Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGOC TÍNH ON бNH VÀ ON бNH VUNG CÚA M®T SO LéP H› CHUY€N MACH TUY€N TÍNH LU¾N ÁN TI€N SĨ TỐN HOC Hà N®i - 2020 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGOC TÍNH ON бNH VÀ ON бNH VUNG CÚA M®T SO LéP H› CHUY€N MACH TUY€N TÍNH LU¾N ÁN TI€N SĨ TỐN HOC Chun ngành: Tốn úng dnng Mã so: 9460112.01 Ngưài hưáng dan khoa HQC: GS TSKH Nguyen Khoa Sơn GS TSKH Pham Kỳ Anh LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nhung cơng trình cua tơi đưac hồn thành dưái sn hưáng dan cua GS TSKH Nguyen Khoa Sơn, GS TSKH Pham Kỳ Anh Các ket quã viet chung vái tác giã khác đưac sn nhat trí cua đong tác giã đưa vào lu¾n án Các ket quã nêu lu¾n án mái chưa tùng đưac công bo bat kỳ cơng trình khác Hà N®i, tháng 01 năm 2020 Tác giá Lê Văn NGQC iii LèI CÁM ƠN Lu¾n án đưac hoàn thành tai trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên, Đai HQC Quoc gia Hà N®i dưái sn hưáng dan tâm huyet t¾n tình cua GS TSKH Nguyen Khoa Sơn GS TSKH Pham Kỳ Anh Đau tiên, tác giã xin đưac bày tõ lòng biet ơn sâu sac tái hai Giáo sư đ¾t tốn,day dő, chi bão t¾n tình, chu đáo khơng chi q trình HQC t¾p, nghiên cúu khoa HQC mà cũn cuđc song suot quỏ trỡnh thnc hiắn luắn án Đe hoàn thành báo khoa HQC, bên canh sn giúp cua GS hưáng dan đong tác giã PGS TS Đő Đúc Thu¾n, tác giã luắn ỏn ó nhắn ac sn h tra v đng viên cua GS Tran Vũ Thi¾u, PGS TSKH Vũ Hồng Linh, ThS Nguyen Huyen Mưài Nghiên cúu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đao trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên, Phịng Sau đai HQC, Khoa Tốn-Cơ-Tin HQC, the cỏc Thay Cụ giỏo bđ mụn Toỏn HQC Tính tốn-Tốn úng dnng, Xêmina b® mơn Tốn HQC Tính tốn- Tốn úng dnng trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên, Đai HQC Quoc gia Hà N®i quan tâm giúp đã, tao đieu ki¾n thu¾n lai có nhung ý kien đóng góp quý báu cho tác giã suot q trình HQC t¾p làm lu¾n án Tác giã xin cãm ơn đen Ban Lãnh đao HQC VIắN, Ban chu nhiắm Khoa, cỏc Thay Cụ giỏo bđ mơn Tốn đong nghi¾p Khoa Cơ bãn 1, HQC VI¾N Cơng ngh¾ Bưu Vien thơng ln đng viờn, tao ieu kiắn v giỳp ó cụng tác đe nghiên cúu sinh t¾p trung hồn thành lu¾n án Tác giã xin trân TRQNG cãm ơn GS TSKH Vũ NGQC Phát, GS TS Đ¾ng Quang Á, GS TS Cung The Anh, PGS Nguyen Minh Man, PGS TS Lê Văn Hi¾n, PGS TS Ta Duy Phưang, PGS TS Nguyen Sinh Bãy, TS Nguyen Trung Hieu, TS Hà Phi, TS Nguyen Th% Hồi ĐQC lu¾n án đóng góp nhieu ý kien đe tác giã hồn thi¾n lu¾n án tot Tác giã chân thành cám ơn Vi¾n nghiên cúu cao cap ve tốn (VIASM) tao đieu ki¾n, giúp khơng chi bo trí nơi làm vi¾c, hồn thi¾n báo vái Thay hưáng dan năm 2018 mà cịn hő tra kính phí nghiên cúu khoa HQC thơng qua thưãng cơng trình cho báo vào năm 2020 Bên canh tơi xin cãm ơn anh, ch%, em, nghiên cúu sinh, ban bè, đong nghi¾p nhung ngưài quan tâm tái lu¾n án chia se, đ®ng viên tác giã suot q trình HQC t¾p làm nghiên cúu sinh Đ¾c bi¾t, tác giã dành lài cãm ơn sâu sac tái nhung ngưài thân cua mình: bo, me, va, nhung ngưài thân gia đình ln sát cánh, chia se đ®ng viên đe tơi co gang hồn thành tot lu¾n án MUC LUC LèI CAM ĐOANi LèI CÁM ƠNii MUC LUC1 BÁNG KÝ HI›U VÀ CHU VI€T TAT3 Mé ĐAU5 Chương KI€N THÚC CHUAN B±14 1.1 Vectơ ma tr¾n 14 1.2 Bài toán őn đ%nh Lyapunov 22 1.3 Bài toán őn đ%nh vung h¾ ch%u nhieu 26 1.3.1 Tính őn đ%nh vung cua h¾ phương trình vi phân tuyen tính 26 1.3.2 Tính őn đ%nh vung cua h¾ phương trình vi phân tuyen tính có tre 28 1.4 Ket lu¾n chương 33 Chương TÍNH ON бNH VUNG CÚA H› CHUY€N MACH TUY€N TÍNH VéI QUY TAC CHUY€N BAT KỲ34 2.1 Bán kính