Giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy ngẫu nhiên tuyến tính

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi đã xem xét và giải quyết các vấn đề sau: (1) Quá trình khuếch tán-nhảy (còn gọi là quá trình Ito-Levy); (2) Giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy ngẫu nhiên tuyến tính, trong trường hợp một chiều; (3) Tính tích phân Wiener-Ito bội cho lớp quá trình ngẫu nhiên Ito-Hermite. Phương pháp chính để giải quyết các vấn đề trong phần trình bày này là các phép toán vi-tích phân ngẫu nhiên Ito cho quá trình ngẫu nhiên liên tục kết hợp với với phần vi phân nhảy theo độ đo ngẫu nhiên Poisson

Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(2):115- 119 Bài Nghiên cứu Giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy ngẫu nhiên tuyến tính Đặng Kiên Cường1,* , Dương Tôn Đảm2 , Dương Tôn Thái Dương3 , Ngơ Thuận Dũ4 TĨM TẮT Q trình ngẫu nhiên khuếch tán-nhảy toán thường gặp thực tế, thí dụ tốn truyền sóng, truyền nhiệt, nhiễu, dòng chảy rối, Người ta thường xét chúng mơ hình liên quan đến trình ngẫu nhiên trình Wiener, trình Levy, trình Ito-Hermite, đề cập đến cơng trình nhiều nhà nghiên cứu giới G D Nunno, B Oksendal, F B Hanson Theo hướng nghiên cứu xem xét giải vấn đề sau: (1) Q trình khuếch tán-nhảy (còn gọi trình Ito-Levy); (2) Giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy ngẫu nhiên tuyến tính, trường hợp chiều; (3) Tính tích phân Wiener-Ito bội cho lớp q trình ngẫu nhiên Ito-Hermite Phương pháp để giải vấn đề phần trình bày phép tốn vi-tích phân ngẫu nhiên Ito cho q trình ngẫu nhiên liên tục kết hợp với với phần vi phân nhảy theo độ đo ngẫu nhiên Poisson Nghiên cứu chúng tơi nhằm mục đích phân tích tính chất trình khuếch tán-nhảy, giải pháp cho phương trình vi phân ngẫu nhiên khuếch tán-nhảy tuyến tính, − ) + A(t)]dt + [β (t)X(t − )+ dX(t) = [α (t)X(t ∫ theo dạng: với tập hàm liên tục ngẫu B(t)]dW (t) + R0 [γ (t, z)X(t − ) + G(t, z)]N(dt, dz) nhiên {α , β , γ , A, B, G} giả sử trình Poisson bù N(t, z) độc lập với trình Wiener W(t) Xuất phát từ cơng thức Ito-Hermite cho q trình Ito-Hermite cho lớp q trình ItoLevy, chúng tơi trình bày kết nghiên cứu tích hợp vi phân ngẫu nhiên đa chiều cho q trình Ito-Hermite Chúng tơi đưa phương pháp tách nghiệm để giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính Từ khố: q trình Poisson, q trình Wiener, q trình Ito-Hermite, tích phân Wiener-Ito bội Trường Đại học Nông Lâm, Tp HCM Trường Đại học Công nghệ Thông tin, ĐHQG-HCM Ban Đào tạo, ĐHQG-HCM Trường Đại học Cần Thơ Liên hệ Đặng Kiên Cường, Trường Đại học Nông Lâm, Tp HCM Email: dkcuong@hcmuaf.edu.vn Lịch sử • Ngày nhận: 22-12-2018 • Ngày chấp nhận: 15-4-2019 • Ngày đăng: 28-6-2019 DOI : https://doi.org/10.32508/stdjns.v3i2.663 Q TRÌNH KHUẾCH TÁN-NHẢY (CỊN GỌI LÀ Q TRÌNH ITO-LEVY) Định nghĩa (Quá trình khuếch tán-nhảy) Cho W (t) = (W1 (t),W2 (t), ,Wn1 (t))T ;t ≥ 0, chuyển động Brown n1 chiều, độ đo ngẫu nhiên Poisson n2 chiều: Γ(dt, dz) = (Γ1 (dt, dz1 ), Γ2 (dt, dz2 ), , Γn2 (dt, dzn2 ))T ;t ≥ 0; z = (z1 , z2 , , zn2 ) ∈ (R0 )n2 ; n1 , n2 ∈ N Quá trình ngẫu nhiên