Biểu diễn markov hệ ngẫu nhiên tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ LINH BIỂU DIỄN MARKOV HỆ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH CHUN NGÀNH: XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN MÃ SỐ: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.NGUYỄN TRUNG HÒA Vinh, 2012 MỤC LỤC trang Mở đầu………………………………………………………………………… Chương Kiến thức sở…………………………………………………….4 1.1 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối……………………………………….4 1.1.1 Biến ngẫu nhiên……………………………………………………… 1.1.2 Hàm phân phối ……………………………………………………… 1.2 Quá trình ngẫu nhiên trình cấp hai……………………………….5 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên………………………………………………… 1.2.2 Quá trình cấp hai…………………………………………………… 1.3 Không gian Hilbert biến ngẫu nhiên…………………………… Chương 2: Biểu diễn Markov hệ ngẫu nhiên tuyến tính………………… 10 2.1 Mơ hình hệ ngẫu nhiên biểu diễn Markov……………………………10 2.1.1 Tính cực tiểu khơng cực tiểu mơ hình……………………… 11 2.1.2 Ý tưởng không gian trạng thái biểu diễn Markov…………… 12 2.1.3 Phép biến đổi ngẫu nhiên phi nhân quả………………………………17 2.2 Lý thuyết hình học biểu diễn Markov……………………………… 18 2.2.1 Định lý biểu diễn…………………………………… … 18 2.2.2 Hình học đặc trưng tính cực tiểu…………………………………22 2.3 Cấu trúc biểu diễn Markov………………………………………… 30 2.3.1 Từ biểu diễn Markov đến nhân tử phổ……………………………30 2.3.2 Từ nhân tử phổ đến biểu diễn Markov……………………………35 Kết luận……………………………………………………………………… 39 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày ngành xác suất thống kê phát triển mạnh mẽ tính ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực vật lý, hóa học, sinh học, tin học, viễn thông, kinh tế v.v… Lý thuyết mơ hình hóa dự báo, xử lý tín hiệu hệ thống tuyến tính toán ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực có nhiều viết vấn đề Do sở đọc tìm hiểu, chúng tơi trình bày hệ thống lại lý thuyết đầy đủ cho mơ hình khơng gian trạng thái tuyến tính trình ngẫu ngẫu nhiên với số gia dừng đề tài: “Biểu diễn Markov hệ ngẫu nhiên tuyến tính” Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài khái niệm biến ngẫu nhiên, trình ngẫu nhiên, hệ ngẫu nhiên tuyến tính, khơng gian Hilbert biến ngẫu nhiên biểu diễn Markov hệ ngẫu nhiên tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu đề tài chúng tơi dựa vào số tài liệu tham khảo áp dụng số phưong pháp nghiên cứu như: phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp so sánh Nội dung nghiên cứu Nghiên cứu Biểu diễn Markov hệ ngẫu nhiên tuyến tính bao gồm khơng gian Hilbert biến ngẫu nhiên, mơ hình hệ ngẫu nhiên, biểu diễn Markov cấu trúc biểu diễn Markov Dự kiến kết đạt Một lý thuyết đầy đủ cho mơ hình khơng gian trạng thái tuyến tính q trình ngẫu nhiên với số gia dừng thảo luận ứng dụng để dự báo Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu, kết luận gồm chương Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Biểu