Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số và ứng dụng nghiên cứu bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh và bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số. Sau đó, thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục trên Hausdorff, tính đóng, nửa liên tục dưới Hausdorff và tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho các bài toán này.
Phan Thanh Kiều, Nguyễn Văn Hưng 74 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ MẠNH PHỤ THUỘC THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ON THE STABILITY OF SOLUTION MAPPINGS FOR PARAMETRIC STRONG VECTOR QUASI-EQUILIBRIUM PROBLEMS AND APPLICATION Phan Thanh Kiều, Nguyễn Văn Hưng Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng TP.Hồ Chí Minh, Việt Nam; ptkiieu@ptithcm.edu.vn, nvhung@ptithcm.edu.vn Tóm tắt - Trong báo này, chúng tơi nhắc lại tốn tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Sau đó, thiết lập điều kiện đủ cho tính chất ổn định nghiệm tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff, tính đóng, tính nửa liên tục dưới, tính nửa liên tục Hausdorff tính liên tục Hausdorff cho ánh xạ nghiệm toán Trong phần ứng dụng, nhận kết tính chất ổn định như tính nửa liên tục Hausdorff, tính đóng, tính nửa liên tục Hausdorff tính liên tục Hausdorff nghiệm cho toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Kết nhận báo hoàn toàn khác với kết tồn tài liệu tham khảo Abstract - In this article, we revisit parametric strong vector quasiequilibrium problems Afterwards, we establish the sufficient conditions for stability properties such as upper semi-continuity, Hausdorff upper semi-continuity, closedness, lower semicontinuity, Hausdorff lower semi-continuity and Hausdorff continuity for solution mappings for these problems As regards application, we also obtain results on stability such as Hausdorff upper semi-continuity, closedness, Hausdorff lower semicontinuity, and Hausdorff continuity of solutions for the parametric strong vector quasi-variational inequality problems The results presented in the article are novel and completely different from existing ones in the related literature Từ khóa - Bài tốn tựa cân bằng; toán tựa bất đẳng thức biến phân; tính nửa liên tục Hausdorff; tính đóng; tính nửa liên tục Hausdorff; tính liên tục Hausdorff Key words - Quasi-equilibrium problem; quasi-variational inequality problem; Hausdorff upper semi-continuity; closedness; Hausdorff lower semi-continuity; Hausdorff continuity Giới thiệu Bài toán cân lần đầu giới thiệu năm 1994 Blum và Oettli [1] Mơ hình này là tổng quát số bài toán liên quan đến tối ưu như: Bài tốn điểm trùng, bài tốn mạng giao thơng, bài toán cân Nash, Trong thập kỷ gần đây, có nhiều nhà khoa học nghiên cứu chủ đề khác cho bài toán cân véctơ và bài toán liên quan đến tối ưu, (xem [2-8] tài liệu tham khảo đó) Mặt khác, tính chất ổn định nghiệm bài tốn liên quan đến tối ưu bao gồm tính nửa liên tục, liên tục và liên tục Lipschitz là chủ đề quan trọng lý thuyết tối ưu và ứng dụng Gần đây, Anh và Hung [2] giới thiệu và nghiên cứu bài toán tựa cân véctơ mạnh và bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số, sau tác giả nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho bài toán này sử dụng hàm đánh giá sở hàm vô hướng hóa Tuy nhiên, mơ hình này là chủ đề thú vị và thu hút nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Xuất phát từ động nghiên cứu trên, bài báo này nhóm tác giả