Luận văn thạc sĩ tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYEN TH± H¼U TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRèNH VI PHN Cể CHắM V MđT SO NG DUNG LUẳN VN THAC S KHOA HOC H Nđi 2013 AI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYEN TH± H¼U TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHN Cể CHắM V MđT SO NG DUNG Chuyờn ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60460102 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN SINH BAY Mnc lnc Phương trình vi phân có ch¾m 1.1 Giói thi¾u ve phương trình vi phân hàm 1.1.1 Dang bieu dien 1.1.2 Nghi¾m đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m .6 1.2 Cách giai phương trình có ch¾m hang ròi rac .7 1.2.1 Trưòng hop cú mđt đ chắm hang rũi rac 1.2.2 Trũng hop cú nhieu đ chắm hang rũi rac .14 SE on đ%nh cua phương trình vi phân có ch¾m 18 2.1 Kien thúc mo đau 18 2.1.1 Khái ni¾m nghi¾m őn đ%nh, b% ch¾n 18 2.1.2 M®t so bő đe can dùng .19 2.1.3 Phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh 20 2.2 H¾ tuyen tính khơng dùng phương trình Riccati 24 2.3 Các ket qua cho phương trình vi phân có ch¾m phân phoi 30 2.4 Bat phương trình ma tr¾n vói h¾ tuyen tính khơng dùng 34 M®t vài Éng dnng cua phương trình vi phân có ch¾m 39 3.1 Úng dung vào tốn őn đ%nh hóa 39 3.2 Úng dung vào mơ hình tăng trưong quan the m®t lồi 45 Ma Đau Lý thuyet őn đ%nh phương trình vi phân m®t nhung hưóng nghiên cúu quan TRQNG cna Tốn HQc Lý thuyet đưoc đưoc khoi đau tù nhung đòi hoi cna thnc te có nhieu úng dung lĩnh vnc khác Cơ HQc, Đieu khien HQc, V¾t lý, Tốn HQc, Sinh thái HQc, Ky thu¾t, Kinh te, Hi¾n lý thuyet őn đ%nh van m®t nhung lĩnh vnc Tốn HQc lón đưoc nhieu ngưòi quan tâm Lý thuyet őn đ%nh đưoc nghiên cúu nhieu cho h¾ phương trình vi phân thưịng Ngy nay, viắc nghiờn cỳu ó oc mo rđng theo nhieu hưóng M®t so nghiên cúu phương trình vi phân hàm, đ¾c bi¾t phương trình có ch¾m Lu¾n văn đe c¾p đen tính őn đ %nh cna m®t lóp phương trình vi phõn cú chắm v trỡnh by mđt vi ỳng dung cna Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, ba chương, phan ket lu¾n danh muc tài liắu tham khao Chng mđt trỡnh by nhung kien thỳc so ve phương trình vi phân hàm: giói thi¾u ve khái ni¾m cách tìm nghi¾m theo đieu ki¾n ban đau cna m®t so loai phương trình vi phân có ch¾m Các ví du o phan ngồi muc đích giói thi¾u cách giai phương trình vi phân hàm cịn nham làm b¾t tính vơ han chieu cna t¾p nghi¾m cna phương trình vi phân hàm, bat ke khơng gian trang thái vô han chieu hay huu han chieu Chương hai trình bày khái ni¾m őn đ%nh nghi¾m phương pháp đe nghiên cúu tính őn đ%nh cna h¾ phương trình vi phân có ch¾m Các đ%nh lý o đeu thu®c hưóng nghiên cúu őn đ%nh bang phương pháp thú hai Lyapunov Vói phương trình hàm, thay hàm Lyapunov thơng thưịng ta se can dùng tói cơng cu manh phiem hàm Lyapunov- Krasovskii không gian hàm liên tuc Ngồi ra, chương cịn giói thi¾u cơng thúc nghi¾m cna phương trình ma tr¾n Riccati trưịng hop h¾ tuyen tính khơng dùng ket qua cho phương trình vi phân có ch¾m khơng dùng Chương ba trình bày m®t so úng dung cna phương trình vi phân có ch¾m Cu the úng dung ket qua őn đ%nh cna h¾ có ch¾m vào tốn đieu khien tốn phân tích tính chat quan the sinh thái đơn lồi Ban lu¾n văn đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Sinh Bay Nhân d%p xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói thay, ngưịi dành nhieu cơng súc thịi gian đe hưóng dan, kiem tra, giúp đõ tơi vi¾c hồn thành ban lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn đen lãnh đao thay khoa Tốn - Cơ Tin hQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên Hà N®i ve kien thúc nhung đieu tot đep mang lai cho tơi thịi gian HQc t¾p tai trưịng Tơi xin cam ơn tói phịng Sau Đai HQc ve nhung đieu ki¾n thu¾n loi vi¾c hồn thành thn tuc HQc t¾p bao v¾ lu¾n văn Cám ơn thay ban seminar Phương trình vi phân ve nhung sn đ®ng viên nhung ý kien trao đői q báu đoi vói ban thân tơi thịi gian qua Cuoi tơi muon to lịng biet ơn gia đình, ngưịi thân cho dna ve tinh than v vắt chat cho tụi cuđc song HQc t¾p M¾c dù có nhieu co gang ban lu¾n văn khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay, ban Hà N®i, tháng 11 năm 2013 Nguyen Th% H¾u Chương Phương trình vi phân có ch¾m 1.1 1.1.1 Giái thi¾u ve phương trình vi phân hàm Dang bieu dien Chúng ta nhac lai rang thúc x˙ (t) = f (t, x(t)), x ∈ X, t ∈ R m®t phương trình vi phân thưịng khơng gian X (xem [1, 2, 13 ]) e thúc ta thay toc đ thay i cna hắ thong (oi tong nghiờn cỳu) tai thịi điem t (đ¾c trưng boi x˙ (t)) chi phu thu®c vào t trang thái túc thịi x(t) cna h¾ thong Sau đây, ta se đe cắp en mđt loai phng trỡnh vi phõn ú ngồi sn phu thu®c toc đ® thay đői x (t) cũn phu thuđc vo trang thỏi cna hắ thong khú ho¾c tương lai (xem [8, 9, 10 12] ) Ta xét phương trình sau GQI x˙ (t) = f (t, x(q1 (t)), x(q2 (t)), , x(qs (t))), (1.1) x ∈ Rn đe đơn gian (đn cho vi¾c nghiên cúu đ%nh tính) ta chi xét cho trưòng hop t ∈ R+ := [0, +∞), f : R+ × Rn×s −→ Rn, f ∈ C (liên tuc theo t), qi(t) (i = 1, s) l cỏc hm n iắu Khi ú ã Neu qi(t) = t, ∀i = 1, s (1.1) mđt phng trỡnh vi phõn thũng ã Neu qi(t) t, ∀i = 1, s ton tai i0 cho qi0 (t) < t (1.1) đưoc GQI mđt phng trỡnh vi phõn cú chắm ã Neu qi(t) ≥ t, ∀i = 1, s ton tai i0 cho qi0 (t) > t (1.1) đưoc GQI l mđt phng trỡnh vi phõn súm ã Neu ton tai i0 i1 cho qi0 (t) < t qi1 (t) > t (1.1) đưoc GQI l mđt phng trỡnh vi phõn vựa chắm, vựa súm Trù trưịng hop đau (khi phương trình vi phân thưịng), o trưịng hop sau phương trình (1.1) đưoc GQI m®t phương trình vi phân hàm Tên gQI xuat phát tù vi¾c can thiet phai xét t¾p nghi¾m khơng gian hàm liên tuc khơng phai chi xét chúng không gian trang thái vói phương trình vi phân thưịng Đieu phan ánh ban chat vơ han chieu cna t¾p nghi¾m cna phương trình vi phân thu®c lóp (xem [5, 6, 8, 9, 12 ] ) Qua n®i dung lu¾n văn ta se làm rõ ý kien Trong Lu¾n văn ta bo qua phương trình sóm mà chi nghiên cúu ve phương trình