diễn Markov hệ ngẫu nhiên tuyến tính Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Trung Hòa Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Phòng Sau Đại học tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt q trình cơng tác học tập Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học, trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả trình học tập thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả Lê Thị Linh CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối Xét không gian xác suất sở  , F , P  , đó:  khơng gian mẫu gồm tất kết cục xẩy phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết cục   gọi điểm mẫu biến cố sơ cấp Người ta gọi  không gian biến cố sơ cấp F  - đại số (  -trường) biến cố Tức F họ tập  thỏa mãn điều kiện sau: +)  F , +) AF  \ A  Ac  A F ,  +) A1 , A2 , F  An  F n 1 Mỗi tập AF gọi biến cố P độ đo xác suất xác định F Tức ánh xạ P : F   thỏa mãn điều kiện sau: +) P  A   với AF , +) P     ,   +) A1, A2 , F Ai  Aj    i  j  P   An    P  An   n 1  n 1 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Giả sử  , F , P  không gian xác suất Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên Y ánh xạ Y :    cho Y  x    / Y    x  F , x   1.1.2 Hàm phân phối Định nghĩa Giả sử  , F , P  không gian xác suất, Y :    biến ngẫu nhiên Khi hàm số FY  y   P Y  y   P  : Y    y  gọi hàm phân phối X Nhận xét FY  x   P Y 1  , y    PY  , y   Tính chất  F  y   Tính chất suy từ định nghĩa tính chất tương ứng xác suất Nếu a  b F  b   F  a   P  a  Y  b  ; F(y) hàm khơng giảm Thật vậy, giả sử a  b , Ta có F  b   P  Y  b   P  Y  a   P  a  Y  b   P Y  a   F  a  lim F  y   ; x  lim F  y   x  Thật lim F  y   lim P  Y  y   P  Y     x  x  lim F  y   lim P Y  y   P Y     x  x  Để thuận tiện, người ta thường dùng ký hiệu F     lim F  y  ; F     lim F  y  x  x  Lúc tính chất viết F     ; F     1.2 Quá trình ngẫu nhiên trình cấp hai 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa Cho khơng gian xác suất  , F , P  , trình ngẫu nhiên với khơng gian trạng thái X tập hợp biến ngẫu nhiên với giá trị X đánh số thứ tự tập hợp T (“thời gian”) Nghĩa là, trình ngẫu nhiên F tập hợp Ft : t  T  với Ft biến ngẫu nhiên có giá trị X Một cải tiến G trình F trình ngẫu nhiên không gian trạng thái, với tập hợp tham số T cho P  Ft  Gt   t  T 1.2.2 Quá trình cấp hai Giả sử Y(t), t  T q trình (ngẫu nhiên), T tập số thời gian Tập số T    ,   ,    [0, ) ,   0, 1, 2,  ,    0,1,2,  Nếu T   T    ta có q trình với thời gian liên tục Nếu T   T    ta có q trình với thời gian rời rạc hay gọi dãy ngẫu nhiên Định nghĩa Quá trình Y(t), t  T gọi trình cấp hai  Y  t    , t  T Ký hiệu L2  , F , P  không gian Hilbert đại lượng ngẫu nhiên Y cho E Y   Tích vơ hướng L2  , F , P  Y , Z  E YZ    Y  Z   dP  Sự hội tụ L2  , F , P  gọi hội tụ bình phương trung bình Nếu Yn hội tụ bình phương trung bình