Về bài toán điều khiển các hệ ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Mở đầu Một số kiến thức lý thuyết ổn định 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính dừng 11 1.5 Tiêu chuẩn Hurwitz 15 1.6 Phương pháp hàm Lyapunov 17 1.7 Tính ổn định hệ phi tuyến 20 Về toán điều khiển hệ ngẫu nhiên 2.1 Đặt toán 22 22 2.1.1 Định nghĩa 24 2.1.2 Định nghĩa 24 2.1.3 Định nghĩa 25 2.1.4 Định nghĩa 25 2.1.5 Bổ đề 25 2.1.6 Bổ đề 26 2.1.7 Bổ đề 26 2.1.8 Bổ đề 26 2.1.9 Bổ đề 26 2.2 Tính ổn định bảo đảm ổn định 26 2.3 2.2.1 Định lý 27 2.2.2 Định lý 31 Tính ổn định vững bảo đảm ổn định vũng 34 2.3.1 Định lý 34 2.3.2 Định lý 35 2.3.3 Định lý 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Trên thực tế hệ thống hệ thống sản xuất, q trình hóa học, đường truyền động hệ máy cán có độ trễ động học chúng Nói chung xuất trễ nguồn gốc vấn đề Các tài liệu trước rõ trễ nguồn gốc gây nên không ổn định vận hành hệ thống Ngồi ra, việc điều khiển hệ nhìn chung vấn đề khó Trong suốt thập kỷ qua, quan tâm dành cho việc điều khiển hệ loại gia tăng nhanh chóng có nhiều kết cơng bố Trong kết cơng bố, có kết độ ổn định đảm bảo ổn định vững chúng, bao gồm kết phụ thuộc hay độc lập với trễ Như biết điều kiện phụ thuộc trễ bảo toàn điều kiện độc lập trễ thường sử dụng phụ thuộc trễ để nói đến việc điều khiển hệ mà thảo luận Thực tế nhiều toán đề cập đến vấn đề kỹ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực mô tả phương trình tốn học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng x(t) ˙ = A0 (rt , t)x(t) + lk=1 Ak (rt , t)x(t − hk (t)) + B(rt , t)u(t), x(s) = φ(s) − τ ≤ s ≤ (*) Trong x(.) biến trạng thái mô tả đối tượng đầu u(.) biến điều khiển mơ tả đối tượng đầu vào Tính ổn định tính chất quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực có nhiều ứng dụng lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, kinh tế, Do nhu cầu nghiên cứu tính chất định tính hệ thống điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển Cơ sở tốn học tốn ổn định hóa lý thuyết ổn định Lyapunov Do tầm quan trọng vấn đề trên, luận văn nghiên cứu đề tài: Về toán điều khiển hệ ngẫu nhiên Mục tiêu luận văn xét tính ổn định ngẫu nhiên ổn định ngẫu nhiên vững hệ (*) Ngồi ra, luận văn cịn phát triển thuật toán thiết kế sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính để tính tốn điều khiển để làm hệ (*) ổn định ngẫu nhiên ổn định ngẫu nhiên vững Luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức lý thuyết ổn định Chương trình bày tính ổn định hệ phương trình vi phân gồm khái niệm tính chất lý thuyết ổn định Xét tính ổn định hệ phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến Chương 2: Về toán điều khiển hệ ngẫu nhiên Nghiên cứu tính ổn định hệ ngẫu nhiên có nhiều trễ, thiết lập điều kiện đủ để hệ ngẫu nhiên ổn định ngẫu