Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VIẾT DƯƠNG BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VIẾT DƯƠNG BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất & Thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 Người hướng dẫn khoa học TS ĐỖ ĐỨC THUẬN Vinh - 2016 MỤC LỤC Lời cảm ơn iv Danh sách ký hiệu v Mở đầu vi Các khái niệm 1.1 Tích phân ngẫu nhiên cơng thức Itơ 1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên 1.1.2 Công thức Itô 1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 11 1.3.1 Công thức Liouville ngẫu nhiên 12 1.3.2 Công thức biến thiên số 14 Bán kính ổn định phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên 17 2.1 Bán kính ổn định phương trình vi phân tất định tuyến tính 17 2.1.1 Tốn tử vào 19 2.1.2 Đặc trưng bán kính ổn định 21 Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 23 2.2.1 Tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên 23 2.2.2 Bán kính ổn định 24 2.2.3 Đặc trưng bán kính ổn định 27 2.2 Tài liệu tham khảo 32 iii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh Viện nghiên cứu cao cấp Toán VIASM hướng dẫn tận tình chu đáo TS Đỗ Đức Thuận quan tâm giúp đỡ TS Nguyễn Thanh Diệu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Trong trình học tập nghiên cứu, thông qua giảng học phần seminar, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ dạy tận tình thầy, giáo khoa Sư phạm Tốn học Trường Đại học Vinh nói chung thầy, cô giáo tổ Bộ môn xác suất thống kê Tốn ứng dụng nói riêng Tác giả xin chân thành cảm ơn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Vinh, Phòng sau Đại học Trường Đại học Vinh tạo điều kiện cho tác giả học tập nghiên cứu Qua đây, tác giả xin cảm ơn gia đình, người thân, tập thể lớp cao học khóa K22 Lý thuyết xác suất thơng kê Tốn học, anh chị NCS VIASM động viên, giúp đỡ, trao đổi khoa học giúp tác giả hoàn thành tốt luận văn Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận lời nhận xét, góp ý thầy giáo bạn đọc Vinh, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Viết Dương iv DANH SÁCH KÝ HIỆU N tập hợp số tự nhiên R+ [0, +∞),tập số thực không âm Rn không gian vector Euclide n chiều trace A vết ma trận A X∗ chuyển vị X |A| chuẩn toán tử A |x| x = √ giá trị tuyệt đối số thực x xT x chuẩn Euclide vector x Rd×n khơng gian (d × n)-ma trận thực In ma trận đơn vị cấp n F = (Ft ), t dãy tăng σ-đại số chuẩn ma trận A A Lp (R+ ; Rd ) họ trình {f (t)}t≥0 cho ∀T > {f (t)}0 t T ⊂ Lp ([0, T ]; Rd ) A−1 ma trận nghịch đảo ma trận A (Ω, F , P) không gian xác suất P(A) xác suất biến cố A Ft = σ(Xs )0 s t σ-đại số sinh trình ngẫu nhiên X v MỞ ĐẦU Hiện nay, vấn đề quan tâm phương trình chịu ảnh hưởng "nhiễu nhỏ" Phần lớn tính chất “tốt” đối tượng tốn học bảo tồn tham số cấu trúc đối tượng chịu nhiễu bé Ví dụ: tính ổn định tiệm cận nghiệm phương trình vi phân; tính đặt chỉnh (well-posedness) phương trình tuyến