Tính ổn định mũ bình phương trung bình của hệ ngẫu nhiên có trễ với bươc nhảy markov

MỤC LỤC Trang Chƣơng Lời nói đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH 1.1 Các khái niệm 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ tuyến tính khơng dừng 1.4 Tính ổn định hệ tựa tuyến tính 10 1.5 Tính ổn định hệ với thời gian rời rạc 11 1.6 Tính ổn định lớp hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên 17 1.7 Tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình lớp hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên Chƣơng TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ VỚI BƢỚC NHẢY MARKOV 21 24 2.1 Mở đầu 24 2.2 Những ký hiệu 26 2.3 Tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ đơn giản 27 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình hố ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Một lĩnh vực phổ biển quan tâm nhiều điều khiển tự động hệ ngẫu nhiên, với tầm quan trọng quan tâm nghiên cứu nhằm phân tích ổn định mơ hình ngẫu nhiên Chúng ta kể đến cơng trình Arnold [6], Hale Lunel, Has’minskii , Klomanovskii Myshkis Ngày nay, hệ chuyển đổi (hybrid systems) điểu khiển xích Markov liên tục sử dụng để mơ tả nhiều hoạt động thực tiễn, nơi mà chúng trải qua thay đổi đột ngột cấu trúc tham số Hệ chuyển đổi vừa có phần trạng thái lấy giá trị liên tục, vừa có phần trạng thái lấy giá trị rời rạc Hệ chuyển đổi Willsky Leve nghiên cứu cho model hệ lượng điện tử Sworder Rogers nghiên cứu cho điều khiển trung tâm nhiệt mặt trời (solar thermal central) Athans đề xuất hệ chuyển đổi trở thành khung việc đề xuất giải mối quan hệ điều khiển nảy sinh việc tạo giải mối quan hệ điều khiển nảy sinh việc điều khiển khung (battle management), điều khiển hệ thống truyền đạt thông tin (communications systems) Một lớp quan trọng hệ chuyển đổi hệ tuyến tính có bước nhảy Một vấn đề quan trọng nảy sinh trình nghiên cứu hệ chuyển đổi điều khiển tự động, với tầm quan trọng thay phân tích tính ổn định Ji Chizeck [4] nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính có bước nhảy Basak đồng tác giả [3] miêu tả tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, Mao nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên với bước nhảy Markov Shaikhet đưa thời gian trễ vào nghiên cứu quan tâm đến ổn định hệ phương trình trễ vi phân nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, Mao đồng tác giả nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ phi tuyến với bước nhảy Markov Sự thay đổi đột ngột cấu trúc tham số hệ chuyển đổi thường xuyên hệ thống nối liền với nhau, nhiễu loạn mơi trường lai (abrupt) Vì vậy, mơ hình hố hệ vậy, cần phải đưa tham số không chắn môi trường nhiễu giống thời gian trễ vào tính tốn Nếu lấy mơi trường nhiễu vào tính tốn, hệ thống trở thành phương trình trễ vi phân ngẫu nhiên với bước nhảy Markov Cũng cần phải rằng, vài năm lại đây, nhiều nghiên cứu quan tâm đến việc ước lượng ổn định bình phương trung bình hệ Trong năm