Bài viết trình bày việc xem xét bài toán cân bằng hai mức yếu véctơ phụ thuộc tham số. Bài viết thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục trên Hausdorff và tính đóng cho ánh xạ nghiệm của bài toán này.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 16, Số 12 (2019): 993-1000 ISSN: 1859-3100 Vol 16, No 12 (2019): 993-1000 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ HAI MỨC YẾU PHỤ THUỘC THAM SỐ Nguyễn Văn Hưng1*, Ngô Thị Hồi An2 Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Thành phố Hồ Chí Minh Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG TPHCM * Tác giả liên hệ: Nguyễn Văn Hưng – Email: nvhung@ptithcm.edu.vn Ngày nhận bài: 24-10-2019; ngày nhận sửa: 18-11-2019; ngày duyệt đăng: 22-11-2019 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi xét tốn cân hai mức yếu véctơ phụ thuộc tham số Chúng tơi thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff tính đóng cho ánh xạ nghiệm tốn Kết nhận chúng tơi, Định lí 3.1 Định lí 3.5 Nhiều ví dụ minh họa cho giả thiết của đưa cần thiết Từ khóa: tốn cân hai mức; tính nửa liên tục trên; tính nửa liên tục Hausdorff; tính đóng Giới thiệu Tính chất ổn định nghiệm toán liên quan đến tối ưu bao gồm tính nửa liên tục, liên tục, liên tục Holder liên tục Lipschitz chủ đề quan trọng lí thuyết tối ưu ứng dụng Trong thập kỉ gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu điều kiện ổn định nghiệm cho toán liên quan đến tối ưu toán tối ưu (Bui, 2005), bất đẳng thức biến phân (Nguyen, 2018; Lalitha & Bhatia, 2011), toán cân (Lam, & Nguyen, 2018 a, b) Chúng ta biết tính ổn định nghiệm theo nghĩa liệu tốn thường phải giả thiết theo nghĩa Trong thực tế, có nhiều tốn mà giả thiết chặt liệu không thỏa mãn Vì vậy, tính ổn định nghiệm theo nghĩa nửa liên tục tập nghiệm quan tâm nghiên cứu Mặt khác, toán cân giới thiệu Blum, Oettli (1994) Mơ hình tốn học toán chứa nhiều toán khác như: toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán mạng giao thơng tốn cân Nash Gần đây, Lam, Nguyen (2018a) giới thiệu nghiên cứu toán cân hai mức véctơ mạnh, sau tác giả nghiên cứu tính ổn định nghiệm xác cho tốn Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, đến thời điểm chưa có cơng Cite this article as: Nguyen Van Hung, & Ngo Thi Hoai An (2019) On the upper semicontinuity of solution mappings for parametric weak vector bilevel equilibrium problems Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 16(12), 993-1000 993 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 993-1000 trình nghiên cứu tính nửa liên tục trên, nửa liên tục Hausdorff tính đóng cho nghiệm xác cho toán cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số Xuất phát từ vấn đề nghiên cứu đề cập trên, báo này, chúng tơi xét tốn cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số thu điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục Hausdorff tính đóng ánh xạ nghiệm cho toán Các kiến thức chuẩn bị Cho X , Y , Z không gian véctơ tôpô Hausdorff, A tập lồi khác rỗng X Y , tương ứng C Z nón lồi đóng có đỉnh Lấy K1,2 : A A hai hàm đa trị, f : A A Z hàm véctơ Với , xét toán tựa cân véctơ yếu phụ thuộc tham số sau đây: (SQEP) Tìm x K1 x, cho f x, y, int C , y K x, Với , lấy E x A : x K1 x, kí hiệu tập nghiệm (SQEP) S , nghĩa là, S x K1 x, f x, y, int C , y K x, Chúng ta giả thiết nghiệm toán tồn lân cận điểm xét Lấy W không gian véctơ tôpô Hausdorff tập khác rỗng W Lấy B A h : B B Z hàm véctơ, C ' Z nón lồi đóng có đỉnh Chúng ta xét toán cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số sau: * (WBEP) Tìm x graphS 1 cho * h x , y* , int C ', y* graphS 1 , graphS 1 x, x S đồ thị S 1 Với , kí hiệu tập nghiệm (WBEP) , nghĩa là, x graphS 1 h x , y* , int C ', y * graphS 1 , * * giả sử với lân cận điểm xét Định nghĩa 2.1 (Aubin, & Ekeland, 1984; Dinh, 1989) Cho X, Y không gian véctơ tôpô G : X Y ánh xạ đa trị, x0 X điểm cho trước (i) G gọi nửa liên tục (lsc) x0 G ( x0 ) U với tập mở U Y tồn lân cận N x0 cho G ( x ) U , x N 994 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Văn Hưng tgk G gọi nửa liên tục (usc) x0 với tập mở U G ( x0 ) tồn (ii) lân cận N x0 cho U G ( x ), x N (iii) G gọi nửa liên tục Hausdorff (H-usc) x0 với lân cận B gốc Y , tồn lân cận N x0 cho F ( x) F ( x0 ) B, x N (iv) G gọi liên tục x0 vừa nửa liên tục dưới, vừa nửa liên tục x0 (v) G gọi đóng x0 dom G với lưới x X hội tụ x0 y Y hội tụ y0 cho y G( x ) , ta có y0 G ( x0 ) Nếu A X , G gọi lsc (usc, H-usc, liên tục, đóng) A G lsc (usc, H-usc, liên tục, đóng) x domG A Nếu X A ta bỏ cụm từ “trên A” phát biểu Lấy : X Z hàm véctơ C Z nón lồi đóng có đỉnh với Z , ta sử dụng mối quan hệ tập mức C , ta định nghĩa tập mức sau: Lev : x X ( x ) int C Mệnh đề 2.2 (Aubin, & Ekeland, 1984; Dinh, 1989) Giả sử X, Y không gian véctơ tôpô G : X Y ánh xạ đa trị, x0 X điểm cho trước (i) Nếu G usc x0 G( x0 ) đóng, G đóng x0 (ii) Nếu G usc x0 , G Hausdorff usc x0 (iii) Nếu G nhận giá trị compact, G usc x0 với lưới {x } X mà hội tụ x0 với lưới { y } G( x ) , tồn y G ( x ) lưới { y } { y } cho y y Các kết Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff tính đóng ánh xạ nghiệm xác cho tốn cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số Định lí 3.1 Cho X , Y , Z W không gian véctơ tôpô Hausdorff A , tập lồi khác rỗng X , Y W, tương ứng C Z , C ' Z nón lồi đóng có đỉnh Lấy K1,2 : A A hai hàm đa trị, f : A A Z hàm véctơ lấy B A h : B B Z hàm véctơ Giả sử compắc điều kiện sau xác định: (i) E nửa liên tục với giá trị compắc K2 nửa liên tục dưới; (ii) Lev f đóng A A ; 995 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 993-1000 (iii) Lev h đóng B B Khi nửa liên tục đóng Chứng minh: Giả sử ngược lại không nửa liên tục Khi đó, tồn tập mở V lưới hội tụ đến cho tồn x* x , \ V , với Từ tính compắc , ta giả sử 0 với 0 Vì x E E nửa liên tục với giá trị compắc, ta giả sử x x0 E 0 Bây chứng tỏ x0* x0 , 0 graphS 1 , nghĩa là, x0 S 0 Nếu x0 S 0 tồn y0 K x0 , 0 cho f x0 , y0 , 0 int C Vì K2 nửa liên tục x0 , 0 , tồn y K x , cho y y0 Vì x S , với , ta có f x , y , int C Áp dụng điều kiện (ii), ta suy f x0 , y0 , 0 int C , điều khơng thể Do x0* graphS 1 Tiếp theo, chứng minh x0* Nếu x0* , tồn y0* graphS 1 cho h x0* , y0* , int C ' Vì x* , ta có h x* , y* , int C ' Từ x* , y0* , x0* , y0* , giả thiết (iii), ta suy h x0* , y0* , int C ' Điều khơng thể Vì x0* , điều lại mâu thuẫn x* V với Do nửa liên tục trên Cuối cùng, ta cần chứng tỏ đóng Giả sử khơng đóng , tồn lưới x* cho x* x , x0* x0 , 0 , x0* Lí luận tương tự nhận mâu thuẫn Do chứng tỏ đóng Ví dụ sau chứng tỏ giả thiết (i) Định lí 3.1 cần thiết 996 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Văn Hưng tgk Ví dụ 3.2 Lấy X Y Z , W , A [ 2, 2], [0,1], C C ' K1 x, K x, ( 2 ,1] h x* , y* , y x y x Khi đó, giả thiết (ii) (iii) thỏa mãn Từ E ( 2 ,1] , E khơng nửa liên tục với giá trị compắc, giả thiết (i) khơng xác định Tính tốn trực tiếp ta có x, x S , [0,1] ( 2 ,1] [0,1] Do đó, x, graphS y x y x 1 0, y, graphS S ( 2 ,1] graphS 1 1 1 1 2 1 [0,1] 1 Lấy V , , tập mở n Ta thấy n 3 3 3 xn* 1 ,1 n , xn* V với n , không nửa liên tục n Vì xn* x0* 1,1 Do đó, khơng đóng Ví dụ sau chứng tỏ giả thiết (ii) Định lí 3.1 cần thiết Ví dụ 3.3 Lấy X , Y , Z , W, A, , , C , C ' Ví dụ 3.2 K1 x, K x, 1,1 , h x, 1 , y, 2 , y x 2 1 , ta 1 0, x 0, , f x, y , x x y, Ta thấy giả thiết Định lí 3.1 thỏa mãn ngoại trừ giả thiết (ii) Thật vậy, 1 1 lấy xn , y n 1 , n , xn , yn , n , 1, , n n n f xn , yn , n , f , 1,0 2 Tính tốn trực tiếp ta có S (0,1] S 1 với (0,1] , graphS1 x, x S , 0,1 (0,1]0 1 (0,1] Ta thấy x* x, 1 graphS 1 h x, 1 , y, 2 , 0, y, 2 graphS 1 1,1 1 6 1 7 Lấy V , , tập mở , n Ta kiểm tra n 4 4 4 4 997 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 993-1000 xn* , \ V với n , xn* 0, Do đó, khơng nửa liên tục 2n khơng đóng Ví dụ sau chứng tỏ giả thiết (iii) Định lí 3.1 cần thiết Ví dụ 3.4 Lấy X , Y , Z , W, A, , , C , C ', f Ví dụ 3.2 K1 x, K x, 0,1 , 0, y x 2 1 h x, 1 , y, 2 , xy y x 2 1 Ta thấy giả thiết (i) (ii) thỏa mãn Tính tốn trực tiếp ta tập nghiệm (SQEP) S 0,1 Vì vậy, graphS 1 x, x S , 0,1 0,1 0,1 Ta có 0,1 , 0, ; 0, 0,1 1,1 , 0,1 Ta thấy không nửa liên tục khơng đóng , điều kiện (iii) khơng xác định 1 1 Thật lấy xn* 0,1 , yn* 1, , n Khi đó, xn* x0* 0,1 , n n n y*n y0* 1, , n h xn* , y*n , n , h x0* , y*0 , 1 Định lí 3.5 Cho X , Y , Z W không gian véctơ tôpô Hausdorff, A , tập lồi khác rỗng X , Y W , tương ứng C Z C ' Z nón lồi đóng có đỉnh Lấy K1,2 : A A hai hàm đa trị, f : A A Z hàm véctơ lấy B A h : B B Z hàm véctơ Giả sử compắc điều kiện sau xác định: (i) E nửa liên tục với giá trị compắc K2 nửa liên tục dưới; (ii) Với x0 K1 x0 , 0 với x , x0 , 0 , tồn y0 K x0 , 0 cho f x0 , y , 0 int C , tồn cho f x , y , int C với số y K x , ; (iii) Với x0* graphS 1 với x* , x0* , , tồn y0* graphS 1 cho h x0* , y*0 , int C ' , tồn cho h x* , y* , int C ' với số y* graphS 1 998 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Văn Hưng tgk Khi nửa liên tục Hausdorff Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh nửa liên tục Giả sử ngược lại ánh xạ nghiệm không nửa liên tục Khi tồn tập mở V cho ( ) V , lưới x* x , ( ) cho x* V với Từ tính compắc , ta giả sử 0 với 0 Vì x E E nửa liên tục với giá trị compắc, ta giả sử x x0 E 0 Vì x* x , graphS 1 với , ta có f x , y , int C , (1) h x* , y* , int C ' (2) Bây giờ, chứng tỏ x0* x0 , 0 graphS 1 Nếu x0* x0 , 0 graphS 1 tồn y0 K x0 , 0 cho f x0 , y0 , 0 int C , tồn y0* graphS 1 cho h x0* , y0* , int C ' Vì K2 nửa liên tục x0 , 0 , tồn y K x , cho y y0 Từ x , y * * , x0* , y0* , 0 điều kiện (ii), (iii), tồn , cho f x , y , int C , h x* , y* , int C ' , điều mâu thuẫn với (1) (2) Vì x0* , điều lại mâu thuẫn x* V với Do nửa liên tục trên Từ Mệnh đề 2.2, ta có nửa liên tục Hausdorff Kết luận Trong báo này, nghiên cứu số tính chất nửa liên tục tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff tính đóng ánh xạ nghiệm xác cho mơ hình tốn cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số Như đề cập mục giới thiệu đến thời điểm tác không thấy cơng trình nghiên cứu tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff tính đóng ánh xạ nghiệm xác cho toán cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số Vì kết nhận báo 999 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 993-1000 Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Aubin, J P., & Ekeland, I (1984) Applied Nonlinear Analysis New York: John Wiley and Sons Blum, E., & Oettli, W (1994) From optimization and variational inequalities to equilibrium problems Mathematic Student-India, 63, 123-145 Bui, T K (2005) On the lower semicontinuity of optimal solution sets Optimization, 54, 123-130 Dinh, T L (1989) Theory of Vector Optimization: Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Springer-Verlag Berlin Heidelberg Lalitha, C S., & Bhatia, G (2011), Stability of parametric quasivariational inequality of the Minty type Journal of Optimization Theory and Applications, 148, 281-300 Lam, Q A., & Nguyen, V H (2018a) Stability of solution mappings for parametric bilevel vector equilibrium problems Computational & Applied Mathematics, 37, 1537-1549 Lam, Q A., & Nguyen, V H (2018b) Gap functions and Hausdorff continuity of solution mappings to parametric strong vector quasiequilibrium problems Journal of Industrial and Management Optimization, 14, 65-79 Nguyen, V H (2018) On the stability of the solution mapping for parametric traffic network problems Indagationes Mathematicae, 29, 885-894 ON THE UPPER SEMICONTINUITY OF SOLUTION MAPPINGS FOR PARAMETRIC WEAK VECTOR BILEVEL EQUILIBRIUM PROBLEMS Nguyen Van Hung1*, Ngo Thi Hoai An2 Posts and Telecommunications Institute of Technology, Ho Chi Minh City, Vietnam Ho Chi Minh City University of Technology, Vietnam National University – Ho Chi Minh City * Corresponding author: Nguyen Van Hung – Email: nvhung@ptithcm.edu.vn Received: October 24, 2019; Revised: November 18, 2019; Accepted: November 22, 2019 ABSTRACT This paper examines parametric weak vector bilevel equilibrium problems The sufficient conditions of upper semicontinuity, Hausdorff upper semicontinuity, and closedness of solution mappings for this problem were established Our main results, Theorme 3.1 and Theorem 3.5 are new Some examples are given to illustrate the results Keywords: bilevel equilibrium problems; upper semicontinuity; Hausdorff upper semicontinuity; closedness 1000 ... cập trên, báo này, xét toán cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số thu điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục Hausdorff tính đóng ánh xạ nghiệm cho tốn Các kiến thức chuẩn bị Cho. .. y } cho y y Các kết Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff tính đóng ánh xạ nghiệm xác cho tốn cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số Định... ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 993-1000 trình nghiên cứu tính nửa liên tục trên, nửa liên tục Hausdorff tính đóng cho nghiệm xác cho tốn cân hai mức véctơ yếu phụ thuộc tham số Xuất phát từ vấn