Tính ổn định và đặt chỉnh Levitin–Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu

Bài toán cân bằng vectơ hai mức yếu chứa nhiều bài toán như các trường hợp đặc biệt như bài toán quy hoạch với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán mạng giao thông với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng, bài toán tối ưu hai mức và bài toán bất đẳng thức hai mức.

Hà Anh Tuấn, Nguyễn Thị Kiến Trúc, Nguyễn Văn Hưng 58 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐẶT CHỈNH LEVITIN-POLYAK CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC VECTƠ YẾU STABILITY AND LEVITIN-POLYAK WELL-POSEDNESS FOR BILEVEL WEAK VECTOR EQUILIBRIUM PROBLEMS Hà Anh Tuấn1, Nguyễn Thị Kiến Trúc2, Nguyễn Văn Hưng3* Trường Đại học Giao thơng Vận tải TP Hồ Chí Minh Trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng TP Hồ Chí Minh Tác giả liên hệ: nvhung@ptithcm.edu.vn (Nhận bài: 04/02/2021; Chấp nhận đăng: 07/5/2021) * Tóm tắt - Trong báo này, đầu tiên, nhóm tác giả xét tốn cân vectơ hai mức yếu Bài toán cân vectơ hai mức yếu chứa nhiều toán trường hợp đặc biệt toán quy hoạch với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, toán tối ưu vectơ với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, tốn mạng giao thơng với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng, toán tối ưu hai mức toán bất đẳng thức hai mức Sau đó, thiết lập khái niệm đặt chỉnh Levitin–Polyak cho tốn cân hai mức vectơ yếu Cuối cùng, nhóm tác giả chứng tỏ rằng, với số điều kiện phù hợp, tương đương tính chất đặt chỉnh Levitin–Polyak tồn tập nghiệm toán cân hai mức vectơ yếu giới thiệu nghiên cứu Một ví dụ đưa minh họa cho kết nhóm tác giả Abstract - In this paper, we first consider the bilevel weak vector equilibrium problems These problems contain many problems as special cases, including mathematical program problems with variational inequality constraints, vector optimization problems with variational inequality constraints, traffic network problems with variational inequality constraints, variational inequality problems with equilibrium constraints, bilevel optimization problems, bilevel variational inequality problems Then, we study concepts of Levitin-Polyak well-posedness for bilevel weak vector equilibrium problems Finally, we show that, under suitable conditions, the equivalence between the Levitin-Polyak well-posedness properties and the existence of solutions for bilevel weak vector equilibrium problems is given An example is given for the illustration of our results Từ khóa - Bài toán cân vectơ hai mức; đặt chỉnh Levitin– Polyak; đặt chỉnh Levitin–Polyak tổng quát Key words - Bilevel equilibrium problems; Levitin-Polyak wellposedness; Levitin-Polyak well-posedness in the generalized sense Giới thiệu Bài toán cân với ràng buộc cân giới thiệu nghiên cứu Mordukhovich [1] năm 2004 Bài toán cân với ràng buộc cân chứa nhiều toán liên quan bao gồm toán tối ưu hai