Luận văn thạc sĩ tính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ TUYẾT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - Năm 2011 PHẠM THỊ TUYẾT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Mục lục Giới thiệu hệ chuyển mạch 1.1 Một ví dụ đơn giản hệ chuyển mạch 1.2 Sơ lược ổn định hệ không chuyển mạch 1.3 Khái niệm hệ chuyển mạch 1.4 Tính ổn định khả ổn định hệ chuyển mạch 1.4.1 Tính ổn định đảm bảo chuyển mạch tùy ý 10 1.4.2 Tính ổn định thời gian chững 12 Tính ổn định hệ chuyển mạch chuyển mạch tùy ý 15 2.1 Một số khái niệm 15 2.2 2.3 Hệ chuyển mạch phi tuyến 18 2.2.1 Hàm Lyapunov chung 18 2.2.2 Định lý Lyapunov 19 Hệ chuyển mạch tuyến tính 24 2.3.1 Hệ nới lỏng .25 2.3.2 Hàm Lyapunov phổ dụng 31 2.3.3 Tiêu chuẩn đại số 36 Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn 45 3.1 Lý thuyết Floquet 45 3.2 Một số kết ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính i tuần hồn .47 3.3 Ví dụ 52 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 i Danh mục ký hiệu R Trường số thực C Trường phức Z Tập số nguyên + R Z++ Z+ Rn Tập sốnguyên thựckhông dương thực âm Tập các số dương Tập số nguyên không âm Tập vectơ thực n chiều Rn×m Tập ma trận thực n × m chiều In Ma trận đơn vị n × n chiều xT Vectơ chuyển vị vectơ x AT Ma trận chuyển vị ma trận A P > 0(P ≥ 0) số P ma trận Hermit xác định (nửa xác định) dương P < 0(P ≤ 0) P ma trận Hermit xác định (nửa xác định) âm λ(A) Giá trị riêng A ρ(A) Bán kính phổ tập ma trận A |x| Chuẩn vectơ x ||A|| Chuẩn ma trận A cảm sinh từ chuẩn vectơ µ|.| Độ đo ma trận cảm sinh chuẩn |.| iii S Phần tử nhỏ tập S sup S inf S Số nhỏ lớn phần tử S Số lớn nhỏ phần tử S S1\S2 Ω◦ Tập {s ∈ S1 : s ∈/ S2 } Phần tập Ω Br Hình cầu tâm gốc tọa độ, bán kính r Hr Mặt cầu tâm gốc tọa độ, bán kính r lim f (s) Giới hạn trái hàm f (.) t lim f (s) Giới hạn phải hàm f (.) t Ck Tập hàm có đạo hàm cấp k liên tục MF Γ Hàm Minkovski miền Γ T Tập thời gian Ts σ Tập {t ∈ T : t ≥ s} Tín hiệu chuyển mạch hệ chuyển mạch s↑t s↓t quỹhiệu đạo chuyển mạchmạch hoàn toàn toàn xác xác định định trên [t [a, [a,b) S tín chuyển mạch hoàn +∞) [t0,+∞) 0, b) φ(t; t0, x0, σ)Tập Nghiệm hệ chuyển Φ(t1, t2, σ) Ma trận chuyển trạng thái hệ chuyển mạch tuyến tính iv LỜI NÓI ĐẦU Trong thập niên gần đây, hệ chuyển mạch nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu thu nhiều kết có ý nghĩa Động lực thúc đẩy việc nghiên cứu hệ chuyển mạch xuất phát từ ý nghĩa thực tế kỹ thuật Có ba tốn tính ổn định hệ chuyển mạch : (i) tìm điều kiện ổn định hệ chuyển mạch tùy ý; (ii) xác định lớp hẹp quan trọng quy luật chuyển mạch ổn định hóa; (iii) xây dựng luật chuyển mạch ổn định Đã có nhiều hướng nghiên cứu liên quan đến hệ chuyển mạch phương pháp đại số Lie, phương pháp hàm Lyapunov bội, phương