őn đ%nh cua h¾ chuyen mach tuyen tính .34 2.1.1 Tính őn đ%nh vung cua h¾ tuyen tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương 34 2.1.2 2.1.3 2.2 2.3 Tính őn đ%nh vung cua h¾ chuyen mach tuyen tính: Phương pháp hàm Lyapunov tồn phương 38 Tính őn đ%nh vung cua h¾ chuyen mach tuyen tính: Cách tiep c¾n bang nguyên lý so sánh nghi¾m 45 Bán kính őn đ%nh h¾ chuyen mach tuyen tính có tre 56 2.2.1 Đieu ki¾n őn đ%nh mũ h¾ chuyen mach tuyen tính có tre56 2.2.2 C¾n dưái bán kính őn đ%nh cua h¾ chuyen mach tuyen tính có tre 63 Ket lu¾n chương 73 Chương TÍNH ON бNH VÀ ON бNH HÓA ĐƯeC VUNG CÚA H› CHUY€N MACH TUY€N TÍNH VéI QUY TAC CHUY€N TUAN HỒN74 3.1 Tính őn đ%nh vung cua h¾ chuyen mach tuyen tính vái quy tac chuyen tuan hồn 74 3.1.1 H¾ chuyen mach tuyen tính vái quy tac chuyen tuan hồn ch%u nhieu cau trúc h¾ thong 76 3.1.2 H¾ chuyen mach tuyen tính vái quy tac chuyen tuan hồn ch%u nhieu cã h¾ thong thài điem chuyen mach 86 3.2 Tính őn đ%nh hóa đưac vung cua h¾ chuyen mach tuyen tính vái quy tac chuyen tuan hồn 92 3.3 Ket lu¾n chương 103 K€T LU¾N CHUNG104 DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CÚA TÁC GIÁ LIÊN QUAN Đ€N LU¾N ÁN105 TÀI LI›U THAM KHÁO106 BÁNG KÝ HI›U VÀ CHU VI€T TAT R, R+ N C T¾p so thnc, so thnc khơng âm tương úng T¾p so tn nhiên T¾p so phúc C+ Z ı n T K Kn T¾p so phúc có phan thnc khơng âm T¾p so nguyên Đơn v% ão Cã cua không gian Chu kỳ tuan hồn T¾p so gian thnc vectơ ho¾cnsochieu phúctrên trưàng K Khơng rHKn Hn+ Rez Bánphúc kính őnK đ%nh = Hermit Cthnc vái T¾p vái ma tr¾n capKn= R T¾p macua tr¾n Phancác thnc so Hermit phúc z xác đ%nh dương N T¾p chi so xác đ%nh N := {1, 2, , N} nìm K Rn+ì hoắc phỳc m Tắp cỏc ma trắn thnc khụng õm cócónnììm I x Ma trắn v%xcú Chuan cuađơn vectơ ∈chieu Rn tương thích m x y A B xi > yi (∀i ∈ n), vái x = (x1, x2, , xn)T ∈ Rn σ Σ A det y = (y1, y2, , yn)T ∈ Rn Các phan tu cua ma tr¾n A lán han phan tu tương úng cua ma tr¾n B Tín hi¾u chuyen mach cua h¾ chuyen mach T¾p tín cua hiắu %nh thỳc machuyen trắn Amach (A) à(A) T A A∗ λ(Ama ) := {λvuông ∈ C :A det(λI − A) = 0}, ph cua trắn à(Ama ) := max {Reλ cua tr¾n vng A : λ ∈ λ(A)}, hồnh đ ph Ma trắn chuyen v% cuachuyen ma trắn Ma tr¾n phúc liên hap v%Acua ma tr¾n A λmax(A) Giá tr% riêng lán nhat cua ma tr¾n A vái A ma tr¾n đoi xúng ho¾c Hermit λ s(min A )(A) smax (A ρ(A ) ), smin(A) M( A) ǁAǁ A C([α, β], Kn) Giá tr% kỳ riêng nhõ nhat cua ma tr¾n A vái A ma đoid% xúng Hermit Giá tr¾n tr% cua ho¾c ma tr¾n A Giá d% lán ρcua (tr% A )ma :kỳ =tr¾n max λ| : nhõ λ ∈nhat λ(Acua )},ma bántr¾n kínhA phő A {|nhat, Ma tr¾n Metzler hóa cua ma tr¾n A Chuan T¾p cáccua ma ma tr¾ntr¾n A1, A2, , AN cua h¾ chuyen mach Khơng gian hàm liên tnc đoan [α, β], nh¾n giá tr% Kn vái chuan ǁ x = ǁ max ǁx(t)ǁ α ≤ t≤ β BV([α, β], K p × q ) Tắp cỏc hm cú bien phõn giỏi nđi trờn oan [α, β] Kp×q NBV ([−h, 0], K p× q ) Tắp cỏc hm thuđc BV([, ], K pì q ) thõa mãn η( θ) = η(α) = 0, vái θ ≤ α η( θ) = η(β), vái θ QLF CQLF FDEs ≥β Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov functions) Hàm Lyapunov toàn phương chung (common quadratic Lyapunov functions) Phương trình vi phân hàm (functional differential equations) Mé ĐAU L%ch sú van đe lý CHQN đe tài Lý thuyet őn đ%nh m®t phan quan TRQNG cua lý thuyet %nh tớnh cỏc hắ đng lnc ac bat au nghiờn cỳu mđt cỏch hắ thong tự nhung năm cuoi the ky XIX bãi nhà toán HQC Nga A.M Lyapunov cho đen van phát trien sụi đng Toỏn HQC V tró thnh bđ phắn khơng the thieu lý thuyet h¾ thong úng dnng Đen nhung năm 60 cua the ky XX vái sn phát trien cua