Luận văn thạc sĩ tính ổn định của một số lớp phương trình hàm với cặp biến tự do

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± THANH TÂM TÍNH ON бNH CUA MđT SO LộP PHNG TRèNH HM VộI CắP BIEN TU DO Chuyờn ngnh: Giai tớch Mó so: 60460102 LUÔN VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH NGUYEN VN MắU H NđI- 2014 Mnc lnc Li nói đau Tính on đ%nh cua phương trình hàm dang Cauchy 1.1 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm c®ng tính 1.2 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm nhân tính 11 1.3 Tính őn đ%nh cna hàm logarit .13 1.4 Tính őn đ%nh cna hàm lũy thùa 18 Tính on đ%nh cua phương trình hàm chuyen tiep đai lưang trung bình ban 25 2.1 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm chuyen tiep đai lưong trung bình c®ng vào trung bình c®ng 25 2.2 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm chuyen tiep đai lưong trung bình c®ng vào trung bình nhân 27 2.3 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm chuyen tiep đai lưong trung bình c®ng vào trung bình đieu hịa 29 2.4 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm chuyen tiep đai lưong trung bình cđng vo trung bỡnh bắc hai .31 Tính on đ%nh cua m®t so dang phương trình hàm khác 33 3.1 Tính őn đ%nh cna phương trình sóng 33 3.2 Tính őn đ%nh cna phương trình đa thúc 37 3.3 Tính őn đ%nh cna phương trình dang tồn phương 40 Ket lu¾n .44 Tài li¾u tham khao 45 LèI NÓI ĐAU Lý thuyet phương trình hàm m®t nhung chn đe lâu địi nhat cna tốn HQc phân tích Nó đưoc địi tù rat sóm có m¾t o hau het MQI nơi có úng dung MQI lĩnh vnc cna địi song ky thu¾t Đã có rat nhieu nhà tốn HQc lón nghiên cúu lĩnh vnc như: Cauchy, D’Alembert, Banach, Gauss, HQ có rat nhieu đóng góp to lón Trong m®t giang női tieng cna S.M.Ulam tai câu lac b® tốn cna trưòng đai HQ c Wisconsin vào năm 1940 đưa m®t so van đe chưa đưoc giai quyet M®t so van đe dan đen m®t hưóng nghiên cúu mói mà ngày biet đen nghiên cúu tính őn đ%nh cna phương trình hàm Thơng thưịng khái ni¾m őn đ%nh tốn HQc nghiên cúu thưịng có m®t điem chung ta thưịng giai quyet tốn: Khi đieu cịn neu thay đői "m®t chút" gia thiet cna đ%nh lý mà van khang đ%nh đưoc ket qua cna đ%nh lý van cịn ho¾c "xap xi" đúng.Như v¾y câu hoi đ¾t tính őn đ%nh cna phương trình hàm gì, có điem chung giong khơng neu phương trình hàm tìm đưoc nghi¾m tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình hàm gì? Đe lý giai m®t phan van đe giói thi¾u q trình xây dnng cơng thúc, giai quyet van đe tơi thnc hi¾n luắn vúi e ti "Tớnh n %nh cna mđt so lóp phương trình hàm vói c¾p bien tn do" Bo cuc lu¾n văn gom chương Chương Tính on đ%nh cua phương trình hàm dang Cauchy Muc đích cna chương đưa đ%nh nghĩa đieu ki¾n őn đ%nh cna phương trình hàm Cauchy c®ng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm logarit phương trình hàm lũy thùa m®t so ví du minh HQA Chương Tính on đ%nh cua phương trình hàm chuyen tiep đai lưang trung bình ban Chương đưa tốn tìm nghi¾m xét tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình chuyen tiep đai lưong trung bình ban Chương Tính on đ%nh cua m®t so phương trình hàm dang khác Các ket qua lu¾n văn đưoc trình bày dna tài li¾u tham khao [1]-[12] Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan t¾n tình nghiêm khac cna GS.TSKH Nguyen Văn M¾u.Thay dành rat nhieu thịi gian q báu cna đe hưóng dan, giai đáp nhung thac mac cna tơi Qua tơi xin gui lịi cam ơn chân thành sâu sac nhat đen thay tồn the ban lãnh đao thay khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưịng Đai hQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i giúp tơi có thêm nhieu kien thúc đe cú the hon thnh luắn v khúa hQc mđt cách tot đep Các thay phịng Sau Đai HQc tao nhung đieu ki¾n thu¾n loi giúp tơi hồn thành thn tuc bao v¾ lu¾n văn HQc t¾p Các thay ban seminar Tốn Giai Tích ve nhung góp ý đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin chân thành cam ơn tat ca nhung sn giúp đõ đóng góp quý giá ay Cuoi ban thân kien thúc cịn có nhieu han che nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót.Rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna q thay ban Hà N®i, tháng 12 năm 2014 Nguyen Th% Thanh Tâm Chương Tính on đ%nh cua phương trình hàm dang Cauchy Đ%nh nghĩa 1.1 Phương trình hàm phương trình mà hai ve cna phương trình bieu thúc đưoc xây dnng tù m®t so huu han hàm chưa biet tù m®t so huu han bien đc lắp Thụng thũng mđt phng trỡnh hm tng qt cho thưịng khơng kèm theo gia thiet có đ¾c trưng giai tích lên hàm tính đo đưoc, tính b % ch¾n, kha tích, kha vi, liên tuc, Như ta biet, phương trình hm l mđt phng trỡnh thụng thũng m nghiắm cna hàm Đe giai quyet tot van đe này, can phân bi¾t tính chat hàm vói đ¾c trưng hm Sau õy l ắc trng hm cna mđt so hàm sơ cap i) Hàm b¾c nhat f (x) = ax + b; a ƒ= 0; b ƒ= có tính chat x+y f Σ = Σf (x) + f (y)Σ, en∀x, y ∈ R 2 ii) Hàm tuyen tính: f (x) = ax; a ƒ= có tính chat: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R iii) Hàm mũ: f (x) = ax, a > 0, a ƒ= có tính chat: f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R iv) Hàm logarit: f (x) = loga |x| ; a > 0, a ƒ= có tính chat: f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ƒ= x, y ∈ R a v) Hàm lũy thùa: f (x) = |x| có tính chat: f (xy) = f (x)f (y) ∀x, y ƒ= x, y ∈ R vi) Các hàm lưong giác: +) Hàm f (x) = sin x có tính chat f (3x) = 3f (x) − 4f 3(x), ∀x ∈ R +) Hàm f (x) = cos x có tính chat: f (2x) = 2f 2(x) − 1, ∀x ∈ R Tiep theo, ta đe c¾p đen tính őn đ%nh cna phương trình hàm Cauchy c®ng tính m®t so phương trình hàm dang Cauchy 1.1 Tính on đ%nh cua phương trình hàm c®ng tính Trưóc het ta nhac lai phương trình hàm Cauchy c®ng tính: Gia su hàm f : R → R hàm thoa mãn tính chat f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, (∗) f đưoc gQI hàm c®ng tính Đ%nh nghĩa 1.2 Gia su f : R → R cho vói neu ton tai so δ > cho MQI ε > cho trưóc |f (x + y) − f (x) − f (y)| < δ, ∀x, y ∈ R m®t hàm c®ng tính M : R → R đe |f (x) − M (x)| < ε, ∀x ∈ R phương trình hàm Cauchy (*) đưoc GQI őn đ%nh Đ%nh lý 1.1 Gia su hàm so f : R → R thoa mãn đieu ki¾n: Vói cho trưóc ta có |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ ε y ∈ R (1.1) MQI ε>0 vói ∀x, Khi vói moi x ∈ R, giói han sau ton tai : A(x) = lim 2−n f (2n x) n→∞ xác đ%nh nhat m®t hàm c®ng tính A : R → R thoa mãn đieu ki¾n |f (x) − A(x)| ≤ ε, ∀x ∈ R ChÚng minh Thay x = y vào (1.1) ta đưoc 1 Σf (2x) − f (x) ≤ Σε 2 (1.2) Su dung phương pháp quy nap ta đưoc |2−n f (2n x) − f (x)| ≤ (1 − 2−n )ε (1.3) Trong (1.3) thay x boi 2x ta đưoc 2 f (22x) − f (2x) ≤ ε Khi 2 1 Hay f (22x) −12f (x)Σ − f (2x) − 2f (x) Σ = f (22x) − f1 f (22x) − f (x) − f (2x) − f (x) ≤ ε Nên 22 22 1 12 f (22x) − f (x) ≤ ε + Σ 2 Do 1 1 +···+ f (2nx) − f (x) ≤ ε + Σ = ε.1 − Σ 2 2 2 n n n Bây giò ta se chúng minh dãy f (2nx) dãy Cauchy vói moi x ∈ 2n R CHQN m > n 1 1 f (2nx) − f (2mx) = | f m− 2 2 n m n n 1Σ (2m−n.2nx) − f (2nx)|1 ≤ ε 1− 2m− n 1n =ε2 n − 2m ) Do dãy { f (2nx)} dãy Cauchy vói moi x ∈ R R không gian Banach2nên ton tai A : R → R cho n A(x) = lim 2−n f (2n x), n→∞ vói moi x ∈ R hay − f (2nx) ε .A(x) n ≤ 2n Tiep theo ta chúng minh A hàm c®ng tính Thay x, y boi 2nx 2ny ta đưoc 1 f (2nx) − f n n f (2n(x + y))n − n 2 2 ∗ (2ny) ≤∈ R.ε vói n∞ ∈Z , x, y Chomoi n→ ta + đưoc |A(x + y) − A(x) − A(y)| ≤ ε Vói moi x ∈ R ta có 1 n n 1 n n x) − A(x)| 1 ≤ ε(1 − n ) + ε n = ε A nhat Cuoi ta can chúng minh hàm Th¾t v¾y gia su ton tai hàm c®ng tính A1 : R → R Khi vói moi x ∈ R 2ε |A(x) − A1(x)| = V¾y A1 = A n |[A(nx) − f (nx)] + [A1(nx) − f (nx)]| ≤ n Nh vắy %nh lý ny cho ta mđt ket qua MQI phương trình Cauchy c®ng tính đeu őn đ%nh Ví dn 1.1 Tìm tat ca hàm f, g, h : R → R thoa mãn phương trình sau f (x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R (1.4) Thay y = vào ta đưoc f (x) = g(x) + h(0), ∀x ∈ R, hay f (x) = g(x) + α, vói α = h(0) Do g(x) = f (x) − α vói MQI x ∈ R Thay x = vào , ta đưoc f (y) = h(x) + β, hay h(x) = f (x) − β, vói Phương trình tro thành MQI vói β = g(0), x ∈ R f (x + y) = f (x) + f (y) − α − β, ∀x, y ∈ R (1.5) f (x) = A(x) + α + β Đ¾t Thay vào (1.5) đưoc A(x + y) + α + β = A(x) + α + β + A(y) + α + β − α − β, hay A(x + y) = A(x) + A(y), x, y R Vắy A l mđt hàm c®ng tính R nên f (x) = A(x) + α + β  g(x) = A(x) + β  h(x) = A(x) + α Nh¾n xét 1.1 Neu tốn có thêm gia thiet: hàm f, g, h liên tuc nghi¾m tìm đưoc se   f (x) = ax + α + β g(x) = ax + β h(x) = ax +α vói a, α, β hang so tùy ý Tiep theo ta xét tính őn đ%nh cna phương trình (1.5) M¾nh đe 1.1 Gia su hàm f, g, h : R → R thoa mãn đieu ki¾n |f (x + y) − g(x) − h(y)| ≤ ε (1.6) vói ε so dương tùy ý cho trưóc vói MQI x, y ∈ R Khi ton tai nhat m®t hàm c®ng tính A : R → R cho |f (x)−A(x) −f (0) | 6ε ≤ |g(x) −A(x) −g(0)| 4ε ≤ |h(x) − A(x) − h(0)| ≤ 6ε vói MQI x ∈ R ChÚng minh Thay y = vào (1.6), ta đưoc |f (x) − g(x) − h(0)| ≤ ε, ∀x ∈ R, (1.7) suy |f (0) − g(0) − h(0)| ≤ ε (1.8) Thay y = vào (1.6), ta đưoc |f (y) − h(y) − g(0)| ≤ ε, ∀t ∈ R (1.9) Tù (1.7) (1.9) |h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| = |f (x) − g(x) − h(0) + h(x) + g(0) − f (x)| ≤ |f (x) − g(x) − h(0)| + |f (x) − h(x) − h(0)| hay |h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| ≤ 2ε, ∀x ∈ R (1.10) Su dung (1.7), ta đưoc |f (x + y) − g(x + y) − h(0)| ≤ ε, ∀x, y ∈ R (1.11) Ta có |f (x+y)−g(x+y)−h(0)| = |f (x+y)−g(x)−h(y)−g(x+y)+g(x) +h(y)−h(0)| Ket hop (1.6) (1.11) thu đưoc |g(x + y) − g(x) − h(y) + h(0)| ≤ |f (x + y) − g(x + y) − h(0)| Và |f (x, y2) − [α(x) + β(y2) + A(x, y2)]| ≤ 20δ, ∀x ∈ R Vì A c®ng tính vói bien thú nên có the viet |f (x, y1 ) − f (x, y2 ) − β(y1 ) + β(y2 ) − A(x, y1 − y2 )| ≤ 40δ, ∀x ∈ R Vì →(ta f (x, y ) − f (x, y ) đo đươc R nên A có the b% ch¾n t¾pxcon GQI là1T ) cna R o2 oc Lebesgue Nh vắy y1 y2y) l cđng tính R b% ch¾n T Suy tonxtai→soA(x, thnc c(y 2) cho A(x, y1 − y2) = c(y1 − y2), ∀x ∈ R Đ¾t U = {y1 − y2 : y1, y2 ∈ S} Vói z ∈ U ton tai c(z) ∈ R cho A(x, z) = c(z)x, ∀x ∈ R Vì S đo đưoc nên U chúa lân c¾n cna đ¾t V Lay y ∈ R, cHQN z ∈ V m®t so tn nhiên n cho y = nz A(x, y) = nA(x, z) = nc(z)x, ∀x ∈ R Vì v¾y vói y ∈ R ton tai m®t so c(y) ∈ R cho A(x, y) = c(y)x, ∀x ∈ R Vì A phan đoi xúng nên c(y)x = A(x, y) = −A(y, x) = −c(x)y, ∀x, y ∈ R Đ¾c bi¾t c(x)x = −c(x)x, ∀x ∈ R nên c(x) = vói MQI x ƒ= 0, x ∈ R Rõ ràng c(0) = A(x, y) = vói MQI x, y ∈ R V¾y |f (x, y) − [α(x) + β(y)]| leq20δ, ∀x, y ∈ R Tiep y) đotheo đưoccHQN x R.0 , y0 ∈ R cho: x → f (x, y0) y → f (x0, Đ¾t ϕ(x) = f (x, y0) − β(y0) ψ(y) = f (x0, y) − α(x0), Khi ϕ ψ đo đưoc R Hơn the nua ta có ∀x, y ∈ R |f (x, y0 ) − (α(x) − β(y0 ))| ≤ 20δ, Vì v¾y |f (x0, y) − (α(x0) + β(y))| ≤ 20δ, ∀x, Và y ∈ R |ϕ(x) − α(x)| ≤ 20δ, Do ∀x ∈ R |ψ(y) − β(y)| ≤ 20δ, ∀y ∈ R |f (x, y) − (ϕ(x) + ψ(y))| ≤ 60δ, ∀x, y ∈ R H¾ qua 3.1 Gia su f : R2 → R so δ > thoa mãn đieu ki¾n |f (x + h, y + h) − f (x + h,y, y)h−∈fR (x, y + h) + f (x, y)| ≤ δ, ∀x, Gia su ton tai x0, y0 ∈ G cho x → f (x, y0) y → f (x0, y) liên tuc R Khi ton tai hàm a, b : R → R liên tuc cho |f (x, y) − (a(x) + b(y))| ≤ 180δ, ∀x, y ∈ R ChÚng minh Áp dung Đ%nh lý 3.2 se ton tai nhung hàm ϕ, ψ : R → R cho Vì the |f (x, y) − ϕ(x) + ψ(y)| ≤ 60δ, ∀x, y ∈ R |f (x, y0 ) − (ϕ(x) − ψ(y0))| ≤ 60δ Và |f (x y) − (ϕ(x ψ(y))| ≤ ψ(y 60δ,); ∀x, y 0∈, R a(x) =0 )f +(x, y 0) − Đ¾t b(y) = f (x0, y) − ϕ(x0), vói x, y ∈ R Khi a, b liên tuc R |a(x) − ϕ(x)| ≤ 60δ, ∀x ∈ R; |b(y) − ψ(y)| ≤ 60δ, ∀y ∈ R Vì v¾y ta ket lu¾n đưoc se ton tai hàm a, b : R → R liên tuc cho |f (x, y) − (a(x) + b(y))| ≤ 180δ, ∀x, y ∈ R 3.2 Tính on đ%nh cua phương trình đa thÉc Ta biet phương trình đa thúc phương trình có dang anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = Trưóc het ta xét tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình đa thúc xn + αx + β = (3.2) (3.3) Vói x ∈ [−1; 1] ta có đ%nh nghĩa sau Đ%nh nghĩa 3.1 Phương trình (3.3) đưoc GQI őn đ%nh neu ton tai m®t hang so K > cho vói moi ε > 0, y ∈ [−1, 1] thoa mãn đieu ki¾n |y n+ αy + β| ≤ ε, đeu ton tai z ∈ [−1, 1] đe zn + αz + β = 0, thoa mãn đieu ki¾n |y − z| ≤ Kε Vói đ%nh nghĩa ta có đ%nh lý sau Đ%nh lý 3.3 Gia su |α| > n, |β| < |α| − y ∈ [−1, 1] thoa mãn bat thúc sau |yn + αy + β| ≤ ε (3.4) Khi ton tai nghi¾m v ∈ [−1, 1] cna (3.3) cho |y − v| ≤ Kε, vói K > m®t hang so ChÚng minh Vói ε > y ∈ [−1, 1] mà |yn + αy + β| ≤ ε Ta se chi rang có m®t hang so K theo ε v cho |y − v| < Kε, vói ∀v ∈ [−1, 1], thoa mãn đieu ki¾n n αx + β| = |x + Ta đ¾t g(x) = Khi α (−β − xn),∀x ∈ [−1, 1] n |g(x)| = (−β − x ) ≤ α Ta đ¾t X = [−1, 1] , d(x, y) = |x − y| (X, d) không gian metric đn g ánh xa tù X vào X Vói moi x, y ∈ X ta có 1 d(g(x), g(y)) = (−β − xn) − (−β − yn) ≤ |xn − yn| α α | α| = n−1 n−2 n−2 n−1 | |x − y||x + x y + · · · + xy + y | α| Tù |α| ≥ n, x, y ∈ [−1, 1]; x ƒ= y ta đưoc d(g(x), g(y)) ≤ γd(x, y) Vói γ n = ∈ (0, 1) |α| Vì v¾y g ánh xa co tù X vào X ta đ¾t S Suy ton tai nhat m®t v ∈ X đe mà g(v) = v Vì v¾y phương trình a thỳc trờn cú mđt nghiắm thuđc [ 1, 1] Tiep theo ta cHQN K |α|(1 − , = γ) |y − v| = |y − g(y) + g(y) − g(v)| ≤ |y − g(y)| + |g(y) − g(v)| n ≤ y − (−β − y ) + γ|y − v| = |y α+ αy + β| + γ|y − v| | n α| Suy |y − v| ≤ Đ%nh lý đưoc chúng minh n |α(1 − γ)| y + αy + β| | Bây giị ta xét tính őn đ%nh cna phương trình đa thúc an xn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = (3.5) Tương tn ta có đ%nh nghĩa sau Phương trình (3.5) GQi őn đ%nh neu ton tai m®t hang so K > 0, vói moi ε > y ∈ [−1, 1] neu |anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0| ≤ ε Khi ton tai z ∈ [−1, 1] thoa mãn đieu ki¾n anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 = 0, cho |y − z| ≤ Kε Tù ta có đ%nh lý ve tính őn đ%nh Đ%nh lý 3.4 Cho phương trình Neu anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = |a0| < |a1| − (|a2| + |a3| + · · · + |an|) |a1| > 2|a2| + 3|a3| + · · · + (n − 1)|an−1| + n|an| Khi phng trỡnh ny ton tai ỳng mđt nghiắm v [−1, 1] Đ%nh lý 3.5 Neu nhung đieu ki¾n cna Đ%nh lý 3.5 nua y ∈ [−1, 1] thoa mãn bat thúc |anyn + an−1yn−1 + · · · + a1y + a0| ≤ ε Khi phương trình 3.5 őn đ%nh ChÚng minh Xem [11] 3.3 Tính on đ%nh cua phương trình dang tồn phương Trưóc het ta nhac lai đ%nh nghĩa phương trình dang tồn phương Hàm b¾c hai f (x) = cx2 thoa mãn phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y) (3.6) Vì the phương trình (3.6) GQI phương trình hàm dang tồn phương Đ%nh lý 3.6 Gia su G m®t nhóm Abel, X khơng gian Banach hàm f : G → X hàm tồn phương vói x, y ∈ G f b% ch¾n Khi neu |f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − 2f (y)| ≤ δ, ∀x, y ∈ G (3.7) vói moi δ > 0, đeu ton tai nhat m®t ánh xa tồn phương q : G → X đe δ |f (x) − q(x)| ≤ Ngoài hàm q đưoc cho boi q(x) = lim f x→∞ , ∀x ∈ G ., ∀x ∈ G δ 4n Cũng tù (3.7) lay x = y ta đưoc: |f (2x) − 4f (x) − f (0)| ≤ δ Khi |f (2x) − 4f (x) − f (0)| ≤ δ Ho¾c (3.8) δ f (2x) −f (x) ≤ δ≤ (3.9) Thay x boi 2x tù (3.9) ta đưoc f (22x) − f (2x) ≤ δ Khi Ho¾c ta có 412 132 f (22x) − f (x) + f (x) − f 3 ≤8 δ+ δ f (22x) − f (x) δ ≤ (2x) δ = 3δ(1 +) < Bang phương pháp quy nap toán f (2nx) − f (x) ≤ n f HQc ta đưoc δ(1 + +···+ n 1 − )= < δ(1 ) δ n CHQN m > n 1 f (2nx) −f (2mx) = 4 n m 1 f (2m−n2nx) − f (2nx) 4n 4m−n 1δ δ 1 ≤ n (1 − m−n ) ( n − m ) =4 4 f (2nx) V¾y { } dãy Cauchy vói moi x ∈ G 4n Tù X không gian Banach h®i tu đen hàm giói han ta Ta có GQI q : G → X |q(x + y) + q(x − y) − 2q(x) − 2q(y)| n n n n n n = |f (2 x + y) + f (2 x − y) − 2f (2 x) − 2f (2 lim y)| n→∞ 4n lim ≤ n→∞ Suy q hàm toàn phương Tiep theo ta chúng minh (3.8) Ta có δ f (2nx) n→∞ |q(x) − f (x)| = lim 4n (x) −f 4n → f (2nx) = lim − f (x) n→∞ 4n lim δ ≤ n→∞ δ = V¾y (3.8) Cuoi ta chúng minh tính nhat cna q Chúng minh bang phan chúng Gia su q : G → X không nhat, nghĩa ton tai m®t hàm tồn phương t : G → X mà: δ |t(x) − f , ∀x ∈ G (x)| ≤ Ta có: δ δ |t(x) − q(x)| ≤ |t(x) − f (x)| + |f (x) − + = δ 2 q(x)| ≤ Boi v¾y ta đưoc |t(x) − q(x)| ≤ δ Vì hàm tồn phương hàm thuan nhat b¾c hai nên ta có |t(x) − q(x)| =| n2t(x) n2q(x) n2 n2 − t(nx) q(nx) = − n n 12 | δ = |t(nx) − q(nx)| ≤ → ∞ n Do t(x) = q(x) vói MQI xn∈ G Vì v¾y q nhat Đ%nh lý đưoc chúng minh Đ%nh lý 3.7 (xem [1],[12]) Gia su có m®t ánh xa f : X → Y thoa mãn bat thúc |f (x + y + z) + f (x − y) + f (y − z) + f (z − x) − 3f (x) − 3f (y) − 3f (z)| ≤ δ (3.10) Khi ton tai nhat m®t ánh xa toàn phương g : X → Y thoa mãn đieu ki¾n f (x + y + z) + f (x − y) + f (y − z) + f (z − x) = 3f (x) + 3f (y) + 3f (z) δ |g(x) − f bat thúc , ∀x ∈ X (x)| ≤ đưoc thoa mãn KET LUắN Nh vắy nđi dung chớnh cna luắn văn là: - Tőng ket lai ket qua có ve tính őn đ%nh cna phương trình hàm Cauchy c®ng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm logarit phương trình hàm lũy thùa - Đưa m®t so ví du cho phương trình - Tőng ket lai ket qua őn đ%nh nghi¾m cna phương trình chuyen tiep đai lưong trung bình ban - Đưa ví du minh HQA - Tőng ket lai ket qua őn đ%nh cna phương trình sóng, phương trình đa thúc, phương trình hàm dang tồn phương Tài li¾u tham khao [1] NXBGD Nguyen Văn M¾u, 1997, Phương trình hàm, [2]T Acze’l 1966, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York/San Francisco/London [3]J.Acz’el and J.Dhombres, 1989, Functional Equations in Several Variables, Academic Press, New York/San Francisco/London [4]M Alimohammady and A Sadeghi, July 2012, On the Superstability and Stability of the Pexiderized Exponential Equation Article 2, Volume 1, Number 2, Page 61-74 [5]Baker, J.A., 1980 The stability of the cosine Equation Proceeding of the American Mathematical Society, 80 (3), 411-416 [6]M Bean and J.A Baker, 1990, The stability of a functional analogue of the wave equation, Can Math Bull., 33, 376 [7]Christopher G Small, 2000, Functinal equations and how to solve them, Springer [8]P.W Cholewa, 1983 The stability of the sine Equation Proceeding of the American Mathematical Society, 88 (4), 631-634 [9]Chung, 2010, Stability of a Jensen type logarithmic functional equation on restricted domains and its asymptotic behaviors Adv Diff Equ 2010 [10]S.Czerwik, 1992, On the stability of the quadratic mappings in normed spaces, Abh Math Semin Univ Hamb, 59[11]Z Daroczy and A Jarai, On the measurable solution of a functional equation of the information theory, Acta Math Acad Sci Hungaricae, vol.34, 105-116, 1979 [12]D.H Hyers, 1983, The stability of homomorphisms and ralated topics, in Global Analysis- Analysis on Manifolds, (ed Th.M Rassias), Band 57, Teste zur Mathematik, Teubner, Leipzig, 140 -153 [13]Pl.Kannappan, 2000, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer Monogaphs in Mathematics, 2000 [14]M Kuczma, B Choczewski, R Ger, 1990, Interative hàm al Equations, Cambridge University Press, Cambridge/New York/Port Chester/Melbourne/Sydney [15]P.K Sahoo, T Riedel, 1998, Mean Value Theorems and Func- tional Equations, World Scientific, Singapore/New Jersey/London/HongKong -385pp, v64 [16]B.J.Venkatachala, 2002, Functional Equations - A problem Solving Approach, PRISM 46 ... đ%nh cna phương trình hàm Cauchy c®ng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm logarit phương trình hàm lũy thùa m®t so ví du minh HQA Chương Tính on đ%nh cua phương trình hàm chuyen... Tính on đ%nh cua phương trình hàm dang Cauchy 1.1 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm c®ng tính 1.2 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm nhân tính 11 1.3 Tính őn đ%nh cna hàm logarit... phương trình hàm c®ng tính Trưóc het ta nhac lai phương trình hàm Cauchy c®ng tính: Gia su hàm f : R → R hàm thoa mãn tính chat f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, (∗) f đưoc gQI hàm c®ng tính