Bài viết trình bày việc giải phương trình vi phân cấp bốn với hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân bằng phương pháp số. Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra so sánh tốc độ hội tụ của phương pháp lặp này với các phương pháp trước đó để thấy được sự hiệu quả của phương pháp.
TNU Journal of Science and Technology 227(02): 173 - 177 SOLVING NONLINEAR FOURTH ODER DIFERENTIAL EQUATION WITH COEFFICIENT DEPENDENT ON INTEGRAL FUNCTION BY NUMERICAL METHOD Lai Van Trung, Quach Thi Mai Lien* TNU - University of Information and Communication Technology ARTICLE INFO Received: 03/01/2022 Revised: 28/02/2022 Published: 28/02/2022 KEYWORDS Higher order differentia lequations Numerical methods Integral function Iteration diagram Iterative algorithm ABSTRACT In recent years, higher-order differential equations problems have been of interested to many domestic and foreign scientists There have been many approaches and solutions to these problems, one of which must be mentioned is how to build operators and use contraction mapping In these problems, the class nonlinear higher-order differential equations with coefficcient dependent on integral function is very important in mechanics Finding analytic solutions for classes of these problems is difficult, so solving these numerical problems is very necessary In this paper, we present the solving of nonlinear fourth oder differential equations with coefficient dependent on integral function by numerical methods At the same time, we also compare the convergence speed of this iterative method with previous methods to see the effectiveness of the method GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC PHIẾM HÀM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Lại Văn Trung, Quách Thị Mai Liên* Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông – ĐH Thái Nguyên THÔNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 03/01/2022 Ngày hồn thiện: 28/02/2022 Ngày đăng: 28/02/2022 TỪ KHĨA Phương trình vi phân cấp cao Phương pháp số Phiếm hàm tích phân Sơ đồ lặp Thuật tốn lặp TĨM TẮT Những năm gần đây, tốn phương trình vi phân phi tuyến bậc cao nhiều nhà khoa học ngồi nước quan tâm, nghiên cứu Đã có nhiều hướng tiếp cận giải toán này, số phải kể đến cách xây dựng toán tử sử dụng ánh xạ co Trong tốn này, lớp tốn phương trình vi phân cấp cao có hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân có ý nghĩa quan trọng học Việc tìm nghiệm giải tích lớp tốn khó khăn nên vấn đề giải số cho lớp toán cần thiết Trong báo này, chúng tơi trình bày việc giải phương trình vi phân cấp bốn với hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân phương pháp số Đồng thời đưa so sánh tốc độ hội tụ phương pháp lặp với phương pháp trước để thấy hiệu phương pháp DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5414 * Corresponding author Email: qtmlien@ictu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 173 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): 173 - 177 Giới thiệu Khi nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến tính bậc cao có nhiều nhà khoa học ngồi nước đưa kết quan trọng [1]-[4] Lớp phương trình vi phân phi tuyến bậc cao với hệ số phụ thuộc vào phiếm hàm tích phân có nhiều ý nghĩa học Trong [5], đưa việc giải số cho toán cấp hai Dạng phương trình giải [5] là: b p1 b u ds u p2 a b f (x ), a x b, (1) a a 0u(a ) Đặt u ds