nhiên, ổn định ngẫu nhiên vững thông qua bất đẳng thức ma trận, thiết lập thuật toán thiết kế điều chỉnh để hệ ổn định ngẫu nhiên ổn định ngẫu nhiên vững Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy quan tâm nhiệt tình hướng dẫn mà thầy dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hịa, thầy giáo mơn Xác suất thống kê, khoa Tốn, khoa Sau đại học- Trưòng Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thường xuyên quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận bảo quý báu quý thầy cô bạn đọc Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Xét hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x), t ≥ x(t0 ) = x0 (1.1) x(t) ∈ Rn trạng thái hệ, f : R+ × Rn → R+ hàm véctơ cho trước, f (t, x) liên tục theo t, có đạo hàm riêng cấp theo biến x1 , x2 , , xn liên tục Hệ phương trình vi phân (1.1) có nghiệm cho công thức t f (s, x(s)) ds x(t) = x0 + t0 1.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) (a < t < ∞) hệ gọi ổn định theo Lyapunov t → ∞ ∀ε > t0 ∈ (a, +∞), ∃δ = δ(ε, t0 ) > cho nghiệm y(t) hệ thỏa mãn ||y(t0 ) − x(t0 )|| < δ thì: i) Xác định khoảng [t0 , ∞) ii) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau thỏa mãn ||y(t) − x(t)|| < ε, ∀t0 ≤ t < ∞ 1.1.2 Định nghĩa Nghiệm x(t) (a < t < ∞) hệ gọi không ổn định theo Lyapunov t → ∞ ∀ε > 0, t0 ∈ (a, ∞) với δ > tồn nghiệm yδ (t) (ít một) thời điểm t1 = t1 (δ) > t0 cho ||yδ (t0 ) − x(t0 )|| < δ ||yδ (t1 ) − x(t1 )|| ≥ ε 1.1.3 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ gọi ổn định tiệm cận theo Lyapunov t → ∞ ổn định t0 ∈ (a, ∞) tồn ∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm y(t) (t0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện ||y(t0 ) − x(t0 )|| < ∆ lim ||y(t) − x(t)|| = t→∞ 1.1.4 Định nghĩa Nghiệm tầm thường (trạng thái cân bằng) x ≡ hệ gọi ổn định theo Lyapunov t → ∞ ∀ε > 0, t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) cho nghiệm y(t) hệ thỏa mãn ||y(t0 )|| < δ xác định khoảng [t0 , ∞) ||y(t)|| < ε, ∀t0 ≤ t < ∞ 1.1.5 Định nghĩa Nghiệm tầm thường x ≡ hệ gọi ổn định tiệm cận theo Lyapunov t → ∞ ổn định t0 ∈ (a, ∞) tồn ∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm y(t) (t0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện ||y(t0 )|| < ∆ lim ||y(t)|| = t→∞ 1.1.6 Định nghĩa Cùng với hệ (1.1) ta xét hệ có nhiễu d˜ y = F (t, y˜) + φ(t, y˜) dt (1.2) Nghiệm x(t) hệ (1.1) gọi ổn định tác động nhiễu φ(t, y˜) với ε > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ(ε, t0 ) > cho ||φ(t, y˜)|| < δ tất nghiệm y˜(t) hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện ||˜ y (t0 )|| < δ xác định khoảng [t0 , ∞) ||˜ y (t0 ) − x(t)|| < ε với t0 ≤ t < ∞ 1.1.7 Định nghĩa Hệ (1.1) gọi ổn định mũ ∃M > 0, δ > cho nghiệm x(t) hệ với x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ M · e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ Khi nghiệm x = hệ ổn định tiệm cận mà nghiệm tiến tới nhanh với tốc độ hàm số mũ 1.1.8 Định nghĩa Dùng phép biến đổi z = x − y ta đưa hệ (1.1) hệ z˙ = g(t, x), (1.3) g(t, z) = f (t, y + z) − f (t, y) Rõ ràng g(t, 0) = hệ cho nghiệm tầm thường z ≡ Hệ gọi hệ quy đổi 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x + f (t) (1.4) hệ vi phân tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x (1.5) ma trận A(t) véc tơ f (t) liên tục khoảng (0, ∞) 1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) gọi ổn định tất nghiệm ổn định 1.2.2 Nhận xét Các nghiệm hệ vi phân tuyến tính đồng thời ổn định đồng thời không ổn định 1.2.3 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận 1.2.4 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định nghiệm tầm thường hệ tương ứng (1.5) ổn định 1.2.5 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường hệ tương ứng (1.5) ổn định tiệm cận 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3.1 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.5) ổn định theo Lyapunov nghiệm x(t) hệ bị chặn [t0 , ∞) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.5) ổn định có nghiệm z(t) khơng bị chặn [t0 , ∞), z(t0 ) = Ta nghiệm tầm thường hệ không ổn định Thật vậy, lấy δ > xét nghiệm z(t) δ · y(t) = z(t0 ) Rõ ràng ||y(t0 )|| = δ < z(t) không bị chặn nên y(t) không bị chặn [t0 , ∞) Do với ε cố định, ∃t1 > t0 cho ||y(t1 )|| > ε Từ suy nghiệm tầm thường y ≡ không ổn định Điều mâu thuẫn với giả thiết hệ ổn định Vậy nghiệm y = y(t) hệ bị chặn [t0 , ∞) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm hệ bị chặn [t0 , ∞) Khi ma trận chuẩn hóa X (t) = xik (t) bao gồm hàm giới nội nên giới nội Do ∃M > để ||X (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [t0 , ∞) Mặt khác với nghiệm x(t) hệ ta có y(t) = X (t) · y(t0 ) Suy ||y(t)|| = ||X (t) · y(t0 )|| ≤ ||X (t)|| · ||y(t0 )|| ≤ M · ||y(t0 )|| < ε ||y(t0 )|| ≤ ε M = δ , chọn δ = ε M Như nghiệm tầm thường y ≡ ổn định Do hệ (1.5) ổn định 1.3.2 Hệ Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng ổn định nghiệm đồng thời giới nội đồng thời không giới 10 nội 1.3.3 Chú ý Đối với hệ vi phân tuyến tính, từ tính giới nội nghiệm nói chung khơng suy tính ổn định 1.3.4 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.5) ổn định tiệm cận nghiệm x(t) hệ thỏa mãn điều kiện lim x(t) = t→∞ Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.5) ổn định tiệm cận Khi nghiệm tầm thường z0 ≡ hệ ổn định tiệm cận Từ suy nghiệm z(t) mà ||z(t0 )|| < δ lim z(t) = t→∞ Giả sử y(t) nghiệm hệ với điều kiện ban đầu y(t0 ) = y(0), (||y(t0 )|| = 0) Đặt z(t) = δ y(t) · ||y(t0 )|| Khi z(t) nghiệm hệ thỏa mãn lim z(t) = Do t→∞ lim y(t) = lim t→∞ t→∞ ||y(t0 )|| δ · z(t) = Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm y(t) hệ thỏa mãn lim y(t) = t→∞ Suy với T đủ lớn, (T > t0 ) nghiệm y(t) bị chặn (T, ∞) Mặt khác hàm véc tơ y(t) liên tục t0 , T nên bị chặn đoạn Như nghiệm y(t) bị chặn t0 , ∞ Do hệ ổn định Suy nghiệm tầm thường z ≡ ổn định Kết hợp với giả thiết lim y(t) = ta suy t→∞ nghiệm tầm thường z ≡ ổn định tiệm cận Do hệ cho ổn định tiệm cận 1.3.5 Chú ý Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất nghiệm dần tới khơng t → ∞ nói chung khơng phải điều kiện đủ để 28 thành hệ Markov ta định nghĩa trình z(t) có giá trị C[−τ, 0] zs (t) = z(s + t) t − τ ≤ s ≤ t (2.12) Khi {(z(t), rt ).t ≥ 0} trình Markov mạnh Xét hàm Lyapunov có dạng sau: l t V (z(t), rt ) = z (t)P (rt )z(t) + (2.13) z (θ)Rk z(θ) dθ k=1 t−hk (t) Gọi A generator trình {(z(t), rt , t ≥ 0)}.Khi ta có: N AV (z(t), rt ) = z˙ (t)P (rt )z(t) + z (t)P (rt )z(t) ˙ + z (t) λrt j P (j) z(t) j=1 l l z (t)Rk z(t) − + k=1 (1 − hk (t))z (t − hk (t))Rk z(t − hk (t)) k=1 l = z (t) (A0 (rt ) + αI) P (rt ) + P (rt )(A0 (rt ) + αI) + Rk k=1 N λrt j P (j) z(t) + j=1 l eαhk (t) Ak (rt )z(t − hk (t)) + 2z (t)P (rt ) k=1 l − (1 − hk (t))z (t − hk (t))Rk z(t − hk (t)) k=1 29 Ta thấy l z (t)P (rt )eαhk (t) Ak (rt )z(t − hk (t)) = k=1 l z(t)−eαhk (t) Ak (rt )z(t−hk (t)) − P (rt ) z(t)−eαhk (t) Ak (rt )z(t−hk (t)) k=1 l + z (t)P (rt )z(t) k=1 l eαhk (t) Ak (rt )z(t − hk (t)) + P (rt )eαhk (t) Ak (rt )z(t − hk (t)) (2.14) k=1 Ta thu được: AV (z(t), rt ) = z (t) (A0 (rt ) + αI) P (rt ) + P (rt )(A0 (rt ) + αI) l + k=1 l(l + 1) Rk + P (rt ) + N λrt j P (j) z(t) j=1 l z(t) − eαhk (t) Ak (rt )z(t − hk (t)) − k=1 P (rt ) z(t) − eαhk (t) Ak (rt )z(t − hk (t)) l eαhk (t) Ak (rt )z(t − hk (t)) + P (rt )eαhk (t) Ak (rt )z(t − hk (t)) k=1 l +− (1 − hk (t))z (t − hk (t))Rk z(t − hk (t)) k=1 Từ ta có kết sau: 30 AV (z(t), rt ) ≤ z (t) (A0 (rt ) + αI) P (rt ) + P (rt )(A0 (rt ) + αI) l + k=1 l N l(l + 1) Rk + P (rt ) + λrt j P (j) z(t) j=1 z (t − hk (t)) (1 − τk )Rk − e2ατk Ak (rt )P (rt )Ak (rt ) − k=1 z(t − hk (t)) ≤ z (t)Φ(rt )z(t) Vì thu được: AV (z(t), rt ) ≤ − min{λmin (−Φ(j))}z (t)z(t) j∈S Kết hợp kết với cơng thức Dynkin ta có: t E[V (z(t), rt )] − E[V (z(0), r0 )] = E AV (z(s), rs ) ds|(r0 , Φ(.)) t ≤ {−min{λmin (−Φ(j))}E j∈S z (s)z(s) ds|(r0 φ(.)) (2.15) Từ kết ta lại có: t min{λmin (−Φ(j))}E j∈S z (s)z(s) ds|(r0 Φ(.)) ≤ E[V (z(0), r0 )] (2.16) Kết kéo theo mối quan hệ sau với tất giá trị t ≥ 0: t z (s)z(s) ds|(r0 Φ(.)) ≤ E Định lý 2.2.1 chứng minh E[V (z(0), r0 )] min{λmin (−Φ(j))} j∈S (2.17) 31 2.2.2 Định lý Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương X = (X1 , , XN ) > 0, U = (U1 , , Ul ) > thỏa mãn   H Zi (X) Si (X) Zi (X) −Zi 0 (2.19) điều chỉnh (2.7) với K(i) = Yi Xi−1 , i ∈ S làm hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên Ở H =[A0 (i) + αI]Xi + B(i)Yi + Xi [A0 (i) + αI] + Yi B (i) + λii Xi l(l + 1) Xi + Si (X), Xi , Zi (X) Zi xác định thông qua công thức sau: Si (X) = λi1 Xi · · · λii−1 Xi λii+1 Xi · · · λiN Xi (2.20) Xi = diag{X1 · · · Xi−1 Xi+1 · · · XN } (2.21) Zi (X) = (Xi , , Xi ) (2.22) Zi = diag{U1 , , Ul } (2.23) 32 Chứng minh Thay (2.7) vào (2.2) ta có l Ak (rt , t)x(t − hk (t)) + B(rt , t)K(rt )x(t) x(t) ˙ = A0 (rt , t)x(t) + k=1 l Ak (rt )x(t − hk (t)) + B(rt )K(rt )x(t) = A0 (rt )x(t) + k=1 l Ak (rt )x(t − hk (t)) = A0 (rt ) + B(rt )K(rt ) x(t) + k=1 l = A¯0 (rt , t)x(t) + Ak (rt , t)x(t − hk (t)) k=1 Ở A¯0 (rt ) = A0 (rt ) + B(rt )K(rt ) Sử dụng định lý 2.2.1 để chứng minh điều khiển (2.7) làm ổn định hệ (2.2) theo quan điểm ngẫu nhiên cần tồn ma trận đối xứng xác định dương P = (P1 , P2 , , PN ) > R = (R1 , R2 , , Rl ) > thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau ∀rt ∈ S l [A¯0 (rt ) + αI] P (rt ) + P (rt )[A¯0 (rt ) + αI] + Rk + k=1 l(l + 1) P (rt ) N λrt j P (j) < (2.24) + j=1 Ak (rt )P (rt )Ak (rt ) ≤ (1 − τk )e−2ατk Rk k = 1, 2, , l (2.25) Lấy Xi = P −1 (i) Uk = Rk−1 k = 1, 2, l rt = i Nhân trái phải 33 (2.24) với Xi ta có l Xi Uk−1 Xi + λii Xi Xi [A¯0 (i) + αI] + [A¯0 (i) + αI] + k=1 λij Xj−1 Xi + Xi j=i l(l + 1) Xi < Để ý (2.20) nên λij Xj−1 Xi = Si (X)Xi−1 Si (X) Xi j=i (2.22) (2.23) nên l Uk−1 Xi = Zi (X)Zi−1 Zi (X) Xi k=1 , với Zi = (Xi , , Xi ) Zi = diag{U1 , , Ul } Bây lấy Yi = Ki Xi , bất đẳng thức trở thành: Xi [A0 (i)+αI] +[A0 (i)+αI]Xi +Yi Bi +B(i)Yi +Zi (X)Zi−1 Zi (X)+λii Xi l(l + 1) Xi < + Si (X)Xi−1 Si (X) + ⇔ H + Zi (X)Zi−1 Zi (X) + Si (X)Xi−1 Si (X) < Zi−1 Zi (X) ⇔ H + Zi (X), Si (X) −1 Si (X) Xi < Sử dụng bổ sung Schur ta có bất đẳng thức tương đương với (2.18) Tương tự sử dụng bổ sung Schur cho (2.25) ta có (2.25) tương đương với (1 − τk )e−2ατk Uk−1 Ak (i) Ak (i) Xi > Nhân trái phải hai vế bất đẳng thức với {Uk , I} ta (2.19) Từ lập luận ta thấy tồn ma trận đối xứng xác định 34 dương X = (X1 , , XN ) > 0, Y = (Y1 , , YN ) > 0, U = (U1 , , Ul ) > thỏa mãn (2.18) (2.19) P (i) = Xi−1 , K(i) = Yi Xi−1 i ∈ S Rk = Uk−1 k = 1, 2, , l thỏa mãn (2.24) (2.25) Định lý (2.2.2) chứng minh 2.3 Tính ổn định vững bảo đảm ổn định vũng Bây quay trở lại với nguồn gốc toán xem xét điều kiện ổn định ngẫu nhiên trước thay đổi bất định khác không Để kết bất đẳng thức ma trận tuyến tính đơn giản hơn, giả thiết điều kiện sau cho tất rt ∈ S : D0 (rt ) = Db (rt ) F0 (rt , t) = Fb (rt , t), ∀t Định lý nêu điều kiện ổn định cho hệ tự bất định (2.2) Các điều kiện rút trực tiếp từ định lý 2.2.1 2.3.1 Định lý Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương P = (P1 , P2 , , PN ) > R = (R1 , R2 , , Rk ) > điều kiện sau cho tất rt ∈ S cho tất bất định chấp nhận được: l [A0 (rt , t) + αI] P (rt ) + P (rt )[A0 (rt , t) + αI] + Rk k=1 N + λrt j P (j) + j=1 l(l + 1) P (rt ) Ξ0 (rt , t) < Ak (rt , t)P (rt )Ak (rt , t) < (1 − τk )e−2ατk Rk (2.26) (2.27) 35 hệ (2.2) với u(t) ≡ ổn định ngẫu nhiên vững Chứng minh: Việc chứng minh định lý thực theo bước định lý 2.2.1 Chú ý điều kiện định lý 2.3.1 phụ thuộc độ bất định khơng thể giải Định lý sau cung cấp điều kiện đủ dựa bất đẳng thức ma trận tuyến tính hệ ổn định ngẫu nhiên vững 2.3.2 Định lý Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương P = (P1 , P2 , , PN ) > R = (R1 , R2 , , Rk ) > vô hướng εi , γi , i ∈ S thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau ∀i ∈ S J(i) + εi E0 (i)E0 (i) P (i)D0 (i) D0 (i)P (i) −εi I thỏa mãn P (i)D0 (i)D0 (i)P (i) < εi Sử dụng bổ sung Schur rút bất đẳng thức J(i) + εi E0 (i)E0 (i) + tương đương với (2.28) (2.27) tương đương với −(1 − τk )e−2ατk Rk Ak (rt , t)P (rt ) P (rt )Ak (rt , t) −P (rt ) < k = l (2.30) Chú ý vế trái bất đẳng thức viết lại sau −(1 − τk )e−2ατk Rk Ak (rt )P (rt ) + P (rt )Ak (rt ) −P (rt ) 0 (rt ) 0) + F (r ) Dk (i) P (i) F (r )(E t,t k k P (rt )Dk (rt ) Ek (rt ) k t,t Tương tự sử dụng bổ đề 2.1 ta có (2.30) tồn vô hướng γi > mà T −(1 − τk )e−2ατk Rk ATk (i)P (i) + γi Ek (i)Ek (i) 0 P (i)A0 (i) −P (i) + γi P (i)Dk (i) Dk (i)P (i) < Sử dụng bổ sung Schur, bất đẳng thức tương đương với (2.29) Định lý 2.3.2 chứng minh Định lý 2.3.2 sử dụng để thiết kế điều chỉnh phản hồi trạng thái có dạng (2.7) làm hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững qua định lý sau 37 2.3.3 Định lý Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương X = (X1 , , XN ) > 0, U = (U1 , , Ul ) > 0, vô hướng ρ1i > 0, ρ2i > thỏa mãn   J1 (i) Xi E0 (i) + Yi Eb (i)) Zi (X) Si (X)  ∗ −ρ1i I 0  < (2.31)  ∗ −Zi  ∗ 0 −Xi   −Uk Uk Ak (i) Uk Ek (i) Ak (i)Uk −X(i) + ρ2i D0 (i)D (i)  < (2.32) 0 Ek (i)Uk −ρ2i I với i ∈ S điều chỉnh (2.7) với K(i) = Yi Xi−1 , i ∈ S làm hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững Ở J1 (i) =[A0 (i) + αI]Xi + B(i)Y (i) + Xi [A0 (i) + αI] + Yi B (i) + λii Xi l(l + 1) Xi + ρ1i D0 (i)D0 (i), + Uk = Rk−1 Si (X), Xi , Zi (X) , Zi xác định (2.20),(2.21),(2.22),(2.23) Chứng minh Thay (2.7) vào (2.2) ta thu phương trình vi phân sau cho hệ khép kín l x(t) ˙ = A¯0 (rt , t)x(t) + Ak (rt , t)x(t − hk (t)) k=1 Ở A¯0 (rt , t) = A¯0 (rt ) + D0 (rt )F0 (rt )E¯0 (rt ) với A¯0 (rt ) = A0 (rt ) + B(rt )K(rt ) Và E¯0 (rt ) = E0 (rt ) + Eb (rt )K(rt ) Đối với điều chỉnh (2.7) cho trước, sử dụng định lý 2.3.2 thu hệ khép kín ổn định RSS tồn ma trận đối xứng xác định dương P = (P1 , P2 , , PN ) > R = (R1 , R2 , , Rl ) > đại 38 lượng vô hướng εi > 0, γi > 0, i ∈ S cho bất đẳng thức sau với giá trị i ∈ S : ¯ + εi E¯ (i)E¯0 (i) P (i)D0 (i) J(i) D0 (i)P (i) −εi I  −(1 − τk (2.33) 0, U = (U1 , , Ul ) > 0, vô hướng ρ1i > 0, ρ2i > thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính(2.31) (2.32) i ∈ S điều chỉnh (2.7) với K(i) = Yi Xi−1 , i ∈ S làm hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững Định lý chứng minh 40 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau đây: Trình bày có hệ thống khái niệm tính chất lý thuyết ổn định theo Lyapunov hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính nhất, hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng phương pháp hàm Lyapunov Trình bày nội dung đặt tốn điều khiển hệ tuyến tính theo thời gian liên tục có bước nhảy Markov đa trễ thời gian thay đổi theo thời gian véc tơ trạng thái nhờ khái niệm: (i) Ổn định ngẫu nhiên (SS) (ii) Ổn định bình phương trung bình(MSS) (iii) Ổn định mũ trung bình (MES) (iiii) Ổn định ngẫu nhiên vững (RSS) (iiiii) Ổn định mũ trung bình vững (RMES) Thiết lập điều kiện đủ để hệ tự (2.2) với giả thiết bất định không ổn định ngẫu nhiên thông qua bất đẳng thức ma trận ( Định lý 2.2.1 ) Thiết lập điều kiện đủ để hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững thông qua bất đẳng thức ma trận ( Định lý 2.3.1, 2.3.2 ) Thiết lập thuật toán thiết kế điều chỉnh u(t) = K(rt )x(t) làm cho hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên ( Định lý 2.2.2 ) 41 Thiết lập thuật toán thiết kế điều chỉnh u(t) = K(rt )x(t) làm cho hệ (2.2) ổn định ngẫu nhiên vững ( Định lý 2.3.3 ) 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Ngọc Bội, Bài giảng lý thuyết ổn định Liapunov, NXB Đại học Huế, 2007 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2003 [3] Vũ Ngọc Phát, Cơ sở lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [4] Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2000 [5] Boukas, E.K., and Liu, Z.K., Deterministic and Stochastic systems with Time - Delay, Birkhauser, Boston, 2002 [6] CAO, Y Y., and LAM, J., Robust H∞ Control of Uncertain Markovian Jump Systems with Time - Delay, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 45, No 2000 [7] E.K Boukas, Control of Stochastic Systems with Time - varying Multiple Time - Delay Les cahiers du Gerad, 2002 [8] MAHMOUD, M S Robust Control and Filtering for Time-delay Systems, Marcel Dekker, New York, 2000 ... định hệ phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến Chương 2: Về toán điều khiển hệ ngẫu nhiên Nghiên cứu tính ổn định hệ ngẫu nhiên có nhiều trễ, thiết lập điều kiện đủ để hệ ngẫu nhiên ổn định ngẫu nhiên, ... trọng vấn đề trên, luận văn nghiên cứu đề tài: Về toán điều khiển hệ ngẫu nhiên Mục tiêu luận văn xét tính ổn định ngẫu nhiên ổn định ngẫu nhiên vững hệ (*) Ngoài ra, luận văn cịn phát triển thuật... nghiệm tầm thường Y ≡ hệ (1.11) (1.12) không ổn định Như nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến theo xấp xỉ thứ 22 CHƯƠNG VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CÁC HỆ NGẪU NHIÊN Ký hiệu: Trong