tính, tính hội tụ thuật tốn giải tích số; tính khả nghịch ma trận vng đại số tuyến tính Sự bảo tồn tính chất định tính ảnh hưởng nhiễu gọi bền vững Các nhà tốn học mong muốn tìm định lượng nhằm đánh giá khả bảo tồn tính chất định tính hệ thống ảnh hưởng nhiễu gọi bán kính bảo tồn Đối với tính ổn định, xuất phát từ hai báo đăng tạp chí Systems & Control Letters [4, 5], tác giả D Hinrichsen A.J Pritchard phát triển hướng nghiên cứu hướng nghiên cứu ổn định vững hệ động lực dựa khái niệm bán kính ổn định Hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tính hiệu ứng dụng kĩ thuật (xem [1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 11]) Vì chúng tơi chọn đề tài : "Bán kính ổn định phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên" Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương • Chương Các khái niệm Trong chương này, trình số kiến thức cở để phục vụ cho Chương • Chương Bán kính ổn định phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu vi ngẫu nhiên Chương nội dung luận văn Trong chương nghiên cứu bán kính ổn định phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên Cụ thể định nghĩa bán kính ổn định đặc trưng bán kính ổn định phương trình vi phân tất định tuyến tính phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính vii Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên cơng thức Itơ Tích phân ngẫu nhiên Nhiều mơ hình ngành khoa học, cộng nghệ, kinh tế sinh thái có ảnh hưởng yếu tố ngẫu nhiên mơi trường bên ngồi Chẳng hạn xét mơ hình tăng trưởng dân số dN (t) = a(t)N (t) dt (1.1) với điều kiện ban đầu N (0) = N0 , N (t) số dân thời điểm t a(t) tỉ lệ tăng trưởng tương đối Điều xảy a(t) biết chưa đầy đủ chịu ảnh hưởng mơi trường Do a(t) = r(t) + σ(t)”noise”, phương trình (1.1) có dạng dN (t) = r(t)N (t) + σ(t)N (t)”noise” dt Nghĩa có dạng tích phân t N (t) = N0 + t r(s)N (s)ds + σ(s)N (s)”noise”ds (1.2) Một câu hỏi đặt là: Biểu thức tốn học "noise" tích phân t σ(s)N (s)"noise"ds gì? ˙ Người ta biểu thức toán học "noise" ồn trắng B(t) xem đạo hàm trình chuyển động Brown B(t), nghĩa ˙ B(t) = dB(t) dt ˙ Do phần ”noise”dt xem B(t)dt = dB(t) t t σ(s)N (s)"noise"ds = σ(s)N (s)dB(s) (1.3) Nếu trình chuyển động Brown B(t) khả vi việc xác định tích phân khơng có vấn đề Ta biết với ω ∈ Ω quỹ đạo B(· , ω) trình chuyển động Brown khơng khả vi tích phân định nghĩa theo cách thông thường Nếu σ(t)N (t) q trình có biến phân giới nội xác định tích phân sau t t σ(s)N (s)dB(s) = σ(t)N (t)B(t) − B(s)d[σ(s)N (s)] Tuy vậy, thực tế σ(t)N (t) liên tục khả tích Do việc xác định tích phân t σ(s)N (s)dB(s) gặp khó khăn Năm năm 1944, K Itơ nhà tốn học người Nhật Bản lần đưa cách xây dựng tích phân t f (s)dB(s) I= (1.4) Trong đó, {B(t)}t≥0 q trình chuyển động Brown m-chiều, {f (t)} lớp trình ngẫu nhiên nhận giá trị Rd×m Ngày nay, người ta gọi tích phân (1.4) tích phân ngẫu nhiên Itơ Bây ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên chiều đoạn [a, b] Lấy (Ω, F , P) không gian xác suất với lọc {Ft } thỏa mãn điều kiện thông thường Lấy B = {B(t)}t≥0 q trình chuyển động Brown xác định khơng gian xác suất phù hợp với lọc {Ft } Định nghĩa 1.1.1 Lấy ≤ a ≤ b < ∞ Ký hiệu M2 ([a, b]; R) không gian trình f = {f (t)}t≥0 nhận giá trị thực, (Ft )-phù hợp cho b f a,b |f (t)|2 dt < ∞ =E a (1.5) Chúng ta đồng f f¯ M2 ([a, b]; R) f − f¯ a,b = Trong trường hợp nói f f¯ tương đương viết f = f¯ Định nghĩa 1.1.2 Một trình ngẫu nhiên g = {g(t)}a≤t≤b gọi trình đơn giản tồn phân hoạch đoạn [a, b]: a = t0 < t1 < < tk = b biến ngẫu nhiên bị chặn ξi , ≤ i ≤ k − cho ξi Fti - đo k−1 g(t) = ξ0 I[t0 ,t1 ] (t) + (1.6) ξi I(ti ,ti+1 ] (t) i=1 Ký hiệu tập trình ngẫu nhiên đơn giản M0 ([a, b]; R) Rõ ràng M0 ([a, b]; R) ⊂ M2 ([a, b]; R) Định nghĩa 1.1.3 Giả sử g trình ngẫu nhiên đơn giản xác định (1.6) M0 ([a, b]; R) Khi tích phân ngẫu nhiên g q trình chuyển động Brown {B(t)}t xác định sau k−1 b ξi (B(ti+1 ) − B(ti )) g(t)dB(t) = a Rõ ràng, b a g(t)dB(t) (1.7) i=0 Fb -đo được, ta tích phân ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên thuộc lớp L2 (Ω, R) Bổ đề 1.1.4 Nếu g ∈ M0 ([a, b]; R), b (1.8) g(t)dB(t) = 0, E a b b g(t)dB(t) E |g(t)|2 dt =E a (1.9) a Bổ đề 1.1.5 Giả sử g1 , g2 ∈ M0 ([a, b]; R) c1 , c2 hai số thực Khi c1 g1 + c2 g2 ∈ M0 ([a, b]; R) b b (c1 g1 (t) + c2 g2 (t)) dB(t) = c1 a b g1 (t)dB(t) + c2 a g2 (t)dB(t) a (1.10) 2.1.1 Toán tử vào Với giả thiết H0 − H3 nghiệm (2.1) thỏa mãn phương trình t m x(t) = eAt x0 + eA(t−s) Dj ∆j (Cx(s))dBj (s), (2.2) j=1 tích phân hiểu tích phân Itơ Cũng trường hợp tất định toán tử vào đóng vai trị quan trọng Trong mục ta đặt : V = L2 0, ∞; L2 (Ω, Klj ) × × L2 0, ∞; L2 (Ω, Klm ) , m H=L Kq 0, ∞; L2 (Ω, K ) , v = (v1 , , vm ), v V vj , = j=1 ∞ h(·) H E( h(t) )dt = ta định nghĩa L : V → H cho t m CeA(t−s) Dj vj (s) dBj (s) (Lv)(t) = (2.3) j=1 Định lý 2.1.3 Giả sử H0 − H3 ∆ < L −1 , L định nghĩa (2.3), phương trình (2.1) gọi L2 -ổn định Chứng minh Từ (2.2) ta có m Cx(t) = CeAt x0 + t CeA(t−s) Dj ∆j (Cx(s) dBj (s) (2.4) j=1 Đặt y(t) = Cx(t), y0 (t) = CeAt x0 , từ (2.4) trở thành (2.5) y(·) = y0 (·) + L(∆1 (y), , ∆m (y))(·) Nhưng với y, y ∈ H, L(∆1 (y), , ∆m (y))(·) − L(∆1 (y), , ∆m (y))(·) L H (∆1 (y)(·) − ∆1 (y)(·), , ∆m (y)(·) − ∆m (y)(·)) 1/2 m ∆j L V y(·) − y(·) j=1 19 H = L ∆ y(·) − y(·) H Vậy (2.5) có nghiệm y(·) H định lý ánh xạ co Bây ta định nghĩa t m At eA(t−s) Dj ∆j (y(s))dBj (s), x(t) = e x0 + t j=1 Thật dễ thấy x(·) nghiệm (2.1) từ x(·) ∈ L2 [0, ∞, L2 (Ω, Kn )] phương trình (2.1) L2 -ổn định Một hệ trực tiếp sau suy từ định lý trên: ΓK (A, (Dj )j∈N , C) L −1 (2.6) Bây ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại (2.6) Nhưng trước tiên ta mơ tả L qua tốn điều khiển tối ưu sau : m x(0) = x0 , (2.7) E( v(t) ) − ρ2 E( Cx(t) ) dt (2.8) dx(t) = Ax(t)dt + Dj vj (t)dBj (t), j=1 ∞ Jρ (x0 , v) = Bài toán nhiễu phụ thuộc điều khiển nghiên cứu rộng rãi cơng bố nhiều tạp chí chun ngành Mệnh đề 2.1.4 Với giả thiết H0 − H2 ta có 0, ∀ v ∈ V ⇔ ρ ∈ 0, L Jρ (0, v) −1 Chứng minh Từ (2.7) với x0 = ta có t m CeA(t−s) Dj vj (s)dBj (s), Cx(t) = t j=1 Do Cx(t) = (Lv) (t) với v = (v1 , , vm ) ∞ Jρ (0, v) = E v(t) − ρ2 E (Lv)(t) dt = v(·) Vậy Jρ (0, v) với v ∈ V ρ2 L 20 2 V − ρ2 (Lv)(·) H Bây suy cơng thức tính cho L Mệnh đề 2.1.5 Giả sử H0 − H2 giữ nguyên cho Pρ = Pρ∗ ∈ Kn×n nghiệm phương trình Liapunov Pρ A + A∗ Pρ + ρ2 C ∗ C = (2.9) Khi −1 L = sup ρ > : Iρ − λj Dj∗ Pρ Dj m Chứng minh Ta có Jρ (0, v) = j=1 Jρ (0, v) 0, j ∈ N := l0 (2.10) vj (·), (Iρ − λj Dj∗ Pj Dj )vj (·) với v ∈ V ρ l0 Từ (2.10) suy từ Mệnh đề (2.1.4) Chú ý 2.1.6 (1) Nếu ρ l0 cho thấy cách tối ưu điều khiển toán (2.7) , (2.8) v(·) = 0, Jρ (x0 , 0) = infv∈V Jρ (x0 , v) = −E Pρ x0 , x0 (2) Bởi Định lý Plancherl ∞ ∞ m L = sup v v∈V j=1 λj 2π R(iBI − A)−1 Dj vj(s) L2 (Ω,Kq ) dsdB −∞ ∞ max j∈N λj 2π C(iBI − A)−1 Dj dB −∞ 2.1.2 Đặc trưng bán kính ổn định Kết mục trình bày định lý sau Định lý 2.1.7 Với giả thiết H0 − H3 trên, L định nghĩa (2.3) Pρ cho (2.9) ΓK (A, (Dj )j∈N , C) = L −1 = sup ρ > : Ilj − λj Dj∗ Pρ Dj với K = R C 21 0, j ∈ N , (2.11) Chứng minh Ta chứng tỏ ΓK L −1 Giả thiết L = 0, −1 , ε > ta xây dựng ∆ với l0 ∆ < l0 + ε cho phương trình (2.1) khơng L2 -ổn định Ta lấy ρ = l0 + ε tồn k ∈ N, xk ∈ Klk , xk = cho l0 = L − λk Dk∗ Pρ Dk , xk < (2.12) Ta đặt ∆k (y) = ρ y xk ; ∆j (y) = 0, j = k, ∆ = ∆k = ρ < l0 + ε phương trình (2.1) có dạng dx(t) = Ax(t)dt + Dk ∆k (Cx(t))dBk (t), x(0) = x0 ∞ E( Cx (t) )dt < ∞, với x(0) Giả sử phương trình L - ổn định, thỏa mãn điều kiện H1 Bởi t At C eA(t−s) Dk Cx(s) xk dBk (s) Cx(t) = C e x0 + ρ Do t E( Cx(t) ) = E( C eAt x0 ) + ρ2 λk C eA(t−s) Dk xk E( Cx(s) )ds Khi ∞ ∞ E( Cx(t) )dt = ∞ At E( C e x0 )dt + λk Dk∗ Pρ Dk xk , xk E( Cx(s) )ds Từ ∞ [1 − λk Dk∗ Pρ Dk xk , xk ] ∞ E( Cx(t) )dt = E( C eAt x0 )dt điều mâu thuẫn với (2.12) Ta thấy phương trình (2.1) khơng ổn định ΓK < l0 + ε với ε > bé tùy ý 22 2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Mục trước đưa kết bán kính ổn định phương trình tất định tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên Mục trình bày kết bán kính ổn định phương trình ngẫu nhiên tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên Ta định nghĩa sáu bán kính ổn định tương ứng với ba khái niệm ổn định hai lớp nhiễu chứng minh bán kính ổn định Các kết trình bày dựa báo [15] 2.2.1 Tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân Itơ ngẫu nhiên sau: m (2.13) fj (t, x(t))dB(t), dx(t) = f0 (t, x(t))dt + j=1 B(t) = (B1 (t), , Bm (t)) trình chuyển động Brown m chiều hàm fj : R+ × Rn → Rn , j m có tính chất sau : fj (t, 0) = 0; fj hàm đo được; tồn γ > thỏa mãn |fj (t, x)| 0, x ∈ Rn , γ|x|, t j m; với T > r > tồn L = L(T, r) > thỏa mãn |fj (t, x1 ) − fj (t, x2 ) t T , |x1 | r, |x2 | r, j L|x1 − x2 | m Trong mục Gt0 , t0 > σ- đại số sinh {Bj (t) − Bj (s); t, s ∈ [t0 , ∞); Ft0 ,t , t j m}, t0 σ-đại số đầy đủ sinh {Bj (t2 ) − Bj (t1 ); t0 t1 t2 t, j m}, ( nghĩa Ft0 ,t ∈ K σ-đại số bé chứa tất tập S ∈ K với P(S) = tất hàm Bj (t2 ) − Bj (t1 ), t0 t1 23 t2 t, j m đo với Ft0 ,t ), Xt0 tập vector ngẫu nhiên n chiều x0 mà tất vector độc lập với σđại số Gt0 E|x0 |2 < ∞ Với t0 x0 ∈ Xt0 x(t, t0 , x0 ), t t0 ta kí hiệu nghiệm (2.13) βe−α(s−t) |x|2 với x(t0 , t0 , x0 ) = x0 Ta biết từ [16] ta có E|x(s, t, x)|2 S 0, với x ∈ Rn t Định nghĩa 2.2.1 Ta nói phương trình (2.13) L2 - ổn định mũ tồn β α > thỏa mãn E|x(s, t, x)|2 βe−α(s−t) |x|2 với s t x ∈ Rn Bổ đề 2.2.2 Những khẳng định tương đương i) Phương trình (2.13) L2 - ổn định mũ 1, α > thỏa mãn E|x(t, t0 , x0 )|2 ii) Tồn β t0 0, t t0 x0 ∈ Xt0 iii) Tồn c > thỏa mãn 2.2.2 βe−α(t−t0 ) E|x0 |2 ; với ∞ t E|x(s, t, x)| ds c|x|2 với t 0; x ∈ Rn Bán kính ổn định Xét phương trình vi phân Itơ ngẫu nhiên chịu nhiễu: m2 m1 dx(t) = Ax(t)dt + Dj ∆j (Cx(t))dBj (t), t Gj x(t)dvj (t) + j=1 0, (2.14) j=1 x(t) ∈ Rn , A, C, Gj , Di ma trận thực biết, ∆j : Rm → Rnj hàm chưa biết B(t) = (v1 (t), , vm1 (t), B1 (t), , Bm2 (t)), t trình chuyển động Brown m1 + m2 chiều thực Cho D1 dãy ∆ = (∆1 , , ∆m2 ) Với ∆j , j m2 hàm Lipschitz liên tục ∆j = Cho D2 dãy ∆ = (∆1 , , ∆m2 ) ∆j có tính chất ∆j (0) = 0; ∆j ∆j (y) Lipschitz địa phương supy=0 < ∞, j N2 |y| m2 ∆j (y) Nếu ∆ ∈ D1 , ∆ = ∆j , ∆j = supy1 =y2 |y1 − y2 | j=1 m2 ∆j (y) Nếu ∆ ∈ D2 , |||∆|||2 = |||∆j |||2 , |||∆j ||| = supy=0 |y| j=1 24 ∆ ∆ ∈ D1 Trong miền ∆ ∈ D2 X0 Hiển nhiên thấy ||| ∆||| dãy vector x0 n chiều ngẫu nhiên không phụ thuộc vào σ-đại số tạo thành {vj (t), Bi (t); t Cho t0 0, j m1 , x0 ∈ X0 , x(t, t0 , x0 ), t i m2 } E|x0 |2 < ∞ t0 ký hiệu cho nghiệm (2.14) với x(t0 , t0 , x0 ) = x0 Ta viết x(t, x0 ) thay cho x(t, 0, x0 ) Chú ý 2.2.3 Từ [16, Định lý 3.6, trang 113] cho ta thấy rằng: E|x(t, t0 , x0 |2 = E|x(t − t0 , x0 )|2 , t t0 , x ∈ Rn Định nghĩa 2.2.4 (1) Ta nói phương trình (2.14) ổn định mạnh L2 ∞ E|x(t, x0 | dt < ∞ với x0 ∈ X0 (2) Ta nói phương trình (2.14) ổn định L2 ∞ E|x(t, x)| dt 0; Inj − ρ2 Dj∗ QDj 0; ∀1 j m2 J= ρ Đối với: Gj = 0, j m1 , Bouhtori Pritchard [13] xác định bán kính ổn định sau : r(A, C, (Dj ), m2 ) = inf{ ∆ , ∆ ∈ D1 (2.14) không L2 - ổn định mạnh } j Tương tự ta xác định bán kính ổn định rp = rp (A, C, (Gj ), (Dj ), j m1 , j m2 ), sau p r1 = inf{ ∆ , ∆ ∈ D1 ; (2.14) không L2 -ổn định mạnh } r2 = inf{ ∆ , ∆ ∈ D1 ; (2.14) không L2 - ổn định } r3 = inf{|||∆|||, ∆ ∈ D2 ; (2.14) không L2 - ổn định mạnh } r4 = inf{|||∆|||, ∆ ∈ D2 ; (2.14) không L2 - ổn định } r5 = inf{ ∆ , ∆ ∈ D1 ; (2.14) không L2 - ổn định mũ } r6 = inf{ ∆ , ∆ ∈ D2 ; (2.14) không L2 - ổn định mũ } Hiển nhiên ta có r3 (2.2.2) ta có r5 r1 r1 ; r6 r2 ; r3 r4 r2 ; r6 r5 với tính chất Bổ đề r3 Do đó: r6 r3 r1 r2 ; r6 r5 r1 ; r3 r4 r2 (2.17) Mục đích nghiên