Các tiêu chuẩn về tính ổn định và ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HĨA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ ĐÌNH TÂM CÁC TIÊU CHUẨN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ ĐÌNH TÂM CÁC TIÊU CHUẨN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 84.60.102 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT THANH HÓA, NĂM 2019 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo định số Ngày tháng năm Hiệu trưởng Đại học Hồng Đức Học hàm; Học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng .năm GS.TSKH Vũ Ngọc Phát i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn tơi hồn thành hướng dẫn GS.TSKH Vũ Ngọc phát Trong q trình hồn thành luận văn toi kế thừa thành khoa học nhà toán học với trân trọng biết ơn sâu sắc Các số liệu trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Thanh Hóa, tháng năm 2019 Người viết Luận văn Lê Đình Tâm ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phịng Sau Đại học, thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Thanh Hóa, tháng 09 năm 2019 Người viết luận văn Lê Đình Tâm iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Một số ký hiệu toán học dùng luận văn v Mở đầu 1 Cơ sở toán học 1.1 1.2 Hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ, hệ điều khiển 1.1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.1.3 Hệ điều khiển Bài tốn ổn định ổn định hóa 10 1.2.1 Bài toán ổn định Lyapunov 10 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 13 iv 1.2.3 1.3 Bài tốn ổn định hóa 14 Các bổ đề 15 Bài tốn ổn định ổn định hóa 2.1 Các điều kiện tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 2.2 18 18 Các điều kiện ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Tài liệu tham khảo 27 32 v Một số ký hiệu toán học dùng luận văn Trong luận văn sử dụng số ký hiệu sau: • R+ biểu thị tập hợp tất số thực không âm; Rn biểu thị không gian n chiều • hx, yi xT y biểu thị tích vơ hướng hai vectơ x, y • M n×r biểu thị khơng gian tất ma trn (n ì r) ã AT biu th s chuyển vị ma trận A; A đối xứng A = AT I biểu thị ma trận danh tính • λ(A) biểu thị giá trị riêng A; λmax (A) = max {Reλ : λ ∈ λ(A)} ||A| | biểu thị định mức phổ ma trận xác định ||A| | = q λmax (AT A) • η(A) biểu thị số đo ma trận ma trận A xác định η(A) = λmax (A + AT ) L2 ([0; t], Rn ) biểu thị không gian Hilbert tất phiên tích hợp L2 có giá trị Rn [0; t]; ma trận A gọi xác định không âm (A ≥ 0) (Ax, x) ≥ với x ∈ Rn ; A xác vi định dương A > (Ax, x) > với x ∈ Rn ; tương đương ∃c > : (Ax, x) ≥ c ||x| |2 , ∀x ∈ Rn • Ma trận hợp A(t) xác định dương đồng ∃c > : (A(t)x, x) ≥ ||x| |2 , ∀x ∈ Rn , t ∈ R+ C([−h, 0], Rn )biểu thị không gian Banach tất ánh xạ liên tục [-h, 0] vào Rn 19 Định nghĩa 2.1.1 Cho số α > cố định Hệ (2.1) gọi α - ổn định có hàm số ξ(.) : R+ −→ R+ cho với φ(t) ∈ C([−h; 0], Rn ), nghiệm x(t, φ) hệ thỏa mãn ||x(t, φ)| | ≤ ξ(||φ| |)e−αt , ∀t ∈ R+ Ta đặt: A0,α (t) = A0 (t) + αI , Ai,α (t) = eαhi Ai (t), i = 1, 2, , m Định lý 2.1.2 Hệ phương trình vi phân (2.1) α - ổn định tồn ma trận đối xứng xác định dương P (t) > 0, thỏa mãn hai điều kiện