Bài toán lựa chọn tuyến đường du lịch với dữ liệu biến động ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề lý thuyết xác suất 1.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên 1.1.2 Các số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 1.1.3 Tính chất số đặc trưng 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên 1.2.1 Bài toán 1.2.2 Các hướng tiếp cận giải toán quy hoạch nguyên 11 1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 15 1.3.1 Bài toán 15 1.3.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn 16 Chương Bài toán lựa chọn tuyến đường du lịch 18 2.1 Mơ hình thực tế 18 2.1.1 Bài toán 18 2.1.2 Bài toán 19 2.2 Bài toán quy hoạch nguyên tổng quát với ràng buộc ngẫu nhiên 20 2.2.1 Bài toán 20 2.2.2 Tính chất tốn 22 2.3 Thuật toán đa thức xác định phương án toán 28 2.3.1 Thuật tốn tìm phương án toán 28 2.3.2 Đánh giá độ phức tạp toán 30 2.3.3 Phân phối dừng 31 2.4 Thuật toán giải toán (M ILP ) 35 2.4.1 Nhát cắt phân cực 35 2.4.2 Thuật toán giải 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Bài tốn hành trình du lịch, với liệu tất định tốn quy hoạch ngun, có độ phức tạp thời gian NP-khó Nhưng trường hợp cụ thể theo mơ hình giải thời gian đa thức Như biết, việc xây dựng thuật toán với độ phức tạp thời gian đa thức khó khăn phức tạp, có nhiều ý nghĩa khoa học thực tiễn Tuy nhiên, thực tế, toán du lịch có liệu phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên phức tạp Dẫu biết phức tạp việc định cho hành trình du lịch lại phải tính tốn nhanh, có kết sớm Đó khó khăn cho ngành du lịch Trăn trở tốn hành trình du lịch, giáo viên hướng dẫn gợi ý, mạnh dạn tiếp cận số cơng trình nghiên cứu lý thuyết quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhận thấy có nhiều ý tưởng phù hợp Với quan tâm, ý tới khía cạnh phù hợp nó, thời gian mức độ cho phép, chúng tơi cố gắng xem xét nội dung có liên quan đến cơng trình Saxena cộng [5] Đó lý chúng tơi chọn đề tài "Bài tốn lựa chọn tuyến đường du lịch với liệu biến động ngẫu nhiên" Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề sở lý thuyết xác suất, lý thuyết quy hoạch nguyên toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Chương 2: Bài toán lựa chọn tuyến đường du lịch Chương nội dung luận văn Trong chương này, trước hết chúng tơi nêu mơ hình thực tế dẫn đến toán tổng quát cần nghiên cứu (mà tài liệu chúng tơi có chưa thấy nói tới) Tiếp đó, chúng tơi trình bày tính chất toán đặt Cuối đưa thuật toán đánh giá độ phức tạp tính tốn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Lê Văn Thành, TS Lê Xuân Sơn, thầy cô giáo Hội đồng chấm luận văn, khoa Tốn, phịng Sau Đại học, Trường Đại học Vinh Đồng thời, xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ, tạo điều kiện cho học tập, công tác lãnh đạo đồng nghiệp Trường Cao đẳng nghề Du lịch thương mại Nghệ An Cũng này, cho phép tơi nói lời cảm ơn tới gia đình bạn bè quan tâm, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện để thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm xác suất 1.