cứu ta đặc trưng bán kính ổn định Ở phần ta chứng minh rp = sup J, 26 p 2.2.3 Đặc trưng bán kính ổn định Định lý 2.2.6 Giả sử (A, (Gj )), j m1 ổn định Khi r6 sup J Chứng minh Cho ρ ∈ J số dương Với ∆ ∈ D2 |||∆||| < ρ Chọn < ε < ρ2 − |||∆|||2 , |||∆||| ρ(ε), với ρ2 (ε) = ρ2 − ε Xét phương trình (2.14) với ∆ Cho x0 ∈ Rn x(t) = x(t, x0 ) nghiệm (2.14) với x(0) = x0 Nếu L toán tử vi phân elliptic liên kết liên quan đến phương trình (2.14) v(x) = ρ2 x∗ Qx, x ∈ Rn , sử dụng (2.16), ta viết: m1 ∗ (Lv )(x) = 2ρ x Qx + ρ m2 x ∗ G∗j QGj X +ρ j=1 m2 ∆∗ (y)Dj∗ Q∆j (y) j=1 m2 u∗j Dj∗ QDj uj = −ρ2 |y|2 + ρ2 |∆1 (y)|2 j=1 m2 y = Cx uj = ∆j (y)( i=1 |∆i (y)|2 )−1/2 i=1 m2 Vì ∆ ∈ D2 , |||∆||| < ρ(ε), ρ2 = ρ2 (ε) + ε, |uj |2 = 1, ρ ∈ J, ta có j=1 m2 (Lv )(x) 2 2 u∗j Dj∗ QDj uj −|y| ρ (ε + ε] + ρ |||∆||| |y | j=1 m2 u∗j (Inj − ρ2 Dj∗ QDj )uj − ε|y|2 −|y|2 ρ2 (ε) −ε|y|2 j=1 Áp dụng cơng thức Itơ, ta có t E [(Lv )(x(s))] ds; Ev(x(t)) − v(x0 ) = ∞ t Ev(x(t)) − v(x0 ) E|y(s)|2 ds; −ε E|y(t)|2 dt v(x0 ) ε γ|x0 |2 y(t) = Cx(t) γ = ρ2 |Q| ε Hơn sử dụng công thức Itô , ta viết m1 t ∗ Ex(t)x (t) − x0 x∗0 ∗ = ∗ ∗ Gj x(s)x∗ (s)G∗j E{Ax(s)x (s) + x(s)x (s)A + j=1 m2 Dj ∆j (y(s))∆∗j (y(s))Dj∗ }ds + j=1 27 Vì hàm lấy tích phân hàm liên tục, ký hiệu m1 ∗ E[Dj ∆j (y(t))∆∗ (y(t))Dj∗ ] S(t) = Ex(t)x (t), K(t) = j=1 Suy ta có d S(t) = AS(t) + S(t)A∗ + dt m1 Gj S(t)G∗j + K(t), t j=1 Cho M : H → H toán tử tuyến tính xác định m1 ∗ Gj HG∗j , M H + AH + HA + H∈H j=1 Phương trình viết dạng S (t) = M S(t) + K(t) Do đó: t S(t) = e Mt eM (t−s) K(s)ds S(0) + Ngồi ra, dễ dàng xác định (A; (Gj ), βe−αt , α > thỏa mãn eMt β j m1 ) không đổi tồn |x0 |2 0, |S(0)| t ∞ ∞ |K(t)|dt E|y(t)|2 dt γ1 γ1 γ|x0 |2 Theo Định lý Fubini ta có: ∞ ∞ E|x(t, x0 )|2 dt = ∞ traceS(t)dt |S(t)|dt n γ2 |x0 |2 , x0 ∈ Rn Từ Bổ đề 2.2.2 cho ta thấy phương trình (2.14) L2 ổn định mũ với ∆ ∈ D2 |||∆||| < ρ Do r6 > p với ρ ∈ J, ρ > Vậy r6 sup J chứng minh kết thúc Định lý 2.2.7 Giả sử (A; (Gj )), j ˜ m1 ổn định [0; r2 ) ⊂ J Chứng minh Trong [14, dùng Định nghĩa 1, Hệ 1] giả định ngược tồn ρ0 ∈ (0, r2 ), j0 m2 z0 ∈ Rnj0 , |z0 | = thỏa mãn z0∗ (Inj0 − ρ20 Dj∗0 QDj0 )z0 28 Từ bất đẳng thức này, tồn x0 ∈ Rn , x0 = thỏa mãn x∗0 Qx0 > Xét ∆ = (∆1 , , ∆m2 ) xác định ∆j (y) = với i = j y ∈ Rm ∆j0 (y) = ρ0 |y|z0 , y ∈ Rm Hiển nhiên thấy ∆ ∈ D1 ∆ = ρ0 Phương trình (2.14) tương ứng với ∆ m1 (2.18) Gj x(t)dvj (t) + ρ0 |Cx(t)|Dj0 z0 dBj0 (t) dx(t) = Ax(t)dt + j=1 cho x0 (t), t nghiệm phương trình (2.18) với x0 (0) = x0 ∆ ∈ D1 ∆ < r2 nên phương trình (2.18) L2 - ổn định, nên ∞ E|x0 (t)| dt < ∞ Xét hàm v0 (x) = x∗ Qx, x ∈ Rn Nếu L0 toán tử vi phân elliptic liên quan đến phương trình (2.18), sử dụng phương trình (2.16) ta viết: (L0 v0 )(x) = −|Cx|2 + ρ2 |Cx|2 z0∗ Dj∗0 QDj0 z0 = −|Cx|2 α0 α0 = z0∗ (Inj0 − ρ20 Dj∗0 QDj0 )z0 Áp dụng công thức Itơ ,ta có: t Ex∗0 (t)Qx0 (t) − x∗0 Qx0 E|Cx0 (s)|2 ds = −α0 ∞ lim Ex0 (t)Qx0 (t) = tồn