Tính ổn định nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Trang Anh TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFIN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Trang Anh TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFIN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - 2018 Lời cảm ơn Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Thầy tận tình quan tâm hướng dẫn em q trình hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo mơn Tốn Ứng Dụng, tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình em học tập trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập hồn thành luận văn Lời nói đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) đời vào năm 1960, gắn liền với cơng trình G Stampacchia, J L Lions Hiện nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phân vector, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn Bài toán thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mơ hình chứa nhiều tốn quan trọng số lĩnh vực khác tốn học, ví dụ: tối ưu hóa, lý thuyết trị chơi, cân Nash, cân mạng giao thông Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân afin đề tài thú vị có nhiều ứng dụng thực tế Trong luận văn này, ta xem xét nghiệm toán biến đổi tham số thay đổi Sự ổn định đòi hỏi xáo trộn nhỏ sai số nhỏ đo đạc (cũng đồng nghĩa với việc xáo trộn nghiệm tốn ít) Nhiều báo thảo luận tính ổn định ánh xạ nghiệm của toán bất đẳng thức biến phân afin Gowda and Pang [5] thu vài điều kiện đủ cho nghiệm bị chặn ổn định toán bất đẳng thức biến phân afin Trong [15], Robinson nghiên cứu tính ổn định toán biến phân afin với tập nghiệm khác rỗng bị chặn Vài chủ đề tương tự nghiên cứu Gowda and Seidman [6] Lee et al [3] điều kiện cho nửa liên lục nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán Trong luận văn này, em xin đề cập tới vài ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân afin Cùng với vài kết mở rộng từ [3] [8] Đặc biệt, em vài kết tổng quát [3] trường hợp tập ràng buộc đa diện lồi xác định nhiều hàm lồi toàn phương hữu hạn Luận văn gồm hai phần Phần đưa khái niệm mở đầu toán bất đẳng thức biến phân afin Phần hai nói tính ổn định nghiệm tốn biến phân afin suy rộng có tham số Do thời gian thực khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Mục lục Bất 1.1 1.2 1.3 1.4 đẳng thức biến phân afin Bất đẳng thức biến phân Bài toán bù Bất đẳng thức biến phân afin Bài tốn bù tuyến tính Tính ổn định nghiệm toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng có tham số 2.1 Bất đẳng thức biến phân afin suy rộng 2.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm 2.3 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm 2.4 Vài kết ổn định 2.5 Ứng dụng cho toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương 6 12 14 22 25 25 28 33 40 47 Các ký hiệu viết tắt Ký hiệu VI V I(ϕ, Θ) Ý nghĩa Bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định toán tử ϕ tập Θ Sol(V I(ϕ, Θ)) Tập nghiệm V I(ϕ, Θ) N CP Bài toán bù phi tuyến N CP (ϕ, Θ) Bài toán bù phi tuyến xác định toán tử ϕ tập Θ AV I Bài toán bất đẳng thức biến phân afin AV I(D, q, Θ) Bài toán bất đẳng thức biến phân afin xác định ma trận D, véc tơ q tập Θ Sol(AV I(D, q, Θ)) Tập nghiệm AV I(D, q, Θ) LCP Bài toán bù tuyến tính LCP (D, q) Bài tốn bù tuyến tính xác định ma trận D véc tơ q GLCP Bài tốn bù tuyến tính suy rộng GAV I Bài toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng SCQ Điều kiện quy Slater MFCQ Điều kiện quy Mangasarian Fromovitz (MFCQ) QP Bài tốn quy hoạch tồn phương KKT Karush–Kuhn–Tucker Chương Bất đẳng thức biến phân afin Trước hết, đề cập tới khái niệm toán bất đẳng thức biến phân afin tốn bù tuyến tính 1.1 Bất đẳng thức biến phân Trong phần 1.1 