lý thuyet đieu khien ngưài ta bat đau nghiên cúu tính őn đ%nh cua h¾ đieu khien hay cịn GQI tốn őn đ%nh hóa h¾ đieu khien Các tốn őn đ%nh đieu khien cho h¾ chuyen mach đưac nhà nghiên cúu lý thuyet úng dnng đ¾c bi¾t quan tâm tù 30 năm trã lai tiêu bieu như, Molchanov Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten Narendra, 2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Goă kcek, 2004 ( [24]); Lin Antsaklis, 2005 ( [43]) (xem tőng quan ve őn đ%nh đieu khien cua hắ chuyen mach ( [44], [68])) Trong nỏc, mđt so tác giã quan tâm nghiên cúu ve őn đ%nh đieu khien h¾ chuyen mach V.N Phat c®ng sn, 2006 ( [63]); P.K Anh P.T Linh, 2017 ( [5]) H¾ chuyen mach có nhieu úng dnng lĩnh vnc, chang han h¾ thong khí, ngành cơng nghi¾p tơ, đieu khien máy bay, chuyen đői lưang (xem cuon sách Liberzon 2003 [41], Sun Ge 2011 [71]) H¾ chuyen mach thuđc lỏp hắ đng lnc lai gom mđt so huu han h¾ thài gian liên tnc ho¾c rài rac quy tac chuyen giua h¾ ú Dỏi bieu dien toỏn HQC, mđt hắ thong chuyen mach thài gian liên tnc đưac mô tã bang phương trình vi phân dang x˙ = fσ ( x ), t ≥ 0, x(t) ∈ Kn, σ ∈ Σ, (1) = Rhang ho¾ctùng K =khúc C, N(có := the {1,phn 2, thuđc , Nvo } so, Σ t¾ptrong hap bien cácKhàm bienchithài gian và/ho¾c trang [21]Z.Gajic, M.Tahir, J.Qureshi (1995), Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control, Academic Press, San Diego [22]X Gao, D Liberzon, J Liu, T Basar (2018), "Unified stability criteria for slowly time-varying and switched linear systems", Automatica 96, pp 110-120 [23]J.C Geromel, P Colaneri (2006), "Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems", SIAM J Control Optim 45, pp 1915-1930 [24]C G oăkcek (2004), "Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory", Math Prob Eng 1, pp 1-10 [25]W.M Haddad, V Chellaboina (2004), "Stability theory for nonnegative and compartmental dynamical systems with time delay", Systems Control Lett 51, pp 355-361 [26]W.M Haddad, V Chellaboina (2008), Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach, Princeton university press, Princeton [27]J Hale, S V Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [28]L Hetel (2007), Robust stability and control of switched linear systems , PhD Thesis, TU Eindhoven [29]E Hewitt, K.R Stromberg (1965), Real and Abstract Analysis, SpringerVerlag, New York [30]D Hinrichsen, A Ilchmann, A.J Pritchard (1989), "Robustness of stability of time-varying linear systems", Journal of Differential Equations, 82(2), 219-250 [31]D.Hinrichsen, B.Kelb, A Linnemann (1989), "An algorithm for the computation of the structured complex stability radius", Automatica 25(5), pp 771-775 [32]D.Hinrichsen, N.K.Son (1998), "Stability radii of positive discrete-time systems under parameter perturbations", International Journal of Robust and Nonlinear Control 4, pp 1169-1188 [33]D.Hinrichsen, A.J.Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters 7, pp 1-10 [34]D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters 8, pp 105-113 [35]D Hinrichsen, A.J Pritchard (2005), Springer, Berlin Mathematical Systems Theory I, [36]R.A Horn, C.R Johnson (1985),Matrix Analysis, Cambridge Unviversity Press, London (1985) [37]B Jacob (1998), "A formula for the stability radius of time-varying systems", Journal of Differential Equations 142, pp 167-187 [38]S Kim, S.A Campbell, X Liu (2006), "Stability of a class of linear switching systems with time delay", IEEE Trans Circuits Syst 53, pp 384-393 [39]A Kundu, D Chatterjee (2015), "Stabilizing switching signals for switched system", IEEE Trans Automat Control 60, pp 882-888 [40]T.J.Laffey, H.Smigoc (2009), "Common Lyapunov solutions for two matrices whose difference has rank one", Linear Algebra and its Applications 431, pp 228-240 [41]D Liberzon (2003), Switching in Systems and Control, Birkhauser, Boston [42]D Liberzon, S Trenn (2009), "On stability of linear switched differential algebraic equations", Proc IEEE 48th Conf Decision Control, pp 21562161 [43]H.Lin, P.J Antsaklis (2005), "Stability and stabilizability of switched linear systems: A short survey of recent results", Proc IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation Intelligent Control, pp 24-29 [44]H.Lin, P.J Antsaklis (2009), "Stability and stabilizability of switched lin- ear systems: A survey of recent results", IEEE Trans Automat Control 54, pp 308-332 [45]V.H Linh, D.D Thuan (2015), "Spectrum-based robust stability analysis of linear delay differential-algebraic equations", In Numerical Algebra, Matrix Theory, Differential-Algebraic Equations and Control Theory, pp 533557 [46]X Liu, C Dang (2011), "Stability analysis of positive switched linear systems with delays", IEEE Trans Automat.Control 56, pp 1684-1690 [47]L Liu, Q Zhou , H Liang, L Wang (2017), "Stability and stabilization of nonlinear switched systems under average dwell time", Appl Math Comput 298, pp 77-94 [48]Y Li, Y Sun , F Meng (2017), "New criteria for exponential stability of switched time-varying systems with delays and nonlinear disturbances", Nonlinear Anal Hybrid Syst 26, pp 284-291 [49]Y Li, Y Sun, F Meng, Y Tian (2018), "Exponential stabilization of switched time-varying systems with delays and disturbances", Appl Math Comput 324, pp 131-140 [50]X Liu, W Yu, L Wang (2010), "Stability analysis for continuous-time pos- itive systems with time-varying delays", IEEE Trans Automat Control 55, pp 1024 -1028 [51]C King, M Nathanson (2006), "On the existence of a common quadratic Lyapunov function for a rank one difference", Linear Algebra and its Applications 419, pp 400-416 [52]O.Mason, R.N Shorten (2006), "On the simultaneous diagonal stability of a pair of positive linear systems", Linear Algebra and its Applications 23, pp 13-23 [53]O Mason, R Shorten (2007), "On linear copositive Lyapunov functions and the stability of switched positive linear systems", IEEE Trans Automat.Control 52, pp 1346-1349 [54]Z Meng, W Xia, K H Johansson, S Hirche (2017), "Stability of Positive Switched Linear Systems: Weak Excitation and Robustness to TimeVarying Delay", IEEE Trans Automat Control 62, pp 399-405 [55]Y Mori, T Mori, Y.Kuroe (1997), "A solution to the common Lyapunov function problem for continuous-time systems", Proceedings of the 36th Conference on Decision and Control, (San Diego, California) pp 3530-3531 [56]A P Molchanov, E.S.Pyatnitskiy (1989), "Criteria of asymptotic stability of differential and difference inclusions encountered in control theory", Systems Control Lett 13, pp 59-64 [57]K S Narendra, J Balakrishnan (1994), "A common Lyapunov function for stable LTI systems with commuting A-matrices", IEEE Transactions on automatic control 39, pp 2469-2471 [58]P H A Ngoc (2013), "Novel criteria for exponential stability of functional differential equations", Proc American Math Soc 141, pp 3083-3091 [59]P H A Ngoc, T Naito, J S Shin (2007), " Characterizations of positive linear functional differential equations", Funkc Ekvacioj 50, pp - 17 [60]P H A Ngoc, N K Son (2005), "Stability radii of positive linear functional