hữu E|Cx0 (t)| dt < ∞, ta t→∞ ∞ hạn Ngồi Ex∗0 (t)Qx0 (t)dt < ∞ Do lim Ex∗0 (t)Qx0 = 0(t) nên t→∞ ∞ ∗ ∗ x0 Qx0 = α0 E|Cx0 (t)| dt, α0 (mâu thuẫn) suy điều cần chứng minh Khi Từ (2.17) Định lý (2.2.6), (2.2.7) ta thu Định lý 2.2.8 Giả sử (A; (Gj )), j m2 ổn định rj = sup J, j Kí hiệu U khơng gian u(t) = (u∗1 (t), , u∗m2 (t))∗ q trình có tính chất sau :uj ∈ U (nj , F ) ngẫu nhiên uj (t), t với T > 0, j T E|uj (t)|4 dt < ∞, m2 Giả sử U = U ∩ L2k (R+ × Ω), k = n1 + + nm2 Dễ thấy U khơng gian tuyến tính u m2 = j=1 29 ∞ E|uj (t)| dt, u ∈ U Ta thấy lấy uj (t) = ∆j (Cx(t, x0 )), t 0, x0 ∈ Rn , j m2 , Dj uj (t)dBj (t), t (2.19) u ∈ U Xét phương trình vi phân Itơ ngẫu nhiên: m1 dx(t) = Ax(t)dt + m2 Gj x(t)dBj (t)dvj (t) + j=1 j=1 với u ∈ U Ta có phương trình (2.19) có nghiệm xu (t, x0 ), t với tính chất sau: xu (0, x0 ) = x0 , xu ∈ U (n, F ) thỏa mãn sup E|xu (t, x0 )|4 < ∞, ∀ T > Bằng cách sử dụng [17, Bổ đề 7.3, trang 91] ta t T dễ dàng chứng minh công thức sau: m2 t X −1 (s, 0)uj (s)dBj (s) xu (t, x0 ) = X(t, 0) x0 + j=1 Ký hiệu x˜(t) nghiệm (2.19) x˜u (0) = ta có : m2 t X −1 (s, 0)uj (s)dBj (s) x˜u (t) = X(t, 0) j=1 Đặt L : U → U (m, F ) toán tử vào tuyến tính cho (Lu)(t) = C x˜u (t) Định lý 2.2.9 Giả thiết (A; (Gj )), j m1 ổn định, : i) x˜u ∈ L2 n (R+ × Ω), Lu ∈ L2m (R+ × Ω) ii) L tốn tử tuyến tính, bị chặn Lu m2 = j=1 u∈U ∞ ∗ ∗ E[uj (t)Dj QDj uj (t)]dt, iii) sup J = ( L )−1 Nhận xét 2.2.10 Trong trường hợp Gj = phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính trở thành phương trình vi phân tất định tuyến tính bán kính ổn định chúng được đưa mục (2.1) 30 KẾT LUẬN Các kết đạt Luận văn nghiên cứu bán kính ổn định hai loại phương trình phương trình vi phân tất định tuyến tính phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính chúng chịu nhiễu ngẫu nhiên Kết đạt luận văn trình bày định nghĩa xây dựng cơng thức bán kính ổn định, nghiên cứu đặc trưng mối liên hệ bán kính ổn định Điều trình bày Định lý 2.1.3 2.1.7, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, dựa báo [15] [13] Hướng phát triển luận văn Vấn đề trình bày luận văn tiếp tục dùng để nghiên cứu tính ổn định bán kính ổn định lớp phương trình vi phân chịu nhiễu ngẫu nhiên khác phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, phương trình vi phân ngẫu nhiên đại số, phương trình vi phân ngẫu nhiên không gian vô hạn chiều 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Bracke (2000), On stability radii of parametrized linear differentialalgebraic systems, Ph.D thesis, University of Kaiserslautern [2] N.H Du, V.H Linh (2005), Implicit-system approach to the robust stability for a class of singularly perturbed linear systems, Systems & Control Letters 54, pp 33-41 [3] N.H Du, V.H Linh (2006), Stability radii for linear time-invarying differential-equations with respect to dynamic perturbations, J Differential Equations 230, pp 579-599 [4] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), Stability radii of linear systems, Systems & Control Letters 7, pp 1-10 [5] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), Stability radius for structuredperturbations and the algebraic Riccati equation, Systems & Control Letters 8, pp 105-113 [6] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1994), Robust stability of linear evolution operators on Banach spaces, SIAM J Control Optim 32, no 6, pp 1503-1541 [7] D Hinrichsen, B Kelb, and A Linnemann (1989), An algorithm for the computation of the structured complex stability radius, Automatica 25, pp 771-775 [8] D Hinrichsen, A Ilchmann, A.J Pritchard (1989), Robustness of stability of time-varying linear systems, J Differential Equations 82, pp 219-250 32 [9] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1990), Real and complex stability radii: a survey, in: D Hinrichsen, B Martensson, Eds, Control of Uncertain Systems (Birkhauser, Basel) , pp 119 - 163 [10] D Hinrichsen, N.K Son (1998), Stability radii of positive discrete-time systems under affine parameter perturbations, Int J Robust Nonlinear Control 8, pp 1969-1988 [11] D Hinrichsen, N.K Son and P.H.A Ngoc (2003), Stability radii of higher order positive difference systems, Systems & Control Letters 49, pp 377-388 [12] R.Z.Hasminskii(1980), Stochastic stability of differential equations, Sijthoff and Noordhoff, Alen aan den Rijn [13] A El Bouhtouri, A.J Pritcchard (1992), Stability radii of linear systems with respect to stochastic perturbations , Systems & Control Letters 19, pp 29-33 [14] A El Bouhtouri, A.J Pritcchard (1993), A Riccati equation approach to maximizing the stability radius of a linear system by state feedback under structured stochastic Lipschitzian perturbations , Systems & Control Letters 21, pp 475484 [15] T Morozan (1995), Stability radii of some stochastic differential equations, Stochastis anh Sochastic Reports, 54: 3-4, 281 - 291 [16] A.Friedman (1975), Stochastic differential equations and applications, Academic Press, New York,1 [17] A Ichikawa(1984),Equivalence of Lp stability and exponential stability for a class of nonlinear semigroups, Nonlinear Anal Theory Methods Appl, 8, 805815 33 ... định phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên Cụ thể định nghĩa bán kính ổn định đặc trưng bán kính ổn định phương trình vi phân tất định tuyến tính phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến. .. cứu tính ổn định bán kính ổn định lớp phương trình vi phân chịu nhiễu ngẫu nhiên khác phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, phương trình vi phân ngẫu nhiên đại số, phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. Đặc trưng bán kính ổn định 21 Bán kính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 23 2.2.1 Tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên 23 2.2.2 Bán kính ổn định