tiếp tục nghiên cứu bài toán tựa cân véctơ mạnh và bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Sau đó, thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục Hausdorff, tính đóng, nửa liên tục Hausdorff và tính liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho bài toán này Các kết nhận bài báo này là và khác với kết tồn trước P CZ tương ứng và Y A nón lồi đóng có đỉnh Lấy K : A T : A B là hai hàm đa trị, f : A B A Z là hàm véctơ Với , xét toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số sau đây: Mơ hình toán kiến thức chuẩn bị Cho X , Y , Z P là không gian véctơ tôpô Hausdorff A , B là tập lồi khác rỗng X , (SQEP) Tìm x K x, cho tồn t T x, thỏa mãn: f x, t , y, C, y K x, Với , lấy: E x A : x K x, ký hiệu tập nghiệm (SQEP) S Định nghĩa 2.1 (xem [9]) Cho X, Y không gian véctơ tôpô và G : X Y là ánh xạ đa trị, x0 X là điểm cho trước (i) G gọi là nửa liên tục (lsc) x0 G ( x0 ) U với tập mở U Y tồn lân cận N x0 cho G ( x) U , x N (ii) G gọi là nửa liên tục (usc) x0 với tập mở U G ( x0 ) tồn lân cận N x0 cho U G ( x), x N (iii) G gọi là nửa liên tục Hausdorff (H-lsc) x0 với lân cận B gốc Y , tồn lân cận F ( x0 ) F ( x) B, x N N x0 cho (iv) G gọi là nửa liên tục Hausdorff (H-usc) x0 với lân cận B gốc Y , ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 3, 2020 tồn lân cận N x0 cho 75 f x , t , y , C với t T x , số F ( x) F ( x0 ) B, x N y K x , (v) G gọi là liên tục (liên tục Hausdorff) x0 vừa nửa liên tục (H-lsc), vừa nửa liên tục (H-usc) x0 Khi S nửa liên tục Hausdorff Hơn nữa, S ( ) tập compắc S đóng lưới x X hội tụ x0 y Y hội tụ Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh S là nửa liên tục Giả sử ngược lại rằng, ánh xạ nghiệm S không nửa liên tục Khi đó, tồn tập mở U cho y0 cho y G ( x ) , ta có y0 G( x0 ) S ( ) U , và lưới Nếu A X , G gọi là lsc (usc, H-usc, H-lsc, liên tục, liên tục Hausdorff, đóng) A G lsc (usc, H-usc, H-lsc, liên tục, liên tục Hausdorff, đóng) x domG A Nếu X A ta bỏ cụm từ “trên A” phát biểu Mệnh đề 2.2 (xem [9]) Giử sử X, Y không gian véctơ tôpô G : X Y ánh xạ đa trị, x0 X điểm cho trước (i) Nếu G usc x0 G ( x0 ) đóng, G đóng x0 x U với Từ tính compắc , (vi) G gọi là đóng x0 dom G với (ii) Nếu G usc x0 , G H-usc x0 Ngược lại, G H-usc x0 G ( x0 ) compắc, G usc x0 (iii) Nếu G H-lsc x0 , G lsc x0 Ngược lại, G lsc x0 G ( x0 ) compắc, G H-lsc x0 (iv) Nếu G nhận giá trị compắc, G usc x0 với lưới {x } X mà hội tụ x0 với lưới { y } G ( x ) , tồn y G ( x) lưới { y } { y } cho y y x S ( ) cho ta giả sử với Vì x E E là nửa liên tục với giá trị compắc, ta giả sử x x0 E Vì x S ( ) với , ta có f x , t , y , C (1) Bây ta chứng tỏ x0 S ( ) Nếu x0 S ( ) , với t0 T x0 , tồn y0 K x0 , cho f x0 , t0 , y0 , C Vì K là nửa liên tục y K x , cho x0 , , tồn y y0 Từ x , y , x0 , y0 , và điều kiện (ii), tồn , cho f x , t , y , C , điều này mâu thuẩn với (1) Vì x0 S , điều này lại mâu thuẫn x U với Do đó, S là nửa liên tục trên Từ Mệnh đề 2.2(ii), ta có S là nửa liên tục Hausdorff Bây ta chứng tỏ S compắc Đầu tiên ta Các kết Trong mục này, nhóm tác giả nghiên cứu tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff, tính đóng, tính nửa liên tục Hausdorff và tính liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Đầu tiên ta nghiên cứu tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff và tính đóng Định lí 3.1 Cho X , Y , Z P không gian véctơ tôpô Hausdorff A , B tập lồi khác rỗng X , Y P tương ứng C Z nón lồi đóng có A đỉnh với phần khác