gần đây, nhiều nghiên cứu quan tâm đến ổn định hệ vi phân với bước nhảy Markov Tuy nhiên cịn nghiên cứu quan tâm đến ổn định hệ có trễ với bước nhảy Markov Lý thuyết phát triển ứng dụng vào nhiều tình khác dễ thấy tầm quan trọng chủ đề Do đó, hướng dẫn khoa học PGS TS Phan Đức Thành, chọn đề tài: “Tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov” Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn trình bày thành hai chương Chƣơng Trình bày số kiến thức lí thuyết ổn định Chƣơng Trình bày tính ổn định mũ hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cơ quan tâm nhiệt tình mà Thầy Cô dành cho tác giả trình học tập nghiên cứu trường Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Phan Lê Na, TS Lê Hồng Sơn, thầy cô giáo môn Xác suất thống kê ứng dụng, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Trường Đại học Vinh Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH Chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định theo nghĩa Liapunov.Các kiến thức chương trình bày theo tài liệu [1] [2] Ổn định tính chất quan trọng hệ thống hệ thơng hệ kỹ thuật, hệ sinh thái, hệ kinh tế… Một hệ thống gọi ổn định trạng thái cân đó, nhiễu bé điều kiện ban đầu cấu trúc hệ thống không làm thay đổi hệ thống nhiều so với trạng thái ban đầu 1.1 Các khái niệm Xét hệ thống mơ tả phương trình vi phân  x(t)  f(t, x)  , t0 x(t )  x  (1) x(t)Rn hàm véc tơ cho trước Giả thiết f(t,x) hàm thoả mãn điều kiện cho nghiệm toán cauchy hệ (1) với x(t0) = x0 , t0  ln có nghiệm Khi đó, dạng tích phân nghiệm cho cơng thức: t x  x  f ( s, x( s))ds t0 Nếu giả thiết thêm f(t,0)=0 x=0 nghiệm tầm thường hay trạng thái cân hệ Trong trường hợp đó, ta nói hệ (1) ổn định thay cho nghiệm x=0 hệ ổn định Bây ta xét hệ với f(t,0)=0, tR+ Ta có định nghĩa sau: 1.1.1 Định nghĩa Hệ (1) ổn định >0, tR+,   (phụ thuộc vào , t0) cho nghiệm x(t): x(t0)=x0 thoả mãn x00 cho: x00, >0 cho nghiệm hệ (1) với x(t0)=0 thoả mãn x(t )  M e   (t  t ) , tt (2) Tức nghiệm không hệ ổn định tiệm cận mà nghiệm tiến tới nhanh với tốc độ theo hàm số mũ Thí dụ: Xét phương trình vi phân (t )  a (t ) x x , t0 Trong a(t): R+R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0)=x0 cho t  a( )d x(t )  x et t - Hệ ổn định  a( τ)dτ  Μμ(t )   t - Hệ ổn định (t0) không phụ thuộc t0 t - Hệ ổn định tiệm cận  a ( )d   t 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ tuyến tính: (t )  Ax (t ) , t0 x (3) Trong đó: A (nxn) – ma trận Nghiệm (3) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0) cho x(t )  x e A(t  t ) 0 , tt0 1.2.1 Định lý (tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov) Hệ (3) ổn định mũ phần thực tất giá trị riêng A âm, tức Ren Xét phương trình Lyapunov dạng A’X+XA=-Y (LE) X,Y ma trận (nxn) chiều gọi cặp nghiệm (LE) Xét hệ (3), ta nói ma trận A ổn định phần thực tất giá trị riêng A âm (3) ổn định tiệm cận 1.2.3 Định lý Ma trận A ổn định ma trận Y đối xứng, xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm ma trận