ch¾m, nghĩa qi (t) ≤ t, ∀i = 1, s ton tai i0 cho qi0 (t) < t T¾p thịi gian đưoc m¾c đ %nh t ∈ R+ := [0, +∞) Trong trưòng hop h := max{max{t − qi(t)}} i t∈R+ đưoc gQI đ® chắm cna phng trỡnh Sau õy l mđt so kien thúc mo đau ve loai phương trình Xét phương trỡnh (1.1) ú qi(t) < t v đ chắm h > Ký hi¾u C := C([−h, 0], Rn) không gian Banach cna hàm liên tuc đoan [−h, 0] nh¾n giá tr% Rn Chuan cna hàm φ ∈ C xác đ%nh sau ||φ||C = sup ||φ(θ)||Rn −h≤θ≤0 Gia su x = x(t) m®t hàm liên tuc R+ Vói moi t ∈ R+, bang cách đ¾t xt(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] ta se có hàm xt ∈ C([−h, 0], Rn) Như v¾y, xt cung tù t − h đen t cna đưòng cong x = x(t) Khi s chay [−h, 0] ta thay x(t + s) chay [t − h, t] Có the thay đai lưong mang thông tin ve trang thái x(s) vói s ∈ [t − h, t] Các thơng tin "ch¾m" theo nghĩa xay trưóc thịi điem t Khi x˙ (t) phu thu®c vào trang thỏi ny, ta se cú mđt quan hắ hm đưoc mô ta sau x˙ (t) = f (t, xt ), f : D ⊂ R × C −→ Rn (1.2) Đây phương trình tőng quát nhat cna cỏc phng trỡnh cú chắm vúi đ chắm h 1.1.2 Nghi¾m đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m Đ%nh nghĩa 1.1 ([9]) Hàm liên tuc x = x(t) có đao hàm phai hau khap nơi R+ mà thay vào (1.2) đưoc thúc đưoc GQI l mđt nghiắm cna phng trỡnh cú chắm (1.2) Đieu ki¾n ban đau Đ%nh nghĩa 1.2 ([9]) Cho trưóc φ ∈ C t0 ∈ R+ Nghi¾m x(.) cna (1.2) thoa mãn đieu ki¾n x(s) = φ(s), ∀s ∈ [t0 − h, t0] nghi¾m đnoc xác đ%nh boi đieu ki¾n ban đau (t0 , φ) (hay nghi¾m qua (t0, φ)) GQI Nghi¾m thưịng đưoc ký hi¾u x(t0, φ, t) ho¾c chi đơn gian x(t), khơng có kha nham lan Đ%nh lý ton tai, nhat nghi¾m Đ%nh lý 1.1 ([9], tr 41) Gia su D l mđt mỏ R+ ×C f ∈ C(D, Rn) Neu (t0, φ) ∈ D thỡ ton tai mđt nghiắm cua phng trỡnh (1.2) qua (t0, φ) Neu hàm f Lipschitz theo bien φ nghi¾m nói xác đ%nh nhat Đ%nh lý đưoc chúng minh o [9], dna vào bő đe sau ([9], tr 37) Bo đe 1.1 ([9]) Neu t0 ∈ R+, φ ∈ C cho trưác f (t, φ) liên tnc vi¾c tìm nghi¾m cua phương trình (1.2) qua (t0, φ) tương đương vái vi¾c giai phương trình tích phân sau xt0 = φ x(t) = φ(t0) + ∫t (1.3) f (s, xs)ds, t ≥ t0 t0 Lưu ý rang hàm x(t) thoa mãn phương trình tích phân Bő đe 1.1 chi can kha vi bên phai hau khap nơi, không can phai kha vi (hai phía) khap nơi khái ni¾m nghi¾m cő đien cna phương trình vi phân thưịng Ta se thay đieu qua ví du ve vi¾c giai phương trình ch¾m o phan sau 00 ... tuyen tính khơng dùng phương trình Riccati 24 2.3 Các ket qua cho phương trình vi phân có ch¾m phân phoi 30 2.4 Bat phương trình ma tr¾n vói h¾ tuyen tính khơng dùng 34 M®t vài Éng dnng cua phương. .. cho h¾ phương trình vi phân thũng Ngy nay, vi? ??c nghiờn cỳu ó oc mo rđng theo nhieu hưóng M®t so nghiên cúu phương trình vi phân hàm, đ¾c bi¾t phương trình có ch¾m Lu¾n văn đe c¾p đen tính őn... nghi¾m cna phương trình ma tr¾n Riccati trưịng hop h¾ tuyen tính khơng dùng ket qua cho phương trình vi phân có ch¾m khơng dùng Chương ba trình bày m®t so úng dung cna phương trình vi phân có ch¾m