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1.1 σ-đại số Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) tập hợp gồm tất tập Ω • Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số nếu: A1) Ω ∈ A, A2) A ∈ A, ⇒ A = Ω\A ∈ A, A3) A, B ∈ A, ⇒ A ∪ B ∈ A, (hoặc A ∩ B ∈ A) • Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ-đại số đại số ngồi A4) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, ∞ ∞ An ∈ F (hoặc n=1 An ∈ F) n=1 1.1.1.2 Không gian đo Cặp (Ω, F) gọi khơng gian đo, Ω = ∅ bất kỳ, F σ- đại số tập Ω 1.1.1.3 Độ đo xác suất Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F P1) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F (tính chất khơng âm), P2) P(Ω) = (tính chuẩn hóa), P3) Nếu An ∈ F(n = 1, 2, ), Ai ∩ Aj = ∅, i = j P ∞ n=1 An = ∞ n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được) Giả sử Ω tập khác rỗng, F σ-đại số tập Ω, P độ đo xác suất F Khi đó, ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố khơng thể có A ∈ F, A gọi biến cố đối biến cố A Nếu A ∩ B = ∅ ta nói A B biến cố xung khắc 1.1.1.4 Đại lượng ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất; G σ-đại số σ-đại số F; B σ-đại số Borel R Khi ánh xạ X:Ω→R gọi đại lượng ngẫu nhiên G-đo được, với B ∈ B, ta có X −1 (B) := ω : X(ω) ∈ B ∈ G Đặc biệt, X F-đo X gọi đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1.5 Hàm Borel Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) → (R, B(R)) gọi hàm Borel B(Rn ) - đo được, nghĩa ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ) với B ∈ B(R) 1.1.1.6 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) nhận giá trị R Hàm số FX (x) = P[X < x], (x ∈ R) gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X 1.1.2 Các số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 1.1.2.1 Kỳ vọng Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) đại lượng ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Lược đồ xây dựng kỳ vọng Lược đồ xây dựng kỳ vọng lược đồ xây dựng tích phân Lebesgue Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản X = n i=1 IAi n EX := P(Ai ) i=1 Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn , n ≥ 1) n2n Xn = k=1 k−1 k I k−1 + nI(X≥n) 2n ( 2n ≤X< 2n ) Khi EX := lim EXn n→∞ Nếu X biến ngẫu nhiên X = X + − X − , X + = max(X, 0) ≥ 0; X − = max(−X, 0) ≥ Khi EX := EX + − EX − (nếu có nghĩa) 1.1.2.2 Phương sai Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên Khi số DX = E(X − EX)2 (nếu tồn tại) gọi phương sai X Như vậy, phương sai tồn không tồn Nếu tồn tính theo cơng thức    X rời rạc P(X = xi ) = pi  (xi − EX) pi i DX = +∞   (x − EX)2 p(x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x)  −∞ Từ định nghĩa cho ta biết |X − EX| độ lệch giá trị đại lượng ngẫu nhiên X với EX, phương sai DX = E(X − EX)2 trung bình bình phương độ lệch X EX Trong ứng dụng, √ người ta thường dùng giá trị σX = DX để nghiên cứu mức độ phân tán đại lượng ngẫu nhiên X quanh EX Giá trị σX gọi độ lệch chuẩn X 1.1.3 Tính chất số đặc trưng 1.1.3.1 Tính chất kỳ vọng Cho X, Y đại lượng ngẫu nhiên, xác định không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R Khi tồn EX, EY a) Nếu X ≥ EX ≥ b) Nếu X = a số EX = a c) Tồn E(X ± Y ) E(X ± Y ) = EX ± EY d) Tồn E(aX) E(aX) = aEX e) Nếu