differential equations under multi-perturbations", SIAM J Control and Optimization 43, pp 2278-2295 [61]R V Patel, M Toda (1980), "Quantitative measures of robustness for multivariable systems", Proceedings of Joint Automatic Control Conference, San Francisco, CA [62]P Peleties, R A DeCarlo (1991), "Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov-like functions", Proceedings of the American Control Conference, IEEE, New Jersey, pp 1679-1684 [63]V.N Phat, S Pairote (2006), "Global stabilization of linear periodically time-varying switched systems via matrix inequalities", Journal of Control Theory and Applications 4, pp 26-31 [64]L Qiu, B Bernhardsson, A Rantzer, E J Davison, P M Young, J C Doyle (1995), "A formula for computation of the real structured stability radius", Automatica 31, pp 879-890 [65]N K Son, D Hinrichsen (1996), "Robust stability of positive continuoustime systems", Numerical functional analysis and optimization 17, pp.649659 [66]N.K Son, P H A Ngoc (1999), "Robust stability of positive linear time delay systems under affine parameter perturbations", Acta Mathematica Vietnamica 24 (3), pp.353-372 [67]N K Son, P H A Ngoc (2001),"Robust stability of linear functional differential equations", Advanced Studies in Contemporary Mathematics (Pusan) 3, pp.43-59 [68]R Shorten, F Wirth, F Mason, K Wulff, C King (2007), "Stability criteria for switched and hybrid systems", SIAM Review 47, pp 545-592 [69]R Shorten, K S Narendra (2002), "Necessary and sufficient conditions for the existence of a common quadratic Lyapunov function for a finite number of stable second order linear time invariant systems", Inter J Adapt Control Signal Process 16, pp 709-728 [70]J Sreedhar, P Van Dooren, A Tits ( 1996), "A fast algorithm to compute the real stability radius", Stability Theory Birkhauser, Basel pp 219-231 [71]Z Sun, S S Ge (2011), Springer, London Stability Theory of Switched Dynamical Systems, [72]Y Sun (2016), "Stability analysis of positive switched systems via joint linear copositive Lyapunov functions", Nonlinear Anal Hybrid Syst 19, pp 146-152 [73]X Sun, W Wang, G Liu, J Zhao (2008), "Stability analysis for linear switched systems with time-varying delay", IEEE Trans Syst Man, Cyber Part B: Cyber 38, pp 528-533 [74]J Tokarzewski (1987), "Stability of periodically switched linear systems and the switching frequency", International Journal of Systems Science 18, pp 697-726 [75]Q.Yu, B.Wu (2013), "Robust stability analysis of uncertain switched linear systems with unstable subsystems", International Journal of Systems Science 21, pp 1-11 [76]G Zhai, X Xu, H Lin, A N Michel (2006), "Analysis and design of switched normal systems", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 12, pp 2248-2259 [77]L Zhang, P Shi, M Basin (2007), "Robust stability and stabilisation of un- certain switched linear discrete time-delay systems", IET Control Theory and Applications 2, pp 606-614 ... vi phân tuyen tính 26 1.3.2 Tính őn đ%nh vung cua h¾ phương trình vi phân tuyen tính có tre 28 1.4 Ket lu¾n chương 33 Chương TÍNH ON бNH VUNG CÚA H› CHUY€N MACH TUY€N TÍNH VéI QUY TAC... chuyen mach tuyen tính .34 2.1.1 Tính őn đ%nh vung cua h¾ tuyen tính: Phương pháp hàm Lyapunov tồn phương 34 2.1.2 2.1.3 2.2 2.3 Tính őn đ%nh vung cua h¾ chuyen mach tuyen tính: Phương pháp... tuyen tính có tre56 2.2.2 C¾n dưái bán kính őn đ%nh cua h¾ chuyen mach tuyen tính có tre 63 Ket lu¾n chương 73 Chương TÍNH ON бNH VÀ ON бNH HĨA ĐƯeC VUNG CÚA H› CHUY€N MACH TUY€N TÍNH