khuếch tán-nhảy n chiều trình ngẫu nhiên biểu diễn dạng (các điều kiện ∫ ∫ ∫ ∫ thể tài liệu 1–3 ): X(t) = X(0)+ 0t α (s, ω )ds+ 0t β (s, ω )dWS + 0t (R0 )n2 γ (s, z, ω )Γ(ds, dz), đó: α (t, ω ) = (α1 (t, ω ), α2 (t, ω ), , αn (t, ω )) : [0, T ] × Ω → Rn ; ( ) β (t, ω ) = βi j nxn : [0, T ] × Ω → Rnxn1 ; ( ( )) γ (t, z, ω ) = γi j t, z j , ω nxn : [0, T ] × (R0 )n2 × Ω → Rnxn2 , n2 Bản quyền © ĐHQG Tp.HCM Đây báo cơng bố mở phát hành theo điều khoản the Creative Commons Attribution 4.0 International license trình ngẫu nhiên với t ≥ 0; z ∈ (R0 ) thỏa điều kiện: ∫T n1 βi2j (t, ω ) + ∑nk=1 γ 2ik (t, zk , ω )νk (dzk ))dt < ∞, ∑ni=1 o (|αi (t, ω )| + ∑ j=1 với νk (dzk ); k = 1, 2, , n2 , độ đo Levy tương ứng với độ đo bù Poisson, (Γk )(dt, dzk ) := Γk (dt, dzk )− νk (dzk )dt Biểu thức trình khuếch tán-nhảy X (t) định nghĩa nêu tương đương với dạng vi phân là: ∫ dX(t) = α (t, ω )dt + β (t, ω )dWt + (R0 )n2 γ (t, z, ω )Γ(dt, dz) Trích dẫn báo này: Cường D K, Đảm D T, Dương D T T, Dũ N T Giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy ngẫu nhiên tuyến tính Sci Tech Dev J - Nat Sci.; 3(2):115-119 115 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(2):115- 119 Định lý (Về vi phân tích trình khuếch tán-nhảy) Cho hai trình khuếch tán-nhảy xác định bởi; ∫ dX (l) (t) = α (l) (t, ω )dt + β (l) (t, ω )dWt + Rn2 γ (l) (t, z, ω )Γ(dt, dz), đó: (l) (l) (l) α (l) (t, ω ) = (α1 , · · · , αn ); β (l) (t, ω ) = (βi j )n×n1 ; (l) γ (l) (t, z, ω ) = (γik )n×n2 l = 1, 2; i = 1, · · · , n1 ; k = 1, · · · , n2 chúng thỏa điều kiện định nghĩa trình khuếch tán-nhảy Khi có: (2) (t) + X (2) (t − )dX (1) (t)+ d(X [(1) (t)X (2) (t)) ]= X (1) (t − )dX ( ) ∫ (1) (2) Nk (dt, dzk ) R0 γik (t, zk , ω )γik tr[(β (1) )T β ] vết ma trận [(β (1) (t, ω ))T β (2) (t, ω )], Nk (dt, dzk ) +tr (β (1) )T β (2) dt + ∑nk=1 ∑ni=1 , số bước nhảy có kích thước khơng dzk khoảng thời gian từ đến dt Hệ định lý: Cho hai trình khuếch tán-nhảy chiều, với i=1,2: ∫ dXi (t) = αi (t)dt + βi (t)dW (t) + R0 γi (t, z)N(dt, dz), với N(dt, dz)là độ đo bù Poisson số bước nhảy có kích thước khơng q dz khoảng thời gian từ đến dt, có: d(X1 (t)X2 (t)) = X1 (t − )dX2 (t) + X2 (t − )dX1 (t) + β1 (t).β2 (t)dt ∫ + R0 γ1 (t, z)γ2 (t, z)N(dt, dz) Chứng minh định lý độc giả xem tài liệu tác giả Dương Tôn Đảm, trang 55-57 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHUẾCH TÁN-NHẢY TUYẾN TÍNH Định nghĩa (Phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính) Phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính (một chiều) phương trình có dạng: dX(t) = [α (t)X(t − ) + A(t)]dt + [β (t)X(t − ) + B(t)]dW (t) ∫ + R0 [γ (t, z)X(t − ) + G(t, z)]N(dt, dz), (1) đó: α (t); β (t); A(t); B(t); γ (t, z); G(t, z); ∀t ≥ 0; z ∈ R0 ; hàm thỏa điều kiện tồn nghiệm (Các điều kiện nêu 2,4 ) ∫ (F1 (t, x))2 + (F2 (t, x))2 + R (F3 (t, x, z))2 ν (dz) ≤ C1 (1 + |x|2 ); ∀t ≥ 0, ∀x ∈ R ∫ |F1 (t, x) − F1 (t, y)|2 + |F2 (t, x) − F2 (t, y)|2 + R |F3 (t, x, z) − F3 (t, y, z)|2 ν (dz) ≤ C2 (|x − y| ); ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ R Trong đó: F1 (t, x) = α (t)x + A(t); F2 (t, x) = β (t)x + B(t); F3 (t, x, z) = γ (t, x, z)x + G(t, x, z) Khi A(t) ≡ B(t) ≡ G(t, z) ≡ 0, h.c; gọi q trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính nhất, gọi phương trình vi phân ngẫu nhiên hình học Và tìm cách giải (1) từ trường hợp đặc biệt Giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính Như cách phân loại phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính có dạng: dX1 (t) = X1 (t − )[α (t)dt + β (t)dW (t) + ∫ R0 γ (t, z)N(dt, dz)] Giải phương trình dựa vào cơng thức Ito Sử dụng hàm X1 (t) = F(t, H(t));t ≥ với F(t, x) = ex H(t) xác định bởi: ] ∫ ∫ [ H(t) = 0t α (s) − 21 β (s) + R0 log(1 + γ (s, z)) − γ (s, z)v(dz) ds ∫1 ∫1∫ + β (s)dW (s) + R0 log(1 + γ (s, z))N(ds, dz) Áp dụng công thức Ito cho X1 (t) = F(t, H(t)), thu được: [( ) ] ∫ dX1 (t) = eH(t) α (t) − 12 β (t) + R0 [log(1 + γ (t, z)) − γ (t, z)]v(dz) dt ] [ ∫ +eH(t) 21 β (t)dt + β (t)dW (t) + R0 eH(t) [γ ((t, z) − log(1 + γ (t, z)))]v(dz)dt ∫ ∫ − + R0 eH(t ) γ (t, z)N(dt, dz) = X1 (t − )[α (t)dt + β (t)dW (t) + R0 γ (t, z)N(dt, dz)] 116 (2) Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(2):115- 119 Vậy: [ ] ∫ log(1 + γ (s, z)) − γ (s, z)v(dz) ds+ X1 (t) = exp α (s) − β (s) + R0 ∫1∫ ∫1 + β (s)dW (s) + R0 log(1 + γ (s, z))N(ds, dz) ∫t (3) nghiệm phương trình (2) Phương pháp tách nghiệm để giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính Nội dung phương pháp tách nghiệm tìm nghiệm phương trình tuyến tính (1) dạng tích: X(t) = X1 (t − ).X2 (t − ) (4) đó: • X1 (t) nghiệm phương trình tuyến tính tương ứng, nghĩa nghiệm phương trình (2) • X2 (t) nghiệm phương trình: ∫ dX2 (t) = A∗ (t)dt + B∗ (t)dW (t) + R0 G∗ (t, z)N(dt, dz) A∗ (t); B∗ (t); G∗ (t, z) hàm xác định sau Kết phần trước cho thấy X1 (t − ) phương trình (2) cho hệ thức (3) Áp dụng Định lý cho tích = X1 (t − ).X2 (t − ) nêu trên, thu được: d(X(t)) = d(X1 (t − ).X2 (t − )) = X1 (t − ).dX2 (t) + X2 (t − )dX1 (t) + β (t)X1 (t − )B∗ (t)dt+ ∫ + R0 γ (t, z)X1 (t − )G∗ (t, z)N(dt, dz) = α (t)X1 (t − )X2 (t − )dt + β (t)X1 (t − )X2 (t − )dW (t) ∫ + R0 γ (t, z)X1 (t − )X2 (t − )N(dt, dz) +X1 (t − )A∗ (t)dt + X1 (t − )B∗ (t)dW (t) ∫ +X1 (t − ) R G∗ (t, z)N(dt, dz) + β (t)X1 (t − )B∗ (t)dt +γ (t, z)X1 (t − )G∗ (t, z)N(dt, dz) Mặt khác, X(t) nghiệm phương trình tuyến tính (1), từ so sánh (5) (1) thu hệ phương trình: ∫ A(t) = X1 (t − )[A∗ (t) + B(t)B∗ (t) + R0 γ (t, z)G(t, z)v(dz)] B(t) = X1 (t − )B∗ (t) ∫ − ∫ ∗ R0 G(t, z)N(dt, dz) = X1 (t ) R0 (1 + γ (t, z))G (t, z)N(dt, dz) Từ suy ra: [ ] A∗ (t) = 1/(X1 (t − )) A(t) − B(t)β (t) − B∗ (t) = ∫ R0 γ (t,z)G(t,z) v(dz) 1+γ (t,z) B(t) X1 (t − ) G∗ (t, z) = X (t − )(1+γ (t,z)) Đặt X1 (t) cho (3), biểu thức A∗ (t); B∗ (t); G∗ (t, z) xác định vào (4), có nghiệm phương trình cho G(t,z) Q TRÌNH ITO-HERMITE Định nghĩa (Đa thức Hermite trình Ito-Hermite) Đa thức Hermite cấp n (Hermite polynomial of degree n), ký hiệu làHn (x,t);và xác định bởi: { ( )} (−1)n x2 n Hn (x,t) := n! e 2t ∂∂xn exp − x2t ; ∀n = 0, 1, f ∫ Nếu đa thức Hermite cấp n, Hn (x,t)ta thay biến x tích phân Wiener It := 0t f (s)dWs ,(trong Ws ∫ trình Wiener, với f (x)là