u a1u (a ) A, b0u(b) b1u (b) B u (s ) ds , tốn (1) có dạng: a p1( )u (x ) p2 ( )u(x ) f (x ), a x b, a 0u(a ) a1u (a ) A, b0u(b ) b1u (b ) B (2) Hiển nhiên xác định nghiệm số tốn tìm theo thủ tục Mathlab [5] Chúng tơi xây dựng thuật toán lặp sau: Thuật toán: Bước 1: Xuất phát 0; Bước 2: Với k 0,1, 2, giải liên tiếp hai toán p1( k )uk p2 ( k )uk f (x ), a a 0uk (a ) a1uk (a ) A, b0uk (b) u1 uk (b) B x b, (3) Hiệu chỉnh b k +1 = uk' (s) ds (4) a Trong báo phát triển sang việc giải phương trình vi phân cấp bốn với hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân Bài báo gồm phần, sau Phần Giới thiệu Phần 2, trình bày mơ hình thuật tốn lặp để giải phương trình vi phân cấp bốn với hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân; Phần trình bày kết thực nghiệm Phần phần kết luận Mơ hình tốn biên cấp bốn với hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân Trong phần này, chúng tơi trình bày việc giải mơ hình toán biên cấp bốn với hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân phương pháp số Xét tốn biên cấp bốn sau: b p1 u ds u a b (4) p2 u ds u (x ) f (x ), a x b a a 0u(a ) a1u (a ) A, b0u(b) b1u (b) B, c0u (a ) c1u (a ) C , d 0u (b) d1u (b) D (5) Đây dạng tổng quát toán tác giả T F Ma, A L M Martinez đưa [6] với mơ hình tốn: http://jst.tnu.edu.vn 174 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology L ( 4) u M( 227(02): 173 - 177 u ( s) ds)u ( x ) f( x,u,u ), u( 0) A,u( L) B, u ( 0) C ,u ( L) g( u ( L)), (6) Q A Dang, T L Vu đưa [7] với mơ hình tốn: y (4) y (y )2 dx y p(x ), x 1, (7) y(0) y( ) 0, y (0) y ( ) Để giải toán (5), đưa phương pháp lặp sau: b u '(s ) ds ; v(x ) Đặt u (x ) Khi tốn (5) đưa hai toán cấp hai: a p1( )v (x ) p2 ( )v(x ) c0v(a ) c1v (a ) C , d0v(b) d1v (b) D, f (x ), a x b, (8) u (x ) v(x ), a x b, a 0u(a ) a1u (a ) A, b0u(b) b1u (b) B (9) Thuật toán lặp Bước 1: Xuất phát Bước 2: Với k 0; 0,1, 2, giải liên tiếp hai toán p1( k )vk p2 ( k )vk f (x ), a c0vk (a ) c1vk (a ) C , d0vk (b) d1vk (b) D, uk vk , a x b, a0uk (a ) a1uk (a ) A, b0uk (b) b1uk (b) B x b, (10) (11) Hiệu chỉnh: b uk (s ) ds k (12) a Chú ý rằng, hội tụ sơ đồ lặp phụ thuộc vào tính chất hàm p1 z , p2 z Sự hội tụ phương pháp kiểm tra chương trình thực nghiệm Các tốn (10), (11) giải qua lược đồ sai phân bậc bốn nghiệm số tìm thủ tục Mathlab [5] Một số kết thực nghiệm http://jst.tnu.edu.vn 175 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): 173 - 177 Để kiểm tra hội tụ thuật toán, phương pháp chung sử dụng xuất phát từ tốn gốc, chúng tơi cho trước nghiệm ud (x ) toán, hàm p1(z ), p2(z ) Từ xác định hàm vế phải f (x ) giá trị điều kiện biên Trong sơ đồ lặp, tiến hành sai phân tốn cấp hai với độ xác bậc 4, sau sử dụng thủ tục Mathlab [5] để xác định nghiệm gần u * tất điểm lưới Sai số tính tốn xác định ud u * Trước tiên, xét toán tác giả Q A Dang, T L Vu [7] với mơ hình tốn: y (4) y (y )2 dx y p(x ), x 1, (13) y(0) y( ) 0, y (0) y ( ) Ta thấy, tốn (13) trường hợp riêng toán (5) với: p1(z ) 1;p2 (z ) z sin x , tốn (13) có nghiệm ud (x ) 2, f x Xét với sin x Áp dụng thuật tốn lặp trên, chúng tơi nhận kết sau: Bảng Kết sai số so sánh với [7] Số bước lặp 10 15 Số bước lặp 20 25 30 Sai số 0,0202 e-4 e-5 Sai số e-7 e-8 e-9 Dựa vào số liệu Bảng 1, thấy phương pháp lặp hội tụ nhanh sai số đạt tốt nhiều so với sai số tài liệu [7] công bố (Sai số e-4) Sau đây, đưa số kết tính tốn cho tốn (5) với hàm hệ số chọn tùy ý, điều kiện biên Neumann Bảng Kết kiểm tra thuật toán lặp p1 (z ) a0 c0 ud k 10 15 20 x4 x3 ud k 10 20 30 40 50 60 0,001 e-6 e-9 e-10 z 2; a1 2; c1 3; b0 1; d 1; p2 (z ) 5; b1 5; d1 sin x 3,219 2,546 0,250 0,017 e-5 e-6 e z ;a 0, b 4, 3, N 100 ud k ex 0,034 e-4 e-7 e-9 e-9 1, ud k 10 15 20 25 30 cos x e x x4 0,03 10-4 10-5 10-7 10-9 10-10 Bảng cho thấy thuật toán hội tụ rất nhanh sai số đạt tốt ta chọn hệ số p1 (z ) p2 (z ) cos z z 1; p2 (z ) e z Tuy nhiên với việc chọn hệ số p1(z ) e z 1; 1, có trường hợp làm thuật tốn khơng hội tụ, điều thể http://jst.tnu.edu.vn 176 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(02): 173 - 177 Bảng Từ kết này, thúc đẩy chúng tơi tìm điều kiện cho các hệ số p1 ( z ) , p2 ( z ) chúng tơi trình bày nghiên cứu Bảng Kết kiểm tra thuật toán lặp p1(z ) e a 2; a1 c0 2; c1 ud x4 k 10 15 20 x3 0,0018 e-6 e-8 e-10 ud z 1; p2 (z ) cos z 1, 5; a 0, b 3; b0 5; b1 4, 1; d0 5; d1 3, N 100 sin x ud k Không hội tụ k ex 0,015 e-5 e-6 e-8 e-9 1, ud k 10 15 20 25 30 cos x e x x3 0,318 e-4 e-5 e-7 e-8 e-10 Kết luận Bài báo trình bày việc phát triển sang giải số cho tốn phương trình vi phân cấp bốn tổng qt với hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân Đây kết quan trọng để tiếp tục nghiên cứu giải toán đạo hàm riêng có hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân, cụ thể tốn: wtt x,t wx2 x,t dx wxx x,t 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] Q A Dang and T K Q Ngo, “Existence results and iterative method for solving the cantilever beamequation with fully nonlinear term,” Nonlinear Anal Real World Appl., vol 36, pp 56-68, 2017 [2] Q A Dang and T L Vu, “Iterative method for solving a nonlinear fourth order boundary valueproblem,” Comput Math Appl., vol 60, pp 112-121, 2010 [3] T F Ma and A L M Martinez, “Positive solutions for a fourth order equation with nonlinear boundary conditions,” Math Comput Simul., vol 80, pp 2177-2184, 2010 [4] Q A Dang and T H Nguyen, “The Unique Solvability and Approximation of BVP for a Nonlinear Fourth Order Kirchhoff Type Equation,” East Asian Journal on Applied Mathematics, vol 8, no 2, pp 323-335, 2018 [5] V Q Vu and V T Lai, “Interative method for solving higher oder differential equations with coefficients dependent on integral functions,” TNU Journal of Science and Technology, vol 200, no 07, pp 41-47, 2019 [6] T F Ma and A L M Martinez, “Positive solution for a fourth order equation with nonlinear buondary conditions,” Mathematics and Coputers in Simulation, vol 80, pp 2177-2184, 2010 [7] Q A Dang and T L Vu, “Iterative method for solving a nonlinear fourth order boundary value problem,” Computers and Mathematics with Applications, vol 60, pp 112-121, 2010 http://jst.tnu.edu.vn 177 Email: jst@tnu.edu.vn ... vi? ??c giải phương trình vi phân cấp bốn với hệ số phụ thuộc phi? ??m hàm tích phân Bài báo gồm phần, sau Phần Giới thiệu Phần 2, trình bày mơ hình thuật tốn lặp để giải phương trình vi phân cấp bốn. .. bốn với hệ số phụ thuộc phi? ??m hàm tích phân; Phần trình bày kết thực nghiệm Phần phần kết luận Mơ hình tốn biên cấp bốn với hệ số phụ thuộc phi? ??m hàm tích phân Trong phần này, chúng tơi trình. .. nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến tính bậc cao có nhiều nhà khoa học nước đưa kết quan trọng [1]-[4] Lớp phương trình vi phân phi tuyến bậc cao với hệ số phụ thuộc vào phi? ??m hàm tích phân có