Nghiên cứu và xây dựng hàm cơ sở đối với toán tử vi phân bậc 4 trong phương án giải nghiệm số các phương trình vi phân bằng phương pháp mô men

Bài viết Nghiên cứu và xây dựng hàm cơ sở đối với toán tử vi phân bậc 4 trong phương án giải nghiệm số các phương trình vi phân bằng phương pháp mô men giới thiệu các hàm cơ sở được chọn đặc biệt đối với các toán tử vi phân bậc 4, nhằm hỗ trợ giải nghiệm số phương trình vi phân bậc 4 bằng phương pháp Mô-men, đồng thời, bài báo còn đưa ra các tính chất đặc biệt của hàm cơ sở cũng như dự đoán các kết quả về hàm cơ sở đối với toán tử vi phân bậc cao.

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 10(71).2013 NGHIÊN CỨU VÀ XÂY DỰNG HÀM CƠ SỞ ĐỒI VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN BẬC TRONG PHƯƠNG ÁN GIẢI NGHIỆM SỐ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ-MEN RESEARCHING AND BUILDING UP BASIS FUNCTIONS FOR FOURTH-ORDER DIFFERENTIAL OPERATOR IN THE ALGORITHM TO APPROXIMATE SOLUTION DIFFERENTIAL EQUATIONS BY THE METHOD OF MOMENTS Lê Minh Hiếu Trường Đại học Kinh tế, Đại học Đà Nẵng Email: leminhhieu170386@yahoo.com TÓM TẮT Như biết, phương pháp Mô-men [1] [2] phương pháp sử dụng để giải xấp xĩ phương trình vi phân thường phi tuyến cấp Mấu chốt phương pháp việc lựa chọn hàm sở cho việc tính tốn phải dễ dàng nhận sơ đồ sai phân có tính ổn định Với ý tưởng đó, kết [4] cho thấy việc lựa chọn hàm sở cách hiệu hỗ trợ giải toán biên phương trình vi phân thường tuyến tính cấp tốt Phát triển vấn đề: báo giới thiệu hàm sở chọn đặc biệt toán tử vi phân bậc 4, nhằm hổ trợ giải nghiệm số phương trình vi phân bậc phương pháp Mơ-men, đồng thời, báo cịn đưa tính chất đặc biệt hàm sở dự đoán kết hàm sở toán tử vi phân bậc cao Từ khóa: giải xấp xĩ; phương pháp Mơ-men; hàm sở; toán tử vi phân; toán biên ABSTRACT As far as we are concerned, the method of moments [1] [2] is one of the methods used to find approximate solutions of second-order nonlinear ordinary differential equations A key point of this method is the choice of the basic functions so that it is easy to calculate and get the difference scheme which has stability With that idea, the results in [4] show that the effective choice of basic functions helped solve the boundary value problem for second-order linear ordinary differential equations better In the development of the issue, this paper introduces the basic functions which are especifically chosen for the fourth-order differential operator so as to support the solving of the fourth-order differential equations by the method of moments In addition, this article presents the special property of the basic functions as well as predict the results of basic functions for the higher-order differential operator Key words: approximate solution; the method of moments; basis function; differential operator; boundary value problem Đặt vấn đề Phương pháp Mô-men hiệu giải phương trình vi phân thường phi tuyến cấp cho kết tốt so với phương pháp cổ điển khác Chúng ta tìm hiểu sơ qua nội dung phương pháp Giả sử cần giải toán biên sau: F  x, y, y, y   0, (1) Giả sử tốn biên (1) – (3) có nghiệm [a,b] khả vi liên tục đến cấp Xét hệ hàm sở:   Hệ 1: Hệ hàm  k  x  thỏa mãn điều kiện: 1,  k  x   C  a, b , k  0,1, 2, (2) đóng [a,b] Hệ 2: Hệ hàm 108 (3) 2, Các hàm  k  x  tạo thành hệ với điều kiện biên: la  y   0 y  a   1 y  a   A, lb  y   0 y  b   1 y  b   B   x  k thỏa mãn TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 10(71).2013 điều kiện: Phương trình (6) giải dựa vào điều kiện (5), tức là: 1, k  x   C  a, b , k  0,1, 2,  g  x  L dx  0; i  1, N  1, 2, Với n hữu hạn bất kì, hàm 1  x  , i 2  x  , , n  x  độc lập tuyến tính [a,b] 3, 0  x  thỏa mãn điều kiện (2) (3); k  x  tính chất hàm sở: thỏa  g  x  u  x  dx  i  u  xi 1   2u  xi   u  xi 1  , 4, Các hàm k  x  tạo thành hệ đầy thuộc C2  a, b Phương pháp Mơ-men tìm nghiệm xấp xĩ toán (1) – (3) dạng: yn  x   0  x    akk  x , chọn từ hệ: b  F  x   x  dx  0, k  0, n  1, k (5) a Fn  x   F  x, yn , yn , yn  Với ý tưởng đó, báo [4], tác giả sử dụng hàm sở đặc biệt để giải phương trình: u  x   q  x  u  x   p  x  u  x   f  x  , x   0,1 , u (0)  A, u(1)  B (6) Trên đoạn [0,1], ta xây dựng nút có khoảng cách h: 2N  , i  0, N (7) i  1, N  1  g  x  q  x  u  x  dx i tích phân  g  x  p  x  u  x  dx i khơng thể tính cách xác (10) mà phải sử dụng công cụ khác nội suy hàm u(x), công thức nội suy u(x) xem tương tự với cơng thức (4), hay nói cách khác, hàm u(x) biểu diễn tuyến tính hàm sở Phát triển mở rộng vấn đề: muốn giải phương trình vi phân bậc phương pháp Mô-men với cách chọn đặc biệt hàm sở tất yếu phải xây dựng hàm sở đặc biệt, hàm phải có tính chất tương tự (10), tức phải đưa biểu thức xác để biểu diễn tốn tử vi phân bậc phép tốn tích phân đoạn [0,1] Các kết báo đề cập đến vấn đề Ý tưởng xây dựng hàm sở toán tử vi phân bậc Để xấp xĩ toán tử vi phân bậc cần sử dụng tối thiểu nút xi 1 , xi , xi 1 (10) Câu Các hàm sở đặc biệt chọn là:  x  xi 1 ; x   xi 1 ; xi  ,  gi  x     x  xi 1  ; x   xi ; xi 1  ,  0; x   xi 1 ; xi 1  , dụng nào? Bản chất vấn đề chỗ, Trong đó, số ak , k  1, n  Mô-men, hàm k  x  đâu sử (4) k 1 Vậy theo lý thuyết phương pháp tích phân n (10) i  1, N  1, xi  h đủ lớp hàm thỏa mãn điều kiện (2) (3) h  xi | xi  ih, h  (9) Lu  u  qu   pu  f la k   0, lb k   0, k  1, 2, n u (8) hỏi đặt sử dụng nút để xấp xĩ toán tử vi phân bậc cao không? Trả lời câu hỏi này, để đơn giản, ta xét toán tử vi phân bậc ba u  x  Ta thử xây dựng hàm sở có dạng tương tự (8), tức là: 109 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 10(71).2013  gi ,1  x  ; x   xi 1 ; xi  ,  gi  x    gi ,1  x  ; x   xi ; xi 1  ,  0; x   xi 1 ; xi 1  , (11) u  x   pu  x   f  x  , p  const , x  [0,1], i  1, N  1, (21) u (0)  A, u (1)  B cho thỏa mãn:  g  x  u  x  dx  i (12)  u  xi 1   2u  xi   u  xi 1  điều kiện để tìm hàm gi  x  (11): gi,1  x   gi,1  x   0, Nhân hàm sở (8) với hai vế phương trình (21) tích phân đoạn [0,1], ta hệ phương trình tuyến tính: QU  pU  F , Tích phân phần vế trái so sánh với số hạng vế phải (12), ta rút (22) Trong đó, U   u1 , u2 , , uN 1  , un  u  xn   n  1, N 1 , ma trận Q có dạng Q  q  N 1 ij i , j 1 (13) , qii  2, qij  với i  j  , qij  với gi,1  xi 1   1, gi,1  xi 1   1, (14) i  j  1,  ma trận nhận từ việc tính gi,1  xi   gi,1  xi   2, xấp xĩ tích phân (15) gi,1  xi 1   gi,1  xi 1   0, (16) gi ,1  xi 1   gi ,1  xi 1   0, (17) gi,1  xi   gi,1  xi  , (18) gi ,1  xi   gi ,1  xi  (19) Từ điều kiện (13) – (17), ta tìm kết quả: gi ,1  x    gi ,1  x    x  xi 1  , 2  x  xi 1   g  x  u  x  dx , i dạng  tùy vào công thức nội suy hàm u(x), ma trận đường chéo u(x) xấp xĩ công thức Taylor, ma trận đường chéo hay đường chéo nội suy u(x) theo công thức Lagrange qua nút hay nút Bây xét phương trình vi phân thường tuyến tính cấp có dạng đơn giản sau: u  4  x   pu  x   f  x  , (23) p  const , x  [0,1] Nhân hai vế phương trình (23) với  4 (20) Tuy nhiên thử lại điều kiện (18) (19) có điều kiện (18) thỏa mãn kết tích phân (12) có thêm thừa số h u  xi  Như vậy, rõ ràng để xấp xĩ toán tử vi phân bậc cao (lớn 2) cần phải sử dụng nhiều nút Quay trở lại vấn đề chính, cần tối thiểu nút để xấp xĩ toán tử vi phân 110 bậc tính chất (10) Câu trả lời rõ ràng ta làm phép suy logic sau Xét toán biên đơn giản sau: hàm sở cần tìm gi  x tích phân hai vế đoạn [0,1] nhận được: QU  pU  F (24) Ở quan tâm đến ma trận Q Nhận thấy u     u  , từ ta dự đốn Q  Q , tức cần dùng đến nút Nói  4 cách khác, cần phải tìm hàm gi mãn:  x thỏa TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 10(71).2013  4 Từ điều kiện (27) ta suy hàm gi  g  x  u  x  dx  u  x    4  4 i 2 i (25) 4u  xi 1   6u  xi   4u  xi 1   u  xi   Q  Q2 tất nhiên hàm gi 4  x phải có dạng:  gi ,2  x  , x   xi  , xi 1  ,   gi ,1  x  , x   xi 1 , xi  ,  gi 4 ( x)   gi ,1  x  , x   xi , xi 1  ,   gi ,2  x  , x   xi 1 , xi   , 0, x   x , x  , i 2 i2  (26) Tích phân phần vế trái so sánh với số hạng vế phải (25) ta nhận điều kiện: gi(,kj ) ( xi  k )  0, i  2, N  2, k  2, 2 , j  0, 2, gi(,j )2 ( xi 1 )  gi(,j )1 ( xi 1 ), i  2, N  2, j  0, 2, g ( j) i , 1 ( xi )  g ( j) i , 1 ( xi ), i  2, N  2, j  0, 2, g ( j) i , 1 ( xi 1 )  g ( j) i , 2 ( xi 1 ), i  2, N  2, j  0, 2,  gi,2  xi    1,   gi,2  xi    1,   gi,1  xi   gi,1  xi   6,   gi,1  xi 1   gi,2  xi 1   4,  g   x   g   x   4 i , 1 i 1  i ,2 i 1 (33) Từ điều kiện (32) ta suy ra: Từ điều kiện (28) ta nhận hệ phương trình tuyến tính để tìm hệ số lại hàm Xây dựng hàm sở toán tử vi phân bậc k  2, 1,1, 2, i  2, N  2, k  2, 1,1, 2 1 1 ,2  ; ,2   ; ,1   ; ,1  (34) 6 2 i  2, N  2, xi  h gi,k  x   0, i  2, N  2, có dạng: gi ,k  x   ,k x3  bi ,k x  ci ,k x  di ,k , đó, hệ số 1, 4,6, 4,1 suy từ  x (27) (28) gi ,2  x  , gi ,2  x  :  ai ,2  ,  6ai ,2 xi 2  2bi ,2  0,  3ai ,2 xi2  2bi ,2 xi   ci ,2  0,  ai ,2 xi3  bi ,2 xi2  ci ,2 xi   di ,2  0, (35)  ai ,2   ,  6ai ,2 xi   2bi ,2  0,  3ai ,2 xi2  2bi ,2 xi   ci ,2  0,  ai ,2 xi3  bi ,2 xi2  ci ,2 xi   di ,2  0, (36) Giải hai hệ (35) (36) ta nhận được: gi ,2  x   (29)  x  xi 2  , i  2, N  2, (37)  x  xi 2  , i  2, N  (38) gi ,2  x    (30) Sử dụng điều kiện (29) ta tìm hàm gi , 1  x  với giá trị gi ,2  xi 1   (31) gi,2  xi 1   h2 h3 , , gi,2  xi 1   h , tức ta nhận hệ phương trình tuyến tính để tìm hệ số lại hàm gi , 1  x  : (32) 111 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 10(71).2013  ai ,1   ,  6ai ,1 xi 1  2bi ,1  h,  (39)  h2 a x  b x  c  , i , 1 i 1 i , 1  i ,1 i 1  h3  a x  b x  c x  d   i ,1 i 1 i ,1 i 1 i ,1 i 1 i ,1 Giải hệ (39) ta nhận được: h  x  xi 1    x  xi 1   2 h h   x  xi 1   , i  2, N  2 gi ,1  x    Rõ ràng hàm sở có dạng tương tự với B-spline tuyến tính [5]  2 Các hàm sở gi (40) tử vi phân bậc có tính chất (10), hàm sở gi 4 tính chất (25) Đây tính chất ứng dụng cụ thể thuật tốn Mơ-men Bây ta tìm hiểu tính chất đặc biệt khác hàm sở  x  xi  n  ( x  xi ) , x  xi ,   0, x  xi , (42) n  2  x (8) viết lại nhờ vào (42): (41) gi  ( x)   x  xi 1    x  xi    x  xi 1  , i  1, N  1, xi  h  4 Chúng ta dễ dàng kiểm tra lại tính đắn việc xây dựng hàm gi , 2  x  , gi , 1  x  , gi , 1  x  , gi , 2  x  điều kiện (30) Như vậy, ta xây dựng thành cơng hàm  x (26) tốn tử vi phân bậc có Hàm sở gi gi ,1  x    4  x n hàm gi , 1  x  : sở gi (8) toán Ta đưa vào kí hiệu đặc biệt: Tương tự, sử dụng điều kiện (31) ta tìm h  x  xi 1    x  xi 1   2 h h   x  xi 1   , i  2, N  2  x toán tử vi phân bậc có dạng (26) với tính chất (25) biểu diễn dạng giải tích nhờ vào (37) (38) (40) (41) Tính chất đặc biệt phát triển vấn đề Chúng ta vẽ đồ thị hàm sở để thấy hình dạng Sau kết quả: Hàm sở gi  x (43) (26) viết lại nhờ vào (42): 1 3  x  xi 2    x  xi 1    3! 3 6  x  xi    x  xi 1    x  xi     gi  ( x)  (44) Ta dễ dàng chứng minh công thức (44) đồng với (37) (38) (40) (41) khai triển giải tích So sánh cơng thức (43) với tính chất (10), cơng thức (44) với tính chất (25), ta nhận thấy hệ số 1, -2, hệ số 1, -4, 6, -4, bảo tồn Từ tính chất đặc biệt này, ta dự đoạn hàm sở toán tử vi phân bậc cao chẵn Ví dụ, thử dự đốn hàm sở  x  toán tử vi phân bậc sáu u    x  Thay tìm cách tính gi Hình Đồ thị hàm sở  4 g5  x  (26) đoạn [0,1] với bước nhảy h  0,1 112 6 tích phân phần cách phức tạp, ta dựa vào tính chất đặc biệt để dự đốn, sau thử lại kết Cụ thể, nhận thấy TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 10(71).2013  6    u  6  u  4 , số nút tối thiểu phải dùng nút, đó, sử dụng phương pháp Mô-men, 3 ma trận nhận phải Q , Q ma trận   đường chéo có dạng: Q3  qij N 1 i , j 1 , đó: qii  20 ; qij  15 với i  j  1; qij  6 với i  j  ; qij  với i  j  ; qij  với i  j  Tổng quát, toán tử vi phân bậc 2n ( n  N * ) u  2n   x ma trận nhận Q n Quay trở lại với ví dụ trên, từ ma trận Q ta rút hệ số đầy đủ 1, -6, 15, -20,15, -6, Dựa vào tính chất đặc biệt bảo tồn hệ số cách viết hàm số dựa vào kí hiệu  6 (42), ta dự đoán hàm sở gi gi  ( x)   x  là: 1 5  x  xi 3    x  xi 2    5! 15  x  xi 1   20  x  xi   5 Và tính chất hàm gi  x  là:      g  x  u  x  dx  u  x   i i 3 6u  xi    15u  xi 1   20u  xi   (46) 15u  xi 1   6u  xi    u  xi 3  Ta kiểm tra lại kết (46) giải tích sử dụng cơng cụ lập trình Mathematica Kết luận Bài báo giới thiệu kết đạt xây dựng hàm sở toán tử vi phân bậc phương án giải phương trình vi phân phương pháp Mơ-men, từ rút tính chất đặc biệt giúp dự đốn hàm sở toán tử vi phân bậc cao chẵn Các hàm ứng dụng linh hoạt để giải phương trình đạo hàm riêng bậc cao (45) 15  x  xi 1    x  xi     x  xi 3    5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Крылов В И., Бобков В В., Монастырный П И., Вычислительные методы (Том 2) - М.: Наука, 1977 [2] Вакульчик П А., Методы численного анализа – Минск: БГУ, 2002 [3] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số Tái lần thứ 2, NXB Giáo dục, 2007 [4] Lê Minh Hiếu, Sử dụng hàm sở đặc biệt thuật toán giải nghiệm số phương trình vi phân thường tuyến tính cấp với điều kiện biên đơn giản, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 9(58).2012 Quyển I: 24 – 29 [5] Вержбицкий В М., Основы численных методов: Учебное пособие для вузов – М.: Высш шк., 2002 (BBT nhận bài: 04/08/2013, phản biện xong: 24/08/2013) 113 ... lại kết (46 ) giải tích sử dụng cơng cụ lập trình Mathematica Kết luận Bài báo giới thiệu kết đạt xây dựng hàm sở toán tử vi phân bậc phương án giải phương trình vi phân phương pháp Mơ -men, từ... dự đoạn hàm sở toán tử vi phân bậc cao chẵn Ví dụ, thử dự đốn hàm sở  x  toán tử vi phân bậc sáu u    x  Thay tìm cách tính gi Hình Đồ thị hàm sở  4? ?? g5  x  (26) đoạn [0,1] với bước... phân đoạn [0,1] Các kết báo đề cập đến vấn đề Ý tưởng xây dựng hàm sở toán tử vi phân bậc Để xấp xĩ toán tử vi phân bậc cần sử dụng tối thiểu nút xi 1 , xi , xi 1 (10) Câu Các hàm sở đặc biệt chọn