đối xứng, xác định dương X 1.3 Tính ổn định hệ tuyến tính không dừng Bây ta xét hệ mô tả phương trình vi phân (t )  A(t ) x(t ) , t0 x Hệ (4) có nghiệm x(t) = (t,t0)x0 (t,s) ma trận nghiệm (4) Nếu A(.) số (t , s)  e A(t  s) 1.3.1 Định lý Xét hệ (4) A(t) =A+c(t) Giả sử A ma trận ổn định giả sử c(t) khả tích R+ và: c(t )  a , a>0 Khi đó, hệ ổn định tiệm cận với a>0 đủ nhỏ Thí dụ: Xét hệ phương trình vi phân:  x1  13 x1  14 cos2 t  x  x  x  sin2 t  2 Ta có:   31 A    1   cos t   c(t )   41  sin t  4  0  1 ,    Vì (A) =-1/3, -1/2 0, >0, k>0 cho: i) e A( s)t  k e  t , t,s0 ii) Sup A(t )  M  tR Hệ ổn định tiệm cận M   2k 1.4 Tính ổn định hệ tựa tuyến tính: Xét hệ (t )  f (t , x(t )) , t0 x (5) Trong f(t,x) : R+xRn →Rn hàm phi tuyến f(t,x) = tR+ có nghiệm thoả mãn x(t0)=x0, t≥0 Trường hợp f(t,x) khả vi liên tục x=0 theo khai triển Taylo bậc x=0 Ta có: f(x)=Ax+g(x) Trong đó: A f (0) , g ( x)  0( x ) x 1.4.1 Định lý Xét hệ (5) f(t,x) =A+g(x) Giả sử A ma trận ổn định g ( x)  0( x ) hệ ổn định tiệm cận Nhận xét: Thay điều kiện g ( x)  0( x ) điều kiện:  L>0: g ( x)  L x , xX khẳng định với L>0 thoả mãn L  k Thí dụ: xét tính ổn định hệ  x1  x1  12 x12 sin2 t  x 2 x  x2 sin2 t  2 2 10 Khi hệ (2.6) có dạng: yk1  (A  Bξ k )yk (2.6’) Nếu nghiệm không hệ (2.6’) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phương trung bình nghiệm khơng hệ phương trình (2.6) ổn định tiệm cận bình phương trung bình 1.6.4 Định lý Nghiệm khơng hệ phương trình (2.5) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phương trung bình ma trận A hội tụ tồn ma trận đối xứng xác định dương H>0 thoả mãn phương trình sylvester: A T HA  B T HB  H  E (2.6’) 1.7 Tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình lớp hệ phương trình sai phân (PTSP) tuyến tính ngẫu nhiên Trong phần ta xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên k x i1   a j x i- j  xili , iZ j 0 Với điều kiện ban đầu xi=I, iZ0 Trong I biến rời rạc iZZ0 với Z={0,1,2,…} Z0=={-h,…,0} h=max{k,l} Giả sử (, F, P) không gian xác xuất, (fiF) iZ dãy  đại số 0, 1,… dãy biến ngẫu nhiên độc lập i dãy biến ngẫu nhiên phù hợp với fi+1 độc lập với fi , Ei = , Ei2 = 1.7.1 Định nghĩa: Nghiệm không hệ phương trình (1) gọi ổn định bình phương trung bình >0 >0 cho 21 Nếu  2  Sup E i  δ  Ex i  ε iZ Nếu ngồi Lim Ex 2i  nghiệm x=0 (1) gọi ổn định i tiệm cận bình phương trung bình Trong phần trước hết chúng tơi sử dụng định lí sau: 1.7.2 Định lý Giả sử tồn hàm không âm Vi = V(i,x-h,…,xi) iZ thoả mãn điều kiện: EV(0, x h , , x i )  c1  EVi  -c2Exi2 iZ Trong Vi = Vi+1 – Vi c1>0 , c2>0 Khi phương trình (1) có nghiệm x=0 ổn định tiệm cận bình phương trung bình Bây thiết lập điều kiện đủ để nghiệm x=0 hệ (1) ổn định tiệm cận bình phương trung bình Đặt x(i) = (xi-k, , xi-1, xi)T b = (0, , )T véc tơ cột k+1 chiều Đặt ma trận vuông 0 0  A     0 ak ak 1 22  ak 2            a0  Khi phương trình (1) viết dạng x(i+1) = Ax(i) + bxi-li (2) Đặt U ma trận vng k+1 chiều có phần tử u k+1,k+1 = 