tới X ta viết l i.mYn  Y n  1.3 Không gian Hilbert biến ngẫu nhiên Tính chất hình học hệ ngẫu nhiên tuyến tính phát biểu dạng khơng gian không gian Hilbert tất định H, biến ngẫu nhiên cấp có kì vọng có nghĩa q trình cấp hai, có tích vơ hướng   E  (3.1) E kí hiệu kì vọng tốn Các khơng gian Hilbert xây dựng từ tập sở M hữu hạn vô hạn biến ngẫu nhiên cấp hai cách lấy bao đóng khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (3.1) khơng gian tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử M Ví dụ, {z(t) ; t  R } trình vectơ m -chiều dừng, M:=  zk  t  ; t  R, k  1,2, , m xác định khơng gian Hilbert H(z), q trình vectơ m-chiều với số gia dừng M := { zk(t) –zk(s) ; t, s  R, k= 1, 2, …, m} tạo không gian Hilbert H(dz) Với không gian X H, ký hiệu EX hình chiếu trực giao   H lên X Dưới dạng không gian Hilbert biến ngẫu nhiên Gauss điều hiểu kỳ vọng có điều kiện cho biến ngẫu nhiên tạo X Nếu z vectơ ngẫu nhiên, EXz biểu thị vectơ ngẫu nhiên với thành phần E X zi Hơn nữa, viết A  B ký hiệu hai không gian A B trực giao A  B / X ký hiệu điều kiện trực giao cho X , tức   E X  ,   E X    với   A,   B (3.2) Cuối cùng, A  B bao đóng tập hợp    /   A,   B , A  B tổng trực tiếp, C : A  B không gian cho B  C=A Vì đơi viết (bù trực giao A H) H  A A  Mệnh đề 1.3.1 Các mệnh đề sau tương đương i  A  B/X  ii  B  A/X  iii   A  iv   X)  B/X E A  X   EX  với  B v  A  X  X  B  vi  E A  E A E X  với  B Chứng minh Sự tương đương  i  ,  ii   iii  trực tiếp suy từ định   nghĩa Khi   E X   X , đẳng thức (3.2) viết  ,   E X       Do đó,  iii  tương đương với   E X   A  X , tức E A X   E X   ,    iv  Hơn nữa,  i  tương đương với   E X   A , tức   E A   E X   , giống  vi  Cuối cùng, đặt Z :  A  B   X ; A  B  X  Z , tức E A X   E X   E Z  Do  iv  tương đương với E Z   với   B , tức Z  B ,  v   Khơng gian Hilbert sinh q trình ngẫu nhiên, chẳng hạn H(z) H(dz), xuất tự nhiên trang bị với cấu trúc thời gian Chúng ta xác định không gian khứ H  ( z ) H  z  không gian sinh { z(t) ; t  0} không gian tương lai không gian sinh  z  t  ; t  0 Không gian khứ H   dz  không gian tương lai H   dz  xác định tương tự Chúng ta xem xét q trình liên tục L2 Có nhóm liên tục mạnh { Ut ; t  R } toán tử H(z) H(dz) gọi thay đổi cảm sinh z dz, tương ứng, xác định cách mở rộng toán tử U t U t z k  s   zk  s  t  (3.3) U t [ zk  s  – zk ( )]  zk  s  t  – zk (  t ) (3.4) Sự thay đổi Ut có liên hợp Ut* = U -t Theo quan điểm thay đổi có tính chất bất biến sau: U t H   z   H   z  U t H   z   H   z  (3.5) với t  0, tương ứng, U t H   dz   H   dz  U t H   dz   H   dz  (3.6) Chúng ta nói dãy tăng  K t  hồn tồn khơng xác định (p.n.d) “q khứ xa xôi” K : tR Kt chứa biến ngẫu nhiên có kỳ vọng Tính chất p.n.d phụ thuộc vào cấu trúc biến đổi ngược không gian bất biến K Cho dãy giảm  K t  H(dz), định nghĩa “tương lai xa” K  :  tR K t Nếu K  nhỏ nói K  t p.n.d K p.n.d (sự