P(X = a) = EX = a g) Nếu X Y độc lập E(XY ) = EX.EY 1.1.3.2 Tính chất phương sai Giả sử X, Y đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P); a ∈ R Khi ta có a) DX = EX − (EX)2 b) DX ≥ c) DX = X = EX = số h.c.c d) D(aX) = a2 DX c) Nếu X, Y độc lập D(X ± Y ) = DX + DY 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun 1.2.1 Bài tốn Bài tốn quy hoạch tuyến tính rời rạc có dạng n min(max) f (x) = cj xj (1.1) j=1 với điều kiện  n   aij xj ≤ (≥, =) bi , i = 1, 2, , m,     j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n,       xj ∈ {dj , dj , , dj }, j ∈ {1, 2, , n} kj dji ∈ R, k phụ thuộc xj Nếu dji ngun ta có tốn quy hoạch ngun Chú ý Mọi tốn quy hoạch rời rạc chuyển toán quy hoạch nguyên (hoặc toán quy hoạch nguyên biến Boole) 10 Thật vậy, dji+1 −dji = h không đổi, với i = 1, , kj , ∀j ∈ {1, , n} ta thay biến số xj = dj1 + htj , tj ∈ {0, 1, , kj }, j ∈ {1, , n} Lúc ta có tốn quy hoạch nguyên với biến tj Tổng quát, ta việc thay biến xj ≥ theo công thức kj kj xij dji , xj = i=1 xij = 1, xij ∈ {0, 1} i=1 Khi cịn biến xij nguyên, nhận hai giá trị Từ ta có tốn với biến Boole xij ∈ {0, 1} Như vậy, từ thay nói tới tốn quy hoạch rời rạc, ta cần xét toán quy hoạch nguyên Bài toán quy hoạch tuyến tính ngun tổng qt có dạng n min(max) f (x) = cj xj j=1 với điều kiện  n   aij xj ≤ (≥, =) bi , i = 1, 2, , m,     j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n,       xj ∈ Z, j ∈ {1, 2, , n} Nếu xj ∈ Z, j = 1, 2, , n, ta có tốn quy hoạch nguyên toàn phần Trong trường hợp ngược lại, ta có tốn quy hoạch ngun hỗn hợp Để đơn giản, xét toán quy hoạch nguyên tồn phần, có dạng n f (x) = cj xj j=1 với điều kiện  n   aij xj = bi , i = 1, 2, , m,     j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n,       xj ∈ Z, j = 1, 2, , n (1.2) 11 Hàm f (x) toán nêu gọi hàm mục tiêu Các điều kiện toán gọi điều kiện buộc Điểm x = (xj ) thoả mãn điều kiện buộc gọi phương án Phương án x làm cực trị hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu nghiệm toán 1.2.2 Các hướng tiếp cận giải toán quy hoạch nguyên Để giải toán quy hoạch tuyến tính ngun có nhiều phương pháp tiếp cận Sau trình bày sơ lược số phương pháp điển hình 1.2.2.1 Phương pháp cắt hợp cách Như nêu, để đơn giản, ta giả sử xét tốn quy hoạch ngun tồn phần (1.2) (trong trường hợp nguyên phận sử dụng phương pháp phân rã Bender) Nội dung phương pháp là: Bỏ qua điều kiện ngun, giải tốn quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình phương án tối ưu x(0) = (x0j ) Nếu x0j nguyên (j = 1, , n) x(0) phương án tối ưu cần tìm Ngược lại, với aj , (j = 1, 2, , n) α số thực xác định, bổ sung vào toán quy hoạch tuyến tính điều kiện n aj xj ≤ α L(x) = (1.3) j=1 L(x) phải thoả mãn hai tính chất: + x(0) không thoả mãn (1.3) + Mọi phương án nguyên thoả mãn (1.3) Điều kiện (1.3) gọi nhát cắt hợp cách Người ta đưa nhiều nhát cắt hợp cách giải toán quy hoạch ngun có hiệu Sau ta trình bày thuật toán với nhát cắt Gomory Giả sử x(0) = (x01 , x02 , , x0m , 0, , 0) phương án tối ưu toán quy hoạch tuyến tính tương ứng, tồn x0k chưa nguyên Ký hiệu [x0k ] {x0k } phần nguyên phần thập phân x0k Khi nhát cắt sau 