pháp đại số tuyến tính, bất đẳng thức ma trận tuyến tính Trong nhiều vấn đề quan trọng hệ chuyển mạch giải nhiều vấn đề tốn mở Bản luận văn tập trung trình bày điều kiện để hệ chuyển mạch ổn định chuyển mạch tùy ý việc sử dụng lý thuyết Floquet để nghiên cứu tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Giới thiệu số khái niệm hệ chuyển mạch Chương 2: Trình bày điều kiện để hệ chuyển mạch phi tuyến tuyến tính ổn định chuyển mạch tùy ý Chương 3: Nghiên cứu điều kiện để hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn ổn định việc áp dụng lý thuyết Floquet Trong trình làm luận văn, em nhận giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian bảo, hướng dẫn em viết luận văn Trong trình học tập, em thầy khoa Tốn v Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội truyền dạy kiến thức quý giá, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô, nhà giáo hết lịng khoa học nghiệp giáo dục Mặc dù cố gắng trình độ cịn hạn chế thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi có thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn bè để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Phạm Thị Tuyết vi Chương Giới thiệu hệ chuyển mạch 1.1 Một ví dụ đơn giản hệ chuyển mạch Trong R2, cho hệ phương trình:   A x(t) x ≥ 0, d x(t) = ≤ 0, dt  x = (x1, x2) ∈ R2 A2x(t) x2     −0.01 −0.5 −0.01 −2  , A2   A1 =  = −0.01 0.5 −0.01 Ma A1 A2cận Tuy có giá trị riêng −0.01 nên từngkhơng hệ trận ổn định tiệm nhiên, tính ổn định của± hệi lai ghép phụ thuộc vào hệ mà phụ thuộc nhiều vào chế độ chuyển mạch chúng Nghiệm hệ thứ thứ hai là: Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn P (t + T, t ) = P (t, t0) tồn ma trận Q 0cho: Φ(t, t0) = P (t, t0) exp[(Q(t − t0)] (3) Phép biến đổi Lyapunov z(t) = P −1(t, t0)x(t) biến đổi hệ (3.1) thành hệ tuyến tính bất biến theo thời gian   z˙(t) = Qz(t), t ≥ t ,  z(t0) = x0 Như vậy, theo lý thuyết Floquet, hệ tuyến tính tuần hồn biến thiên theo thời gian đưa hệ tuyến tính bất biến theo thời gian qua phép biến đổi Lyapunov Đặt: R = Φ(t0 + T, t0) Ma trận Q xác định sau: Q= ln R T (3.2) Các giá trị riêng λk, k = 1, , n ma trận Q gọi số mũ đặc trưng giá trị riêng µk, k = 1, , n ma trận R gọi nhân tử đặc trưng Mối liên hệ số mũ đặc trưng nhân tử đặc trưng: µk = eλkT , k = 1, , n Ta có kết sau: Hệ (3.1) ổn định mũ Q ma trận Hurwitz, tức tất giá trị riêng Q có phần thực âm Một cách tương đương, hệ (3.1) ổn định mũ R ma trận 46 Schur, tức tất giá trị riêng R có mođun nhỏ Chú ý rằng, ma trận Q xác định không thiết phải ma trận thực Vì A(t) tuần hồn với chu kì T nên tuần hồn với chu kì 2T , Q xác định (3.2) phức ta xác định ma trận thực Q sau: 1 )) = 2T Q= + 2T, ln R2 2T ln(Φ(t0 3.2 t0 Một số kết ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn Trong mục này, ta xét hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn có dạng:   A1x(t), t0 + lT ≤ t < t1 + lT, t1 + lT ≤ t l = 0, 1, 2, , t < t2.A +2x(t), lT, (3.3)  ≥ t0,  x˙ (t) =   Aσx(t), tσ−1 + lT ≤ t < tσ + lT,   x(t0) = x0, với + T , x(t) ∈ Rn A1, A2, , Aσ ∈ Rn×n ma σ = t0Đặt: trậnthằng ∆tk = tk − tk−1, k = 1, , σ Có thể thấy rằng, hệ x˙ (t) = Ak x(t) kích hoạt khoảng thời gian ∆tk Sau ta đưa số kết tính ổn định hệ (3.3) Định lý 3.2.1 Hệ (3.3) ổn định mũ ma trận R = Yσ k=1 exp (Ak∆tk) = exp (Aσ∆tσ) exp (Aσ−1∆tσ−1) · · · exp (A1∆t1) (3.4) ma trận Schur Một cách tương đương, hệ (3.3) ổn định mũ Σ (3.5) exp (Ak∆tk) Q = TΣY lnσ ma trận Hurwitz k=1 Chứng minh Với k = 1, 2, , σ, ta xác định pk(t) sau:   pk(t) = 1, tk−1 + lT ≤ t < tk + lT, l = 0, 1, 2, , 0, trường hợp khác  Đặt A(t) = A1p1(t) + A2p2(t) + · · · + Aσpσ(t) Khi hệ (3.3) viết sau: x˙ (t) = A(t)x(t), t ≥ t0 , x(t0) = x0 Rõ ràng A(t) liên tục khúc, bị chặn tuần hoàn với chu kì T Do đó, giả thiết định lí Floquet thỏa mãn Với t0 ≤ t < t1 , x˙ (t) = A1 x(t) Khi đó: x(t) = exp [A1(t − t0)]x(t0) = exp [A1(t − t0)]x0 Tương tự, với t1 ≤ t < t2 , x˙ (t) = A2x(t) ta có: x(t) = exp [A2(t − t1)]x(t1) = exp [A2(t − t1)] exp [A1(t1 − t0)]x0 = exp [A2(t − t1)] exp (A1∆t1)x0 Một cách tương tự, với tσ−1 ≤ t < tσ , x˙ (t) = Aσ x(t), ta có: x(t) = exp [Aσ(t − tσ−1)]x(tσ−1) = exp [Aσ(t − tσ−1)] exp [Aσ−1(tσ−1 − tσ−2)] · · · exp [A1(t1 − t0)]x0 = exp [Aσ(t − tσ−1)] exp (Aσ−1∆tσ−1) · · · exp (A1∆t1)x0 Từ suy ra: R = Φ(t0 + T, t0) = exp (Aσ∆tσ) exp (Aσ−1∆tσ−1) · · · exp (A1∆t1) Σ Σ Q = ln Φ(t0+T, t0)] ln[exp (Aσ∆tσ) exp (Aσ−1∆tσ−1) exp (A1∆t1) T T = Từ định lí Floquet ta suy định lý chứng minh Hệ 3.2.2 Giả sử hệ (3.3) thỏa mãn điều kiện AkAl = AlAk, k = 1, σ; l = 1, , σ Khi hệ (3.3) ổn định mũ σ Q = TΣ Ak∆tk (3.6) k=1 ma trận Hurwitz Hơn nữa, ∆t1 = ∆t2 = = ∆tσ = T/σ hệ (3.3) ổn định mũ ma trận Q =1σΣσ Ak ma trận Hurwitz (3.7) k=1 Chứng minh Khi Ak Al giao hoán với k = 1, σ, l = 1, , σ từ (3.4) ta suy ra: Σ R = expΣ σ Σ Ak∆tk k= Do ma trận Q (3.5) trở thành (3.6) Hơn nữa, ∆tk = T/σ với k = 1, σ, ma trận Q có dạng (3.7) Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn trước trậnRAvà A2,có , ∆t1, cách ∆t2, dễ ,dàng ∆tσ ứng 1, Q σ hệ đó,các mama trận thểAtính Do với việcCho phức tạp Tuy nhiên, cho trước tập ∆t ma trận A , A 1, A 2,là σ kiểm tradễxem hệ chuyển mạch có ổn hay khơng khơng dàng đểđây xác định ∆t R Schur 1, ∆t 2, , σ Q lkhông Hurwitz Dưới hai trường hợp cậnđịnh biên, tín cho hiệu chuyển mạch chậm nhanh, đề cập đến Trong trường hợp, ta rằng, tính ổn định mũ đạt giả thuyết nhẹ trận Amột A2các , (3.3) , Amỗi Hurwitz đó, tồn Ttrận >A 0σlà 1, σ đủ Định lýkma 3.2.3 Xét hệ (3.3) giả thiết ∆t1của ,một ∆tma , ∆tkít 2, Chứng minh Với =định 1,khoảng , σ,Khi giảthời sử giágian trị riêng saolớn cho hệ ổn mũ λk1, λk2, , λkn xác định: αk = maxi=1, nRe {λki} Khi đó, với k = 1, , σ, tồn đa thức βk(∆tk) cho: || exp (Ak∆tk)|| ≤ βk(∆tk) exp (αk∆tk) Với số nguyên r ≥ 0, xét: ||R||r = || exp (Aσ∆tσ) exp (Aσ−1∆tσ−1) · · · exp (A1∆t1)||r ≤ || exp (Aσ∆tσ)||r|| exp (Aσ−1∆tσ−1)||r · · · || exp (A1∆t1)||r Từ suy ra: ||R||r ≤ [β1(∆t1)β2(∆t2) · · · βσ(∆tσ)]r exp [(α1∆t1 + α2∆t2 + · · · + ασ∆tσ)r] Theo giả thiết, tồn ma trận ma trận A1, A2, , Aσ Hurwitz nên số α1, α2, , ασ có số âm Do 50 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hoàn tồn cho:tại số T đủ lớn khoảng thời gian ∆t1, ∆t2, , ∆tσ [β1(∆t1)β2(∆t2) · · · βσ(∆tσ)] exp (α1∆t1 + α2∆t2 + · · · + ασ∆tσ) < Khi đó: lim Rr = r→∞ Từ suy R Schur Áp dụng Định lí (3.2.1) suy hệ ổn định mũ = lý Khi3.2.4 đó, tồn số T > sử đủ nhỏAvà khoảng Định hệ +A · ·thời + gian 1η1 , +0·sao A ma vớigiả η1 ≥ 0,rằng η2 ≥ 0, η2ση≥ σησ η cho η2 trận +Xét · · ·Hurwitz + η(3.3) + σ ∆t1, ∆t2, , ∆tσ cho hệ (3.3) ổn định mũ Chứng minh Cho ∆t1 = η1T, ∆t2 = η2T, , ∆tσ = ησT Khi với T đủ nhỏ ma trận Q= ln [exp (Aσ∆tσ) exp (Aσ−1∆tσ−1) · · · exp (A1∆t1)] T biểu diễn sau: Q =[I + A1 T ln ∆t1 + ∆t2 + · · · + ∆t ] + O(T 2) Aσ σ A2 = (A1η1 + A2η2 + · · · + Aσησ) + O(T 2), lim O(T ) T →0 = T Từ giả thiết A1η1 + A2η2 + · · · + Aσησ ma trận Hurwitz giá trị riêng ma trận phụ thuộc liên tục vào phần tử nên suy tồn số T > đủ nhỏ cho Q Hurwitz Áp dụng Định lý (3.2.1) suy hệ ổn định mũ 57 3.3 Ví dụ Ví dụ 3.3.1 Xét hệ (3.3) với σ =     −2 −5 −6  , A2  A1 =   = −25 Giả sử ∆t =A T/2 giá trịdù, riêng Atrị −1 ± ma i2, =A 1Alà giá trị riêng −3 ± Các i4 Mặc cảHurwitz A 2 trận Hurwitz + ma trận Từ Định lý 2làkhông (3.2.3), với T đủ∆t lớn, hệ ổn định mũ Môđun giá riêng R hàm T đồ thị thể nét gạch nét gạch chấm hình 3.1 Từ hình vẽ suy hệ không ổn định T = lại ổn định mũ T = Hình 3.2 quỹ đạo cho trường hợp Ví dụ minh họa cho trường hợp với quy luật chuyển mạch đó, hệ chuyển mạch khơng ổn định tất hệ ổn định tiệm cận minh họa cho Định lí (3.2.1) (3.2.3) Ví dụ 3.3.2 Xét hệ (3.3) với σ =     −5 −3.5  , A2 =   A1 =  1 Giả sử ∆t = =A1T/2 Các giá trị riêng không ± i2, giá riêng A2∆t là2 0.5 −4 Mặc dù,mũ A A12giá 1của ma Hurwitz +hệA ma trận Hurwitz Do từ lại Định (3.2.4), với1 T đủ nhỏ, ổn định Môđun trị riêng Rlítrận làtrị hàm T đồ thị thể nét gạch nét gạch chấm hình 3.3 Từ hình vẽ suy hệ ổn định mũ T = khơng ổn định T = Hình 3.4 quỹ đạo cho trường hợp Tóm lại, việc áp dụng lí thuyết Floquet, ta suy điều kiện cần đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn ổn định mũ Ta rằng, hệ ổn định tiệm cận tồn quy luật chuyển mạch chậm để hệ ổn định mũ trung bình hệ ổn định tồn quy luật chuyển mạch nhanh để hệ ổn định mũ Kết luận Bản luận văn