Luận văn thạc sĩ tính ổn định nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Trang Anh TÍNH ON бNH NGHIfiM CUA BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFIN SUY RđNG V NG DUNG LUắN VN THAC S KHOA HOC Hà N®i - 2018 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Trang Anh TÍNH ON бNH NGHIfiM CUA BÀI TỐN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFIN SUY R®NG VÀ ÚNG DUNG Chuyên ngành: Tốn úng dung Mã so: 8460112.01 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS.TS Nguyen Năng Tâm Hà N®i - 2018 Lài cam ơn Lịi đau tiên cna lu¾n văn em xin gui lịi cam ơn sâu sac đen thay giáo hưóng dan PGS.TS Nguyen Năng Tâm Thay t¾n tình quan tâm hưóng dan em q trình hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói thay giáo b® mơn Tốn Úng Dung, tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i day bao em t¾n tình suot q trình em HQc t¾p tai trưòng Nhân d%p em xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành đen gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình HQc t¾p hồn thành lu¾n văn Lài nói đau Bài tốn bat thúc bien phân (Variational Inequality Problem) đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói cơng trình cna G Stampacchia, J L Lions Hi¾n nay, tốn bat thúc bien phân đưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau, ví du: bat thúc bien phân vector, tna bat thúc bien phân, gia bat thúc bien phân, bat thúc bien phân an Bài toán thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà tốn HQc mơ hình cna chúa nhieu tốn quan TRQNG m®t so lĩnh vnc khác cna tốn HQc, ví du: toi ưu hóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao thơng Nghiên cúu ve tính őn đ%nh cna nghi¾m tốn bat thúc bien phân afin m®t đe tài thú v% có nhieu úng dung thnc te Trong lu¾n văn này, ta se xem xét nghi¾m cna tốn bien đői the tham so thay đői Sn őn đ%nh đòi hoi xáo trđn rat nho hoắc sai so nho cú the o ac oc (cng ong ngha vúi viắc sn xỏo trđn cna nghi¾m tốn rat ít) Nhieu báo thao lu¾n ve tính őn đ%nh cna ánh xa nghi¾m cna cna toán bat thúc bien phân afin Gowda and Pang [5] thu đưoc vài đieu ki¾n đn cho nghi¾m b% ch¾n őn đ%nh cna tốn bat thúc bien phân afin Trong [15], Robinson nghiên cúu ve tính őn đ%nh cna tốn bien phân afin vói t¾p nghi¾m khác rong b% ch¾n Vài chn đe tương tn đưoc nghiên cúu Gowda and Seidman [6] Lee et al [3] chi đieu ki¾n cho nua liên luc nua liên tuc dưói cna ánh xa nghi¾m cna tốn Trong lu¾n văn này, em xin đe c¾p tói vài úng dung cna toán bat thúc bien phân afin Cùng vói vài ket qua mo r®ng tù [3] [8] Đ¾c bi¾t, em chi vài ket qua tőng qt [3] trưịng hop t¾p ràng buđc a diắn loi xỏc %nh boi nhieu hm loi tồn phương huu han Lu¾n văn gom hai phan Phan mđt a cỏc khỏi niắm mo au ve bi tốn bat thúc bien phân afin Phan hai nói ve tính őn đ%nh nghi¾m cna tốn bien phân afin suy r®ng có tham so Do thịi gian thnc hi¾n khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi sai sót Em mong nh¾n đưoc sn góp ý phan bi¾n cna quý thay cô ban đQc Xin chân thành cam ơn! Mnc lnc Bat thÉc bien phân afin 1.1 Bat thúc bien phân 1.2 Bài toán bù 12 1.3 Bat thúc bien phân afin 14 1.4 Bài toán bù tuyen tính 22 Tính on đ%nh cua nghi¾m tốn bat thÉc bien phân afin suy r®ng có tham so 25 2.1 Bat thúc bien phân afin suy r®ng .25 2.2 Tính nua liên tuc cna ánh xa nghi¾m 28 2.3 Tính nua liên tuc dưói cna ánh xa nghi¾m .33 2.4 Vài ket qua ve