tìm hiểu khái niệm toán bất đẳng thức biến phân Sau nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm hai trường hợp tập ràng buộc compact không compact Cho f : Rn → R hàm C Θ ⊂ Rn tập lồi đóng, khác rỗng Đặt  ∂f (x)  ∂x1  ϕ(x) = ∇f (x) =  ∂f (x) ∂xn  n  với x ∈ R (1.1) Để đưa định nghĩa bất đẳng thức biến phân, trước hết ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1 Nếu x ˆ nghiệm địa phương toán tối ưu { f (x): x ∈ Θ} (1.2) ϕ(ˆ x), y − xˆ ≥ với y ∈ Θ (1.3) Chứng minh: Lấy x ∈ Θ nghiệm địa phương (1.2) Chọn γ > cho f (y) ≥ f (ˆ x) với y ∈ Θ ∩ B(ˆ x, γ) ¯ x, γ) với t ∈ (0, θ) Với y ∈ Θ\{ˆ x}, ∃θ > cho xˆ + t(y − xˆ) ∈ Θ ∩ B(ˆ Khi f (ˆ x + t(y − xˆ)) − f (ˆ x) = f (ˆ x, y − xˆ) t→0 t = ∇f (ˆ x), y − xˆ ≤ lim = ϕ(ˆ x), y − xˆ Ta có điều phải chứng minh (Đpcm) Từ ta có định nghĩa tốn bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.1 Nếu Θ ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng ϕ : Θ → Rn ánh xạ cho trước tốn tìm x ˆ thỏa mãn (1.3) gọi ˆ ||ˆ ˆ ||ˆ ˆ ||ˆ ˆ ||z k ||2 ||ˆ x + k h|| x + k h|| x + k h|| x + k h|| ˆ h ˆ ≥ Do đó, ˆ h, Cho k → +∞ sử dụng giả thiết (a2 ), ta thu D ˆ h ˆ = Từ giả thiết (a1 ), ta có ˆ h, D ˆ = ˆ +D ˆ T )h (D (2.33) Với x ∈ F(ˆ ω ) từ (2.33), ta có ˆ + qˆ, x − xˆ − k h ˆ ˆ k + qˆ, x − z k = D(ˆ ˆ x + k h) Dz ˆ h ˆ +k D ˆ x − xˆ ˆ x + qˆ, x − xˆ −k D ˆ h, ˆ h, = Dˆ ˆ q ,ˆ ≥0 x ˆ∈Sol(D,ˆ ω) =0 ˆ ˆ x + qˆ, h − k Dˆ ˆ x − D ˆ xˆ − D ˆ xˆ − qˆ, h ˆ ) ˆ h, ˆ h, ˆ T h, ≥ k( D ˆ ˆ + qˆ, h = − k Dx = ˆ qˆ, ω ˆ qˆ, ω Từ đó, z k ∈ Sol(D, ˆ ) với k Điều dẫn đến Sol(D, ˆ ) không bị chặn, mâu thuẫn với giả thiết (b2 ) Do (b3 ) thỏa mãn (b3 ) ⇒ (b1 ): Giả sử (b3 ) thỏa mãn Để thu mâu thuẫn, giả sử (b1 ) không thỏa mãn, nghĩa tồn dãy ˆ qˆ, ω {(Dk , q k , ω k )} ⊂ P cho (Dk , q k , ω k ) → (D, ˆ ) Sol(Dk , q k , ω k ) = ∅ với k Từ giả thiết (2.1) thỏa mãn (SCQ) ω ˆ , F(.) nửa liên tục 43 ω ˆ ta có với xˆ ∈ F(ˆ ω ), với > 0, tồn k0 cho F(ω k )∩B(ˆ x, ) = ∅ với k ≥ k0 Vì thế, tồn i0 cho Z i,k = F(ω k ) ∩ {x ∈ Rn : ||x|| ≤ i} (2.34) khác rỗng, compact lồi với i ≥ i0 Áp dụng định lý HartmanStampacchia cho V I(Dk , q k , Z i,k ) thu Sol(Dk , q k , Zi,k ) = ∅ với i ≥ i0 , k ≥ k0 Cố định xi,k ∈ Sol(Dk , q k , Z i,k ) ta có Dk xi,k + q k , z − xi,k ≥ với z ∈ Z i,k (2.35) Giờ ta chứng minh ||xi,k || = i Thật vậy, giả sử phản chứng ||xi,k || = i Khi đó, tồn taị α > cho ¯ k,i , α) := {x ∈ Rn : ||x − xi,k || ≤ α} ⊂ {x ∈ Rn : ||x|| ≤ i} B(x Từ (2.35), Dk xi,k + q k , z − xi,k ≥ ˆ i,k , α) với z ∈ F(ω k ) ∩ B(x (2.36) Do F(ω k ) lồi α > 0, với z ∈ F(ω k ) tồn t ∈ (0, 1) cho ¯ k,i , α) z(t) := xi,k + t(z − xi,k ) ∈ F(ω k ) ∩ B(x Thế z(t) vào z (2.36) ta có ≤ Dk xi,k + q k , z(t) − xi,k = t Dk xi,k + q k , z − xi,k Từ ta có Dk xi,k + q k , z − xi,k ≥ với z ∈ F(ω k ) Vì thế, xi,k ∈ Sol(Dk , q k , ω k ) mâu thuẫn với giả thiết Sol(Dk , q k , ω k ) = ∅ với k Do vậy, ||xi,k || = i với i ≥ i0 k ≥ k0 Cố định i ≥ i0 Khi {xi,k }, k ≥ k0 có dãy hội tụ Không tổng quát, giả sử limk→∞ xi,k = xi với xi ∈ F(ˆ ω ) ||xi || = i Cho k → ∞ biểu thức (2.35) ta ˆ i +ˆ Dx q , z−xi ≥ với z ∈ Z i := F(ˆ ω )∩{x ∈ Rn : ||x|| ≤ i} (2.37) 44 ... tiêu đề: "Tính ổn định nghiệm toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng ứng dụng" Luận văn đạt số kết sau: Trình bày khái niệm toán bất đẳng thức biến phân afin, đưa số ví dụ minh họa định lý,... trộn nghiệm tốn ít) Nhiều báo thảo luận tính ổn định ánh xạ nghiệm của toán bất đẳng thức biến phân afin Gowda and Pang [5] thu vài điều kiện đủ cho nghiệm bị chặn ổn định toán bất đẳng thức biến. .. thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ: bất đẳng thức biến phân vector, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn Bài toán thu hút quan tâm nhiều nhà tốn