thay đổi ngược) không gian bất biến Một trình dz số gia dừng gọi p.n.d H  (dz ) H   dz  p.n 27   Do H   S  S  , điều tương đương H   S   S   H , viết giống (2.19a) Chứng minh tương tự phần cấu trúc  Như hệ định lý có định lý trình bày Ruckebusch [9] với cách chứng minh khác Định lý 2.2.8 Một không gian tách Markov cực tiểu thỏa mãn hai điều kiện quan sát cấu trúc Hệ 2.2.9 Giả sử X không gian tách Markov , giả sử N  N  xác định (2.15) (2.17) Khi đó, X quan sát X  N  , X cấu trúc X  N  Chứng minh Từ điều kiện (2.19b) S  H  suy   N  H  H     S  H   S , mà trực giao với X Điều kiện (iii) Định lý 2.2.1 Do tính xây dựng X có nghĩa X  N  Phần lại chứng minh tương tự  Các định lý sau cho điều kiện cực tiểu Định lý 2.2.8 nới lỏng trong hai điều kiện quan sát cấu trúc được thay điều kiện tương ứng yếu Hệ 2.2.9 Trong ý nghĩa khác, định lý phát biểu hình học (tổng quát) Mệnh đề 2.1.1 Thực tế, điều kiện X  N  tương đương với nhân tử phổ W cực tiểu Định lý 2.2.10 Giả sử X không gian tách Markov thích hợp Khi điều kiện sau tương đương (i) X cực tiểu; (ii) X quan sát X  N  ; (iii) X cấu trúc X  N  28 Ở đây, cung cấp cho chứng minh [7; p.823] trường hợp H  /  H  /  hữu hạn chiều Chứng minh (trường hợp hữu hạn chiều) Từ Định lý 2.2.8 Hệ 2.2.9 dễ dàng ta có  i  kéo theo  ii   iii  Ngược lại, có (ii) (iii), X trực giao với N  N  (do Hệ 2.2.9), H   H  /   N  H   H /  N  (2.27) (phân tích (2.25)), điều kiện tách H   H  / X thay điều kiện nhẹ H /   H /  / X (2.28) N  N  loại bỏ từ khứ tương lai Bây giờ, giới thiệu toán tử quan sát  : X  H /  toán tử cấu trúc  : X  H /  xác định  : E H / / X  :  EH / (2.29) /X tương ứng Do đó, theo (2.26), Ker  X   H       N  X  H     X  N  ,  nội xạ X quan sát Tương tự vậy,  nội xạ X cấu trúc Hơn nữa, theo (2.26) giả thiết X  N  X  N  , Bổ đề 2.2.6 suy Im  = H  /  Im  = H  /  (nếu hữu hạn chiều),   ln ln tồn ánh Bây giờ, giả sử có  ii  Thế  song ánh,  khả nghịch Bây giờ, điều dễ dàng để thấy điều kiện tách (2.28) tương đương với thừa số  *    (2.30)   tốn tử quan sát rút gọn H  /  , tức   : E H (Mệnh đề 4.1(vi) Chương I ), hiển nhiên  /  / H  / song ánh, H  /  29  *   1  cực tiểu quan sát Vì vậy, từ (2.29) suy song ánh, X cấu trúc Do  i  thỏa mãn (Định lý 2.2.8) Một  cách tương tự ta có  iii    i  Các hệ sau cần thiết sau Hệ 2.2.11 Giả sử dim H  /  :  n   Khi tất khơng gian tách Markov cực tiểu có chiều n Chứng minh Do  : X  H /  song ánh nên X phải có chiều  H  / Hệ 2.2.12 Một không gian tách Markov X quan sát (cấu trúc được)  (  ), xác định (2.29), nội xạ với phạm vi trù mật (hoặc song ánh trường hợp hữu hạn chiều) Hệ 2.2.13 Giả sử X không gian tách Markov cho X  N  Khi    U t  X   = U t H  /   Chứng minh Cho   H  /  Do   S , X   S   S (2.31)  U t S   S  với  t  (Định lý 4.1), U t  X   = E X U t E X  = E X U t Nhưng X  N  , ta có   N  U     /    đẳng thức E E  U H U   H     t t t X  Hệ 2.2.12 2.2.13 suy X cực tiểu có U t  X  tương tự trường hợp hữu hạn chiều 2.3 Cấu trúc biểu diễn Markov Trong phần hạn chế tập trung quan tâm đến khía cạnh hình học biểu diễn Markov với nghiệm giải tích giải tích liên hợp tốn phân tích phổ ' W  s W   s     s  (3.1) 30  m  m mật độ phổ số gia dy Để bắt đầu, giả thiết gia số dy trình dừng m -chiều L2 liên tục p.n.d mật độ phổ  có hạng đầy đủ hầu khắp nơi trục ảo I 2.3.1 Từ biểu diễn Markov đến nhân tử phổ   Với biểu diễn Markov thích hợp  H ,U , X  bội p  m với X  S , S ,     có cặp d , d  trình Wiener p-chiều cho H d   H  S  H   d     S  H d  (3.2)   Các trình gọi trình sinh biểu diễn Markov, xác định sai khác ma trận hệ số trực giao cỡ p  p Từ (3.2), tất biến ngẫu nhiên S [trong S ] biểu diễn tích phân ngẫu nhiên (B.1) [3] hàm quan hệ nhân f  L2p  R  [một hàm quan hệ phi nhân f  L2p  R  ] với d  d   Đặc biệt, cách tự nhiên, điều dẫn đến biểu diễn dy dạng sơ đồ điều khiển vào-ra dạng nhân trình nhiễu trắng d d  tương ứng Cách hiệu để nghiên cứu biểu diễn khuôn khổ tính dừng kỹ thuật miền phổ Để kết thúc điều này, nhớ lại có hai ánh xạ đẳng cự I I từ L2p  I  đến H thành lập phép đẳng cự S S không gian Hardy H p2 H p tương ứng (Xem Phụ lục C [3]) Thực tế, qua phép đẳng cấu đó, phép chuyển dịch U t trở thành phép nhân với eit , nhìn thấy (B.12), xem lại (C.1) [3],   I H 2p  H   d   S I H p  H  d   S 1 (3.3) Hơn nữa, I I toán tử với phép chuyển dịch L2p  I  , biểu diễn phép nhân toán tử 31 I1I = M K (3.4) M K f = fK K hàm ma trận unitary cỡ p  p I Một phép đẳng cự biến hàm giải thích thành hàm giải tích gọi phép biến đổi Một hàm ma trận V cỡ p  p I cho H 2pV trù mật H p2 gọi phép biến đổi ngồi Các hàm với tính chất tương ứng không gian Hardy liên hợp H p2 gọi liên hợp bên liên hợp bên tương ứng Trong Phụ lục C [3], giới thiệu không gian Hardy sửa đổi w2p w2p bao gồm hàng vectơ p-chiều hàm g g tương ứng cho    h g  H p2  h g  H p2 ,  h  i   eit  / i  h  i    h  i  Vì lý giải thích Phụ lục C [3], nhân tử phổ W với hàng w2p gọi giải tích nhân tử phổ W với hàng w2p gọi đồng giải tích Bổ đề 2.3.1 Giả sử  H ,U , X  biểu diễn Markov thích hợp với   trình sinh d , d Khi có cặp W ,W nhân tử phổ với thành phần đầu giải tích thành phần thứ hai đồng giải tích, cho    dy  Wd  Wd (3.5) Hơn nữa, ma trận hàm K xác định (3.4) thỏa mãn W WK (3.6)   d  Kd (3.7) Đặc biệt, Chứng minh Cho số không đổi h  , xác định hai ma trận W W cỡ m  p có giá trị hàm I với hàng Wk   h1I1  yk  h   yk    (3.8a) 32 W k   h1I1  yk  h   yk    (3.8b) e ih   y  h   y     W  i  d   i  i  (3.9a)  eih  y  h   y  0   W  i  d  i  i  (3.9b) với k= 1,2,…,m Khi   từ thấy W W nhân tử phổ, không phụ thuộc vào lựa chọn h định nghĩa (3.8), thỏa mãn (3.5) (Xem Phụ lục C [3]) Thực tế, từ biểu diễn phổ (B.19) từ (B.21) [3] có  ' d E  y  h1   y     y  h2   y       h1  i    i   h2  i  2    cách lấy tính tốn ban đầu, chẳng hạn (3.9b), có biểu thức thay     h1  i W  i W  i   h2  i  d  / 2  Do hàm  h ; h  R trù mật L1  I  , cách so sánh hai biểu thức có    i   W  i W  i  Ngược lại, W W thỏa mãn (3.5) (3.9), thỏa mãn (3.8), chứng minh tính Vì thành phần y   h   y   thuộc H  , với h  , qua đến S , từ (3.9a) (3.3) hàng  hW thuộc H p2 Tương tự, thấy H   S suy hàng  hW thuộc H p2 Mà K bên sau từ giao điểm vng góc Thực tế, theo (3.2), S   S viết H   d   H   d  , với H   d   H   d   H Vì vậy, từ (3.3) (3.4) 33 suy H 2p K  H 2p , thấy K bên Hơn nữa, f  L2p  I  , I1I f  fK , tức   fd    fKd  (3.7) chứng minh Khi (3.6) suy từ (3.5) (3.7)  Từ phân tích thấy nhân tử phổ W W xác định không gian S S , một lựa chọn cụ thể sinh trình d , d thực Theo Định lý A.1 [3], số lượng để nói W W xác định S S phép nhân modul phải ma trận trực giao cỡ p  p Lớp tương đương m  p nhân tử phổ W   TW ; T ma trận trực giao cỡ p  p } (3.10) ký hiệu W mod O  p  , tronng O  p  nhóm trực giao p  chiều, đơn giản W mod O chiều W khơng cần phải đề cập Vì cho biểu diễn Markov thích hợp  H ,U , X  với X   S , S  , xác định theo  modO  cặp W ,W  nhân tử phổ m  p , thành phần giải tích tương ứng với S , thành phần đồng giải tích tương ứng với S Theo quan điểm hình học tính giải tích W phản ánh điều kiện S  H  , tính đồng giải tích W phản ánh điều kiện S  H  , K biến đổi trực giao S S Chúng ta gọi ba W ,W , K  W W nhân tử phổ cỡ m  p số p  m K hàm ma trận cỡ p  p thỏa mãn phương trình W  WK ba Markov W giải tích, W đồng giải tích K biến đổi Theo (3.4), K xác định biểu diễn Markov  H ,U , X  sai khác phép nhân trái phải ma trận trực giao, gọi hàm cấu trúc  H ,U , X  Theo ba Markov tương ứng với biểu diễn Markov tất quan hệ quan hệ tương đương 34 W ,W , K   WT1,WT2 ,T21KT1  ; T1 ,T2  O  p  (3.11) Chúng ta ký hiệu lớp tương đương tương ứng ba Markov W ,W , K  modO W ,W , K  Lưu ý biểu diễn Markov thích hợp  H ,U , X  trong, số bội p m để W W vuông đó,  có hạng đầy đủ, khả nghịch Có hai nhân tử phổ vuông đặc biệt quan trọng, gọi nhân tử phổ W nhân tử phổ ngồi liên hợp W Như giải thích Phụ lục C [3], tính chất ngồi nói trình Wiener tương ứng, theo (3.5) xác định duˆ : W1dyˆ duˆ : W1dyˆ , thỏa mãn H   du   H  H   du   H  , đó, du  q trình đổi (tiến) dy du trình đổi thụt lùi Sau có biểu diễn Markov thích hợp khơng gian H    N  ,  N   , xác định Mục 2.2.2, thích hợp, điều      tương đương với N      N   p.n.d (Định lý 2.2.1) Trong trường hợp   này, có hai q trình Wiener m-chiều du  du  cho H   du   N    H   du   N    (Định lý A.1 [3]) nhân tử phổ giải tích W cho dyˆ  W duˆ đồng giải tích W cho dyˆ  Wduˆ (Bổ đề 2.3.1) Thế hai không gian dự báo H  /  H  /  , xác định Mục 2.2.2, có ba Markov W ,W , K   W ,W , K   tương ứng, K  : W1W K  : W1W 2.3.2 Từ nhân tử phổ đến biểu diễn Markov Ngược lại, tiến hành để chứng minh tất biểu diễn Markov xây dựng cặp Markov nhân tử phổ Để kết thúc điều này, trước tiên phải cung cấp cho quy trình xây dựng 35 tạo trình X   S , S  W ,W , K  Trong trường hợp nội tại, điều vấn đề đơn giản W W hốn đổi (3.5) mà cho d d Nói chung, hệ (3.5) bất định, ngun nhân tính khơng trình sinh tương ứng Bổ đề 2.3.2 Mọi trình Wiener p-chiều thỏa mãn dyˆ  Wdˆ (3.12) dˆ  W #dyˆ  dzˆ (3.13) cho W # nghịch đảo phải W #  W  1 (3.14) W ( dấu * ký hiệu cho liên hợp chuyển vị ) dy q trình có gia số dừng với mật độ phổ gia tăng  : I  W #W (3.15) cho H  dz   H Các trình dz d liên hệ dzˆ   dˆ Hơn nữa,   i  ma trận phép chiếu trực giao cấp n với hầu tất R  Chứng minh Trước hết lưu ý   i     i    i     i    i  ma trận chiếu trực giao Giả sử dˆ nghiệm (3.12) Khi W #dyˆ   I    d ˆ có cơng thức (3.13) mà dzˆ   dˆ   ˆ ˆ   W d  thể tính trực giao H  dz   H Hơn nữa, E dydz (3.16) ˆ ˆ   d  d ,  mật độ phổ gia tăng dz Bây E dzdz  Hơn nữa, cho trình dz với mật độ phổ (3.15) với H  dz   H , xác định 36 d theo cơng thức (3.13) Khi d q trình Wiener  Wd ˆ  dyˆ Do đó, cho ba Markov W ,W , K  , từ Bổ đề 2.3.2 xây dựng cặp trình sinh d ˆ  W # dyˆ  dzˆ (3.17a) d ˆ  W # dyˆ  dzˆ (3.17b) Trong phổ dz đưa (3.15) dz  : I  W #W (3.18) Bây xây dựng không gian H tương ứng với biểu diễn Markov cho H  H  d   H  d  Tất nhiên, để làm điều phải chọn dz dz cho H  dz   H  dz  (3.19) Chú ý trường hợp phép nhân toán tử nhân M  M  hai  biểu diễn cho phép chiếu E H từ H lên không gian bất biến kép H 0  H  dz   H  dz  Cụ thể hơn, I M  I1  I M  I 1 , tức M  I1I  I1I M  Hơn nữa, theo (3.4), K   K (3.20) từ thấy  d ˆ  K d ˆ , tức dzˆ  Kdzˆ (3.21) Định lý sau mô tả mối quan hệ biểu diễn Markov ba Markov W , W , K  Định lý 2.3.3 Có tương ứng một-một biểu diễn Markov thích hợp  H ,U , X    cặp W ,W K  , dz với W ,W , K  lớp tương đương 37 ba Markov dz trình vectơ gia số dừng ( theo modO xác định ) với mật độ phổ  : I  W #W cho H  dz   H Theo tương ứng H  H  H  dz  (3.22) X  H   d   H   d  (3.23)  d , d  trình sinh cho (3.17) Chứng minh Cho biểu diễn Markov  H ,U , X  , chúng tơi trình bày có lớp tương đương W ,W , K  ba Markov cặp tương ứng trình sinh  d , d  , theo modO định dzˆ   dˆ có tính chất cần thiết Ngược lại, cho ba W , W , K  trình dz với tính chất nêu, xác định  dˆ , dˆ  (3.17) tập S : H   d  S : H   d   Khi W ,W , K  ba Markov, W giải tích với hàm ý S  H  , W đồng giải tích với hàm ý S  H  , K biến đổi tương ứng với tính trực giao Vì thế, Định lý 2.2.1 nên X  S  S không gian tách Markov với không gian bao quanh H  H  H  dz  , với điều kiện bất biến (ii) thỏa mãn Dịch  chuyển cảm sinh dy dz Định lý 2.3.4 Giả sử X không gian tách Markov thích hợp với hàm cấu trúc K trình sinh  d , d  Khi đó,   X   H  K  d ˆ   H K  dˆ (3.24)   H  K  : H p2H 2p K H K  : H 2pH 2p K  Hơn nữa, X hữu hạn chiều K hữu tỉ, trường hợp dimX dừng bậc McMillans K 38 Chứng minh Từ Định lý 2.2.1 (3.4), ta có X  S S   H   d  H   d  (3.25) Do đẳng thức phương trình (3.24) suy từ (3.3) (3.4) Một cách lập luận tương tự cho đẳng thức thứ hai  39 KẾT LUẬN I Luận văn đạt kết sau: Trình bày số khái niệm sở Lý thuyết xác suất, không gian Hilbert biến ngẫu nhiên Nghiên cứu hệ ngẫu nhiên tuyến tính có dạng ( )  dy  Cxdt  Dd    dx  xdt  d  xác định cho với t  R,  vectơ p-chiều trình Wiener, A, B, C , D ma trận với A ma trận ổn định Các khái niệm cực tiểu khơng cực tiểu mơ hình  , khái niệm không gian tách Markov, không gian tách Markov cực tiểu, biểu diễn Markov biểu diễn Markov cực tiểu Phát biểu chứng minh định lý biểu diễn hình học lớp biểu diễn Markov Xác định mối liên hệ lý thuyết phân tích phổ tính tốn q trình sinh (tức nhiễu đầu vào) mơ hình khơng gian trạng thái kết Chứng minh tất biểu diễn Markov xây dựng cặp Markov nhân tử phổ Tạo loạt miền phổ, đẳng cấu với lớp hình học biểu diễn Markov, tất biến ngẫu nhiên có biểu diễn cụ thể hàm không gian H 2p H 2p II Hướng phát triển tiếp luận văn Mô tả chung cho trường hợp biểu diễn phép biến đổi Ứng dụng toán phi nhân lập dự báo tuyến tính Chứng minh Định lý 2.2.10 thỏa mãn trường hợp chung 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2008 [2] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng, Các mơ hình xác suất úng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [3] A.Lindquits and G.Picci, “A geometric approach to modeling and estimation of linear stochastic systems”, Journal of Mathematical , Estimation and …, 1991- math.kth.se [4] B.D.O.Anderson, “A system theory criteria for positive real matrices”, SIAM J.Control (1969), 171-182 [5] R.E.Kalman, P.L.Falb, and M.A.Arbib, Topics in Mathematical System Theory, McGraw-Hill (1969) [6] A.Lindquis and G.Picci, “On the stochastic realization problem”, SIAM J Control Optim, 17 (1979), 365-389 [7] A.Lindquist and G.Picci, “Realization theory for multivariate stationary Gaussian processes”, SIAM J.Control and Optimiztion 23 (1985), 809-857 [8] A.Lindquist and G.Picci, “ Forward and backward semimartingale representations for stationary increment processes”, Stochastics 15 (1985), 1-50 [9] G.Ruckebusch, “A state space approach to the stochatsic realization problem”, Proc 1978 IEEE Intern.Symp.Circuits and Systems, 972-977 41 ... nghiên cứu đề tài khái niệm biến ngẫu nhiên, trình ngẫu nhiên, hệ ngẫu nhiên tuyến tính, khơng gian Hilbert biến ngẫu nhiên biểu diễn Markov hệ ngẫu nhiên tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Trong... dung nghiên cứu Nghiên cứu Biểu diễn Markov hệ ngẫu nhiên tuyến tính bao gồm khơng gian Hilbert biến ngẫu nhiên, mơ hình hệ ngẫu nhiên, biểu diễn Markov cấu trúc biểu diễn Markov Dự kiến kết đạt... (dz ) H   dz  p.n 10 CHƯƠNG BIỂU DIỄN MARKOV HỆ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH 2.1 Mơ hình hệ ngẫu nhiên biểu diễn Markov Một đối tượng nghiên cứu hệ ngẫu nhiên tuyến tính có dạng  dy  Cxdt  Dd 