sn őn đ%nh .40 2.5 Úng dung cho tốn quy hoach tồn phương vói ràng bu®c tồn phương .47 Các ký hi¾u viet tat Ký hi¾u VI V I(ϕ, Θ) Sol(V I(ϕ, Θ)) NCP NCP (ϕ, Θ) AV I AV I(D, q, Θ) Sol(AV I(D, q, Θ)) LCP LCP (D, q) GLCP GAV I SCQ MFCQ QP KKT Ý nghĩa Bài toán bat thúc bien phân Bài toán bat thúc bien phân đưoc xác đ%nh boi tốn tu ϕ t¾p Θ T¾p nghi¾m cna V I(ϕ, Θ) Bài tốn bù phi tuyen Bài toán bù phi tuyen đưoc xác đ%nh boi tốn tu ϕ t¾p Θ Bài tốn bat thúc bien phân afin Bài toán bat thúc bien phân afin đưoc xác đ%nh boi ma tr¾n D, véc tơ q t¾p Θ T¾p nghi¾m cna AV I(D, q, Θ) Bài tốn bù tuyen tính Bài tốn bù tuyen tính đưoc xác đ%nh boi ma tr¾n D véc tơ q Bài tốn bù tuyen tính suy r®ng Bài tốn bat thúc bien phân afin suy r®ng Đieu ki¾n quy Slater Đieu ki¾n quy Mangasarian Fromovitz (MFCQ) Bài tốn quy hoach tồn phương Karush–Kuhn–Tucker Chương Bat thÉc bien phân afin Trưóc het, se đe c¾p tói khái ni¾m cna tốn bat thúc bien phân afin toán bù tuyen tính 1.1 Bat thÉc bien phân Trong phan 1.1 se tìm hieu ve khái ni¾m cna tốn bat thúc bien phân Sau se nghiên cúu cau trúc cna t¾p nghi¾m hai trũng hop rng buđc l compact v khụng compact Cho f : Rn → R m®t hàm C1 v Rn l mđt loi úng, khác rong Đ¾t  vói MQI x ∈ Rn (1.1) ∂f (x) ∂x1 ϕ(x) = ∇f (x)   =   ∂f (x) ∂xn Đe đưa đ%nh nghĩa ve bat thúc bien phân, trưóc het ta có m¾nh đe sau: M¾nh đe 1.1 Neu xˆ l mđt nghiắm %a phng cua bi toỏn toi u { f (x): x ∈ Θ} (ϕ(xˆ), y − xˆ) ≥ vái MQI (1.2) y ∈ Θ (1.3) ChÉng minh: Lay x ∈ Θ nghi¾m đ%a phương cna (1.2) CHQN γ > cho f (y) ≥ f (xˆ) vói MQI y ∈ Θ ∩ B(xˆ, γ) Vói moi y ∈ Θ\{xˆ}, ∃θ > cho xˆ + t(y − xˆ) ∈ Θ ∩ B¯ (xˆ, γ) vói t ∈ (0, θ) Khi f (xˆ + t(y − xˆ)) = f j (xˆ, y − xˆ) − f lim (xˆ) ≤ = (∇f (xˆ), y − xˆ) = (ϕ(xˆ), y − xˆ) t→0 t Ta có đieu phai chúng minh (Đpcm) Tù ta có đ%nh nghĩa cna tốn bat thúc bien phân Đ%nh nghĩa 1.1 Neu Θ ⊂ Rn l mđt loi úng khỏc rng v : Θ → Rn m®t ánh xa cho trưác tốn tìm xˆ thóa mãn (1.3) đưac GQI mđt bi toỏn bat ang thỳc bien phõn hoắc n gian m®t bat thúc bien phân ( viet tat VI) Nó đưac ký hi¾u VI(ϕ, Θ) T¾p nghi¾m Sol(VI(ϕ, Θ)) cua VI(ϕ, Θ) t¾p MQI xˆ ∈ Θ thóa mãn (1.3) Như v¾y, ta chi rang tốn toi ưu có the dan túi mđt bi toỏn bat ang thỳc bien phõn, vắy điem khác bi¾t cna tốn bat thúc bien phân so vói tốn quy hoach tốn HQc khác gì? M¾nh đe sau se giúp tra lịi câu hoi đó: M¾nh đe 1.2 Cho xˆ ∈ Θ Neu ton tai γ > cho (ϕ(xˆ), y − xˆ) ≥ vái xˆ ∈ Sol(V I(ϕ, Θ)) MQI y ∈ Θ ∩ B¯ (x, ), (1.4) Ket luắn Sau mđt thũi gian HQc t¾p nghiên cúu dưói sn giang day, hưóng dan t¾n tình cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm thay giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin trưòng Đai HQc khoa HQc tn nhiên - Đai HQc Quoc gia H Nđi, em ó hon thnh luắn vói tiêu đe: "Tính őn đ%nh nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân afin suy r®ng úng dung" Luắn ó at oc mđt so ket qua sau: Trình bày khái ni¾m tốn bat thúc bien phân afin, đưa m®t so ví du minh hQa đ%nh lý, bő đe đe chuan b% cho phan tiep theo Đưa ket qua ve sn őn đ%nh cna nghi¾m cna tốn úng dung Có the xem lu¾n văn bưóc tìm hieu ban đau ve tốn bat thúc bien phân afin Em hy vQNG se có d%p tìm hieu sâu ve tốn quan TRQNG tương lai Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan t¾n tình cna thay PGS.TS Nguyen Năng Tâm sn nghiên cúu làm vi¾c nghiêm túc cna ban thân Em xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen thay Nguyen Năng Tâm toàn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc giúp em hồn thành lu¾n văn Tài li¾u tham khao [1] D Kinderlehrer, G Stampacchia An Introduction To Variational Inequalities And Their Applications Philadelphia (PA): Society for Industrial and Applied Mathematics; (2000) [2] G M Lee, N N Tam, N D Yen Quadratic Programming And Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study Vol 78, Nonconvex optimization and its application New York (NY): Springer-Verlag; (2005) [3] G M Lee, N N Tam, N D Yen Continuity of the solution map in parametric affine variational inequalities Set-Valued Anal 15:105–123.(2007) [4] J F Bonnans, A Shapiro Perturbation Analysis Of Optimization Problems New York (NY): Springer-Verlag; (2000) [5] M S Gowda , J S Pang On the boundedness and stability of the set of solutions to the affine variational inequality problem SIAM J Control Optim 32:421–441 (1994) [6] M S Gowda, T S Seidman Generalized linear complementarity problems Math Program.46:329–340 (1990) [7] M S Gowda, J S Pang : Stability analysis of variational inequalities and nonlinear complementarity problems, via the mixed linear complementar- ity problem and degree theory, Mathematics of Operations Research, 19, 831879 (1994b) [8] N N Tam Some stability results for the semi-affine variational inequality problem Acta Math Vietnam 29:271–280 (2004) [9] N D Yen Parametric optimization problems and parametric variational inequalities Vietnam J Math 37:191–223 (2009) [10] N N Tam, T V Nghi On the solution existence and stability of quadratically constrained nonconvex quadratic programs Optim Lett DOI:10.1007/s11590-017-1163-4, (2017) [11] N D Yen, N X Hung: A Criterion For The Compactness Of The Solution Set Of A Linear Complementarity Problem, In Fixed Point Theory and Applications Vol (Y J Cho,J K Kim and S M Kang, Eds.), Nova Science Publishers, New York (2001) [12] P T Harker, J S Pang: Finite-dimensional variational inequality and nonlinear complementarity problems: A survey of theory, algorithms and applications, Mathematical Programming, 48, 161-220 (1990) [13] R W Cottle, J S Pang, R E Stone: The Linear Complementarity Problem, Academic Press, New York (1992) [14] R T Rockafellar: Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1970) [15] S M Robinson Generalized equations and their solutions, part I : basic theory Math Program Study 10:128– 144 (1979) [16] T V Nghi, N.N Tam Continuity and directional differentiability of the value function in parametric quadratically constrained nonconvex quadratic programs Acta Math Vietnam 42:311–336 (2017) [17] T V Nghi: On stability of solutions to parametric generalized affine variational inequalities, Optimization DOI: 10.1080/02331934.2017;1394297 (2017) ... t¾p Θ Bài toán bat thúc bien phân afin Bài toán bat thúc bien phân afin đưoc xác đ%nh boi ma tr¾n D, véc tơ q t¾p Θ T¾p nghi¾m cna AV I(D, q, Θ) Bài tốn bù tuyen tính Bài tốn bù tuyen tính đưoc... I SCQ MFCQ QP KKT Ý nghĩa Bài toán bat thúc bien phân Bài toán bat thúc bien phân đưoc xác đ%nh boi toán tu ϕ t¾p Θ T¾p nghi¾m cna V I(ϕ, Θ) Bài toán bù phi tuyen Bài toán bù phi tuyen đưoc xác... Bài toán bù 12 1.3 Bat thúc bien phân afin 14 1.4 Bài tốn bù tuyen tính 22 Tính on đ%nh cua nghi¾m tốn bat thÉc bien phân afin suy r®ng có tham so 25 2.1 Bat thúc bien phân