mức, toán quy hoạch hai mức, toán bất đẳng thức biến phân hai mức nhiều toán khác Trong năm gần đây, toán cân hai mức quan tâm nhiều nhà nghiên cứu với chủ đề điều kiện tồn (xem [2, 3]), tính chất ổn định nghiệm (xem [4, 5]), tính đặt chỉnh (xem [6, 7]) tài liệu tham khảo Tính đặt chỉnh khái niệm quan trọng lý thuyết tối ưu Khái niệm đặt chỉnh cho tốn tối ưu khơng ràng buộc giới thiệu Tikhonov [8] năm 1966, biết đến đặt chỉnh Tikhonov Cuối năm 1966, Levitin Polyak [9] giới thiệu khái niệm đặt chỉnh cho toán tối ưu ràng buộc mở rộng khái niệm đặt chỉnh Tikhonov biết đến đặt chỉnh Levitin-Polyak Gần đây, đặt chỉnh Levitin-Polyak quan tâm cho toán tối ưu (xem, [10]), toán bất đẳng thức biến phân (xem, [11, 12]) Rất gần đây, Anh Hung [6] nghiên cứu khái niệm loại đặt chỉnh Levitin–Polyak cho toán cân hai mức vectơ loại mạnh Tuy nhiên, theo hiểu biết nhóm tác giả, kết nghiên cứu mối quan hệ tính đặt chỉnh Levitin–Polyak tồn nghiệm cho toán cân hai mức vectơ yếu chưa nghiên cứu Xuất phát từ ý tưởng được đề cập, viết này, nhóm tác giả thiết lập tính đặt chỉnh Levitin–Polyak cho tốn cân hai mức vectơ loại yếu Mơ hình toán kiến thức bổ trợ Cho X, W, Z, P không gian Banach, A  tương ứng tập khác rỗng X W, C2  P nón lồi, đóng, có đỉnh với phần khác rỗng int C2   Y = A   , h : Y  Y → P hàm vectơ Khi đó, tốn cân hai mức vectơ loại yếu thiết lập sau: * (WBVEP): Tìm x  graphQ −1 cho * h( x , y* )  − int C2 , y *  graphQ −1 Trong đó, Q ( ) tập nghiệm toán tựa cân véctơ phụ thuộc tham số sau: tìm x  K1 ( x,  ) cho f ( x, y,  )  − int C1 , y  K2 ( x,  ) , với C1  Z nón lồi, đóng, có đỉnh với int C1   , Ki : A   Ho Chi Minh City University of Transport (Ha Anh Tuan) Ho Chi Minh City University of Technology (Nguyen Thi Kien Truc) Posts and Telecommunications Institute of Technology (Nguyen Van Hung) A, i = 1, ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 5.1, 2021 ánh xạ đa trị, f : A  A   → Z hàm vectơ, graphQ−1 ký hiệu đồ thị Q −1 , nghĩa là, graphQ−1 := {( x, ) : x  Q()} Tập  ký hiệu tập nghiệm (WBVEP), định nghĩa bởi: *  = {x = ( x,  )  graphQ−1 f ( x, y,  ) − int C1, y  K2 (x,  ) * h( x , y * )  − int C2 , y * = ( y,  )  graphQ −1} Tiếp theo, trình bày lại số kiến thức bổ trợ, cụ thể sau: Định nghĩa 2.1 (xem [13, 14]) Giả sử X, Y hai không Y ánh xạ đa trị x0  X gian vectơ tôpô, F : X điểm cho trước (i) F gọi nửa liên tục (l.s.c) x0 F ( x0 )  U   với tập mở U  Y tồn 59 h(x , y ) +  n e2 − int C2 , y  graphQ , * n * * −1 đó, d (a, M ) := inf bM d (a, b) khoảng từ điểm đến tập, e1  int C1 e2  int C2 Định nghĩa 3.2 Bài toán (WBVEP) gọi đặt chỉnh Levitin–Polyak, nếu: (i) Bài tốn (WBVEP) có nghiệm x *0 ; (ii) Với dãy xấp xỉ Levitin–Polyak {x*n } cho (WBVEP) hội tụ nghiệm x *0 Định nghĩa 3.3 Bài toán (WBVEP) gọi đặt chỉnh Levitin–Polyak tổng quát, (i) Tập nghiệm  (WBVEP) khác rỗng (ii) Với dãy xấp xỉ Levitin–Polyak {x*n } cho tốn (WBVEP), có dãy hội tụ đến số điểm  F ( x)  U  , x  V  