1.1) ổn định mũ nghiệm ξ(t) hệ thỏa mãn x(t) − ξ(t) ≤ N x(t0 ) − ξ(t0 ) e−α(t−t0 ) , t ≥ t0 , N, α > khơng phụ thuộc x(t) 1.1.6 Định nghĩa Hệ phương trình vi phân gọi ổn định mũ nghiệm hệ ổn định mũ 1.1.7 Ví dụ Xét tính ổn định phương trình vi phân R x˙ = ax, t ≥ Ta có nghiệm x(t) với x(t0 ) = x0 cho công thức x(t) = x0 eat , t ≥ Khi hệ ổn định (tiệm cận, mũ) a < Nếu a = hệ ổn định Hơn nữa, hệ ổn định (hoặc ổn định tiệm cận đều) số δ > chọn không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 1.1.8 Định lý Nghiệm tầm thường x = ổn định mũ x = ổn định tiệm cận Chứng minh Giả sử x = ổn định mũ, t0 ≤ t < ∞ N, α không phụ thuộc nghiệm x = ta có x(t) ≤ N x(t0 ) −α(t−t0 ) Với ε > bé tùy ý, chọn δ= ε > 0, N kết hợp với định nghĩa ổn định mũ ta có x(t) ≤ N ε −α(t−t0 ) e = ε.e−α(t−t0 ) < ε, N với t ≥ t0 Tức x = ổn định Hơn lim x(t) = x(t0 ) < ∞ Vậy nghiệm x = ổn định tiệm t→∞ cận 1.1.9 Định lý Nếu nghiệm tầm thường hệ dx = Ax (A ma trận hằng, x(t0 ) = x0 ) dt ổn định tiệm cận t→∞ hệ ổn định mũ 1.1.10 Định lý (Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử hàm u(t), a(t) hai hàm số không âm xác định [t0 , +∞) giả sử t u(t) ≤ C + a(s).u(s)ds, t0 ∀t ≥ t0 ≥ Theo định nghĩa ổn định tiệm cận thì, A = q < An →0 Vậy xn →0 n→∞ Do tất giá trị riêng ma trận A có giá trị tuyệt đối nhỏ Vậy ta có định lý sau 2.1.3 Định lý ([4]) Hệ (2.2) ổn định tiệm cận hai điều kiện sau thỏa mãn (i) Tồn số < q < 1, cho A = q < 1; (ii) |λ| < 1, với λ ∈ λ(A) 2.1.4 Ví dụ Xét tính ổn định hệ  x1 (n + 1) = 12 x1 (n), n ∈ Z+  x2 (n + 1) = 14 x1 (n) + 13 x2 (n) ta có  A=   Các giá trị riêng A λ1,2 = 12 , 13 nhỏ Vậy hệ ổn định tiệm cận Đối với hệ khơng dừng ta có tiêu chuẩn tính ổn định tương tự, song chứng minh dựa bất đẳng thức Gronwall cho hệ rời rạc 2.1.5 Định lý (Bất đẳng thức Gronwall rời rạc) ([4]) Cho z(k), a(k) : Z + →Z + dãy số không âm, C ≥ thỏa mãn điều kiện k−1 z(k) ≤ C + a(s).z(s), s=0 16 z(0) ≤ C, k = 1, 2, Khi k−1 z(k) ≤ C (1 + a(s)), k = 1, 2, s=0 Chứng minh Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp Với k = z(k) ≤ C + a(0).z(0) ≤ C(1 + a(0)) Bất đẳng thức (2.3) Giả sử (2.3) với bước k − 1, tức k−2 z(k − 1) ≤ C (1 + a(s)) s=0 Ta chứng minh (2.3) với bước k Tại bước k ta có k−2 z(k) ≤ C + a(s).z(s) + a(k − 1).z(k − 1) s=0 Theo giả thiết quy nạp k−2 (1 + a(s)) + a(k − 1).z(k − 1) z(k) ≤ C s=0 k−2 ≤C k−2 (1 + a(s)) + a(k − 1)C s=0 (1 + a(s)) s=0 Tức k−1 z(k) ≤ C (1 + a(s)) s=0 Vậy đẳng thức (2.3) Điều phải chứng minh 2.1.6 Định lý Xét hệ (2.1) x(n + 1) = A(n)x(n), n ∈ Z+ (i) Hệ ổn định tiệm cận tồn số q ∈ (0; 1) cho A(n) ≤ q, 17 ∀n ∈ Z+ (2.3) (ii) Nếu A(n) = A + C(n) A ma trận ổn định C(n) ≤ a Khi hệ ổn định tiệm cận với số a > đủ nhỏ Chứng minh Chứng minh điều kiện (i) suy từ Định lý 2.1.3 Ta chứng minh (ii), trước tiên ta thấy nghiệm hệ với x(0) = x0 cho n−1 n An−i−1 C(i)x(i) x(n) = A x0 + i=0 Dựa vào tính ổn