rỗng Lấy K : A T : A B hai ánh xạ đa trị, f : A B A Z hàm véctơ Giả sử compắc điều kiện sau xác định: i) E nửa liên tục với giá trị compắc K nửa liên tục dưới; ii) x0 K x0 , , x , y , x0 , y0 , f x0 , t0 , y0 , C với t0 T x0 , số y0 K x0 , suy tồn cho kiểm tra S là tập đóng Điều này thấy rõ ràng, là S khơng đóng, tồn lưới x S cho x x0 x0 S Với lý luận tương tự ta chứng tỏ S là tập đóng Hơn nữa, S E ( ) E ( ) là tập compắc nên S là tập compắc Từ đây, áp dung Mệnh đề 2.2 (i), ta có S đóng Vì S đóng điểm Vì vậy, S đóng Tiếp theo, thiết lập tính nửa liên tục Hausdorff và tính liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Định lí 3.2 Cho X , Y , Z P không gian véctơ tôpô Hausdorff A , B tập lồi khác rỗng X , Y P tương ứng, C Z nón lồi đóng có đỉnh với phần khác rỗng Lấy K : A A T : A B hai ánh xạ đa trị, f : A B A Z hàm véctơ Giả sử tất giả thiết Định lí 3.1 thỏa mãn bổ sung thêm điều kiện sau đây: iii) E nửa liên tục dưới; Phan Thanh Kiều, Nguyễn Văn Hưng 76 x0 K x0 , , x , y , x0 , y0 , tồn iv) t0 T x0 , cho f x0 , t0 , y0 , C với y0 K x0 , , suy tồn cho tồn t T x , cho f x , t , y , C với y K x , Khi S liên tục Hausdorff Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh S là nửa liên tục Giả sử ngược lại ánh xạ nghiệm S không nửa liên tục Khi đó, tồn lưới cho x0 E với lưới x S ( ) , x không hội tụ x0 Vì E nửa liên tục , x0 E nên tồn x* E cho x* x0 Từ mâu thuẩn trên, không tính tổng quát, x* S ( ) , với t * T x* , y * K x* , cho: tồn f x* , t * , y* , C (2) Vì x0 S ( ) nên tồn t0 T x0 , với y0 K x0 , cho f x0 , t0 , y0 , C Do x * , y* , x0 , y0 , kết hợp với giả thiết (iv), tồn cho tồn t T x , cho f x , t , y , C , y K x , , điều này mâu thuẩn với (2) Vì vậy, S là nửa liên tục Bây giờ, chứng minh S là nửa liên tục Hausdorff Từ chứng minh Định lí 3.1 S ( ) là tập compắc Từ Mệnh đề 2.2 (iii), ta có S là nửa liên tục Hausdorff Vì vậy, S là liên tục Hausdorff Ứng dụng cho toán bất đẳng thức tựa biến phân Vì bài tốn tựa cân chứa nhiều bài toán liên quan đến tối ưu như: Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân, toán tối ưu, bài toán điểm bất động, … Trong mục này nhóm tác giả nghiên cứu cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân là ví dụ Đầu tiên, nhóm tác giả nhắc lại bài toán bất đẳng thức tựa biến phân nghiên cứu Anh Hung [2] Lấy X , Y , Z , P, A, B, C, , K , T Mục 2, và L( X , Y ) là khơng gian tốn tử tuyến tính từ X vào Y g : A A là hàm véctơ, t , x biểu thị giá trị tuyến tính t L( X , Y ) x X Với , xét toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số sau đây: (SQVI) Tìm x K x, cho tồn t T x, thỏa mãn t , y g ( x, ) C, y K x, Với , ký hiệu tập nghiệm (SQVI) Đầu tiên, nghiên cứu tính nửa liên tục Hausdorff và tính đóng ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Định lí 4.1 Cho X , Y , Z P không gian véctơ tôpô Hausdorff A , B tập lồi khác rỗng X , Y P tương ứng C Z nón lồi đóng có đỉnh với phần khác rỗng, L( X , Y ) không gian A tốn tử tuyến tính từ X vào Y Lấy K : A T : A B hai ánh xạ đa trị g : A A hàm véctơ, t, x biểu thị giá trị tuyến tính t L( X , Y ) x X Giả sử compắc điều kiện sau xác định: i) E nửa liên tục với giá trị compắc K nửa liên tục dưới; ii) x0 K x0 , , x , y , x0 , y0 , t0 , y0 g ( x0 , ) C với t0 T x0 , số y0 K x0 , suy tồn cho t , y g ( x , ) C với t T x , số y K x , Khi nửa liên tục Hausdorff Hơn nữa, ( ) tập compắc đóng Chứng minh Đặt f ( x, t , y, ) t , y g ( x , ) , bài tốn tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số