27 2.2.2.4 Định lý Giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán (M ILP 2) giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán (M ILP ) Chứng minh Ký hiệu giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán (M ILP 2) opt(M ILP 2) giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán (M ILP ) opt(M ILP ) Ta cần chứng minh opt(M ILP 2) = opt(M ILP ) Bất đẳng thức opt(M ILP 2) ≥ opt(M ILP ) hiển nhiên tập phương án tốn (M ILP 2) tập tập phương án toán (M ILP ) Ta cần chứng minh opt(M ILP 2) ≤ opt(M ILP ) Thật vậy, giả sử α = (x, z, η) phương án tối ưu toán (M ILP ) Lấy z ∈ {0; 1}m xác định cho z i = aTi x ≥ (ở ký hiệu cho hàng thứ i ma trận A, với i ∈ {1, 2, , m}) Chú ý với v ∈ St ∪It , (t = 1, , L) i∈Mt ,vi =0 z i i∈Mt ,vi =0 zi ≤ Điều kéo theo α = (x, z, η) phương án toán (M ILP 2) Chúng ta nhớ giá trị hàm mục tiêu toán (M ILP 2) (M ILP ) phương án α α Do suy opt(M ILP 2) ≤ opt(M ILP ) Tiếp tục, ta xét toán nới lỏng (R) sau đây: (R) { cT x } (x,z,η) với điều kiện    Ax ≥ z,        ≤ x ≤ 1,       ≤ z ≤ 1,  L   t=1 ηt ≥ ln p,       (z t , ηt ) ∈ Pt , ∀t = 1, , L,       x ∈ {0, 1}N , 28 Pt = clconv (v, η) : v ∈ St , η ≤ ln(Ft (v)) , t = 1, , L 2.2.2.5 Định lý Giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán (R) giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán (M ILP 2) Chứng minh Ký hiệu giá trị tối ưu hàm mục tiêu toán (R) opt(R) giá trị tối ưu hàm mục tiêu toán (M ILP 2) opt(M ILP 2) Giả sử (x, z, η) phương án tối ưu (R) Lấy z ∈ {0; 1}M xác định sau: z i = aTi x ≥ 1, hàng thứ i ma trận A, với i ∈ M Đặt η t = ln Ft (z t ), với t = 1, , L Lấy t ∈ {1, , L} Từ (z t , ηt ) ∈ Pt , tồn (v tj , ηtj ) ∈ Pt < λtj ≤ nt tj j=1 λtj v , ηt = v tj ≤ z t ηtj ≤ η t , 1, với j = 1, , nt (với vài nt ≥ 1) cho z t = nt j=1 λtj ηtj , nt j=1 λtj = v tj ∈ {0; 1}Mt Chú ý với j = 1, , nt Ngoài ra, tồn j = 1, , nt cho ηt ≤ ηtj Điều kéo theo ηt ≤ η t Từ suy ηt ≤ η t , với t = 1, , L, L t=1 η t ≥ L t=1 ηt ≥ ln p, (x, z, η) phương án toán (M ILP 2) ngược lại Do opt(R) = opt(M ILP 2) 2.3 Thuật toán đa thức xác định phương án toán Để ngắn gọn, gọi điều kiện v ∈ It , (t = 1, 2, , L), I-điều kiện v ∈ St , (t = 1, 2, , L), S-điều kiện Đồng thời với điều kiện gọi IS-điều kiện Lấy điểm (x, z, η) ∈ [0, 1]n × {0, 1}m × RL thoả mãn Ax ≥ z L t=1 ηt ≥ lnp Thuật toán cho (x, z, η) phương án tốn (LP ) tuyến tính nới lỏng (M ILP 2) tìm IS-điều kiện bị vi phạm (x, z, η) Thuật tốn sau cho ta tìm phương án tốn (M ILP 2) 2.3.1 Thuật tốn tìm phương án toán Bước xuất phát Nhập hàm phân phối Ft , (t = 1, 2, , L) có thời gian tính tốn đa thức điểm (x, z, η) ∈ [0, 1]n ×{0, 1}m ×RL thoả mãn Ax ≥ z 29 L t=1 ηt ≥ lnp Bước Tính Ft (z t ), (t = 1, 2, , L) Bước Nếu Ft (z t ) ≥ p, sang bước Bước Giả sử (i1 , , iq ) số thuộc tập {i ∈ {1, 2, , mt }| z i = 0} Gán v := z t k := Bước Nếu Ft (v + ek ) < p, đặt v := v + ek (ek ký hiệu cho vectơ đơn vị thuộc {0, 1}mt , có toạ độ thứ ik lấy giá trị 1) Bước Nếu k < q, gán k := k + chuyển bước Bước Xảy ra: v ∈ It i∈{1, ,mt },vi =0 zi ≥ 1, vi phạm (x, z, η) Dừng lại Ngược lại, chuyển sang bước Bước Gán t := t + Nếu t < L, chuyển bước Nếu