Tính ổn định của nghiệm kỳ dị của mô hình tăng trưởng solow

Mô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phương trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị. Bài toán này với điều kiện ban đầu y(0) 0  luôn luôn cho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị. Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bài toán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow.

Nguyễn Văn Minh Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 124(10): 45 - 47 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MƠ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW Nguyễn Văn Minh1*, Nguyễn Văn Thảo2 Nguyễn Thị Thu Hằng1 1Trường Đại học Kinh tế Quản trị Kinh doanh - ĐH Thái Nguyên 2Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Ngun TĨM TẮT Mơ hình Solow nghiên cứu tăng trưởng kinh tế mô tả tốn Cauchy phương trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị Bài toán với điều kiện ban đầu y (0)  luôn cho hai nghiệm, có nghiệm kỳ dị Người ta quan tâm tới nghiệm thường toán Việc nghiên cứu sâu nghiệm kỳ dị chưa quan tâm Trong báo nghiên cứu tính ổn định nghiệm, kể nghiệm kỳ dị, mơ hình Solow Từ khóa: Bài tốn Cauchy, phương trình vi phân, tăng trưởng kinh tế, mơ hình kinh tế, mơ hình tăng trưởng Solow, trạng thái ổn định MƠ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW* Mơ hình tăng trưởng Solow mơ tả tốn Cauchy sau (1.1) k (t )  s f (k (t ))  .k (t )  (1.2) k (0)  k0  K (t ) Với k (t )  tỷ số vốn/lao động Biến L(t ) biểu thị hàm lượng vốn tính bình qn đơn vị lao động s số dương nhỏ 1, biểu thị tiết kiệm cận biên  hệ số tăng trưởng lao động k0  K (0) L(0) điều kiện ban đầu, biểu thị tỷ số vốn/lao động tính thời điểm ban đầu Nghiên cứu định tính tốn (1.1)(1.2) trình bày hầu hết tài liệu toán kinh tế Trong báo ta quan tâm phân tích định lượng đặc biệt tính khơng ổn định nghiệm kỳ dị tốn (1.1)-(1.2) PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNG Xét trường hợp hàm sản xuất hàm CobbDouglas có dạng Q(t )  aK (t ) L(t )1 (a  0;0    1) Khi tốn (1.1)-(1.2) viết lại: * k (t )  .k (t )  s.ak (t )  k (0)  k0  (2.3) (2.4) Phương trình (1.3) phương trình Bernoulli Phương trình ln ln có hai nghiệm, nghiệm nghiệm tổng quát, nghiệm nghiệm kỳ dị: Nghiệm tổng quát sa  1  y  c.e  (1 )t   ,   c số tích phân Nghiệm kỳ dị y  Bài toán Cauchy (2.3)-(2.4) tùy theo giá trị k0 mà tốn có nghiệm hay hai nghiệm, có hai trường hợp xảy ra: Trường hợp Nếu k0  , toán (2.3)(2.4) cho nghiệm là:  s.a    (1 ) t s.a  1 k (t )   k01  e       Trường hợp Nếu k0  , tốn (2.3)(2.4) có hai nghiệm là: k1 (t )  (2.5) 1 s.a 1  sa 1  s.a k2 (t )   e (1 )t      1  e (1 )t 1     (2.6) Tel: 0912 119767, Email: nvminh1954@gmail.com 45 Nguyễn Văn Minh Đtg nghĩa Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ Từ ý điều kiện ban đầu k0  K (0) , ta thấy k0  , dẫn tới L(0) K(0)=0 Ta xét giới hạn (2.5) (2.6) lim k1 (t )  t   s.a   (1 )t s.a  lim k2 (t )  lim   e  t  t       as     1 (2.7) 1 i  1, , n Nếu sớ nghiệm phương trình đặc trưng xấp xỉ thứ tồn dù nghiệm có phần thực dương nghiệm khơng hệ khơng ổn định n dyi   aij y j  Y i ( y1 , yn ), dt j 1 i  1, , n f (k )  k  s.a.k  Từ hai giới hạn xuất vấn đề: mơ hình tăng trưởng Solow với điều kiện ban đầu khơng có vốn, trạng thái kinh tế rơi vào (2.7) (2.8) Một câu hỏi đặt ra: thời gian đủ lớn, k(t) tiến tới đâu? Tiến tới (2.7) hay (2.8)? Để trả lời cho câu hỏi trên, ta phải xét tính ổn định theo nghĩa Liapunov nghiệm (4.1) Tính đạo hàm cấp cấp 2, ta f '(k )    s.a. k  1 f ''(k )  s.a. (  1)k   Vì    1,  f ''(k )  k  , f '(k ) hàm nghịch biến theo k Mà phương trình f '(k )    s.a. k  1  có nghiệm k1 (t ); k2 (t ) ỔN ĐỊNH LIAPUNOV Để dễ theo dõi, nhắc lại số khái niệm lý thuyết ổn định Trong mục xét phương trình (3.1) Định nghĩa 3.1 a) Nghiệm khơng phương trình (3.1) được gọi ổn định theo nghĩa Liapunov