1, phần tử lại U  u ij 23 Chƣơng TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ NGẪU NHIÊN CĨ TRỄ VỚI BƢỚC NHẢY MARKOV 2.1 Mở đầu Trong năm gần đây, nhiều nghiên cứu quan tâm đến ổn định hệ vi phân với bước nhảy Markov Tuy nhiên cịn nghiên cứu quan tâm đến ổn định hệ có trễ với bước nhảy Markov Hệ miêu tả chương hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov Lý thuyết phát triển ứng dụng vào nhiều tình khác dễ thấy tầm quan trọng chủ đề Mơ hình hố ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Một lĩnh vực phổ biển quan tâm nhiều điều khiển tự động hệ ngẫu nhiên, với quan trọng thay phân tích ổn định mơ hình ngẫu nhiên Ở quan tâm đến công trình Arnold [6], Hale Lunel, Has’minskii, Klomanovskii Myshkis , tác giả khác Ngày nay, hệ chuyển đổi (hybrid systems) điểu khiển xích Markov liên tục sử dụng để mô tả nhiều hoạt động thực tiễn, nơi mà chúng trải qua thay đổi đột ngột cấu trúc tham số Hệ chuyển đổi vừa có phần trạng thái lấy giá trị liên tục, vừa có phần trạng thái lấy giá trị rời rạc Hệ chuyển đổi Willsky Leve nghiên cứu cho model hệ lượng điện tử Sworder Rogers nghiên cứu cho điều khiển trung tâm nhiệt mặt trời (solar thermal central) Athans đề xuất hệ chuyển đổi trở thành khung việc đề xuất va giải mối quan hệ điều khiển nảy sinh 24 trong việc tạo giải mối quan hệ điều khiển nảy sinh việc điều khiển khung (battle management), điều khiển hệ thống truyền đạt thông tin (communications systems) (BM/C) Một lớp quan trọng hệ chuyển đổi hệ tuyết tính có bước nhảy x (t )  A(r (t )).x(t ) (1.1) Ở phần trạng thái x(t) nhận giá trị R n phần khác trạng thái r(t) xích Markov nhận giá trị S={1,2, …N} Một vấn đề quan trọng nảy sinh trình nghiên cứu hệ chuyển đổi điều khiển tự động, với tầm quan trọng thay phân tích tính ổn định Ji Chizeck [4] nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính có bước nhảy Basak đồng tác giả [3] miêu tả tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, Mao nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên với bước nhảy Markov Shaikhet đưa thời gian trễ vào nghiên cứu quan tâm đến ổn định hệ phương trình trễ vi phân nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, Mao đồng tác giả nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ phi tuyến với bước nhảy Markov Sự thay đổi đột ngột cấu trúc tham số hệ chuyển đổi thường xun tượng giống tình trạng khơng thích hợp phận hay phục hồi phận, thay đổi hệ thống nối liền với nhau, nhiễu loạn mơi trường lai (abrupt) Vì vậy, mơ hình hố hệ vậy, cần phải đưa tham số không chắn môi trường nhiễu giống thời gian trễ vào tính tốn Nhắc lại hệ tuyến tính có bước nhảy (1.1), quan tâm đến tác động thời gian trễ, hệ cần phải miêu tả 25 x (t )  A(r (t )) x(t )  B(r (t )) x(t   ) (1.2) Nếu lấy mơi trường nhiễu vào tính tốn, hệ thống trở thành phương trình trễ vi phân ngẫy nhiên với bước nhảy Markov dx(t)=[A(r(t))x(t)+B(r(t))x(t-  )]d(t)+ [B(r(t))x(t)+D(r(t))x(t-  )]d  (t) (1.3) Cũng cần phải rằng, vài