định A, ta có đánh giá sau n−1 x(n) ≤ q n q n−i−1 a x(i) x0 + i=0 sử dụng Bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc với u(n) = q −n x(n) , C = x0 , a(n) = a q ta có n−1 x(n) ≤ x0 q n 1+ i=0 a , q n ∈ Z+ Vậy x(n) ≤ x0 (q + a)n Vì q ∈ (0; 1) nên chọn số a > đủ nhỏ để < q + a < x(n) →0 n→ + ∞ Vậy hệ ổn định tiệm cận Định lý chứng minh 2.2 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Xét hệ sai phân phi tuyến x(n + 1) = f (n, x(n)), n ≥ (2.4) x(n0 ) = x0 , n0 ≥ 0, x(n) ∈ Rk , f (n, x(n)) : Rk × Z+ →Rk hàm phi tuyến cho trước thỏa mãn điều kiện f (n, 0) = với n ∈ Z+ Giả thiết f (n, x) có điều kiện cần thiết cho có nghiệm với n ≥ 18 Rk không gian vectơ Ơcơlit k chiều, Z+ , R+ tập số nguyên không âm số thực không âm; x chuẩn Ơcơlit vectơ x(n) ∈ R+ Sau này, hàm f trình bày mà khơng đề cập đến đối số đối số hiểu n (xem [6]) Ta có định lý sau ổn định hệ (2.4) vế phải đặc biệt 2.2.1 Định lý Trong (2.4) với f (n, x) = A(n)x + g(n, x) Giả sử (i) Tồn q ∈ (0, 1) cho A(n) ≤ q với n ∈ Z+ ; (ii) g(n, x) ≤ L(n) x , ∀n ∈ Z+ với lim supL(n) = n→∞ Khi hệ (2.4) ổn định tiệm cận Định lý áp dụng phương pháp thứ hai Liapunov, với ∆V (x) = V (x(n + 1)) − V (x(n)) 2.2.2 Định lý (Liapunov) Nếu tồn hàm V (x) : Rn →R thỏa mãn (i) ∃λ1 > 0, λ2 > : λ1 x ≤ V (x) ≤ λ2 x (ii) ∃λ3 > : ∆V (x) ≤ −λ3 x(n) Khi hệ (2.4) ổn định tiệm cận Nếu vi phạm hai điều kiện hệ (2.4) không ổn định Bây giờ, sử dụng hàm Liapunov để thiết lập điều kiện đủ tính ổn định mũ nghiệm khơng (2.4) 2.2.3 Định nghĩa Nghiệm không hệ (2.4) gọi ổn định mũ nghiệm x(n, n0 , x0 ) thỏa mãn x(n, n0 , x0 ) ≤ C( x0 n0 ).aδ(n−n0 ) với n ≥ n0 , số a > 1, C : R+ × Z+ →R+ δ > 19 Nghiệm không (2.4) gọi ổn định mũ C không phụ thuộc vào n0 Đặt ∆V (n, x) = V (n + 1, x) − V (n, x) 2.2.4 Định lý Cho số a > D ∈ R+ tập mở chứa điểm gốc, V (n, x) : Z+ × D→R+ hàm cho trước thỏa mãn λ1 x p ≤ V (n, x) ≤ λ2 x q (2.5) ∆V (n, x) ≤ −λ3 x r + ka−δn (2.6) số dương λ1 , λ2 , λ3 , p, q, r, k δ Ngoài ra, số dương α γ thỏa mãn 0< λ3 r q ≤α− ln(a) (2.9) Khi đó, nghiệm không (2.4) ổn định mũ Chứng minh Đầu tiên, lưu ý với điều kiện (2.7), số δ với điều kiện cho trước (2.9) dương Lấy vi phân hàm V (n, x)aM (n−n0 ) với r ln(1 − λ3 /λ2q ) M =− ln(a) có ∆(V (n, x)aM (n−n0 ) ) = [V (n + 1, x)aM − V (n, x)]aM (n−n0 ) 20 Với x ∈ D, từ (2.6) ta có ∆(V (n, x)aM (n−n0 ) ) ≤ [−λ3 x r aM + V (n, x)aM (2.11) −δn M + ka − V (n, x)]a a M (n−n0 ) Từ điều kiện (2.5) V (n, x) ≤ λ2 x q ⇒ x q V (n.x) λ2 V (n, x) ≤− λ2 ≥ r ⇒− x r q Do đó, bất phương trình (2.8) trở thành ∆(V (n, x)a M (n−n0 ) r q M r ≤ [−a (λ3 /λ2 )V q (n, x) + V (n, x)aM + ka−δn aM − V (n, x)]aM (n−n0 ) r q M r = [−a (λ3 /λ2 )V q (n, x) + (aM − 1)V (n, x) + ka−δn aM ]aM (n−n0 ) Từ r ln(1 − λ3 /λ2q ) M =− ln(a) r có aM − = aM (λ3 /λ2q ) Do đó, bất phương trình trở thành r ∆(V (n, x)aM (n−n0 ) ) ≤ [(aM − 1)(V (n, x) − V q (n, x)) (2.11) −δn M + ka a ]a M (n−n0 ) Khai triển điều kiện (2.8) bất phương trình (2.11) có dạng ∆(V (n, x)aM (n−n0 ) ) ≤ ((aM − 1)γ + kaM )a−δs aM (n−n0 ) ≤ ((aM − 1)γ + kaM )a−δn+δn0 aM (n−n0 ) = La(M −δ)(n−n0 ) , L = (aM − 1)γ + kaM 21 Lấy tổng bất phương trình với giá trị từ n0 đến (n − 1) có n−1 V (n, x)a M (n−n0 ) − V (n0 , x0 ) ≤ La a(M −δ)s −(M −δ)n0 s=n0 La−(M −δ)n0 (M −δ)n = (M −δ) a − a(M −δ)n0 a −1 L = (M −δ) a(M −δ)(n−n0 ) − a −1 Do M < δ V (n0 , x0 ) ≤ λ2 xq0 , bất phương trình trở thành L − a(M −δ) V (n, x)aM (n−n0 ) ≤ λ2 xq0 + Đặt B( x0 ) = λ2 x0 q + L − a(M −δ) có V (n, x) ≤ B( x0 )a−M (n−n0 ) (2.12) Từ điều kiện (2.5) ta có λ1 x p ≤ V (n, x) kéo theo p V (n, x) λ1 x = (2.13) Kết hợp (2.12) (2.13) ta có x ≤ B( x0 ) λ1 p M M a− p (n−n0 ) = C( x0 )a− p (n−n0 ) Vậy nghiệm không (2.4) ổn định mũ 2.2.5 Ví dụ Xét phương trình phi tuyến x(n + 1) = δx(n) + Rx (n)a−ln , 22 (2.14) a > l số với l>− ln l − λ3 r λ2q ln(a) với λ1 = λ2 = 1, R2 λ3 = − δ + |δ||R| + 3 , p = 2, q = r = Nếu R2 δ + |δ||R| + D ⊂ Rk tập mở chứa điểm gốc V (n, x) : Z+ × D→R+ hàm thỏa mãn λ1 (n) x p q (2.15) + ka−δn , (2.16) ≤ V (n, x) ≤ λ2 (n) x ∆V (n, x) ≤ −λ3 (n) x r với số dương p, q, r, k, δ hàm dương λ1 (n), λ2 (n), λ3 (n), λ1 (n) dãy khơng giảm Ngồi ra, giả thiết với số dương α γ thỏa mãn 0< λ3 (n) r q ≤α inf − λ3 (n) r λ2q (n) ln(a) , n ∈ Z+ (2.19) Khi nghiệm khơng (2.4) ổn định mũ Chứng minh Đầu tiên, lưu ý với điều kiện (2.17), số δ với điều kiện cho trước (2.19) dương Lấy vi phân hàm V (n, x)aM (n−n0 ) với −ln − M = inf λ3 (n) ln(a) 24 r λ2q (n) , n ∈ Z+ Chúng ta có ∆(V (n, x)aM (n−n0 ) ) = [V ((n + 1), x)aM − V (n, x)]aM (n−n0 ) Bằng cách sử dụng lập luận tương tự Định lý 2.2.4 ta thu V (n, x) ≤ B( x0 λ2 (n0 ))a−M (n−n0 ) , (2.20) B( x0 , λ2 (n0 )) = λ2 (n0 ) x0 q + L − a(M −δ) Từ điều kiện (2.15) λ1 (n) dãy khơng giảm, có x ≤ p V (n, x) λ1 (n) ≤ V (n, x) λ1 (n0 ) p (2.21) Kết hợp (2.20) (2.21) ta có x ≤ B( x0 )λ2 (n0 ) λ1 (n0 ) p M M a− p (n−n0 ) = C( x0 ), n0 )a− p (n−n0 ) Do đó, nghiệm khơng (2.4) ổn định mũ Hệ kết trực tiếp Định lý 2.2.6 2.2.7 Hệ Với giả thiết Định lý 2.2.6 giữ nguyên, có điều kiện khơng giảm λ1 (n) thay điều kiện λ1 (n) ≥ a−N n với n ≥ n0 ≥ < N < M Khi nghiệm khơng (2.4) ổn định mũ Định lý sau khơng cần địi hỏi đầy đủ giả thiết Định lý 2.2.8 Định lý Cho a số với a > D ∈ Rk tập mở chứa điểm gốc cho V (n, x) : Z+ × D→R+ hàm thỏa mãn λ1 x p ≤ V (n, x), 25 (2.22) ∆V (n, x) ≤ −λ2 V (n, x) + ka−δn , < λ2 < 1, (2.23) với số dương λ1 , λ2 , p, k, δ Khi nghiệm khơng (2.4) ổn định mũ Chứng minh Cho ξ cố định thỏa mãn < ξ < − ln(1 − λ2 ) ,δ ln(a) Chú ý − ln(1 − λ2 ) > 0, < λ2 < a > ln(a) Lấy ∆(aξn V (n, x)) theo nghiệm (2.4) sử dụng điều kiện (2.22) (2.23) ta thu ∆(V (n, x)aξn ) = aξn [aξ (1 − λ2 )V (n, x) − V (n, x) + ka−δn ] ≤ kaξn a−δn Do n−1 V (n, x)a ξn ≤a ξn0 a(ξ−δ)s V (n0 , x0 ) + k s=n0 ≤ aξn0 V (n0 , x0 ) + ≤ aξn0 