1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Chương 7: Giải phương trình vi phân

8 68 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 8
Dung lượng 445,46 KB

Nội dung

Chương 7: Giải phương trình vi phân trình bày những nội dung về bài toán Cauchy, phương pháp Euler và Euler cải tiến, phương pháp Runge-Kutta. Hy vọng, đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các bạn.

CHƯƠ NG  7: GIẢI PHƯƠ NG  TRÌNH  VI PHÂN §1. BÀI TỐN  CAUCHY Một   ph ươ ng   trình   vi   phân   cấp     có   thể   viết   d ưới   dạng   giải   đượ c   y =f(x,y)  mà  ta  có  thể  tìm  đượ c  hàm  y  từ  đạ o  hàm  của  nó  Tồn  tại  vơ  số  nghiệ m  thoả  mãn  ph ươ ng  trình  trên  Mỗi nghi ệ m  ph ụ  thu ộc  vào  một  hằ ng   số  tu ỳ  ý. Khi cho  trước giá  trị  ban  đầ u  của y là y o tại giá  trị  đầ u  xo ta  nh ậ n   được một  nghi ệ m  riêng  của ph ươ ng  trình  Bài tốn  Cauchy  (hay  bài tốn  có   điề u  kiệ n  đầ u)  tóm  lại như  sau:  cho  x sao  cho  b    x    a, tìm  y(x) tho ả  mãn   điề u  kiệ n: y ( x ) f( x , y ) (1) y (a ) Người ta chứng  minh  r ằng  bài toán  này  có một nghiệ m  duy  nh ất n ếu  f  thoả  mãn  điề u  kiệ n Lipschitz: f(x , y ) f(x , y ) L y y với L là một hằng  số d ươ ng Người ta cũng  chứng  minh  r ằng  n ếu  f y  ( đạ o hàm  của f theo  y ) là liên   tục và bị  chặn thì f thoả  mãn  điề u  kiện Lipschitz Một cách tổng quát  hơn, ng ười ta đị nh  nghĩa  hệ  ph ươ ng  trình  bậc 1: y f1 ( x , y , y , , y n ) y2 f2 ( x , y , y , , y n ) y n fn ( x , y , y , , y n ) Ta ph ải tìm  nghi ệ m  y 1, y 2, , y n  sao cho: Y ( x) f( x , X) Y(a ) với: y1 f1 y1 y2 f2 y2 Y F Y yn fn yn Nế u  ph ươ ng  trình  vi  phân  có bậc cao  hơn  (n), nghi ệ m  sẽ   ph ụ  thu ộc   vào  n  hằng  số  tu ỳ  ý. Để  nhậ n  đượ c một  nghiệ m  riêng,  ta  phải  cho  n  điề u   kiện  đầ u  Bài toán  sẽ  có giá  trị  đầ u  nế u  với  giá  trị  x o    cho  ta  cho  y(x o ),  y (xo ), y (xo), 168 Một ph ươ ng  trình  vi phân  bậc n  có thể  đư a  về  thành  mộ t  hệ  phươ ng   trình  vi phân  cấp 1. Ví dụ  nế u  ta có ph ươ ng  trình  vi phân  cấp 2: y f( x , y , y ) y (a ) , y (a ) Khi  đặ t u = y và v = y  ta nhậ n  được hệ  phươ ng  trình  vi phân  cấp 1: u v v g (x, u , v ) với điề u  kiệ n đầ u: u(a) =   và v(a) =  Các   ph ươ ng   pháp   giải   ph ươ ng   trình   vi   phân   đượ c   trình   bày     chương  này  là các  ph ươ ng  pháp  rời rạc: đoạ n  [a, b] được chia thành  n đoạ n   nhỏ  bằng nhau  đượ c gọi là các "bước" tích phân  h = ( b ­ a) /  n §2. PHƯƠNG  PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN Giả sử ta có phươ ng  trình  vi phân: y ( x ) f( x , y ) (1) y (a )  cần  tìm  nghi ệ m  của nó  Ta chia  đoạ n  [x o ,x ] thành  n  ph ầ n  bởi các điể m   chia: xo 

Ngày đăng: 30/01/2020, 05:45

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w