trình bày vấn đề sau: - Một số khái niệm hệ chuyển mạch: Khái niệm hệ chuyển mạch, dãy thời điểm chuyển mạch, dãy số chuyển mạch, tín hiệu chuyển mạch, nghiệm hệ chuyển mạch, tính ổn định khả ổn định hệ chuyển mạch - Tính ổn định hệ chuyển mạch phi tuyến hệ chuyển mạch tuyến tính chuyển mạch tùy ý Trong đó, trình bày điều kiện cần đủ để hệ chuyển mạch phi tuyến ổn định qua việc sử dụng hàm Lyapunov chung; mối liên hệ tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính, hệ bao hàm thức vi phân tuyến tính hệ bất định tuyến tính đa hộp; trình bày tiêu chuẩn đại số để hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định - Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn dựa vào lí thuyết Floquet cho hệ phương trình vi phân tuyến tính tuần hồn Hướng nghiên cứu luận văn: Nghiên cứu tính ổn định hệ chuyển mạch cho phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn 57 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [2] B Ingalls, E D Sontag, Y Wang (2003), An infinite - time relaxation theorem for differential inclusion, Pro Am Math SOC, 131(2), 99 - 487 [3] Cevat Gokcek (2004), Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory, Math Prob Engineering, (2004), - 10 [4] Z P Jiang, Y A Wang (2002), Conserve Lyapunov theorem for discrete-time systems with disturbances, Syst Control Lett, 45 (1), 49 - 59 [5] Y Lin, E D Sontag, Y Wang (1996), A smooth converse Lyapunov theorem for robust stability, SIAMJ Control optim, 34 (1), 60 124 [6] P Peleties and R A DeCarlo (1991), Asymptotic stability of mswitched systems using Lyapunov-like functions, Proc IEEE New Jersey, 14 (3), 1679 - 1684 [7] J W Polderman (2004), Stability of switched systems, Univ Twente [8] Zhendong Sun, Shuzhi Sam Ge (2011), Stability theory of switched dynamical systems, Springer - Verlag London [9] M Vidyasagar (1993), Nonlinear systems analysis, 2nd ed Eagle wood Cliffs: Prentice Hall 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Z Zahreddine (2003), Matrix measure and application on stability of matrices and interval dynamical system, Int J Math Math Sci, 2, 75 - 85 58 ... (1) Hệ chuyển mạch tuyến tính hút (2) Hệ chuyển mạch tuyến tính hút (3) Hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định tiệm cận (4) Hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định tiệm cận (5) Hệ chuyển mạch tuyến tính ổn. .. liên hệ tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tính ổn định hệ nới lỏng Đối với hệ rời rạc, mối quan hệ Hệ 2.3.2 Các phát biểu sau tương đương: (1) Hệ chuyển mạch tuyến tính hút (2) Hệ bất định tuyến. .. giản hệ chuyển mạch 1.2 Sơ lược ổn định hệ không chuyển mạch 1.3 Khái niệm hệ chuyển mạch 1.4 Tính ổn định khả ổn định hệ chuyển mạch 1.4.1 Tính ổn định đảm bảo chuyển