sau: P (t) + AT0,α (t)P (t) + P (t)A0,α (t) + m X P (t)Ai,α (t)ATi,α (t)P (t) + (m + 1)I = i=1  T P (t) + A0,α (t)P (t) + P (t)A0,α + mI P (t)A1,α (t)   −I AT1,α (t)P (t)     AT2,α (t)P (t)      ATm,α (t)P (t)  (2.2) P (t)Am,α (t)       0, t ∈ R+ nghiệm RDE (2.3) Đặt phép 20 y(t) = eαt x(t), hệ phương trình tuyến tính (2.1) đổi thành hệ  m  P   y(t) = A0,α (t)y(t) + Ai,α (t)y(t − hi ) i=1 (2.4)    y(t) = eαt φ(t), t ∈ [−h, 0] Xét hàm Lyapunov cho hệ (2.4) V (t, y(t)) = hP (t)y(t), y(t)i + m R P t i=1 t−hi ||y(s)| |2 ds Lấy đạo hàm V (.) theo t ta có V (t, y(t)) =hP (t)y(t), y(t)i + 2hP (t)y(t), y(t)i + m ||y(t)| | − m X ||y(t − hi )| |2 i=1 =hP (t)y(t), y(t)i + 2hP (t)A0,α (t)y(t), y(t)i m X +2 hP (t)Ai,α (t)y(t − hi ), y(t)i i=1 + m ||y(t)| | − m X ||y(t − hi )| |2 i=1 Theo điều kiện (2.2) ta có m P V (t, y(t)) = − hP (t)Ai,α (t)ATi,α (t)P (t)y(t), y(t)i − ||y(t)| |2 +2 m P i=1 hP (t)Ai,α (t)y(t − hi ), y(t)i − i=1 = − ||y(t)| |2 + + m P i=1 m  P i=1 m P hy(t − hi ), y(t − hi i i=1
− P (t)Ai,α (t)ATi,α (t)P (t)y(t), y(t) {2 (P (t)Ai,α (t)y(t − hi , y(t))) − (y(t − hi , y(t − hi ))} (2.5) 21 Theo mệnh đề 1.3.6 ta có V (t, y(t)) ≤ − ||y(t)| |2 , ∀t ∈ R+ (2.6) Lấy tích phân vế bất đẳng thức (2,6) từ đến t, ta có V (t, y(t)) − V (0, y(0)) ≤ − Rt ||y(s)| |2 ds, ∀t ∈ R+ Do Rt ||y(s)| | ds ≤ hP (0)y(0), y(0)i + m R P i=1 −hi ||y(s)| |2 ds, V (t, x) ≥ Mặt khác R0 −hi ||y(s)| | ds ≤ ||φ| | R0 −hi eαs ds = α1 (1 − e−αhi ) ||φ| |, nên R0 t ||y(s)| |2 ds ≤ hP (0)y(0), y(0)i + α1 (1 − e−αhi ) ||φ| | Cho t −→ +∞ ý P(0)>0, ta tìm R∞ ||y(s)| |2 ds < +∞, điều y(t) ∈ L2 ([0, ∞), Rn ) nghiệm y(t, φ) hàm khả vi liên tục giới nội (bị chặn) xác định ∃ξ(.) : R+ −→ R+ : ||y(t, φ)| | ≤ ξ(||φ| |), ∀t ≥ Theo cách giải hệ ý ||y(0)| | = ||x(0)| | = φ(0) ≤ ||φ| | ta có ||x(t, φ)| | ≤ ξ(||φ| |)e−αt , ∀t ∈ R+ Bất đẳng thức có nghĩa hệ (2.1) α-ổn định 22 Để chứng minh điều kiện (2.3), ta sử dụng đánh giá (2.6)   T V (t, y(t)) = h P (t) + A0,α (t)P (t) + P (t)A0,α (t) + mI y(t), y(t)i   m m P P ||y(t − hi )| |2 hP (t)Ai,α (t)y(t − hi ), y(t)i − +2 i=1  i=1  T P (t) + A0,α (t)P (t) + P (t)A0,α (t) + mI P (t)A1,α (t) P (t)Am,α (t)     T A1,α (t)P (t) −I       T T = z (t)   z(t) A (t)P (t) 2,α           T −I Am,α (t)P (t) với z(t) := [y(t), y(t − h1 ), , y(t − hm )] Vì theo điều kiện (2.3), với số  > V (t, y(t)) ≤ − ||z(t)| |2 , ∀t ∈ R+ Vì ||z(t)| |2 ≥ ||y(t)| |2 , ta có V (t, y(t)) ≤ − ||y(t)| |2 , ∀t ∈ R+ (2.7) Theo bất đẳng thức tích phân (2.7), ta đánh giá   m Rt P 1 (1 − e−αhi ) ||φ| | ||y(s)| | ds ≤  hP (0)y(0), y(0)i + α i=1 chứng minh cách giống Nhận xét 2.1 ý bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI)(2.3) (RDE)(2.2) giải bổ đề phần bù Schur ( Bổ đề 1.3.4) Ngoài ý phần chứng minh định lý 2.1.2 ta áp dụng định lý ổn định tiêu chuẩn Lyapunov nghiệm P (t) không đồng thời xác định dương hàm V (t,y) khơng bị chặn khơng phải hàm Lyapunov Ví dụ 2.1.3 Xét hệ tuyến tính (2.1), m = 1, α = 1, h = 23   −5.8t 1.9 − 0.5e  A0 (t) =   −5.8t −t −e −0.5e −   −2 e A1 (t) =  0 −0.5e−2−0.5t   Lưu ý ma trận A0 (t), t ≥ khơng ổn định, ví dụ λ(A0 (0)) > Ta có  −2 