Sử dụng khái niệm đạo hàm Studniarski trong không gian Banach, trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát. Kết quả thu được này sẽ được áp dụng trực tiếp vào bất đẳng thức biến ph}n vectơ v| b|i toán tối ưu vectơ có chung r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số (2019) ĐIỀU KIỆN CẦN HỮU HIỆU CHO NGHIỆM YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ CĨ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG Trần Văn Sự, Nguyễn Thanh Phong Khoa To{n, Trường Đại học Quảng Nam Email: vansudhdntt@gmail.com, phongspqn@gmail.com Ngày nhận bài: 30/11/2018; ngày hoàn thành phản biện: 28/1/2019; ngày duyệt đăng: 28/1/2019 TÓM TẮT Sử dụng khái niệm đạo hàm Studniarski không gian Banach, báo nghiên cứu điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương tốn cân vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát Kết thu áp dụng trực tiếp vào bất đẳng thức biến ph}n vectơ v| b|i tốn tối ưu vectơ có chung r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát Từ khóa: Điều kiện cần hữu hiệu; Bài toán cân vectơ; Bất đẳng thức biến ph}n vectơ; B|i to{n tối ưu vectơ; Nghiệm hữu hiệu yếu địa phương; Đạo hàm Studniarski MỞ ĐẦU B|i to{n c}n vectơ l| mở rộng b|i to{n c}n vô hướng Blum v| Oettli *3+ thiết lập lần đầu v|o năm 1994 việc tổng qu{t hóa b|i to{n lý thuyết trị chơi không hợp t{c kiểu Nash v| b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n kiểu vô hướng, xem, chẳng hạn Bianchi, Hadjisavvas, Schaible *4+; Ansari *5+ Hiện điều kiện hữu hiệu cho b|i to{n c}n vectơ v| c{c b|i to{n đặc biệt chúng bao gồm b|i to{n bù vectơ, b|i to{n điểm bất động vectơ, b|i to{n c}n Nash vectơ, b|i to{n điểm yên ngựa vectơ, b|i to{n cực tiểu hóa phiếm h|m vectơ, b|i to{n tối ưu vectơ v| bất đẳng thức biến ph}n vectơ nhiều t{c giả quan t}m nghiên cứu (xem *1, 2, 6, 7, 8, 10+ v| c{c t|i liệu tham khảo đó) Nhiều cơng cụ to{n học giải tích khơng trơn, giải tích lồi v| giải tích h|m nhiều nh| nghiên cứu to{n ứng dụng tận dụng triệt để nhằm mục đích thiết lập điều kiện cần, cần v| đủ hữu hiệu cho c{c loại nghiệm b|i to{n c}n vectơ c{c trường hợp đặc biệt b|i to{n chẳng hạn đạo h|m theo hướng suy rộng, đạo h|m Dini, vi ph}n suy rộng, vi ph}n Clarke, vi ph}n Michel-penot, vi ph}n Mordukhovich, v.v., xem, chẳng hạn Gong *1+; Long, Huang v| Peng *2+, Luu *7+; Su v| Phong *10+ Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương tốn cân vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< Đạo h|m Studniarski cấp cao đề xuất Studniarski *6+ v|o năm 1986 v| sau t{c giả {p dụng cơng cụ n|y để thiết lập c{c điều kiện cần v| đủ hữu hiệu cấp v| cấp cao cho cực tiểu chặt địa phương với c{c h|m không trơn c{c b|i to{n tối ưu hóa vectơ v| bất đẳng thức biến ph}n vectơ, xem, chẳng hạn Studniarski *6+; Luu *7+; Giorgi v| Guerraggio *8+ Trong lớp b|i to{n c}n vectơ tổng qu{t, c{c loại nghiệm hữu hiệu yếu bao gồm nghiệm hữu hiệu yếu địa phương x}y dựng v| nghiên cứu Gong *1+ v| sau chúng {p dụng để định nghĩa trở lại cho b|i to{n tối ưu vectơ v| bất đẳng thức biến ph}n vectơ số t{c giả kh{c l|m việc với c{c trường hợp riêng b|i to{n c}n vectơ, xem, chẳng hạn Long, Huang, Peng *2+ Chúng nhận thấy c{c điều kiện cần hữu hiệu cho c{c loại nghiệm b|i to{n c}n vectơ tổng qu{t theo ngôn ngữ đạo h|m Studniarski với lớp h|m không trơn l| chưa nghiên cứu không gian vô hạn chiều số {p dụng chúng Mục đích chúng tơi b|i b{o n|y l| sử dụng kh{i niệm đạo h|m Studniarski để mô tả c{c điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n c}n vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t v| số {p dụng chúng Kết thu l| v| chưa nghiên cứu trước đ}y v| tương lai chúng {p dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm b|i to{n c}n tham số v| x}y dựng c{c thuật to{n số cho b|i to{n c}n vectơ nói chung v| b|i to{n tối ưu vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t nói riêng c{c nh| nghiên cứu thuật to{n KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho X, Y Z l| c{c không gian Banach thực v| C l| tập kh{c rỗng X, Y Z thứ tự c{c nón lồi đóng v| có phần kh{c rỗng Q S tương ứng Phần v| bao đóng tập A X ký hiệu tương ứng intA clA Không gian đối ngẫu tôpô Y Z theo thứ tự ký hiệu Y * Z * , v| c{c nón đối ngẫu Q S định nghĩa tương ứng sau: Q { Y*: , q q Q} S { Z *: , s s S} Chú ý c{c nón Q S l| lồi v| đóng yếu* Với x0 X 0, hình cầu mở t}m x0 bán kính ký hiệu B ( x0 , ) x X : x x0 , đ}y ký hiệu chuẩn X TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Cho song hàm F: XX Y thỏa mãn điều Tập 14, Số (2019) kiện c}n g : X Z Ký hiệu F ( x, x) x X , v| h|m r|ng buộc K {x C : g(x) -S} Bài toán c}n vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát báo n|y ký hiệu l| (GVEP) v| định nghĩa sau: Tìm x K cho F ( x, x) int Q x K (1) Định nghĩa 2.1 ([1,2]) Vectơ x K thỏa mãn (1) gọi l| nghiệm hữu hiệu yếu b|i to{n (GVEP) v| tập K gọi l| chấp nhận b|i to{n (GVEP) Định nghĩa 2.2 ([1,2]) Vectơ x K gọi l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n (GVEP) tồn cho (1) với x K B( x, ) Như vậy, x K l| nghiệm hữu hiệu yếu b|i to{n (GVEP) x K l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n (GVEP) Do đó, c{c kết nghiên cứu điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương cho nghiệm hữu hiệu yếu b|i to{n (GVEP) B}y giới thiệu hai trường hợp đặc biệt b|i to{n (GVEP) l| to{n tối ưu vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVOP) v| b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVVI), v| chúng mô tả lại b|i b{o n|y dạng sau Định nghĩa 2.3 ([1, 2]) Cho trước {nh xạ f : K Y Nếu song h|m F ( x, y) : f ( y) f ( x) x, y K v| x K l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n c}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP) x K gọi l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n tối ưu vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVOP) Trong trường hợp n|y ta gọi K l| tập chấp nhận b|i to{n (GVOP) Ký hiệu L( X , Y ) l| không gian c{c {nh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y Cho trước {nh xạ T : K L( X , Y ) , với x K , Tx l| {nh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y Ta có kh{i niệm sau Định nghĩa 2.4 ([1, 2]) Nếu F ( x, y) : Tx, y x x, y K v| x K l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n b|i to{n c}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP) x K gọi l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVVI) Trong trường hợp n|y ta gọi K l| tập chấp nhận b|i to{n (GVVI) Tiếp theo giới thiệu kh{i niệm quan trọng cần sử dụng chứng minh c{c kết b|i b{o đạo h|m Studniarski (xem *6, 7+) v| chúng ph{t biểu sau: Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương tốn cân vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< Định nghĩa 2.5 ([6]) Cho {nh xạ f : X Y v| c{c điểm x, v X , m m ¢ Đạo h|m Studniarski cấp m f điểm x, v ký hiệu d Sm f ( x; v) v| x{c định d Sm f ( x; v) lim f x tu f x t 0 u v tm giới hạn tồn Trong trường hợp m = 1, ta viết d S f ( x; v) thay cho d S1 f ( x; v) Các nón tiếp liên sau l| cần thiết việc thiết lập điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n (GVEP) v| c{c trường hợp riêng Định nghĩa 2.6 ([8]) Nón tiếp liên tập A X điểm x clA định nghĩa T ( A, x) v X : tn 0, v cho x tn A n Ở đ}y tn thay cho dãy số thực dương hội tụ khơng Định nghĩa 2.7 ([8]) Nón tiếp liên phần tập A X điểm x clA định nghĩa IT ( A, x) v X : cho x tu A t (0, ], u B (v, ) Ký hiệu (xem Luu [7]) ± ( A, x) v X : t cho x t v A n : IT n n Ở đ}y n : ta hiểu l| n l| số tự nhiên đủ lớn Ta có bao h|m thức sau: ± ( A, x) T ( A, x) IT ( A, x) IT Để khép lại phần n|y, giới thiệu đặc trưng tương đương cho nón tiếp liên Giorgi v| Guerraggio *8+ cung cấp sau: Mệnh đề 2.1 ([8]) Nón tiếp liên tập A X điểm x clA có dạng T ( A, x) v X : xn A \ x , xn x cho xn x xn x v v 0 Chú ý c{c ký hiệu sử dụng c{c biểu thức bên hiểu sau: xn x , nghĩa l| lim xn x , hay lim xn x 0, n n TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số (2019) U F x , x thay cho F x , K xK 0 KẾT QUẢ MỚI CỦA BÀI BÁO Dựa vào khái niệm đạo hàm Studniarski không gian Banach khái niệm nón tiếp liên, nón tiếp liên phần tập điểm, tiểu mục cung cấp số điều kiện cần hữu hiệu dạng dạng đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (GVEP) áp dụng kết cho hai b|i to{n đặc biệt l| (GVOP) v| (GVVI) Cho x K v X Ký hiệu d S F x, x; T (C , x ) u X : d S g ( x; u ) int S int Q , nghĩa l| d S F x, x; v int Q v T (C , x) u X : d S g ( x; u ) int S , d S F ( x, x; v) l| đạo h|m Studniarski cấp h|m số F x, : X Y điểm x, v v| x{c định (xem Định nghĩa 2.5) d S F ( x, x; v) : d S1 F ( x, x; v) lim F x, x tu F x, x t 0 u v t Một điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (GVEP) dạng phát biểu sau Định lí 3.1 Cho x K thỏa mãn điều kiện c}n F x, x Giả sử c{c đạo hàm Studniarski d S F ( x, x; v) d S g ( x; v) tồn theo phương v X Khi đó, x K l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n c}n vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát (GVEP) d S F x, x; T (C , x) u X : d S g ( x; u ) int S int Q Chứng minh Giả sử x K l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n c}n vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP) Khi tồn số thực dương thỏa mãn F x; K B ( x, ) int Q Ta chứng minh (2) Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương toán cân vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< d S F x, x; T (C , x) u X : d S g ( x; u ) int S int Q (3) Thật vậy, ngược lại với kết luận (3) ta chọn hướng v T (C, x) cho d S g ( x; v) int S (4) d S F ( x, x; v) int Q (5) Dễ thấy v T (C , x) \ 0 Sử dụng Mệnh đề 2.1 ta có: xn C \ x , xn x n Sao cho xn x xn x v v (6) Với số tự nhiên n, ta đặt xn x tn v , xn x tn Khi đó, (6) ta tn v Hiển nhiên xn x tn C n 1 (7) Theo định nghĩa đạo h|m Studiniarski (Định nghĩa 2.5), ta có d S g ( x; v) lim lim g x g x , g x tn u g x t 0 u v t n n (8) t d S F ( x, x; v) lim lim F x, x F x, x F x, x t n u F x , x t 0 u v t n n t Bởi intS lả tập mở nên kết hợp (4) v| (8), tồn số thực dương A > cho TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế int K g xn g x t Tập 14, Số (2019) n A Hay tương đương g x tn S n A , (9) xn x tn (7) v| nón S lồi, ta nhận kết g ( x) S , S int S int S S với số thực t > 0, int S int S t Để ý xn x B x, nên tồn số thực B với B > A cho x n B x, c{c quan hệ (7) (9) với n B Kết hợp (7) v| (9) cho ta kết sau xn x tn K B x, n B (10) Một c{ch tương tự c{c bước ta có F x, x tn int Q n C , (11) đ}y C l| số dương lớn B chọn qu{ trình xử lý kết Do (10) với n> C Điều n|y với (11) dẫn đến m}u thuẩn với điều kiện (1) (xem Định nghĩa 2.2) thiết lập bên Vậy, điều kiện (3) thỏa mãn v| định lí chứng minh đầy đủ Một hệ trực tiếp từ Định lí 3.1 l| kết sau Hệ 3.1 Cho x K thỏa mãn điều kiện c}n F x, x Giả sử c{c đạo hàm Studniarski d S F ( x, x; v) d S g ( x; v) tồn theo phương v X Khi đó, x K l| nghiệm hữu hiệu yếu b|i to{n c}n vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP) d S F x, x; T (C , x) u X : d S g ( x; u ) int S int Q Chứng minh Bởi nghiệm hữu hiệu yếu b|i to{n (GVEP) l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n (nhận xét Định nghĩa 2.2) Áp dụng Định lí 3.1 ta kết luận Một điều kiện hữu hiệu ph{t biểu dạng đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu yếu (địa phương) b|i to{n (GVEP) dựa theo Định lí 3.1 v| Hệ 3.1 sau Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương tốn cân vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< Định lí 3.2 Cho x K thỏa mãn điều kiện c}n F x, x Giả sử c{c đạo hàm Studniarski d S F ( x, x; v) d S g ( x; v) tồn theo phương v X Khi đó, x K l| nghiệm hữu hiệu yếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu địa phương) b|i to{n c}n vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP) với v T (C, x) cho d S g x, v int S , tồn f Q \ 0 thỏa mãn f d S F x , x; v (12) Chứng minh Sử dụng Định lí 3.1 kết hợp với Hệ 3.1 ta có d S F x, x; T (C , x) u X : d S g ( x; u ) int S int Q Do đó, với tùy ý v T (C , x) cho d S g x, v int S , ta có d S F ( x, x; v) int Q Áp dụng định lí t{ch Rockarfellar *9+, tồn f Y * \ 0 cho f d S F x , x; v f (q ) q int Q Do đó, f d S F x , x; v f (q ) q Q (13) Bởi nón Q chứa nên bất đẳng thức (12) Để kiểm tra f Q ta chứng minh f (q) q Q (14) Thật vậy, với số dương t, ta có tq Q q Q, nên {p dụng (13) chuyển biểu thức vế phải sang vế tr{i, ta nhận f d S F x, x; v f (tq ) q Q, t 0, hay tương đương f d S F x, x; v f (q ) q Q, t t (15) Cho t (15) v| ta nhận bất đẳng thức (14) Vậy định lí chứng minh đầy đủ Tiếp theo cung cấp số ứng dụng Định lí 3.2 cho c{c b|i to{n (GVOP) (GVVI) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số (2019) Định lí 3.3 Cho x K v| giả sử F ( x, y) f ( y) f ( x) x, y K với f : X Y {nh xạ Giả sử thêm c{c đạo hàm Studniarski d S f ( x; v) d S g ( x; v) tồn theo phương v X Khi đó, x K l| nghiệm hữu hiệu yếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu địa phương) b|i to{n tối ưu vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVOP) với v T (C, x) cho d S g x, v int S , tồn f Q \ 0 thỏa mãn f d S f x; v (16) Chứng minh Xét song hàm F : K K Y định nghĩa F ( x, y) f ( y) f ( x) x, y K Khi với x K thỏa mãn điều kiện c}n F x, x v| nửa, F ( x, x) f ( x) f ( x) x K Do vậy, đạo h|m Studniarski d S f ( x; v) tồn theo phương v X v| đạo h|m Studniarski d S F ( x, x; v) tồn theo phương v X Ngo|i đẳng thức sau dễ d|ng kiểm tra thỏa mãn d S f ( x; v) = d S F ( x, x; v) với v X Áp dụng Định lí 3.2, tồn phiếm h|m tuyến tính liên tục f Q \ 0 thỏa mãn bất đẳng thức (16) điều khẳng định n|y kết thúc chứng minh Định lí 3.4 Cho x K v| giả sử F ( x, y) Tx, y x x, y K với {nh xạ T : K L( X , Y ) Giả sử thêm đạo h|m Studniarski d S g ( x; v) tồn theo phương v X Khi đó, x K l| nghiệm hữu hiệu yếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu địa phương) b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVVI) với v T (C, x) cho d S g x, v int S , tồn f Q \ 0 thỏa mãn f T x (v ) (17) Chứng minh Xét song hàm F : K K Y định nghĩa F ( x, y) Tx, y x x, y K Lúc n|y với x K thỏa mãn điều kiện c}n F x, x ra, F ( x, x) T x, x x x K Do vậy, đạo h|m Studniarski d S F ( x, x; v) tồn theo phương v X Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương toán cân vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< T x (v) = d S F ( x, x; v) với v X Theo Định lí 3.2, tồn phiếm h|m tuyến tính liên tục f Q \ 0 thỏa mãn bất đẳng thức (17) v| kết thúc chứng minh định lí Chú ý 3.1 Kết thu Định lí 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 v| Hệ 3.1 trường hợp nón tiếp liên T (C, x) bị hủy bỏ v| chúng thay nón tiếp ± (C, x) Cuối chúng tơi cung cấp ví dụ số để liên phần IT (C, x) hay IT mơ tả cho Định lí 3.2 trường hợp nghiệm hữu hiệu yếu địa phương sau Ví dụ 3.1 Xét b|i to{n c}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP), X ¡ , Y ¡ , Z ¡ , C [-1, 1], Q ¡ F ( x, ): X ¡ 2 , S¡ x C{c {nh xạ g : X ¡ định nghĩa tương ứng 5 x sin F ( x, x) 0, x tan x x x sin 2 g ( x) 0 x sin x x, x x x k x x s inx k x x ¡ , x ¡ , k 0,1, 2, Tập chấp nhận b|i to{n (GVEP) l| K 1, 1 Với x K x 4 5 x đoạn , 1, 1 v| hệ l| 5 4 F x, x int Q với x K , Do đó, vectơ x l| nghiệm hữu 5 hiệu yếu địa phương b|i to{n (GVEP) Mặt kh{c, với v ¡ , bẳng tính to{n v v trực tiếp ta d S F ( x, x; v) 0, d S g ( x; v ) Do tất c{c giả 6 Suy h|m số y x sin thiết Định lí 3.2 thỏa mãn Để ý c{c đẳng thức đúng: T (C, x) ¡ int S , Theo Định lí 3.2, với v ¡ d S g ( x; v) v thỏa mãn , hay tương đương v ¡ \ 0 Vậy tồn phiếm h|m tuyến tính liên tục f f1 , f ¡ với ( f1 , f ) (0, 0) cho f d S F x, x; v vậy, bẳng phương ph{p thử trực tiếp, ta chọn hai số thực 10 Thật f1 0, f TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế ( f1 , f ) (0, 0) v| f d S F x, x; v Tập 14, Số (2019) Do đó, kết Định lí 3.2 kiểm tra đầy đủ KẾT LUẬN Bài báo chứng minh kết điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu v| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n c}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t v| hai trường hợp đặc biệt b|i tốn l| b|i to{n tối ưu vectơ v| b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n vectơ với r|ng buộc theo ngôn ngữ đạo h|m Studniarski với lớp h|m không trơn không gian Banach Kết đạt l| ho|n to|n v| sử dụng cho việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm b|i to{n c}n tham số v| dùng việc thiết kế thuật to{n số tìm nghiệm hữu hiệu yếu địa phương cho b|i to{n c}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t tương lai TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] X H Gong (2008), Optimality conditions for vector equilibrium problems, J Math Anal Appl., 342, pp 1455-1466 [2] X J Long, Y Q Huang, Z Y Peng (2011), Optimality conditions for the Henig efficient solution of vector equilibrium problems with constraints, Optim Lett., 5, pp 717-728 [3] E Blum, W Oettli (1994), From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math Stud., 63, pp 127-149 [4] M Bianchi, N Hadjisavvas, S Schaible (1997), Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions, J Optim Theory Appl., 92, pp 527-542 [5] Q.H Ansari (2000), Vector Equilibrium Problems and Vector Variational Inequalities, in Vector Variational Inequalities and Vector EquilibriaMathematical Theories, Edited by Prof F Giannessi, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, pp 1-16 [6] M Studniaski (1986), Necessary and sufficient conditions for isolated local minima of nonsmooth functions, SIAM J optim., 24, pp 1044-1049 [7] D V Luu (2008), Higher-order necessary and sufficient conditions for strict local Pareto minima in terms of Studniarski's derivatives, Optim., 57, pp 593-605 [8] G Giorgi, A.Guerraggio (1992), programming, Optim., 25, pp 11-23 On the notion of tangent cone in mathematical [9] R.T.Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press, Princeton [10] Tran Van Su, Nguyen Thanh Phong (2018), Điều kiện cần v| đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu tồn cục tốn cân vectơ v| {p dụng, TCKH Trường Đại học Quảng Nam, 13, 62-72 11 Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương toán cân vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< NECESSARY EFFICIENCY CONDITIONS FOR THE LOCAL WEAKLY EFFICIENT SOLUTIONS OF VECTOR EQUILIBRIUM PROBLEMS WITH GENERAL INEQUALITY CONSTRAINTS AND APPLICATIONS Tran Van Su, Nguyen Thanh Phong Faculty of Mathematics, Quang Nam University Email: vansudhdntt@gmail.com, phongspqn@gmail.com ABSTRACT Making use of the concept of Studniarski’s derivatives in Banach spaces in this article, we study the necessary efficiency conditions for local weakly efficient solutions of vector equilibrium problems with general inequality constraints These obtained results are directly applied to the vector variational inequality problems and the vector optimization problem with common general inequality constraints Keywords: Local weakly efficient solutions, Necessary efficiency conditions, Studniarski’s derivatives, Vector equilibrium problems, Vector optimization problems, Vector variational inequality problems Trần Văn Sự sinh ng|y 28/4/1983 Quảng Nam Năm 2005, ông nhận bẳng cử nh}n Sư phạm To{n tin trường Đại học Sư phạm Đ| Nẵng Năm 2009, ông nhận thạc sĩ To{n Giải tích trường Đại học Khoa học-Đại học Huế Năm 2018, ông nhận tiến sĩ To{n học chuyên ngành To{n ứng dụng Học viện Khoa học v| Công nghệ - Viện H|n l}m Khoa học v| Công nghệ Việt Nam Năm 2009 đến nay, ông l| Giảng viên khoa To{n trường Đại học Quảng Nam Lĩnh vực nghiên cứu: To{n ứng dụng, lý thuyết đối ngẫu v| điều kiện tối ưu cho b|i to{n c}n vectơ 12 ... l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n c}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP) x K gọi l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n tối ưu vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng. .. l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n b|i to{n c}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP) x K gọi l| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n có r|ng buộc. .. tra đầy đủ KẾT LUẬN Bài báo chứng minh kết điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu v| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương b|i to{n c}n vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t v| hai trường