V (n0 , x0 ) + ≤ aξn0 k aξ−δ −1 [a(ξ−δ)n − a(ξ−δ)n0 ] ka(ξ−δ)n0 − a(ξ−δ) k V (n0 , x0 ) + − a(ξ−δ) Do |x|p ≤ λ1 V (n0 , x0 ) + k − a(ξ−δ) a−ξ(n−n0 ) , ∀n ≥ n0 Điều phải chứng minh 2.2.9 Ví dụ Cho a số với a > xét phương trình phi tuyến x(n + 1) = δx + R + aγ1 n sin(x) 26 (2.24) γ1 > a−γ2 |δ| + < Giả thiết −ln a−γ2 |δ| + γ2 < M = ln(a) Nếu γ1 − γ2 ≤ −η, số dương η, với ln a−γ2 |δ| + η>− ln(a) γ2 > 0, nghiệm không (2.24) ổn định mũ Cho V (n, x) = a−γ2 n |x(n)| Bằng cách tính ∆V (n, x) theo nghiệm (2.24) thu ∆V (n, x) = a−γ2 (n+1) |x(n + 1)| − a−γ2 n |x(n)| ≤ (|δ||x| + |R||x| + aγ1 n ) × a−γ2 (n+1) − a−γ2 n |x(n)| Sử dụng bất phương trình Young với e = f = có |x| |R||x| ≤ |R| + 3 ⇒ ∆V (n, x) ≤ a−γ2 n a−γ2 |δ| + |δ| + |δ| + ≤ a−γ2 n a−γ2 |δ| + = a−γ2 n a−γ2 = − − a−γ2 − |x| + a−γ2 (n+1) |R| + a−γ2 (n+1)+γ1 n 3 − |x| + a−γ2 (n+1) aγ1 n |R| + a−γ2 (n+1)+γ1 n 3 − |x| + a−γ2 |R| + a(γ1 −γ2 )n 3 a−γ2 n |x| + a−γ2 |R| + + a−ηn Do vậy, điều kiện Hệ 2.2.7 thỏa mãn với N = γ2 , λ1 (n) = λ2 (n) = a−γ2 n , λ3 (n) = − a−γ2 |δ| + 27 a−γ2 n , p = q = r = 1, δ = η k = a−γ2 2 |R| +1 Vậy nghiệm không hệ (2.24) ổn định mũ 28 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định phương trình vi phân Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Trình bày số kiến thức tính ổn định hệ sai phân, tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân Chứng minh chi tiết Định lý 2.2.4, Định lý 2.2.6, Định lý 2.2.8 tính ổn định mũ nghiệm khơng tính ổn định mũ nghiệm khơng Đưa số ví dụ minh họa cho định lý 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Công Đông (2006), Một số tính chất tính ổn định tiệm cận phương trình sai phân có trễ, Luận văn Thạc sĩ, ĐH Vinh [2] Barbasin (1973), Mở đầu lý thuyết ổn định, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [3] Phạm Ngọc Bội (2007), Bài giảng lý thuyết ổn định Liapunov, Nxb Đại học Huế [4] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2002), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb Giáo dục [5] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Muhammad N Islam and Youssef N Raffoul (2003), Exponential stability in non - Linear difference equations, Journal of Difference equations and applications, Vol 9, pp.819 - 825 30 ... CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong chương trình bày số kiến thức tính ổn định hệ sai phân theo nghĩa Liapunov, tính ổn định hệ phi tuyến tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân. .. sau Trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định phương trình vi phân Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Trình bày số kiến thức tính ổn định hệ sai phân, tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân. .. 13 Chương Tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân 15 2.1 Tính ổn định hệ sai phân 15 2.2 Tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân