Bài toán so sánh tính ổn định của các hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu nhỏ

Mục lục MỞ ĐẦU Chương I: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định, tính giới nội hệ vi phân tuyến tính 1.4 Ổn định hệ tuyến tính dừng 1.5 Phương pháp hàm Liapunov 12 1.6 Ổn định hệ thống tuyến tính không dừng 16 1.7 Tính ổn định với xác suất hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên 20 Chương 2: BÀI TỐN SO SÁNH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU NHỎ 2.1 26 Số mũ đặc trưng Liapunov 27 2.1.1 Các tính chất số mũ đặc trưng 27 2.1.2 Số mũ đặc trưng nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính 27 2.2 So sánh tốc độ phát triển hệ động lực học 29 2.3 Hệ tuyến tính 33 KẾT LUẬN 44 Kết đạt 44 Hướng phát triển nghiên cứu 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Như biết, việc khảo sát hệ động lực có ổn định hay khơng quan trọng lý thuyết ứng dụng Vì vậy, có nhiều định nghĩa ổn định hệ thống đưa (chẳng hạn [1], [2], [3]) có nhiều cơng trình nghiên cứu tiêu chuẩn mà từ biết hệ vi phân ổn định (xem thêm [2], [3], [4], ) Trong số tiêu chuẩn tiêu chuẩn số mũ Lyapunov nghiệm công cụ hữu hiệu quan trọng việc giải thích diễn biến hỗn độn hệ thống (xem [1], [2]) Thêm vào đó, để nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính nói chung cần xem xét số mũ Lyapunov Nếu giá trị chúng âm nghiệm tầm thường X ≡ chắn ổn định Tuy nhiên, theo biết, khơng có định nghĩa cho phép ta so sánh “mức độ” biến thiên hệ thống chí trường hợp chúng khơng gian có số chiều Trong số trường hợp, việc so sánh cần thiết nhiều vấn đề kỹ thuật yêu cầu phải chọn hệ thống hỗn độn số hệ cho Mặt khác, việc nghiên cứu mũ Lyapunov hàm đồng nghĩa với việc so sánh hàm với hàm mũ Tuy nhiên, lớp hàm không mang lại nhiều thông tin tốc độ phát triển tính đơn điệu chúng Vì thế, thay lớp hàm lớp lớn hơn, hi vọng có thêm thơng tin diễn biến hàm xem xét Dựa vào ý tưởng này, đưa khái niệm cho việc so sánh tốc độ phát triển hai hệ thống Định nghĩa cổ điển ổn định suy qua việc so sánh hệ cho với hệ tầm thường X ≡ Bên cạnh đó, theo định lý Lyapunov tính ổn định, hệ tuyến tính ổn định mũ ổn định chịu nhiễu nhỏ Chúng ta muốn tổng quát hoá kết dựa theo quan điểm bảo tồn tính “so sánh” ổn định Ta chứng minh rằng, hệ (2.1) ổn định hệ (2.2) ổn định hệ (2.2) bị nhiễu nhỏ phi tuyến Luận văn gồm có hai chương: Chương 1: Tính ổn định hệ vi phân Chương 2: Bài toán so sánh tính ổn định hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu nhỏ Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp TS Phan Lê Na Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tận tâm thầy cô giáo dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Phan Đức Thành, PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, thầy giáo khoa Tốn, khoa Sau đại học bạn lớp Cao học 15 Toán thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ban giám hiệu tập thể thầy cô đồng nghiệp trường PTTH Trần Phú động viên khích lệ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả tập trung hồn thành khóa học Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tận tình suốt thời gian học tập nghiên cứu để tác giả hồn thành khố học luận văn Vinh, ngày 10 tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Ngoan Chương I TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN Tính ổn định tính chất lý thuyết định tính hệ động lực Bất kỳ hệ thống (mơ hình kinh tế hay hệ sinh học ) làm việc trạng thái ổn định định Đó trạng thái mà có nhiễu bé điều kiện ban đầu cấu trúc hệ thống hệ thống không bị thay đổi nhiều so với trạng thái cân Hệ vi phân phương tiện để mơ tả hệ thống, ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ (xem [1], [2], [3]) 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Xét hệ phương trình vi phân:  x(t) ˙ = f (t, x), x(t ) = x , t≥0 (1.1) x(t) ∈ R véc tơ trạng thái hệ, f : R+ ⊗ Rn → Rn hàm véc tơ cho trước, f (t, x) liên tục theo t , có đạo hàm riêng cấp theo biến x1 , x2 , , xn liên tục Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm hệ gọi ổn định theo Liapunov t → +∞ (gọi tắt ổn định) ∀ > 0, t0 ≥ 0, ∃δ = δ( , t0 ), cho nghiệm y(t) hệ thỏa mãn y0 − x0 < δ nghiệm bất đẳng thức y(t) − x(t) < , ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm x(t) hệ gọi không ổn định theo Liapunov ∀ > t0 ≥ cho ∀δ > 0, tồn nghiệm y(t) hệ vào thời điểm t1 > t0 thỏa mãn y0 − x0 < δ y(t) − x(t) ≥ Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm x(t) hệ gọi ổn định tiệm cận theo Liapunov ổn định ∃δ > cho với y0 − x0 < δ limt→∞ y(t) − x(t) = Định nghĩa 1.1.4 Dùng phép biến đổi z = x − y ta đưa hệ (1.1) hệ mới: z˙ = g(t, z), (1.2) g(t, z) = f (t, y + z) − f (t, y) Rõ ràng g(t, 0) = hệ cho nghiệm tầm thường z ≡ Hệ gọi hệ quy đổi Định nghĩa 1.1.5 Nghiệm tầm thường (trạng thái cân bằng) x ≡ gọi ổn định ∀ > 0, t0 ≥ 0, ∃δ = δ( , t0 ) cho nghiệm y(t) hệ thỏa mãn y( t0 ) < δ nghiệm bất đẳng thức y( t) < , ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm tầm thường x ≡ hệ gọi ổn định tiệm cận theo Liapunov ổn định ∃δ > cho nghiệm y(t) thỏa mãn y(t0 ) < δ limt→∞ y(t) = Định nghĩa 1.1.7 Hệ (1.1) gọi ổn định mũ với số mũ δ ∃M > 0, δ > cho nghiệm x(t) hệ với x(t0 ) = x0 thỏa mãn x( t) < M e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 Khi nghiệm khơng hệ khơng ổn định tiệm cận mà nghiệm tiến tới nhanh với tốc độ hàm số mũ 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính: x(t) ˙ = A(t)x + f (t) (1.3) hệ vi phân tuyến tính nhất: x(t) ˙ = A(t)x, (1.4) ma trận A(t) véc tơ f (t) liên tục khoảng (0; ∞) Định nghĩa 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (1.3) gọi ổn định tất nghiệm ổn định Nhận xét: Các nghiệm hệ vi phân tuyến tính đồng thời ổn định đồng thời không ổn định Định nghĩa 1.2.2 Hệ vi phân tuyến tính (1.3) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận Định lý 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự f (t) nghiệm tầm thường hệ tương ứng (1.4) ổn định Định lý 1.2.2 Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường hệ tương ứng (1.4) ổn định tiệm cận Hệ 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (1.3) với số hạng tự f (t) ổn định (ổn định tiệm cận) hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.4) ổn định (ổn định tiệm cận) 1.3 Tính ổn định, tính giới nội hệ vi phân tuyến tính Định lý 1.3.1 Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định theo Lyapunov nghiệm x(t) hệ bị chặn [t0 ; ∞) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định có nghiệm z(t) khơng bị chặn [t0 , ∞), z(t0 ) = Ta nghiệm tầm thường hệ không ổn định Thật vậy, lấy δ > xét nghiệm y(t) = z(t) δ z(t0 ) Rõ ràng y(t0 ) = δ < δ z(t) khơng bị chặn nên y(t) không bị chặn [t0 ; ∞) Do với cố định, ∃t1 > t0 cho y(t1 ) > Từ suy nghiệm tầm thường y ≡ không ổn định Điều mâu thuẩn với giả thiết hệ ổn định Như vậy, nghiệm y = y(t) hệ bị chặn [t0 ; ∞) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm hệ bị chặn [t0 ; ∞) Khi ma trận hoá X(t) = [xik (t)] bao gồm hàm giới nội nên giới nội Do ∃M > để X(t) ≤ M, ∀t ∈ [t0 ; ∞) Mặt khác, với nghiệm x(t) hệ ta có y(t) = X(t) · y(t0 ) Suy y(t) = X(t) · y(t0 ) ≤ X(t) ∗ y(t0 ) ≤ M y(t0 ) < Khi y(t0 ) ≤ M = δ, chọn δ = M Như vậy, nghiệm tầm thường y ≡ ổn định Do hệ (1.4) ổn định Hệ 1.3.1 Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng ổn định nghiệm đồng thời giới nội đồng thời không giới nội Chú ý: Đối với hệ vi phân phi tuyến, từ tính giới nội nghiệm nói chung khơng suy tính ổn định Định lý 1.3.2 Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận tất nghiệm thỏa mãn limt→∞ x(t) = Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận, nghiệm tầm thường z0 ≡ ổn định tiệm cận Từ suy nghiệm z(t) mà có z(t0 ) < δ limt→∞ z(t) = Giả sử y(t) nghiệm hệ với điều kiện ban đầu y(t0 ) = y0 , ( y(t0 ) ) = 0) Đặt z(t) = y(t) δ y(t0 ) nghiệm z(t) nghiệm hệ thỏa mãn limt→∞ z(t) = Do limt→∞ y(t) = limt→∞ y(t0 ) δ/2 z(t) = Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm y(t) hệ thỏa mãn limt→∞ y(t) = 0, suy với T đủ lớn (T > t0 ) nghiệm y(t) bị chặn [T ; ∞) Mặt khác: Hàm véc tơ (y(t) liên tục [t0 , T ] nên bị chặn đoạn Như vậy, nghiệm bị chặn [t0 ; ∞) Do hệ ổn định Suy nghiệm tầm thường z0 ≡ ổn định Kết hợp với giả thiết limt→∞ y(t) = ta suy nghiệm tầm thường z0 ≡ ổn định tiệm cận Do hệ cho ổn định tiệm cận Chú ý: Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất nghiệm dần tới không t → ∞ nói chung khơng phải điều kiện đủ để nghiệm ổn định tiệm cận Ví dụ: Xét phương trình vi phân: x(t) ˙ = a(t)x, ∀ t ≥ 0, a(t) : R+ → R hàm liên tục Nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho x(t) = x0 e t t0 a(τ )dτ Do hệ cho ổn định t t0 a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞, hệ ổn định số µ(τ ) số khơng phụ thuộc t0 , hệ hệ ổn định tiệm cận limt→∞ 1.4 t t0 a(τ )dτ = −∞ Ổn định hệ tuyến tính dừng Xét hệ vi phân tuyến tính nhất: x(t) ˙ = Ax(t), ∀ t ≥ 0, (1.5) A = [ajk ]n ma trận Định lý 1.4.1 Hệ vi phân (1.5) ổn định tất nghiệm đặc trưng λj ma trận có phần thực khơng dương nghiệm đặc trưng có phần thực khơng có ước đơn Chứng minh Điều kiện đủ : Từ (1.5) ta suy ra: x˙ x = A Lấy tích phân vế ta được: ln x = At + C ⇔ x = ec ∗ eAt Vì x(0) = x0 nên ec = x0 Do x = x0 eA t nghiệm hệ cho Ta cần chứng minh nghiệm hệ bị chặn Thật vậy, giả sử λ1 , λ2 , , λm≤n giá trị riêng ma trận A, λj = aj + ibj , j = 1, 2, , m, aj = 0; λk = ibk , k = m + 1, , r Khi tồn ma trận khơng suy biến T cho ma trận T −1 AT có dạng chéo : diag(J(λ1 ), , J(λr )) := B Suy ma trận T eBt T −1 có dạng T diag(eJ(λ1 t) , , eJ(λr t) )T −1 Mà x(t) = eAt x0 = T eBt T −1 nên suy ra: x(t) = T diag(eJ(λ1 t) , , eJ(λr t) )T −1 x0 Vì Reλj ≤ 0, ∀j = 1, , r nên x(t) < ∞ Do nghiệm hệ (1.5) bị chặn Điều kiện cần : Giả sử hệ (1.5) ổn định, ta cần chứng minh Reλj ≤ 0, ∀ j = 1, , r Vì hệ (1.5) ổn định nên nghiệm x(t) bị chặn, tức : x(t) < ∞, ∀ t ≥ ⇔ diag(eJ(λ1 t) , , eJ(λr t) ) x0 < ∞ ⇔ Reλj ≤ 0, ∀ j = 1, , r Bây ta cần phải chứng minh với q = ibq , αq = λq có ước đơn Gọi Jq (λq ) ô Jordan λq cấp αq , ta có:   t2 tαq −1 t · · · (αq −1)! 2!    ··· ··· ···     Jq (λq )t αq t  e =e  0 ··· ···    · · · · · · · · · · · · t    0 ··· Suy eJq (λq )t ≥ + t + t2 2! + ··· + tαq −1 (αq −1)! > tαq −1 (αq −1)! Do eJq (λq )t → ∞ t → ∞ αq ≥ Giả sử αq ≥ ta nghiệm hệ (1.5) không bị chặn Thật vậy, xét ma trận: M˙ (t) = T −1 diag 0, , 0, eJq (λq )t , 0, , T = T −1 diag(J1 (λ1 ), , Jn (λn )T ∗ T −1 diag(0, , 0, Jq (λq )eJq (λq )t , 0, , 0)T = AM (t) 32 q ∈ C Nếu inf 0≤t β > 36 K > thỏa mãn: |f (t, Xt )| ≤ K |x|α , |x|1−β (2.19) Chứng minh Các bước chứng minh chính: Ta chứng minh định lý qua bước sau: • Bước 1: Tìm mối liên hệ Xt Zt dựa vào điểm giống phương trình vi phân chúng Ta chứng minh 2.18 tương đương với Xt = x Z(t) + z t Z(t)Z −1 (s)f (s, Xs )ds Vì t x |Xt | ≤ | Z(t)| + |Z(t)Z −1 (s)f (s, Xs )|ds z t x ≤ | Z(t)| + K |Z(t)Z −1 (s)| |Xs |α , |Xs |1−β ds z (2.20) • Bước 2: Dựa vào định nghĩa số mũ Lyapunov Zt , ta chứng minh, với γ ≥ có biến ngẫu nhiên N thỏa mãn Z(t)Z(s)−1 ≤ N exp ((λd + γ)t − (λd − γ)s) , P − a.s (2.21) Kết hợp với mối liên hệ Xt Zt Bước 1, ta có: |Xt | ≤ exp ((λd + γ)t) t x N | | + KN exp (−(λd − γ)s) min{|Xs |α , |Xs |1−β }ds z (2.22) 37 • Bước 3: Sử dụng định nghĩa tính ổn định hệ 2.13 2.17 giả thiết hệ 2.13 ổn định hệ 2.17 để chứng minh λd ≤ q¯∗ < q¯ q¯ q¯∗ số mũ Lyapunov qt qt∗ tương ứng • Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức Bihari vào 2.22 để tìm bất đẳng thức mối liên hệ |Xt | (λd , γ) t đủ lớn Kết hợp với kết Bước 3, ta mối liên hệ |Xt | q¯ Từ kết luận hệ bị nhiễu Xt ổn định Yt Chứng minh Các bước chứng minh cụ thể: • Bước 1: Ta chứng minh 2.18 tương đương với Xt = x Z(t) + z t Z(t)Z −1 (s)f (s, Xs )ds Thật vậy, ta có: dZt = At Zt dt + Bt Zt dWt , Z0 = z ∈ Rd , dZt ⇒ = At dt + Bt dWt , Z0 = z ∈ Rd , Zt ⇒ dln(Zt ) = At dt + Bt dWt , Z0 = z ∈ Rd (2.23) Tương tự ta có: dln(Xt ) = At dt + f (t, Xt ) dt + Bt dWt , X0 = x ∈ Rd Xt (2.24) 38 Lấy 2.24 trừ 2.23 ta có: Xt f (t, Xt ) = dt, X = x ∈ Rd Zt Xt Xt f (t, Xt ) Xt = dt, X0 = x ∈ Rd d Zt Zt Xt f (t, Xt ) Xt = dt, X0 = x ∈ Rd d Zt Zt t Xt f (t, Xt ) =c+ ds, X0 = x ∈ Rd Zt Z s t f (s, Xs ) Xt = cZt + Zt ds, X0 = x ∈ Rd Zs t f (s, Xs ) x Zt ds Xt = Zt + z Z s dln ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Vì t x |Xt | ≤ | Z(t)| + |Z(t)Z −1 (s)f (s, Xs )|ds z t x |Z(t)Z −1 (s)| |Xs |α , |Xs |1−β ds ≤ | Z(t)| + K z • Bước 2: Từ giả thuyết tính 2.13, tìm hệ nghiệm 2.13, gọi Z(t) Đặt: Φ(t) = Z(t) exp (−λd t) , ta có: 1 ln |Φ(t)| = lim ln |Z(t)| − λd = t→∞ t t→∞ t lim Tương tự ln |Φ−1 (t)| = t→∞ t lim 39 Vì vậy, với γ ≥ 0, ta chọn T đủ lớn để cho: 1 ln |Φ−1 (s)|, ln |Φ(t)| ≤ γ, ∀ t, s ≥ T, s t ⇒ |Z(t)| ≤ exp ((λd + γ)t) , ∀ t ≥ T, −γ ≤ Z(s)−1 ≤ exp ((λd − γ)s) , ∀ s ≥ T, ⇒ Z(t)Z(s)−1 ≤ exp ((λd + γ)t − (λd − γ)s) , ∀ t, s ≥ T Đặt N = sup0≤t,s≤T |Z(t)Z(s)−1 | exp((λd +γ)t−(λd −γ)s) Ta có biến ngẫu nhiên N thỏa mãn: Z(t)Z(s)−1 ≤ N exp ((λd + γ)t − (λd − γ)s) , P − a.s Kết hợp kết với mối liên hệ Xt Zt Bước 1, ta có: |Xt | ≤ exp ((λd + γ)t) t x N | | + KN exp (−(λd − γ)s) min{|Xs |α , |Xs |1−β }ds z • Bước 3: Sử dụng định nghĩa tính ổn định hệ 2.13 2.17 giả thiết hệ 2.13 ổn định hệ 2.17 để chứng minh λd ≤ q¯∗ < q¯ q¯ q¯∗ số mũ Lyapunov qt qt∗ tương ứng Gọi q ∈ M thỏa mãn lim P (|Y (t, y)| ≤ qt , ∀ t ≥ 0) = y→0 Bởi 2.13 hồn tồn ổn định 2.17, tồn q ∗ ∈ M, q¯∗ < q¯ 40 lim P (|Z(t, z)| ≤ qt∗ , ∀ t ≥ 0) = 1, (2.25) z→0 q¯ ≡ limt→∞ 1t ln |qt | q¯∗ ≡ limt→∞ 1t ln |qt∗ | Ta viết lại 2.25 sau: 1 ln |Z(t, z)| ≤ lim ln qt∗ ≡ q ∗ , ∀ t ≥ t→∞ t t→∞ t z→0 ⇔ lim P (λd ≤ q ∗ , ∀ t ≥ 0) = lim P lim = 1, z→0 Điều dẫn đến λd ≤ q¯∗ < q¯ Vì vậy, tùy theo dấu λd , chọn γ bất đẳng thức 2.21  2γ (∗) ¯, λd + γ < q¯ β cố định, từ 2.3 (*), tồn biến ngẫu nhiên T1 > thỏa mãn P |Xt | ≤ M exp max (λd + γ), 2γ β t < qt , ∀t ≥ T1 > − /2 (2.26) Mặt khác, khoảng [0, T1 ], nghiệm X(t, x) phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu x, đó, ta chọn δ > thỏa mãn P (|X(t, x)| ≤ qt , ∀t ∈ [0, T1 ]) ≥ − /2, |x| < δ (2.27) Kết hợp 2.26 2.27 ta có P (|X(t, x)| ≤ qt , ∀t ≤ 0) ≥ − , |x| < δ Điều có nghĩa 2.18 ổn định 2.17 b) Với λd < Ta chọn |f (t, Xt )] ≤ K|x|α chứng minh tương tự Sử dụng 2.20 ta có: t x |Xt | ≤ | Z(t)| + K |Z(t)Z −1 (s)||Xs |α ds z ≤ exp ((λd + γ)t) t x N | | + KN exp ((λ + γ)s − (λd − γ)s) |Xs |α ds z t α x ≤ exp ((λd + γ)t) N | | + KN eσs e−(λ+γ)s Xs ds z σ = (α − 1)λd + (α + 1)γ 43 Sử dụng hệ bất đẳng thức Bihari sau: Nếu t f (s)[u(s)]m ds, t ≥ t0 u(t) ≤ c + t0 u(t) ≤ c [1 − (m − 1)cm−1 t t0 f (s)ds] 1−m Chúng ta có: |X(t, x)| ≤ N |x| exp ((λd + γ)t) − (α − 1)|x|α−1 t σs e ds α−1 x đủ nhỏ Sử dụng lập luận tương tự trên, ta kết luận với > 0, tồn δ > |x| < δ ta có P (|X(t, x)| ≤ qt , ∀t ≤ 0) ≥ − Từ ta có điều phải chứng minh Hệ 2.3.3 (Xem [3], trang 267) Nếu mũ Lyapunov cao 2.13 âm hệ bị nhiễu 2.18 ổn định 44 KẾT LUẬN Kết đạt được: Luận văn thu kết sau đây: Trình bày có hệ thống khái niệm tính chất tính ổn định (theo nghĩa Liapunov) hệ phương trình vi phân Gồm nội dung: - Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính - Phương pháp hàm Liapunov Trình bày khái niệm tính chất số mũ đặc trưng Liapunov Trình bày ứng dụng số mũ đặc trưng Liapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ thống tuyến tính khơng dừng Trình bày nội dung tốn so sánh tính ổn định hệ động lực tuyến tính với nhiễu nhỏ gồm có: - Đặt tốn so sánh tốc độ phát triển hệ động lực - Chứng minh rằng: Giả sử hệ: dXt = At Xt dt + Bt Xt dWt , (2.13) có tính ổn định chặt hệ: dYt = a(t, Yt )dt + σ(t, Yt )dWt , (2.17) đó, hệ bị nhiễu nhỏ: dXt = (At Xt + f (t, Xt )) dt + Bt Xt dWt ổn định chặt hệ (2.17) với |f (t, Xt )| ≤ K |x|α , |x|1−β 45 Hướng phát triển nghiên cứu: Tác giả xin đề cập số hướng nghiên cứu tương lai: • Luận văn kết luận cho hệ bị nhiễu từ hệ (2.13) Hệ có dạng đặc biệt tham số At , Bt không phụ thuộc vào Xt Nếu tổng quát hóa toán cho phép At Bt phụ thuộc vào Xt có nhiều ứng dụng • Kết luận văn phụ thuộc vào điều kiện nhiễu f (t, Xt ) bị giới hạn K |x|α , |x|1−β Giới hạn nới lỏng thêm số bất đẳng thức dùng bước chứng minh chưa hoàn toàn chặt 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Ngọc Bội, 2007, Bài giảng lý thuyết ổn đinh Liapunov, Nhà Xuất Bản Đại Học Huế Nguyễn Thế Hồn - Phạm Phu, 2000, Cơ sở Phương trình vi phân Lý thuyết ổn định, Nhà Xuất Bản Giáo Dục B.P Demidovish, 1967, Lectures on the Mathematic Theory of Stability, Nauka, Moscow N H Du, 1997, On the Relations between Lyapunov Exponents of Linear Systems and the Spectrum of Operators, Accepted in Acta Vietnam Mathematica ... thống tuyến tính khơng dừng Trình bày nội dung tốn so sánh tính ổn định hệ động lực tuyến tính với nhiễu nhỏ gồm có: - Đặt toán so sánh tốc độ phát triển hệ động lực - Chứng minh rằng: Giả sử hệ: ... mũ ổn định chịu nhiễu nhỏ Chúng ta muốn tổng quát hoá kết dựa theo quan điểm bảo tồn tính ? ?so sánh? ?? ổn định Ta chứng minh rằng, hệ (2.1) ổn định hệ (2.2) ổn định hệ (2.2) bị nhiễu nhỏ phi tuyến. .. I TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN Tính ổn định tính chất lý thuyết định tính hệ động lực Bất kỳ hệ thống (mơ hình kinh tế hay hệ sinh học ) làm việc trạng thái ổn định định Đó trạng thái mà có nhiễu