0, + 2e [A0 (0) + A1 (0)] + [A0 (0) + A1 (0)] =  T  −5 + 2e−2   dẫn đến η [A0 (0) + A1 (0)] = 0.4 + e−2 > Mặt khác ta có   −5.8t − e5.8t 2.9 − 0.5e  A0,α (t) =   −e−5.8t −0.5e−t −    1 A1,α (t) =   e−0.5t Vì sử dụng bổ đề Schur, ta kiểm  −5.8t e P (t)  tra ma trận  0  xấc định không âm nghiệm RDE(2.2), theo định lý 2.1.2 hệ 1-ổn định Đối với hệ phương trình vi phân số, ta có tiêu chuẩn α - ổn định sau Hệ 2.1.3 Hệ phương trình (2.1), Ai (t), i = 0, 1, m ma trận số: Ai (t) = Ai , i = 0, 1, , m,, α ổn định có ma trận 24 đối xứng không đổi P > thỏa mãn hai điều kiện sau m P T P Ai,α ATi,α P + (m + 1)I = (i) A0,α P + P A0,α + i=1   T A0,α P + P A0,α + mI P A1,α P Am,α      T P −I A   1,α     T (ii)   giới hạn t ∈ R+ η(A0 ) := sup η(A0 t) < +∞ t∈R+ η(A0 ) + α ||PI | | + me2αh ||PI | |2 ||A| |2 < PI = sup ||P (t) + I| |, ||A| |2 = sup ||A(t)| |2 t∈R+ (2.9) t∈R+ ta có V (t, y(t)) ≤ − ||y(t)| |2 , t ∈ R+ , với  > Do ta có điều kiện α− ổn định sau Định lý 2.1.4 Giả sử hàm ma trận Ai (t), i = 1, 2, , m bị chặn R+ Hệ phương trình (2.1) α− ổn định phương trình Lyapunov (2.8) có nghiệm P (t) > bị chặn R+ thỏa mãn điều kiện (2.9) Ví dụ 2.1.5 Xét hệ phương trình (2.1),     t cost−10   2(2−sint)  0.1 A0 (t) =  , A (t) =    sint − −5 0.1e−3t Ta có m = 1, h = η(A0 ) = sup η(A0 (t)) = 21 λmax (A0 (t) + AT0 (t)) < −1.35 t∈R+ Nghiệm RE(2.8) 26    − sint)   10  10 (2 Tương tự ||PI (t)| | = ||P (t) + I| | = 10 (2 − sint) + 1, ||A1 (t)| |2 = 0.1 Bằng việc giả sử α = 0.5, ta dễ dàng kiểm tra η(A0 ) + α ||PI | | + e2αh ||PI | |2 ||A| |2 < Vậy hệ phương trình 0.5-ổn định Theo kết trên, ta có hệ sau cho ổn định mũ hệ số (2.1) Hệ 2.1.5 Hệ phương trình (2.1) α- ổn định LE đại số AT0 P + P A0 + mI = (2.10) có nghiệm P>0 thỏa mãn điều kiện η(A0 ) + α ||PI | | + me2αh ||PI | |2 ||A| |2 <  PI = P + I, ||A| |2 = max ||Ai | |2 , i = 1, 2, , m Ví dụ 2.1.6 Xét hệ phương trình tuyến tính theo thời gian có trễ x(t) = A0 x(t) + A1 x(t − 0.5) + A2 x(t − 1), t ∈ R+ (2.11) 27       −2  0.1  0.05  A0 =  , A1 =  , A2 (t) =   −2 −4 0.1 0.25 Ta có m = 2, h1 = 0.5, h2 = Ta tìm nghiệm LR(2.10)   0.5  P = , 0.25 số hội tụ α > tìm từ bất đẳng thức (2.11) α = 0.5 Nhận xét 2.3 Chú ý nghiệm LMI RDE tìm từ phương pháp/thuật tốn giải sách chuyên khảo [3, 4] 2.2 Các điều kiện ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Trong phần ta áp dung kết vào tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển tuyến tính  m  P   x(t) = A0 (t)x(t) + Ai (t)x(t − hi ) + Bu(t), t ≥ 0, i=1    x(t) = φ(t), (2.12) t ∈ [−h; 0], B ∈ Rn×m , u(t) ∈ Rm vec tơ điều khiển Bài tốn ổn định hóa cho hệ (2.12) phat biêu sau: Với số α > cho trước tìm điều khiển phản hồi u(t) = K(t)x(t) so cho hệ đóng x(t) = [A(t)x(t) + B(t)K(t)] x(t) + m X i=1 Ai (t)x(t − hi ) (2.13) 28 α− ổn định mũ Áp dụng kết Định lý 2.1.2, ta trực tiếp tìm điều kiện đủ cho tính ổn định hóa cho hệ (2.12) Định lý 2.2.1 Hệ phương trình điều khiển (2.12) ổn định hóa tồn hàm ma trận K(t) ∈ M r×n ma trận đối xứng xác định dương P (t) > cho điều kiện sau thỏa mãn P (t)+AT0,K,α (t)P (t)+P (t)A0,K,α (t)+ m X P (t)Ai,α (t)ATi,α (t)P (t)+(m+1)I = i=1 (2.14)  T P (t) + A0,K,α (t)P (t) + P (t)A0,K,α (t) + mI P (t)A1,α (t) P A2,α (t)   AT1,α (t)P (t) −I     −I AT2,α (t)P (t)      0 ATm,α (t)P (t)  P (t)Am,α (t)      <      −I (2.15) A0,K,α (t) = A0 (t) + B(t)K(t) + αI, Ai,α (t) = eαhi Ai (t) Ngoài ra, điều khiển phản hồi xác định u(t) = K(t)x(t) Tuy nhiên định lý khơng có phương pháp xây dựng điều khiển phản hồi Để có điều kiện tìm điều khiển phản hồi, ta đặt Bα (t) = [B(t), A1,α (t), , Am,α (t)], A0,α (t) = A0 (t) + αI xét RDE sau P (t)+AT0,α (t)P (t)+P (t)A0,α (t)+P (t)Bα (t)ATα (t)P (t)+(m+1)I = (2.16) 29   T P (t) + A0,K,α (t)P (t) + P (t)A0,K,α (t) + mI P (t)Bα (t)   cho điều kiện (2.16), (2.17) thỏa mãn Ngoài hệ điều khiển phản hồi xác định u(t) = 12 B T (t)P (t)x(t) P (t) nghiệm RDE(2.16) Ví dụ 2.2.3 Xét hệ phương trình điều khiển tuyến tính (2.12), m = 1, α = 1, h =       6t −2 −6t −1   0 3 − e e e A0 (t) =  , A1 (t) =  ,B(t) =   −2t −2−t −0.5e e −1 Chú ý ma trận A0 (0) không ổn định Lấy   6t −0.5 2e  K(t) =   −6t e ta kiểm tra ma trận 30   −6t 0 e P (t) =   xác định không âm nghiệm RDE(2.16) hệ 1-ổn định điều kiện phản hồi  6t  −0.5 2e  u(t) =   −6t e Nhân xét 2.4 Chú ý từ chứng minh Định lý 2.1.2, khảng định định lý phương trình Riccati (2.2) có nghiệm P (t) ≥ với điều kiện ban đầu P (0) > Vì với mệnh đề 1.3.2, lấy P0 = I > 0, phương trình Riccati (2.2) có nghiệm P (t) ≥ Nếu hệ điều khiển tuyến tính A(t), B(t) điều khiển toàn cục, áp dụng mệnh đề 1.3.1, ta tìm điều kiện đủ để kiểm tra tính α-ổn định hệ điều khiển tuyến tính (2.12) mà khơng cần giải phương trình Riccati Định lý 2.2.3 Giả sử hàm ma trận Ai (t), i = m phân biệt với t ∈ R+ , rank [M0 (t0 ), M1 (t0 ), , Mn−1 (t0 )] = n M0 (t) = Bα (t), Mk (t) = −A0,α (t)Mk−1 (t) + hệ điều khiển tuyến tính (2.12) α-ổn định d dt Mk−1 (t), k = n − 31 Kết luận Luận văn trình bày hướng nghiên cứu lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính: kết tính ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Luận văn hồn thành đạt kết sau: - Trình bày tổng quan hướng nghiên cứu toán ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ - Trình bày kết mở rộng kết cho toán ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Sự đóng góp mặt khoa học luận văn tìm hiểu sâu làm rõ nội dung toán nêu báo [7] đưa số ví dụ minh họa 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] J Zabczyk (1992), Introduction of Mathematical Control Theory, Birkhauser, Berlin [3] P Gahinet, A Nemirovskii, A.J Laub, M Chilali, (1995) LMI Control Toolbox For Use with MATLAB, Massachusetts, The MathWorks, Inc [4] R William Thomas (1972), Riccati Differential Equations, Academic Press, New York [5] S Boyd, El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear matrix inequalities and control theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, vol 15, SIAM, Philadelphia, PA [6] V.L Kharitonov (2013), Time-delay Systems: lyapunov Functionals and Matrices, Birkhauser, Berlin [7] V.N.Phat, P.Niamsup,(2006), Stability of linear time-varying delay systems and applications to control systems, J.Comput.Appl.Math,Vol.194,No2,343-356 33