domF , Với   , e1  int C1 , e2  int C2 số thực dương  , tập nghiệm xấp xỉ (WBVEP) ký hiệu ( ) sau: domF := {x  X F ( x)  } ( ) := {x  K1 ( x,  )   : f ( x, y,  ) +  e1  − int C1, y  K ( x,  ) lân cận V x0 cho * (ii) F gọi nửa liên tục (u.s.c) x0 với tập mở U  F ( x0 ) tồn lân cận V x0 cho U  G ( x), x  V (iii) F gọi liên tục x0 F vừa nửa liên tục dưới, vừa nửa liên tục x0 (iv) F gọi đóng x0  dom F với lưới x  X hội tụ x0  y  Y hội tụ y0 cho y  F ( x ) , ta có y0  F ( x0 ) Mệnh đề 2.2 (xem [13, 14]) Giử sử X, Y hai không Y ánh xạ đa trị, gian vectơ tôpô, F : X x0  X điểm cho trước (i) Nếu F u.s.c x0 đóng x0 F ( x0 ) đóng, F (ii) Nếu F nhận giá trị compắc, F u.s.c x0 với lưới {x }  X mà hội tụ x0 với lưới { y }  F ( x ) , tồn y  F ( x) lưới { y } { y } cho y → y Các kết Đầu tiên, nhóm tác giả giới thiệu khái niệm Levitin–Polyak Levitin–Polyak tổng quát cho toán cân hai mức vectơ yếu Định nghĩa 3.1 Một dãy {x*n }:= {( xn , n )} gọi dãy xấp xỉ Levitin–Polyak cho toán (WBVEP), (i) {x*n }:= {( xn , n )}  A  , n  N; (ii) Tồn dãy { n }  R+ hội tụ cho d ( xn , K1 ( xn , n ))   n , n  N , f ( xn , y, n ) +  n e1  − int C1 , y  K ( xn , n ), * h( x , y* ) +  e2  − int C2 , y*  graphQ −1} Chúng ta dễ thấy rằng, với   0, (0) =    ( ) Bổ đề 3.4 Giả sử cho toán (WBVEP) giả thiết sau thỏa mãn (i) K đóng A , K liên tục A ; (ii) f liên tục A A; (iii) h liên tục Y  Y Khi đó, ( ) tập đóng, với   Chứng minh Cho x*n = ( xn , n ) ( ) cho x*n → x* = ( x0 , 0 ) Vì K đóng, nên ta suy x0  K1 ( x0 , 0 ) Bây chứng tỏ x*  graphQ−1 , nghĩa là, x0  Q(0 ) Nếu x0  Q(0 ) tồn y0  K ( x0 , 0 ) cho f ( x0 , y0 , 0 ) +  e1  − int C1 Do K l.s.c ( x0 , 0 ) , nên tồn yn  K ( xn , n ) cho yn → y0 Vì xn  Q(n ) , nên với   , ta có f ( xn , yn , n ) +  e1  − int C1 Lấy id1 : int R+ → int R+ ánh xạ đồng Do f liên tục ( x0 , y0 , 0 ) , id1 liên tục, nên ta suy f + id1 liên tục ( x0 , y0 , 0 ,  ) Vì vậy, ta có: f ( x0 , y0 , 0 ) +  e1  − int C1 , điều mâu thuẫn Do đó: x* = ( x0 , 0 )  graphQ−1 Tiếp theo, chứng tỏ x* ( ) Nếu x* ( ), với   cho: d ( x0* , K1 ( x0 , 0 )  )   , tồn y0*  graphQ−1 thỏa mãn Hà Anh Tuấn, Nguyễn Thị Kiến Trúc, Nguyễn Văn Hưng 60 h( x , y ) +  e2 − int C2 * * Vì xn* ( ) , nên với   , ta có d ( xn* , K1 ( xn , n ))   , yn*  graphQ−1 thỏa mãn h( xn* , yn* ) +  e2 − int C2 Lấy id : int R+ → int R+ ánh xạ đồng Vì h liên tục ( x0* , y0* ) , id liên tục, nên ta suy h + id liên tục ( x0* , y0* ,  ) Do đó, ta có d ( x0* , K1 ( x0 , 0 )  )   , h( x0* , y0* ) +  e2 − int C2 Điều mâu thuẫn Vì x* ( ) Do đó, ( ) đóng Bổ đề 3.5 Giả sử A compắc tất điều kiện Bổ đề 3.4 thỏa mãn Khi đó,  tập đóng Ngồi ra,  tập compắc Chứng minh Chứng minh tương tự Bổ đề 3.4 Định lí 3.6 Giả sử tất điều kiện Bổ đề 3.5 thỏa mãn Khi đó, tốn (WBVEP) đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng qt  tập compắc A  nửa liên tục Chứng minh Đầu tiên, giả sử  tập compắc A  u.s.c 0, chứng minh toán (WBVEP) đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát Thật vậy, lấy {xn* } dãy xấp xỉ Levitin-Polyak (WBVEP) Khi đó, tồn dãy { n }  int R+ với  n → cho: d ( xn , K1 ( xn , n ))   n , n  N , f ( xn , y, n ) +  n e1  − int C1 , y  K ( xn , n ), h( xn* , y* ) +  ne2 − int C2 , y*  graphQ−1 Vì vậy, xn* ( n ) Vì  = (0) compắc  nửa * liên tục 0, nên tồn dãy {xnk } {xn* } hội tụ đến số điểm x0* (0) Vì vậy, tốn (WBVEP) đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát Chiều ngược lại, giả sử toán (WBVEP) đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát Khi đó,  = (0) tập compắc Lấy { n }  int R+ dãy tùy ý với  n → xn* ( n ) , ta có d ( xn , K1 ( xn , n ))   n , n  N , f ( xn , y, n ) +  n e1  − int C1 , y  K ( xn , n ), h( xn* , y* ) +  ne2 − int C2 , y*  graphQ−1 Do đó, ta thấy rằng, {xn* } dãy xấp xỉ LevitinPolyak (WBVEP) Bởi tính đặt chỉnh Levitin-Polyak * tổng qt (WBVEP), {xn* } có dãy {xnk } {xn* } hội tụ đến số điểm  = (0) Vì vậy,  nửa liên tục Bây giờ, trình bày đặc trưng mêtric cho tính đặt chỉnh Levitin-Polyak theo hành vi tập nghiệm xấp xỉ, diamA đường kính A định nghĩa diamA = sup{d (a, b) = a − b : a, b  A} Định lí 3.7 Giả sử (i) K đóng A , K nửa liên tục A ; (ii) f liên tục A A; (iii) h liên tục Y  Y Khi đó, (WBVEP) đặt chỉnh Levitin-Polyak ( )  ,   diam( ) →  → Chứng minh Nếu (WBVEP) đặt chỉnh LevitinPolyak Khi (WBVEP) có nghiệm x0*  ( )  ,     ( ) Nếu diam( ) →   → , đó, tồn    n  cho  → diam( n )    0, n  N Khi đó, tồn xn*1 = ( x1n , n1 ), xn*2 = ( xn2 , n2 ) ( n ) cho d ( xn*1 , xn*2 )   Vì xn*1 = ( x1n , n1 ), xn*2 = ( xn2 , n2 ) ( n ), nên suy từ định nghĩa ( n ) xn*1 xn*2 dãy xấp xỉ Levitin-Polyak cho tốn (WBVEP) Do đó, dãy {xn*1} {xn*2 } hội tụ đến nghiệm x0* toán (WBVEP), điều mâu thuẫn với thực tế d ( xn*1 , xn*2 )    0, n Chiều ngược lại, ta lấy {xn* } dãy xấp xỉ LevitinPolyak cho toán (WBVEP) Khi đó, tồn { n }  int R+ với  n → cho: d ( xn , K1 ( xn , n ))   n , n  N , f ( xn , y, n ) +  n e1  − int C1 , y  K ( xn , n ), h( xn* , y* ) +  ne2 − int C2 , y*  graphQ−1 Điều suy xn* ( n ) Vì diam( ) →  → , ta suy {xn* } dãy Cauchy hội tụ đến điểm x0* Bởi tính đóng K (x , 0 ) , x  K1 (x , 0 ) Chứng minh tương tự Bổ đề 3.4, ta suy x0*  Bây chứng tỏ (WBVEP) có nghiệm Thật vậy,  có hai nghiệm khác x1* x2* , khơng khó để thấy x1* , x2* ( ),   Khi đó, ta suy  d ( x1* , x2* )  diam( ) → 0, điều Do đó, tốn (WBVEP) đặt chỉnh Levitin-Polyak Ví dụ sau chứng tỏ tính đặt chỉnh LevitinPolyak Định lí 3.7 quan trọng Ví dụ 3.8 Lấy X = Z = P = R, C1 = C2 = C = R+ ,  5 A =  0,  ,  = 0,1 , 0 = 0,   0, e1  int C1 , e2  int C2  2 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 5.1, 2021 K1 , K2 : A  → , f : A A  → Z , h :Y  Y → P xác định bởi: A  1 K1 ( x,  ) = 0,  , K ( x,  ) = 0,1 ,  2 h( x* , y* ) = h(( x, 1 ),( y, 2 )) = ( x2 + y )(12 + 22 ), f ( x, y,  ) = {3 +  +1 +  },    1 Ta tính tốn Q( ) = 0,  ,    0,1 , đó:  2  1 graphQ −1 = {(  ,  )   0,  ,    0,1}  2 Với   0, ta có  [0,  ], 0