t = L, chuyển sang bước Bước Gán t := Bước Nếu η t ≤ lnFt (z t ), chuyển sang bước 12 Bước 10 Gán v := z t Bước 11 Xảy ra: v ∈ St ηt ≤ (ln Ft (v))(1 − i∈{1, ,mt },vi =0 zi ), phạm (x, z, η) Dừng lại Ngược lại, chuyển sang bước 12 Bước 12 Gán t := t + 1, Nếu t < L, chuyển bước Nếu t = L, chuyển sang bước kết thúc Bước kết thúc (x, z, η) phương án toán (M ILP 2) vi 30 2.3.2 Đánh giá độ phức tạp thuật toán 2.3.2.1 Định lý Đối với (x, z, η) ∈ [0, 1]n × {0, 1}m × RL cho thoả mãn Ax ≥ z L t=1 ηt ≥ ln p, thuật toán 2.3.1 kết thúc sau thời gian đa thức (x, z, η) phương án, tìm IS-điều kiện bị vi pham (x, z, η) Chứng minh Bước cho thấy việc tính tốn giá trị Ft (t = 1, , L) thời gian đa thức (là O(m)) Chúng ta xem xét bước Trước hết, xét trường hợp tồn t ∈ {1, 2, , L} cho Ft (z t ) < p; z t điểm p-không hữu hiệu, điểm p-hữu hiệu Ft Từ bước đến bước cho ta điểm p-hữu hiệu v ∈ It thoả mãn z t ≤ v Bước cho ta (x, z, η) điều kiện thức i∈{1, ,mt },vi =0 zi i∈{1, ,mt },vi =0 z i = bất đẳng ≥ kiểm tra nghiêm ngặt Tiếp theo, trường hợp Ft (z t ) ≥ p, với t ∈ {1, , L} tồn t ∈ {1, , L} cho η t > lnFt (z t ) Mặt khác với z t ∈ St bất đẳng thức ηt ≤ (ln Ft (z t ))(1− i∈{1, ,mt },vi =0 zi ) kiểm tra bước 11 Cuối cùng, xét trường hợp Ft (z t ) ≥ p, ηt ≤ ln Ft (z t ), ∀t ∈ {1, , L} Từ z t ∈ St , ∀t ∈ {1, , L}, (x, z, η) thoả mãn tất I-điều kiện (M IP L2) Nếu tồn t ∈ {1, , L} tồn v ∈ St cho η t > (ln Ft (v))(1 − z i ), i∈{1, ,mt },vi =0 zi = i∈{1, ,mt },vi =0 (vì η t ≤ ln Ft (z t ) ≤ 0) Ta có z t ≤ v, ln Ft (z t ) ≤ ln Ft (v), suy η t ≤ ln Ft (z t ) ≤ ln Ft (v) < η t điều mâu thuẫn 31 Từ đó, bước kết thúc cho ta (x, z, η) thoả mãn tất điều kiện toán (M ILP 2) Các bước kiểm tra thực sau thời gian đa thức Do thuật toán nêu thực sau thời gian đa thức Đó điều phải chứng minh 2.3.2.2 Chú ý Thuật tốn 2.3.2 (thuật tốn có độ phức tạp đa thức) cho ta tìm phương án (x, z, η) toán (M ILP 2) (tức cho ta phương án x toán (IP SC) Tuy nhiên, dù phương pháp để giải tốn (M ILP 2) phải xác định phương án xuất phát ban đầu Do vậy, kết quan trọng nhằm giải toán đặt Bài toán (M ILP 2) tốn quy hoạch tuyến tính ngun hỗn hợp, thực thuật tốn nhánh cận (đã nêu chương 1) để giải Bài toán (M ILP ) tốn quy hoạch tuyến tính nguyên Theo định lý 2.2.2.4, thực thuật toán cắt hợp cách (mục 1.2.2) để giải toán 2.3.3 Phân phối dừng Trong mục này, xem xét số vấn đề hàm phân phối F Một hàm phân phối tích luỹ (nói gọn hàm phân phối) F : {0; 1}M → R gọi phân phối dừng với v, ω ∈ {0; 1}M thoả mãn i∈M i∈M vi = ωi F (v) = F (ω) Giá trị F (z) phân phối dừng phụ thuộc vào số toạ độ nhận giá trị z Ngoài ra, phân phối dừng xác định đầy đủ vectơ (λ0 , , λm ), m = |M |, với λi biểu diễn giá trị phân phối dừng điểm mạng với i Định lý 2.3.3.1 cho ta tính đa 32 thức (theo m) toán (M ILP 1) thơng qua tốn (M ILP 2) xét theo hàm phân phối dừng Xét toán { cT x } (M ILP 3) (x,z,η,y,ω) với điều kiện                                                                  Ax ≥ z, xj ∈ {0; 1}, ∀j ∈ N = {1, , n}, zi ∈ {0; 1}, ∀i ∈ M = {1, , m}, L t=1 ηt yt = ≥ ln p, i∈Mt zi , t = 1, L, yt ≥ kt , t = 1, L, yt ∈ Z, t = 1, L, yt + ωkt (n − k) ≤ n, k = 1, mt , t = 1, L, yt + ωkt (k + 1) ≥ k + 1, k = 1, mt , t = 1, L, ηt ≤ (ln ptk )ωkt , k = 1, mt , t = 1, L, ωkt ∈ {0; 1}, k = 1, mt , t = 1, L 2.3.3.1 Định lý Giả sử với t ∈ {1, , L)}, Ft phân phối dừng xác định vectơ (pt1 , pt2 , , ptmt ), với mt = |Mt | kt = min{k : ≤ k ≤ mt , ptk ≥ p} Khi tốn (M ILP 2) tương đương với toán (M ILP 3) theo biến (x, z, η) Chứng minh Cho (x, z, η, y, ω) phương án (M ILP 3) Giả sử t ∈ {1, , L} Chú ý yt = i∈Mt zi số số toạ độ z t Ngoài ra, ωkt = yt ≤ k, với k = kt , , mt Điều kiện yt ≥ kt đảm bảo P(ξi ≤ zi : i ∈ Mt ) ≥ p z t ∈ St điều kiện 33 ηt ≤ (ln ptk )ωkt đảm bảo ηt ≤ P(ξi ≤ zi : i ∈ Mt ) Do (x, z, η) phương án toán (M ILP 2) Ngược lại, giả sử (x, z, η) phương án toán (M ILP 2) Ta xác định y, ω sau: với t = 1, , L yt = i∈Mt zi với k = kt , , mt ωkt = yt ≤ k Khi (x, z, η, y, ω) phương án toán (M ILP 3) Định lý chứng minh xong Chú ý toán (M ILP 3) có số biến điều kiện tuyến tính Và vậy, ta sử dụng mảng lớn khác Giả sử F : {0; 1}M → R hàm phân phối dừng tích luỹ xác định vectơ (p0 , , pm ) Đó giá trị quan sát cho thấy mạng tinh thể {0; 1}M kết hợp với F phân hoạch thành (m + 1) lát cho lát thứ k bao gồm 0-1 M -vectơ với k, k = 0, 1, , m Bao lồi bao đóng tập {(z, η) : z ∈ {0; 1}M , ≤ z ≤ 1, i∈M i∈M zi = k, η ≤ ln(F (z))} tập compact {(z, η) : zi = k, η ≤ ln pk } 2.3.3.2 Định nghĩa Hàm phân phối tích luỹ F : {0; 1}M → R gọi có thuộc tính tuyển ngược {0; 1}M phân hoạch theo đa thức (theo m) thành số tập con, ký hiệu {0; 1}M = ∪kj=1 M (j), cho bao lồi đóng tập {(z, η) : z ∈ M (j), η ≤ ln(F (z))} có đa thức (theo m) để tập {(z, η) : Aj z + dj η ≥ bj } tập compact, với j = 1, , k Mệnh đề sau cho ta phân hoạch theo đa thức toán (M ILP 1) trường hợp hàm phân phối Ft có thuộc tính tuyển ngược Bây ta lại xét toán (M ILP 4) { cT x } (x,z,η,z,η,λ) 34 với điều kiện    Ax ≥ z,        xj ∈ {0; 1}, ∀j ∈ N,      L    t=1 ηt ≥ ln p,      zi = kt z jt , j=1 i  t  ηt = kj=1 η jt      kt    j=1 λjt = 1,       Ajt z jt + djt η jt ≥ λjt bjt ,       λjt ≥ 0, j ∈ Mt , t = 1, L, t = 1, L, t = 1, L, j = 1, kt , t = 1, L, j = 1, kt , t = 1, L 2.3.3.3 Định lý Với t ∈ {1, , L}, giả sử Ft có tính tuyển ngược lớp {0; 1}Mt tương ứng Ft phân hoạch thành kt tập k {0; 1} M M (j) = j=1 với j = 1, , kt có clconv (v, η) : η ≤ Mt (j), η ≤ ln Ft (v) = (v, η) : Ajt v + djt η ≥ bjt Khi tốn (M ILP 2) tương đương với toán (M ILP 4) Chứng minh Giả sử t ∈ {1, , L} Chú ý Pij = (v, η) : Ajt v + djt η ≥ bjt = ∅, ∀j = 1, , kt điều kiện xác định sau mở rộng công thức Pt = t clconv(∪kj=1 Pjt ), với t = 1, , L 35 kt z jt i , j ∈ Mt , zi = j=1 kt η jt , ηt = j=1 kt λjt =1, j=1 Ajt z jt + djt η jt ≥λjt bjt , j = 1, kt , λjt ≥0, j = 1, kt Do tốn (M ILP 4) tương đương với toán (R) Theo định lý 2.2.2.5, ta có tốn (M ILP 2) tương đương với tốn (M ILP 4) Đó điều phải chứng minh Chú ý toán (M ILP 4) có độ phức tạp đa thức (theo m) Do vậy, ta giải tốn (M ILP 4) thuật toán đa thức biết (chẳng hạn thuật toán cắt điểm trong) 2.4 Thuật toán giải toán (IP SC) Như nêu mục 2.2, cần giải toán quy hoạch nguyên tổng quát với ràng buộc ngẫu nhiên (IP SC) Các định lý 2.2.2.1, 2.2.2.2 2.2.2.3 cho phép ta giải toán (M ILP ) Do vậy, mục chúng tơi trình bày thuật tốn giải toán (M ILP ) phương pháp cắt hợp cách (xem lại mục 1.2.2.2) Trước hết, cần xây dựng nhát cắt hợp cách theo phương pháp xây dựng tác giả A Saxena cộng [5], nhát cắt có tên gọi nhát cắt phân cực 2.4.1 Nhát cắt phân cực(Polarity Cuts) Trong mục này, giả thiết toán (IP SC) lấy với L = (trong trường hợp L ≥ 1, tác giả cho thấy kết 36 thực hiện) Để tiện theo dõi, nhắc lại I ký hiệu cho tập tất điểm p-hữu hiệu F S ký hiệu tập vectơ nhị phân (vectơ mà tọa độ nhận giá trị 1) mà khác điểm p-hữu hiệu vượt trội điểm p-hữu hiệu F Chú ý toán (M ILP 2) với L = điều kiện thứ ba, tư sáu có dạng zi , ∀v ∈ S η ≤ (ln F (v)) − (2.1) i∈M,vi =0 zi ≥ 1, ∀v ∈ I (2.2) i∈M,vi =0 zi ∈ {0; 1}, ∀i ∈ M (2.3) Ký hiệu P := clconv (z, η) : z ∈ {0; 1}m , η ≤ ln F (z), F (z) ≥ p (lấy bao đóng bao lồi tập hợp) Câu hỏi đặt điều kiện (2.1)(2.2) có mối liên hệ với tập P Ký hiệu J = i ∈ M : zi = 1, ∀z ∈ {0; 1}m : F (z) ≥ p Giả sử e ∈ {1}m vectơ có tọa độ ei (i ∈ M ) vectơ đơn vị thứ i Bổ đề sau cấu trúc tập lồi đóng đa diện P 2.4.1.1 Bổ đề Với i ∈ J, e − ei điểm p-hữu hiệu F Ngoài dim(P ) = m + − |J| với i ∈ M \J; zi ≤ xác định diện P Nếu αz − βη ≥ ∆ (với ∆ đó) xác định diện P, khác với diện zi ≤ (i ∈ M \J), β ≥ 0, αi ≥ ∀i ∈ M \J i∈M \J αi + β > Chứng minh Ta thấy với i ∈ J, F (e − ei ) < p e − ei điểm p-hữu hiệu P Hơn với P ⊆ {(z, η) : zi = 1, ∀i ∈ J}, ta có 37 dim(P ) ≤ m + − |J| Từ suy dim(P ) = m + − |J| Chúng ta ý tới m + − |J| điểm độc lập affine P {(e − ei , ln F (e − ei )) : i ∈ M \J} ∪ {(e, 0); (e, −1)} Sử dụng cấu trúc tương tự zi ≤ 1, xác định diện P , với i ∈ M \J, P lùi theo hướng (z = 0, η = −1), β ≥ Với i ∈ M \J, tồn z ∈ {0; 1}m η ∈ R cho (z, η) ∈ P, αz − βη = ∆ zi = Vậy (z + ei , η) ∈ P, αz + αi − βη ≥ ∆, kéo theo αi ≥ 0, ∀i ∈ M \J 2.4.1.2 Định lý Giả sử (z, η) ∈ Rm × R cho ≤ z ≤ i∈M,vi =0 zi ≥ 1, ∀v ∈ I Khi (z, η) ∈ P giá trị tối ưu tốn quy hoạch tuyến tính số không âm {αz − βη − ∆} (2.4) (α,β,∆) với điều kiện    αz − β ln(F (z)) − ∆ ≥ 0, z ∈ S,        αi + β = 1,    i∈M \J αi ≥ 0, i ∈ M \J,       αi = 0, i ∈ J,       β ≥ Ngoài ra, (α, β, ∆) phương án toán (2.4) thoả mãn αz − βη − ∆ < 0, αz − βη ≥ ∆ nhát cắt P, loại bỏ điểm (z, η) Chứng minh Rõ ràng (α, β, ∆) phương án tốn (2.4), αz − βη ≥ nhát cắt P Do (z, η) ∈ P , giá tối ưu tốn (2.4) số khơng âm Ngược lại, giả sử (z, η) ∈ / P Với i ∈ J, e − ei điểm p- hữu hiệu F (Bổ đề 2.4.1.1) zi = Kết tồn diện P , xác định bất đẳng thức αz − βη ≥ ∆, cắt bỏ điểm (z, η) Không làm tính tổng qt ta giả thiết αi = 0, ∀i ∈ J Do ≤ z ≤ 38 diện, xác định αz − βη ≥ ∆, mâu thuẫn với giả thiết zi ≤ 1, i ∈ M \J Từ ta có αi ≤ 0, ∀i ∈ M \J, β ≥ Nếu θ = i∈M \J i∈M \J αi + β > (Bổ đề 2.4.1.1) αi + β 1θ (α, β, ∆) điểm thuộc P , 1θ (αz − βη − ∆) < Tức giá trị tối ưu toán (2.1) số âm Mâu thuẫn với giả thiết điều kiện đủ Từ Định lý 2.4.1.2 cho ta nhát cắt hợp cách αz − βη ≥ ∆ (2.5) Nhát cắt (2.5), gọi nhát cắt phân cực (Polarity Cuts) 2.4.2 Thuật toán giải 2.4.2.1 Thuật toán Sử dụng nhát cắt phân cực trên, tác giả A Saxena cộng [5] đưa thuật toán giải toán (ISP C) thể sơ đồ 2.1 sau: 39 Để thuận