với   0;   cho từ bất đẳng thức || y (0) ||  , suy bất đẳng thức || y (t ) ||  t  ; đây, y(t) ký hiệu nghiệm (3.1), xác định điều kiện y(0) b) Nghiệm không được gọi ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunov, ổn định lim || y (t ) || t  Định lý 3.1 Nếu tất nghiệm phương trình đặc trưng xấp xỉ thứ có phần thực âm nghiệm khơng hệ ổn định tiệm cận 46 n dyi   aij y j  Y i ( y1 , yn ), dt j 1 ỔN ĐỊNH CỦA MƠ HÌNH SOLOW k (t )  .k (t )  s.a.k (t ) Đặt (2.8) dy(t )  Y ( y(t ), t ) dt 124(10): 45 - 47  sa 1 k  k*       Từ lập luận ta thấy f '( k )  với k  (0;1) f (0)  0; f '(0)   Sau ta phân tích định tính phương pháp mặt phẳng pha, muốn vậy, ta dựng hệ trục tọa đồ đề vng góc Okf, mặt phẳng tọa độ ta vẽ đồ thị hàm (4.1) Định lý 4.1 Nghiệm k1 (t )  trạng thái không ổn định mơ hình tăng trưởng Solow Tiếp theo, ta khảo sát tính ổn định trạng thái (2.6), muốn vậy, ta xét dấu f ' (k2 ) : f ' (k2 )  s.a. k2 1     1 sa   s.a.   e   (1 ) t 1         (1  e   (1 ) t ) 1        1  Nguyễn Văn Minh Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ Chuyển qua giới hạn lim f ' (k2 )  lim( (1  e (1 )t )1   )  ( 1)  t  t  Điều chứng tỏ f ' (k2 ) âm với t đủ lớn Từ hình vẽ cho ta hình ảnh trực quan tính ổn định trạng thái k2(t) tính khơng ổn định trạng thái k1(t) Định lý 4.2 Trạng thái  sa  k2 (t )       1 1  e   (1 ) t 1  trạng thái ổn định Kết luận: Mơ hình tăng trưởng Solow mơ tả phương trình vi phân dạng Bernoulli (2.3) Phương trình ln ln cho hai nghiệm: nghiệm tổng quát nghiệm kỳ dị Bài toán Cauchy phương trình (2.3) với điều kiện ban đầu y (0)  ln ln có hai nghiệm, nghiệm (2.5) nghiệm không ổn định theo 124(10): 45 - 47 nghĩa Liapunov Còn nghiệm (2.6) ln ln nghiệm ổn định theo nghĩa Liapunov Từ ta rút ta khẳng định: ban đầu doanh nghiệp vốn sau khoảng thời gian khỏi trạng thái tĩnh, tỷ số đơn vị vốn đơn vị lao động k(t)=K(t)/L(t) dần đến  sa 1 giá trị gọi giá trị tới hạn,     TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nxb ĐH THCN E A Barbasin (1973), Mở đầu Lý thuyết ổn định, Nxb KHKT I V Matveev (1978), Các phương pháp tích phân phương trình vi phân, Nxb Mir Kevin Lee, M Hashem Pesaran, Ron Smith (1077), Growth and convergence in a multycountry empirical stochastic Solow mode;, Applied Econometrics, vol 12 SUMMARY STABILITY OF SINGULAR SOLUTION IN SOLOW GROWTH MODEL Nguyen Van Minh1*, Nguyen Van Thao2, Nguyen Thi Thu Hang1 1College of Economics and Business Administration - TNU 2College of Technology - TNU Solow model researches the economic growth which is described by Cauchy problem of Bernoulli difference equation has the singular solution This proplem always has two solutions including a singular solution, in the case initial condition as y(0) = Usually, the regular solution of the problem is only concerned In this paper, however, we research stability of solutions, including singular solution of Solow model Keywords: Cauchy problem, differential equation, economic growth, model economy, Solow growth model, steady state Ngày nhận bài:15/8/2014; Ngày phản biện:3/9/2014; Ngày duyệt đăng: 15/9/2014 Phản biện khoa học: TS Phạm Hồng Trường – Trường Đại học Kinh tế & Quản trị kinh doanh - ĐHTN * Tel: 0912 119767, Email: nvminh1954@gmail.com 47 ... t 1  trạng thái ổn định Kết luận: Mơ hình tăng trưởng Solow mơ tả phương trình vi phân dạng Bernoulli (2.3) Phương trình ln ln cho hai nghiệm: nghiệm tổng quát nghiệm kỳ dị Bài tốn Cauchy phương... (0)  ln ln có hai nghiệm, nghiệm (2.5) ln nghiệm khơng ổn định theo 124(10): 45 - 47 nghĩa Liapunov Còn nghiệm (2.6) luôn nghiệm ổn định theo nghĩa Liapunov Từ ta rút ta khẳng định: ban đầu doanh... không được gọi ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunov, ổn định lim || y (t ) || t  Định lý 3.1 Nếu tất nghiệm phương trình đặc trưng xấp xỉ thứ có phần thực âm nghiệm không hệ ổn định tiệm cận