Nghiệm yếu của bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến

Bài viết Nghiệm yếu của bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến trình bày về nghiệm yếu của một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến, các phương trình phi tuyến này có chứa tổ hợp của các thành phần kỳ dị tại 0.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN Nguyễn Hữu Thọ1, Phạm Nam Giang1 Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Báo cáo trình bày nghiệm yếu lớp toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến, phương trình phi tuyến có chứa tổ hợp thành phần kỳ dị Khi đó, nghiệm tốn (1) tồn xác định (xem [3]): ì ï -1 ï £t £ ïG (t ), ï u(t ) = í ï ï G -1(1 - t ), £ t £ 1, ï ï ï ỵ đó: x NỘI DUNG BÁO CÁO Đặt vấn đề Xét toán biên sau ( ) ì ï - | u ' |p-2 u ' ' = f (u ), (0;1) ï ï ï u > (0;1) (1) í ï ï u(0) = u(1) = 0, ï ï ỵ õy p ẻ (1, Ơ) v f : (0, ¥)   hàm liên tục Dễ thấy, tồn ti p ẻ (1, Ơ) cho p - < , tồn kỳ dị , ta xét tính giải tốn lớp nghiệm yếu Định nghĩa ([2]) Hàm u Ỵ W01,p ((0,1)) nghiệm yếu tốn (1) ị (| u ' | p -2 -1 G (t ) = c1 ò (c2s - t s ) p d t, x Ỵ [0, c2 ] , ) c1, c2 số dương phụ thuộc vào s, p, l Một câu hỏi đặt cách tự nhiên là: điều xảy f (t ) = lt s-1 bị nhiễu đại lượng cho điều kiện (2) khơng cịn Trong báo cáo này, xét hai trường hợp sau: (i) f (t ) = lt s-1 + t q -1, < s < p < q, (ii) f (t ) = lt s-1 - t r -1, < r < s < p Ta thấy rằng, hai trường hợp trên, tồn tại, tính nghiệm tốn khơng thể xảy với l > mà tùy theo l > có kết khác u ' v '- f (u )v dt = Kết với hàm thử u Ỵ W01,p ((0,1)) Như vậy, nghiệm (1) thuộc lớp C [0,1] Chẳng hạn, với điều kiện hàm t ẻ (0, Ơ) f (t )t 1-p giảm ngặt (2) tốn (1) có nghiệm, hàm đơn giản thỏa mãn điều kiện là: f (t ) = lt s -1, t > 0, s Ỵ (0, p), l > a) Trường hợp f (t ) = lt s-1 + t q -1 Trong [1], xét tốn ìï-Du = lu s-1 + u q -1 W ïï ï u > W (3) í ùù ùù u = 0, ảW ùợ vi W l miền mở, bị chặn n , s Ỵ (1, 2), q ẻ (2, Ơ) , cỏc tỏc gi ó đạt kết sau 63 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 Định lý ([1]) Tồn số L > cho tốn (3): a) có nghiệm l Ỵ (0, L] , b) có nghiệm Do đó, giải tốn (4) tương đương với việc giải phương trình (5)  + , số nghiệm (5) xác định thông qua việc khảo sát hình học hàm T 2n , n ³ , n -2 c) khơng có nghiệm với l > L l Ỵ (0, L) q £ Với cách tiếp cận tương tự, ta xét tốn sau: ( ) ìï- | u ' |p-2 u ' ' = lu s-1 + u q -1, (0,1) ïï ï u > (0;1) (4) í ïï ïï u(0) = u(1) = 0, ỵ Hình Biểu diễn hình học T b) Trường hợp f (t ) = lt s-1 - t r -1 Giả sử nhận kết sau Định lý Cho p ẻ (1, Ơ), s ẻ [1, p) p q -p æ p - 1ư÷ p q -s ÷÷ l T (c) = ççç è p ø÷ ( Khi nhận kết tương tự Định lý Trong trường hợp này, khác nghiệm tồn với l lớn tốn vơ nghiệm với l nhỏ Cụ thể là, tồn số L > cho tốn (6) có nghiệm với l ³ L vơ nghiệm l Ỵ (0, L) Lúc này, hàm T tương ứng với toán (6) có dạng (5) -1 c T (c) := ị -1 T (c) := ị ỉc s c q t s t q p ỗỗỗ + - - ữữữ dt, q s q ứữ ốỗ s c > -1 ị ỉc s cq t s t q ửữ p ỗ 0 ữ ỗỗỗ s + q - s - q ÷÷÷ dt = è ø p ổ p - 1ửữ ữ l = ỗỗ çè p ÷÷ø é1 ù u(x ) = u(1 - x ), x Ỵ ê ,1ú ê2 ú ë û ỉc s c r t s t r ư÷ p ỗỗ - - + ữ dt, ữ ỗỗ s r s r ÷ø è ỉ s ưs -r c t(r ) := ỗỗỗ ữữữ ố r ÷ø Hơn nữa, nghiệm c0 > phương trình (5) xác định nghiệm tương ứng u : [0,1]  [0, c0 ] (4) xác định (ẩn) bởi: u (x ) ) ìï- | u ' |p-2 u ' ' = lu s-1 - u r -1, (0,1) ïï ï u > (0;1) (6) í ïï ïï u(0) = u(1) = ùợ õy: c v l ẻ (0, Ơ) Chúng ta xét tốn biên sau q Ỵ (p, ¥) , ln tồn số L > cho tốn (4): a) có nghiệm l Ỵ (0, L) , b) có nghiệm l = L , c) khơng có nghiệm với l > L Chứng minh Bằng cách sử dụng phương pháp “shooting” [1], ta biến đổi tốn (4) thành phương trình đại số tồn tương ứng - tậpnghiệm tốn (4) với tập nghiệm phương trình (n c > ) sau: p ẻ (1, Ơ), s Ỵ (0, p), r Ỵ (0, s ) Ở đậy, t(r ) nghiệm dương ts tr - = Cũng trường s r hợp a), vi mi nghim c0 ẻ [t(r ), Ơ) ca phương trình phương trình 1 q -p p q -s é 1ù x , x Ỵ ê 0, ú ê 2ú ë û q -s æ p - 1ư÷p p s -r ÷÷ l T (c) = ỗỗỗ , ố p ứữ s tng ng với nghiệm u : [0,1]  [0, c0 ] xác định (ẩn) 64 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 KẾT LUẬN -1 u (x ) ị ỉc s cq t s t q ửữ p ỗ 0 ữ ỗỗỗ s + q - s - q ÷÷÷ dt = è ø ỉ p - 1ư÷p p1 qs rs é 1ù ÷÷ l x , x ẻ ờ0, ỳ = ỗỗỗ 2ỳ ố p ø÷ ë û é1 ù ê ú u(x ) = u(1 - x ), x Ỵ ,1 ê2 ú ë û Trong trường hợp r > (không xảy kỳ dị) nhận kết sau Định lý Giả sử TÀI LIỆU THAM KHẢO p ẻ (1, Ơ), s ẻ (1, p), r ẻ (1, s ) Khi ln tồn hai số dương Giả sử L1, L2 với L1 < L2 cho tốn (6): a) khơng có nghiệm l Ỵ (0, L1 ) ; b) có nghiệm ul Ỵ Á l Ỵ {L1 } È (L2, ¥) ; c) có hai nghiệm ul , vl l Ỵ (L1, L2 ] ; ul , vl Ỵ Á l < L2 , ul Ỵ Á, vl Ỵ Á0 l = L2 Ở ( ) ìu Ỵ C é 0,1ù : u > (0,1), ï ü ï êë úû ïý , Á := ïí ï ï u '(0) 0, u '(1) > < ï ï ù ù ợ ỵ ỡùu ẻ C ộ0,1ự : u > (0,1), üï ï ïý ëê ûú Á0 := í ïï u '(0) = u '(1) = 0ùù ợù ỵù Mt iu thỳ v na l nghiệm vL Ỵ Á0 với ( Báo cáo trình bày toán nghiệm yếu toán biên phương trình vi phân phi tuyến trường hợp phải tổng hiệu thành phần mũ có kỳ dị Chúng ta mở rộng tốn trường hợp hàm vế phải tổ hợp nhiều hai thành phần chứa kỳ dị ) [1] A Ambrosetti, H Brezis and G Cerami, (1994), Combined effects of concave and convex nonlinearities in some elliptic problems, J Funct Anal, Vol 122, pp 519-543 [2] J.L Diaz, (2009), Branches of positive and free boundary solutions for a quasi-linear elliptic problems, J Math Anal Appl 352, pp 449-474 [3] M Otani, (1984), On certain second order ordinary differential equations associated with Sobolev - Poincare - type inequalities, Nonlinear Anal , Vol 8, No 11, pp 1255-1270 [4] J Sanchez, (2000), One-dimensional elliptic equation with concave and convex nonlinearirties, Electron J Differ Equ., Vol 2000, No 50, pp 1-9 l > L2 65 ... Á0 := í ïï u '(0) = u '(1) = 0ùù ợù ỵù Mt iu thú vị nghiệm vL Ỵ Á0 với ( Báo cáo trình bày tốn nghiệm yếu tốn biên phương trình vi phân phi tuyến trường hợp phải tổng hiệu thành phần mũ có kỳ... [1], ta biến đổi toán (4) thành phương trình đại số tồn tương ứng - tậpnghiệm toán (4) với tập nghiệm phương trình (ẩn c > ) sau: p ẻ (1, Ơ), s ẻ (0, p), r ẻ (0, s ) Ở đậy, t(r ) nghiệm dương ts... lý ([1]) Tồn số L > cho tốn (3): a) có nghiệm l Ỵ (0, L] , b) có nghiệm Do đó, giải tốn (4) tương đương với vi? ??c giải phương trình (5)  + , số nghiệm (5) xác định thơng qua vi? ??c khảo sát hình