ОПР 1. Множество, в котором нет ни одного элемента называется пустым множеством. Обозначают: Ø § 1. Множества Множество – неопределяемое понятие. Говорят: набор, совокупность, система и др. ОПР 2. Множества А и В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. ОПР 3. Если все элементы множества В принадлежат множеству А то В называется подмножеством множества А. Обозначают: В А. ⊆ Объединение множеств А В А U В А U В А U В = В В В А А А ОПР 4. Объединением множеств А и В называется множество, определяемое следующим образом: A U B = { x / x ∈ A или x ∈ B} Другими словами: Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В Диаграммы Эйлера-Вена Пересечение множеств А В А В В А В U А В = U Ø А В = A U А ОПР 5. Пересечением множеств А и В называется множество, определяемое следующим образом: A ∩ B = { x / x ∈ A и x ∈ B} Вычитание множеств А В А \ В А \ В = А А \ В = В В А А А Ø А \ В А В ОПР 6. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее только из тех элементов, которые входят в А, но не входят в В: A \ B = { x / x ∈ A и x ∈ B} ОПР 7. Множество называется конечным, если оно состоит из некоторого натурального числа элементов. Непустое множество называется бесконечным, если оно не является конечным. ОПР 8. Говорят, что между множествами А и В установлено взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие один элемент множества В так, что: 1)разным элементам А соответствуют разные элементы В; 2)каждый элемент множества В поставлен в соответствие некоторому элементу множества А. ОПР 9. Множества А и В, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквивалентными. Обозначают: А ~ В ОПР 10. Бесконечное множество А называется счетным, если можно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством А и множеством натуральных чисел, т.е. если А ~ N. • пример 1 Является ли множество Z счетным? Z: 0 -1 1 -2 2 -3 3 … -n n … N: 1 2 3 4 5 6 7 … сопоставили • пример 2 Является ли множество Q счетным? 1/1 -1/1 1/2 -1/2 1/3 -1/3 … 0 2/1 -2/1 2/2 -2/2 2/3 -2/3 … 3/1 -3/1 3/2 -3/2 3/3 -3/3 … 4/1 -4/1 4/2 -4/2 4/3 -4/3 … 5/1 -5/1 5/2 -5/2 5/3 -5/3 … … ＝＞ Q ~ N 2n 2n+1 … Вещественное число – это бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком + или - . Свойства: 1. Упорядоченности. 2. Определена операция сложения и умножения 3. Свойство полноты 4. Свойство плотности Модуль – расстояние – абсолютное значение вещественного числа § 2. Вещественные числа Свойства: 1. | x + y | ≤ | x | + | y | 2. | x - y | ≥ | x | - | y | 3. | x . y | = | x | . | y | 4. | x / y | = | x | / | y | | x | = { x, x ≥0 -x, x<0 ОПР 13. Множество вещественных чисел { x } называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что любой элемент x из множества { x } будет меньше числа М. ∈ MxxxM <∀∃ }{ ОПР 13*. { x } называется ограниченным снизу, если ∈ mxxxm >∀∃ }{ m - нижняя грань множества { x } ОПР 14. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом множества { x } М = sup{ x } Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфинумом множества { x } m = inf { x } М называется верхней гранью Свойства sup { x } и inf { x }. sup { x } inf { x } 1. ∀x ∈ { x } x ≤ sup { x } 2. ∀ε>0 x ∈{ x }: x > sup { x } –ε ∃ Дописать! ОПР 13**. { x } называется ограниченным, если ∈ CxxxC <∀∃ ||}{ ТЕОРЕМА 1. Больцано (о существовании sup и inf числового множества) Если множество А = { x } не пусто и ограничено сверху (снизу), то оно имеет верхнюю (нижнюю) точную грань. Необходимые и достаточные условия Пусть β - некоторое высказывание. Всякое высказывание α , из которого следует β , называется достаточным условием для β . Записывают: α => β Читают: « α является достаточным условием для β » «из α следует β » Всякое высказывание α , которое вытекает из β , называется необходимым условием для β . Читают: « β является необходимым условием для α » Если α и β таковы, что α => β и α <= β, то говорят: каждое из высказываний α и β является необходимым и достаточным условием для другого Записывают: « α <=> β » Читают: «для α необходимо и достаточно чтобы имело место β » « α истинно тогда и только тогда, когда истинно β »