hàm bình phương khả tích [0,t],có chuẩn ∥ f ∥t2 := 0t f (s)ds < ∞ ) biến t f chuẩn ∥ f ∥t2 , trình ngẫu nhiên Ito- Hermite cấp n, ký hiệu Hn (It , ∥ f ∥t2 ) Đặc tính q trình Ito – Hermite: 117 Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(2):115- 119 f Cho Hn (It , ∥ f ∥ t2 ) trình ngẫu nhiên Ito-Hermite cấp n, có: f f dHn (It , ∥ f ∥t2 ) = Hn−1 (It , ∥ f ∥t2 ) f (t)dWt Đặc tính chứng minh báo , tác giả Dương Tơn Đảm cộng sự, sử dụng phần chứng minh Định lý • Quá trình ngẫu nhiên khuếch tán liên tục Nếu trình ngẫu nhiên khuếch tán-nhảy X(t) theo Định nghĩa có: γ (t, z, ω ) = 0; α (t, ω ) = α (t); β (t, ω ) = β (t); ∀t ≥ 0; nói X(t) trình khuếch tán liên tục theo không gian (spatially homogeneous diffusion process), gọi tắt khuếch tán liên tục Trong trường hợp µ (t) hàm chuyển dịch (drift function) σ (t) hàm khuếch tán hàm tất định thời gian t Định lý Cho Xt trình khuếch tán có hàm chuyển dịch không hàm khuếch tán f (t) , với f Hn (It , ∥ f ∥ t2 ) trình Ito-Hermite cấp n; (n ∈ N) Khi ∀k = 1, 2, có tích phân Wiener-Ito bội (multiple Wiener-Ito integral): ∫ ∫∫ f f 0≤u1 ≤···≤un ≤t Hk (Iu1 , ∥ f ∥2u1 )dXu1 dXu2 dXun = Hn+k (It , ∥ f ∥t2 ) Chứng minh Theo giả thiết định lý Xt trình khuếch tán nhất, có hàm chuyển dịch khơng hàm khuếch tán f (t), vi phân ngẫu nhiên là: ∫ f dXt = f (t)dWt ⇒ Xt = 0t f (s)dWs ⇔ Xt ≡ It Khi xét tích phân Wiener-Ito bội, áp dụng đặc tính nêu q trình Ito – Hermite có: ∫ ∫∫ f 0≤u1 ≤···≤un ≤t Hk (Iu1 , ∥ f ∥2u1 )dXu1 dXu2 dXun = ∫ t ∫ un ∫ u2 f = 0 Hk (Iu1 , ∥ f ∥2u1 )dXu1 dXu2 dXun ∫ ∫ ∫ f = 0t 0un 0u3 Hk+1 (Iu2 , ∥ f ∥2u1 )dXu2 dXun = ∫t f f = Hn+k−1 (Iun , ∥ f ∥un )dXun = Hn+k )(It , ∥ f ∥t2 ) Nhận xét Khi f (t) ≡ 1, có: Xt ≡ Wt , từ định lý thu kết lý thú Ito (1951): ∫ ∫∫ 0≤t1 ≤···≤tn ≤t H0 (Wt ,t)dWt1 dWt2 dWtn = Hn (Wt ,t) Hn (Wt ,t), trình Ito-Hermite cấp n mà xét đến Định nghĩa XUNG ĐỘT LỢI ÍCH Chúng tơi khơng có xung đột lợi ích ĐĨNG GĨP CỦA TÁC GIẢ Chúng tơi xác nhận tác giả có tên báo có đóng góp cho nghiên cứu CÁM ƠN Nghiên cứu tài trợ Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (VNU HCM) đề tài mã số 201726-03 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giulia Di Nunno, Bernt Eksendal, Frank Proske “Malliavin Calculus for Levy Processes with Applications to Finance” Springer; 2009 Bernt Eksendal, Agnes Sulem “Applied Stochastic Control of Jump Diffusions” Springer; 2005 Hanson FB Applied Stochastic Processes and Control for Jump Diffusions Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia 2007 Dương Tôn Đảm, Dương Tôn Thái Dương, Đặng Kiên Cường “Một số phương pháp Toán Thống kê phân tích liệu Q trình khuếch tán ngẫu nhiên”, NXB Đại học Quốc gia TP HCM; 2018 Dương Tơn Đảm “Q trình ngẫu nhiên Phần II Các phép toán Malliavin”, NXB Đại học Quốc gia TP HCM; 2010 Dương Tôn Đảm, Dương Ngọc Hảo “Lớp q trình ngẫu nhiên Ito-Hermite”, Tạp chí Phát triển khoa học & Công nghệ;13:6–2010 118 Science & Technology Development Journal – Natural Sciences, 3(2):115- 119 Research Article Solutions to the jump-diffusion linear stochastic differential equations Dang Kien Cuong1,* , Duong Ton Dam2 , Duong Ton Thai Duong3 , Ngo Thuan Du4 ABSTRACT The jump-diffusion stochastic process is one of the most common forms in reality (such as wave propagation, noise propagation, turbulent flow, etc.), and researchers often refer to them in models of random processes such as Wiener process, Levy process, Ito-Hermite process, in research of G D Nunno, B Oksendal, F B Hanson, etc In our research, we have reviewed and solved three problems: (1) Jump-diffusion process (also known as the Ito-Levy process); (2) Solve the differential equation jump-diffusion random linear, in the case of one-dimensional; (3) Calculate the Wiener-Ito integral to the random Ito-Hermite process The main method for dealing with the problems in our presentation is the Ito random-integrable mathematical operations for the continuous random process associated with the arbitrary differential jump by the Poisson random measure This study aims to analyse the basic properties of jump-diffusion process that are solutions to the jump-diffusion linear stochastic differential equations: dX(t) = [α (t) X (t − ) + A (t)] dt + [β (t) X (t − ) + B (t)] dW (t) + ∫ [ γ (t, z) X (t − ) + G (t, z)] N¯ (dt, dz) R0 with a set of stochastic continuous functions {α , β , γ , A, B, G} and assuming that the compensated Poisson process N¯ (t, z) is independent of the Wiener process W(t) Derived from the Ito-Hermite formulas for the Ito-Hermite process and for the Ito-Levy process class we presented the results for the differential and multiple stochastic integration for the ItoHermite process We also provided a separation method to solve jump-diffusion linear differential equations Key words: Poisson process, Wiener process, Ito-Hermite process, multiple Wiener-Ito integral Nong Lam University, HCMC University of Information Technology VNU-HCM Vietnam National University of HCMC Can Tho University Correspondence Dang Kien Cuong, Nong Lam University, HCMC Email: dkcuong@hcmuaf.edu.vn History • Received: 22-12-2018 • Accepted: 15-4-2019 • Published: 28-6-2019 DOI : https://doi.org/10.32508/stdjns.v3i2.663 Copyright © VNU-HCM Press This is an openaccess article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International license Cite this article : Cuong D K, Dam D T, Duong D T T, Du N T Solutions to the jump-diffusion linear stochastic differential equations Sci Tech Dev J - Nat Sci.; 3(2):115-119 119 ... 55-57 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHUẾCH TÁN-NHẢY TUYẾN TÍNH Định nghĩa (Phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính) Phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính (một chiều) phương trình. .. gọi q trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính nhất, gọi phương trình vi phân ngẫu nhiên hình học Và tìm cách giải (1) từ trường hợp đặc biệt Giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính. .. để giải phương trình vi phân khuếch tán-nhảy tuyến tính Nội dung phương pháp tách nghiệm tìm nghiệm phương trình tuyến tính (1) dạng tích: X(t) = X1 (t − ).X2 (t − ) (4) đó: • X1 (t) nghiệm phương