tiện tra cứu số thông tin Sơ đồ 2.1, xin nhắc lại số khái niệm kỹ thuật • Một điểm v ∈ {0, 1}m gọi điểm p-hữu hiệu (efficient point) phân bố xác suất F F (v) ≥ p khơng có điểm nhị ngun w, w ≥ v, w = v cho F (w) ≥ p Tập hợp tất điểm p-hữu hiệu F gọi biên p-hữu hiệu F • Với t ∈ {1, 2, , L}, ký hiệu St tập vectơ nhị phân mà khác điểm p-hữu hiệu vượt trội điểm p-hữu hiệu Ft • Cũng vậy, ký hiệu It tập hợp điểm p-không hữu hiệu Ft • CPLEX9.0 phần mềm giải tốn quy hoạch tuyến tính, phiên 9.0 2.4.2.2 Đánh giá độ phức tạp thuật toán Thuật tốn nêu mục 2.4.2.1 gồm nhóm câu lệnh chính: Nhóm câu lệnh tìm phương án xuất phát dựa theo thuật tốn 2.3.1 có độ phức tạp thời gian đa thức Nhóm thứ hai gồm q trình cắt hợp cách Tuy nhiên, việc xây dựng nhát cắt từ việc giải tốn quy hoạch tuyến tính nới lỏng (M ILP 2) (2.4) có độ phức tạp phụ thuộc vào thuật toán Ta giả sử việc giải tốn (2.6) thuật tốn đa thức Khi đó, tập phương án có số điểm nguyên hữu hạn trình thực thời gian đa thức Vậy trường hợp thuật toán giải tốn đặt ra, với tốn có số điểm ngun hữu hạn, độ phức tạp thời gian đa thức 40 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày đầy đủ, khái niệm kiến thức sở lý thuyết xác suất nhằm nghiên cứu toán quy hoạch ngẫu nhiên, tốn quy hoạch tuyến tính ngun, tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên số khái niệm có liên quan luận văn Nêu mơ hình thực tế tốn lựa chọn tối ưu tuyến đường du lịch Từ khái qt thành mơ hình tốn học cần nghiên cứu Phát biểu chứng minh số định lý quan trọng tốn xét Từ suy mối liên hệ toán xét với tốn cần giải Trình bày hồn chỉnh thuật tốn đa thức tìm phương án tốn cho Trên sở đó, nêu sơ đồ thuật toán giải toán đặt Do thời gian trình độ có hạn nên số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: - Xây dựng thuật tốn hồn chỉnh lập trình giải hai toán đề cập luận văn - Khai thác đặc điểm riêng toán, nhằm chuyển toán trường hợp đơn giản, dễ sử dụng (khai thác thêm kết mục 2.3.3) 41 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Đại học Vinh [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] A Saxena (2007), Short Note on the Probabilistic Set Covering Problem, Tepper School of Business, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA 15213, USA [5] A Saxena, V Goyal M Lejeune (2007), MIP Reformulations of the Probabilistic Set Covering Problem, J Optimization Online, 2007/02/1579.html [6] S Sen, H.D Sherali (2006), Decomposition with Branch-and-Cut Approaches for Two Stochastic Mixed-Integer Programming, J Math Programming, 106(2), 203-223 ... liên quan đến cơng trình Saxena cộng [5] Đó lý chúng tơi chọn đề tài "Bài tốn lựa chọn tuyến đường du lịch với liệu biến động ngẫu nhiên" Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức... Chương Bài toán lựa chọn tuyến đường du lịch 2.1 Mơ hình thực tế 2.1.1 Bài tốn Giả sử đồ gồm n điểm du lịch đến Giữa thành phố lựa chọn đường chiều Chi phí (hoặc khoảng cách) thành phố i với j... ta có toán min{cT x} với điều kiện    Ax ≥ 1,   xij ∈ {0, 1}, i, j = 1, n Bài toán lựa chọn tua du lịch nêu thông tin đường biết chắn Lúc giờ, thực tế, lựa chọn cung đường xij tua du lịch