trở thành bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Ta thấy tất giả thiết Định lí 3.1 thỏa mãn Vì vậy, áp dụng Định lí 3.1 ta có điều phải chứng minh Áp dụng Định lí 3.2, nhận định lí sau Định lí 4.2 Cho X , Y , Z P không gian véctơ tôpô Hausdorff A , B tập lồi khác rỗng X , Y P tương ứng C Z nón lồi đóng có đỉnh với phần khác rỗng, L( X , Y ) không gian tốn tử tuyến tính từ X vào Y Lấy K : A A T : A B hai ánh xạ đa trị g : A A hàm véctơ, t , x biểu thị giá trị tuyến tính t L( X , Y ) x X Giả sử tất giả thiết Định lí 4.1 thỏa mãn bổ sung thêm điều kiện sau đây: iii) E nửa liên tục dưới; iv) x0 K x0 , , x , y , x0 , y0 , tồn t0 T x0 , cho t0 , y0 g ( x0 , ) C với ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 3, 2020 y0 K x0 , suy tồn cho tồn t T x , cho t , y g ( x , ) C với [3] y K x , Khi liên tục Hausdorff Kết luận Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả thiết lập tính ổn định ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số (Định lí 3.1 và Định lí 3.2) và bài tốn bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số (Định lí 4.1 và Định lí 4.2) Các kết nhận là và hoàn toàn khác với kết Anh và Hung [2] [4] [5] [6] TÀI LIỆU THAM KHẢO [7] [1] Blum, E., Oettli, W, “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems” Mathematics Student-India, 63 (1994), 123-145 [2] Anh L.Q., Hung N.V, “Gap functions and Hausdorff continuity of solution mappings to parametric strong vector quasiequilibrium [8] [9] 77 problems”, Journal of Industrial & Management Optimization, 14 (2018), 65-79 Hung N.V, “On the stability of the solution mapping for parametric traffic network problems”, Indagationes Mathematicae, 29(2018), 885-894 Hung N.V., Tam V.M., Tuan N.H., O’Regan D, “Regularized gap functions and error bounds for generalized mixed weak vector quasivariational inequality problems in fuzzy environments”, Fuzzy Sets and Systems, (2019), online first https://doi.org/10.1016/j.fss.2019.09.015 Hung N.V., Tam V.M., Tuan N.H., O’Regan D, “Convergence analysis of solution sets for fuzzy optimization problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics, (2019), online first https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.112615 Hung N.V., O’Regan D, “Bilevel equilibrium problems with lower and upper bounds in locally convex Hausdorff topological vector spaces”, Topology and its Applications 269 (2020), 1-13 Kien B.T, “On the lower semicontinuity of optimal solution sets”, Optimization., 54 (2005), 123-130 Lalitha C S., Bhatia G, “Stability of parametric quasivariational inequality of the Minty type”, Journal of Optimization Theory and Applications 148 (2011), 281-300 Aubin J P., Ekeland I, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York, 1984 (BBT nhận bài: 13/11/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 02/3/2020) ... thiết lập tính ổn định ánh xạ nghiệm cho bài tốn tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số (Định lí 3.1 và Định lí 3.2) và bài tốn bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số (Định lí... bài tốn tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số trở thành bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Ta thấy tất giả thiết Định lí 3.1 thỏa mãn Vì vậy, áp dụng Định lí 3.1... tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Đầu tiên ta nghiên cứu tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff và tính đóng Định lí 3.1 Cho X , Y , Z