năm lại đây, nhiều nghiên cứu quan tâm đến việc ước lượng ổn định hệ trung bình x (t )  ( A  A) x(t ) 2.2 Những ký hiệu Trong suốt chương này, khơng có đặc biêt, sử dụng ký hiệu sau | | chuẩn Ơclit Rn Nếu A véc tơ ma trận dạng chuyển vị ký hiệu A T Nếu A ma trận chuẩn vết ma trận A ký hiệu | A | trace( AT A) chuẩn tốn tử ký hiệu || A || sup{| Ax : x | 1} Nếu A ma trận đối xứng, ký hiệu max ( A) min ( A) giá trị riêng lớn nhỏ tương ứng Nếu A B ma trận đối xứng, ký hiệu A > B A  B nghĩa A – B ma trận xác định dương ma trận xác định không âm tương ứng R  [0, )   C ([  , 0]; R n ) ký cho họ hàm liên tục  từ [ , 0] đến Rn với chuẩn ||  || sup  0 |  ( ) | (khơng có lẫn lộn với chuẩn toán tử ||A||)  ; R  [0, ] hàm liên tục, mà viết tắt cho thời gian trễ hệ miêu tả báo Như giả thuyết cố đinh, ln giả sử hàm  ln khả tích đạo hàm cảu bị chặn số nhỏ Nghĩa  (t )    1, t  26 (, F ,{Ft }t 0 , P) không gian xác suất đầy đủ với lọc {Ft }t 0 thỏa mãn điều kiện thong thường )nghĩa liên tục trái vào F0 chứa tất tập có độ đo không) Ký hiệu C b F0 ([ ,0]; R n ) họ tất biến ngẫu nhiên bị chặn, F0 – đo nhận giá trịnh C ([  ,0]; R n ) Nếu x(t) trình ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị Rn với t  [ , ], xt  {x(t   ) :     0} với t  xem trinh ngẫu nhiên nhận giá trị C ([  ,0]; R n ) w(t ), t  chuyển động Brownian chiều xác định không gian xác suất r (t ), t  xích Markov liên tục trái không gian xác suất nhận giá trị không gian trạng thái hữu hạn S={1,2, …N} với generator   ( ij ) NxN xác định i j   ij   o(), P{r (t  )  j | r (t )  i}    1   ij   o(), i  j với   Ở  ij  tốc độ chuyển trạng thái từ i đến j Nếu i  j  ii    ij j i Chúng ta giả sử xích Markov r(t) độc lập với chuyển động Brown w(.) Ta biết hầu hết phần r(t) hàm bước nhảy liên tục trái với số bước nhảy hữu hạn khoảng vô hạn R+ Trong suốt chương này, khơng có đặc biệt, chúng tơi bỏ t r(t)  (t ) cho đơn giản 2.3 Tính ổn định mũ bình phương trung bình hệ đơn giản Trước hết quan tâm đến hệ đơn giản hóa sau dx  t   [( Ar x(t )  Br x(t   )]dt  [(Cr x(t )  Dr x(t   )]d t  t  với liệu ban đầu x0    C b F0 ([ ,0]; R n ) 27 (3.1) Chúng ta ký hiệu x(t , ) nghiệm (3.1) hầu hết viết x(t , )  x(t ) không cần quan tâm đến vai trò liệu ban đầu  Theo A.V.SKorohod {xt , r (t )}t 0 trình Markov nhận giá trị C ([  ,0]; R n ) xS Tốn tử vơ hạn chiều L, tác động lên hàm V: C ([ , 0]; Rn )  S  R  R, định nghĩa LV ( xt , i, t )  lim [ E (V ( xt  , r  t    , t  ) xt , r  t   i)  V  xt , i, t ] 0  (3.2) Ví dụ V ( , i, t )   T (0)Qi (0) ( , i, t )  C ([ ,0]; Rn )  S  R với Qi ma trận đối xứng LV ( xt , i, t )  xT  t  Qi [( Ai x(t )  Bi x(t   )]  [(Ci x(t )  Di x(t   )]T Qi [(Ci x(t )  Di x(t   )] N   ij xT  t  Q j x  t  (3.3) i 1 Khi nghiên cứu tính ổn định, lấy hàm Liapunov dạng V  , i , t      H    d  T i t   , i, t   C   , 0 ; R n   S  R (3.4) Với Hj mà trận đối xứng Về sau ta cần bổ đề Bổ đề 3.1 Tốn tử vơ hạn chiều tác động lên hàm xác định (3.4) có dạng LV ( xt , i, t )  xT  t  Hi x(t )  (1   ) xT  t    H i x(t   ) N   ij j 1  x t    H x t   d T j  28 (3.5) Chứng minh: Với   đủ nhỏ ta tính E (V ( xt  , r  t    , t  ) xt , r  t   i ) 0 t   E   x (t     )  H r (t  ) x  t      d xt , r  t   i        E   xT  t   H r  t   x  t    d xt , r  t   i     t        E   xT  t     H r t   x  t      d   xT  t   H r t   x  t    d xt , r  t   i     t      t    N  i 1   x    P r t     j r t   i  T  t   H j x  t    d  t    E   xT  t   H r t   x  t    d   xT  t   H r t   x  t    d xt , r  t   i     t     t    N    ij  j 1    t  xT  t   H j x  t    d     t  xT  t   H i x  t    d   t   T   E   x  t   H r t   x  t    d   xT  t     H r t   x  t    d xt , r  t   i  0    t    N    ij  j 1    t  xT  t   H j x  t    d  V  xt , i, t   xT  t  H i x (t ) (1   ) xT  t    t    H i x(t    t )  o    Thay vào công thức (3.2) ta đến công thức (3.5) điều phải chứng minh Bây ta phát biểu kết đầu tính ổn định mũ theo nghĩa bình phương trung bình: Định lý 3.1 Giả sử tồn số 1 2 cho 1  2 Cũng giả sử tồn ma trận đối xứng Qi  0, H i  số  i  (1  i  N ) để Hi   i1BiT Qi Bi  2DiT Qi Di   0 29 N max (Qi Ai  AiT Qi  2CiT Qi Ci   i Qi    ij Q j  H i )  1 j 1 N max (  ij H j )  2 j 1 với i  S Khi đó, với liệu ban đầu   C b F0 ([ ,0]; R n ) , nghiệm (3.1) có dạng lim sup log(E | x(t; ) |2 )    t  t (3.6) Nói cách khác, (3.1) ổn định mũ theo bình phương trung bình Hơn nữa, số dương  nghiệm    2  1  e  1 (3.7) với   max max  Qi  1  max max  Hi  , Chứng minh: Đầu tiên chứng ta chứng tỏ 2  Chọn i để min ( H i ) trở thành nhỏ min ( H j ) (1  j  N ), nghĩa min ( H i )  min ( H j ) 1 j  N Và với v  giá trị riêng tương ứng Hi, nghĩa H i v  min ( H i )v vT H i  min ( H i ) | v |2 Hơn nữa, N  N  vT    ij H j  v    ij vT H j v  ii vT H i v j i  j 1     ij min  H j  v  ii min  H i  v N j i  min  H j  v Vậy 30 N  j i ij 0  N   j 1   N   j 1  max    ij H j  v  v    ij H j  v  T Từ | v | 0, ta thu  N   j 1  max    ij H j   Vì có 2  Từ 1  2 thấy 1  (3.7) có nghiệm   Bây ấn định liệu ban đầu  viết x(t; )  x(t ) Chúng ta định nghĩa hàm Liapunov V1 : C ([   ,0] s : R  R V1 ( , i, t )  etV ( , i, t ) với V1 ( , i, t )   (0)Qi    t    d T  Bằng công thức Ito tổng quát (xem [22]), có T EV1 ( xt , r  t  , t )  EV1 ( , r   , 0)  E  LV1 ( xs , r  s  , s) ds (3.8) Dễ nhận thấy LV1 ( xt , i, t )  e t [V ( xt , i, t )  LV1 ( xt , i, t )] Trong đó, từ (3.3) bể đề 3.1 ta có LV1 ( xt , i, t )  xT  t  Qi [( Ai x(t )  Bi x(t   )]  [(Ci x(t )  Di x(t   )]T Qi [(Ci x(t )  Di x(t   )] N    ij xT  t  Q j x  t   xT  t  H i x(t )  (1   ) xT  t    H i x(t   ) j 1 N    ij j 1  x  t    H x  t   d T j  Sử dụng bất đẳng thức 31 (3.9) xT Qi Bi y   i xT Qi x   i1 y T BiT Qi Bi y giả thuyết, tính tốn N   LV1 ( xt , i, t )  xT  t   Qi Ai  AiT Qi  2CiT QiCi   iQi    ij Q j  H i  x  t  j 1   T 1 T T  x  t     ( i Bi Qi Bi  Di Qi Di  (1   ) H i ) x(t   )  N  T x t        ij H j  x  t   d   j 1    1 x  t   2  x  t    d 2  Cũng ý V ( xt , i, t )   | x(t ) |2 1  | x(t   ) |2 d  Thay vào (2.8) ta thu t EV1 ( xt , r  t  , t )  EV1 ( , r   , 0)   1    E  e  s x  s  ds  (3.10)    2  1  E  e s   x  s    d  ds    t Tính tốn t   2 s  s  e x s   d  ds  e 0      0   x  u  du  ds t  u   s    u e ds  x  u  du t    e t  e u x  u  du  Thay vào (3.10) sử dụng (3.7) ta thu EV1 ( xt , r (t ), t )  EV1 ( xt , r (0),0)  (2  1 )e E  |  ( ) |2 d   Mặt khác, ý 32  EV1 ( xt , r (t ), t )  e t E xT (t )Qr (t ) x(t )  e t E xT (t )Qi x(t ) 1i  N   e t min (Qi ) E | x(t ) |2 1i  N Và vậy, kéo theo khẳng định (3.6) điều phải chứng minh Nếu cho  i  với i Định lý 3.1, thu kết sau Hệ 3.1 Giả sử tồn số 1 2 để 1  2 Cũng giả sử tồn ma trận đối xứng Qi  0, H i  số  i  (1  i  N ) để Hi  BiT Qi Bi  DiT Qi Di    0 N max (Qi Ai  AiT Qi  2CiT Qi Ci  Qi    ij Q j  H i )  1 j 1 N max (  ij H j )  2 j 1 Với iS (3.1) ổn định mũ bình phương trung bình Nó có ý nghĩa hệ 3.1 phát biểu mà mặt  i , trơng gọn gàng, định lý 3.1 tổng quát cho phép lựa chọn  i khác cho tình khác thự tế Ví dụ, chứng minh định lý 4.1 chọn i || Bi ||  || Bi || 33 KẾT LUẬN Luận văn thu đƣợc kết sau Trình bày có hệ thống số kiến thức lý thuyết ổn định theo nghĩa Liapunov với nội dung - Các khái niệm tính ổn định - Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính khơng dừng - Tính ổn định hệ tựa tuyến tính - Tính ổn định hệ với thời gian rời rạc Trình bày tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình lớp hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên có dạng k x i1   a j x i- j  xili , iZ j 0 Thiết lập điều kiện đủ để hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov ổn định mũ bình phương trung bình hệ có dạng sau dx(t)=[A(r(t))x(t)+B(r(t))x(t-  )]d(t)+ [B(r(t))x(t)+D(r(t))x(t-  )]d  (t) 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục ( 2003) [2] Vũ ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội ( 2001) [3] G.K Basak, A, Bisi, M.K.Ghosh, “Stability of a random diffusion with linear drift”, J Math Anal Appl.,Vol 202.pp 604 622.1996 [4] Y Ji H.J Chizeek (1990), Controllability, Stability and continuos – time Markovian jumb linear quadratie control, IEEE Trans, Automat, Control 35, 777-778 [5] X Mao (1999), Stability of stochastic differential euqatuons with Markovian switching, Stoc Proc Appl 79 (1), 45- 67 [6] M Arnold.Stochastic Differential Equations Theory Applications.New York.Wiley.1972 35 ... định - Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính khơng dừng - Tính ổn định hệ tựa tuyến tính - Tính ổn định hệ với thời gian rời rạc Trình bày tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình lớp hệ phương. .. cứu tính ổn định hệ tuyến tính có bước nhảy Basak đồng tác giả [3] miêu tả tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, Mao nghiên cứu tính ổn định hệ phương. .. tuyến tính ngẫu nhiên có dạng k x i1   a j x i- j  xili , iZ j 0 Thiết lập điều kiện đủ để hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov ổn định mũ bình phương trung bình hệ có dạng