Luận văn thạc sĩ tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - TR±NH TH± NGOC TÍNH ON бNH Hfi TUYEN TÍNH KHƠNG ƠTƠNƠM VÀ ÚNG DUNG TRONG ĐIEU KHIEN Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH Vũ NGQC Phát Hà N®i – Năm 2015 Mnc lnc Me ĐAU CƠ Se TOÁN HOC 1.1 H¾ phương trình vi phân 1.1.1 H¾ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm 1.1.2 Các đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m 1.2 Tính őn đ%nh h¾ phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán őn đ%nh h¾ phương trình vi phân 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 10 1.2.3 M®t so bő đe bő tro 12 Tính on đ%nh cua h¾ phương trình vi phân tuyen tính 13 2.1 H¾ tuyen tính ơtơnơm 13 2.1.1 M®t so đ%nh lý so 13 2.1.2 Bài toán őn đ%nh hóa .18 2.2 H¾ tuyen tính khơng ơtơnơm 20 2.2.1 Bài toán őn đ%nh 22 2.2.2 Bài toán őn đ%nh hóa .26 KET LU¾N 36 Tài li¾u tham khao 37 Me ĐAU Bài tốn őn đ%nh m®t nhung tốn quan TRQNG lý thuyet đ%nh tính phương trình vi phân tích phân Nói m®t cách hình tưong, m®t h¾ thong đưoc GQI őn đ%nh tai trang thái cân bang neu nhieu bé đieu ki¾n ban đau ho¾c cau trúc cna h¾ thong khơng làm cho h¾ thong thay đői q nhieu so vói trang thái cân bang Đưoc bat đau nghiên cúu tù nhung năm cuoi the ki XIX boi nhà toán HQc V Lyapunov, đen lý thuyet n %nh Lyapunov ó tro thnh mđt bđ phắn nghiờn cúu khơng the thieu lý thuyet phương trình vi phân, lý thuyet h¾ thong úng dung Đ¾c bi¾t tù nhung năm 60 cna the ki XX, vói sn phát trien cna lý thuyet đieu khien, ngưòi ta bat đau nghiên cúu tính őn đ%nh cna h¾ đieu khien hay cịn GQI tính őn đ%nh hóa cna h¾ đieu khien, tính őn đ%nh mà Lyapunov đe xưóng trưóc the hi¾n tam quan TRQNG cna sn phát trien liên tuc cna tốn HQc.Vì nhung lý vùa phân tích o mà cho đen tính őn đ%nh đưoc nghiên cúu phát trien m®t lý thuyet toỏn HQc đc lắp cú nhieu ỳng dung huu hiắu tat ca lĩnh vnc tù kinh te đen khoa HQc kĩ thu¾t Như biet, có nhieu phương pháp đe nghiên cúu tính őn đ%nh h¾ phương trình vi phân Chang han như: phương pháp thú nhat Lyapunov (hay GQI phương pháp so mũ đ¾c trưng), phương pháp thú hai Lyapunov (hay cịn GQI phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xap xi, phương pháp so sánh, Moi phương pháp đeu có ưu nhưoc điem riêng Trong lu¾n văn này, chúng tơi nghiên cúu tính őn đ%nh h¾ tuyen tính khơng ơtơnơm úng dung đieu khien theo phương pháp thú hai: phương pháp hàm Lyapunov Lu¾n văn đưoc chia thành hai chương: Chương Cơ sa tốn HQC Chương trình bày m®t so kien thúc so chuan b% cho nđi dung chớnh cna luắn Cu the l trỡnh bày nhung Me ĐAU khái ni¾m ban ve h¾ phương trình vi phân, tốn őn đ%nh, phương pháp hàm Lyapunov đe nghiên cúu tính őn đ%nh cna h¾ phương trình vi phân Chương Tính on đ%nh cua h¾ phương trình vi phân tuyen tính Chương trình bày m®t so ket qua ve tính őn %nh cna hắ phng trỡnh vi phõn Nđi dung chớnh cna chương trình bày đieu ki¾n can đn tính őn đ%nh cna h¾ tuyen tính khơng ôtônôm Đe chúng minh, su dung phương pháp hàm Lyapunov kĩ thu¾t đánh giá bat thúc ma tr¾n tuyen tính Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày úng dung cna h¾ khơng ơtơnơm tốn őn đ%nh hóa h¾ đieu khien Đóng góp cna chúng tơi lu¾n văn trình bày mđt cỏch hắ thong bi toỏn n %nh, n %nh hóa h¾ tuyen tính khơng ơtơnơm vói ví du minh HQA mói Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nhi¾t tình nghiêm khac cna GS.TSKH Vũ NGQc Phát Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen thay Qua đây, tơi xin gui tói q thay Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai hQc Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2012- 2014, lịi cam ơn sâu sac nhat đoi vói cơng lao day suot q trình HQc t¾p cna tơi tai nhà trưịng Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè ban đong nghi¾p thân men ó quan tõm, tao ieu kiắn v c v, đng viên tơi đe tơi hồn thành tot lu¾n văn cna mỡnh H Nđi, thỏng nm 2015 Tỏc gia luắn văn Tr%nh Th% NGQc Bang kí hi¾u Rn R Không gian so thnc Không gian vecto n chieu R+ Tắp hop cỏc so thnc khụng õm nìr R AT I λ(A) λmax(A) A A≥ >0 Không v% ma cna trắnma n trắn ì r chieu Ma trắngian chuyen A Ma tr¾n đơn v% T¾p tat ca giá tr% riêng cna A max {Reλ, λ ∈ λ(A)} Ma tr¾n tr¾n AAxác xácđ%nh đ%nhdương khơng âm Ma + BM (0, ∞) b% ch¾n (0, ∞)T¾p hàm ma tr¾n đoi xúng, xác đ%nh khơng âm C([a, b], Rn) T¾p tat ca hàm liên tuc [a, b] nh¾n giá tr n % R √ ǁAǁ Chuan phő cna ma tr¾n A, ǁAǁ = max(AT A) BC([0, ), Rnìm) Tắp tat ca cỏc ma trắn hm cap n ì m, liờn tuc v b% chắn trờn [0, ) + BC ([0, Rnìm ) tuc T¾pvàtat cach¾n ma tr¾n đoi xúng, xác đ%nh dương cap∞), nn × m, liên b% R+hàm L2([t, s], R ) T¾p tat ca khơng gian kha tích Rn nh¾n giá tr% [t, s] Chương CƠ Se TOÁN HOC Trong chương này, chúng tơi trình bày nhung kien thúc so ve h¾ phương trình vi phân: khái ni¾m ban ve h¾ ơtơnơm, khơng ơtơnơm őn đ%nh h¾ phương trình vi phân, chúng tơi có trình bày phương pháp thú hai cna Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov đoi vói tốn őn đ%nh h¾ phương trình vi phân Chúng tơi nhac lai m®t so ket qua làm so cho n®i dung nghiên cúu o chương sau N®i dung chương đưoc trình bày tù tài li¾u [1, 2, 5] 1.1 1.1.1 H¾ phương trình vi phân H¾ phương trình vi phân ơtơnơm, khơng ôtônôm Rat nhieu trình tn nhiên, v¾t lý, HQc, sinh HQc đưoc mơ ta boi phương trình vi phân Các phương trình vi phân the hi¾n moi quan h¾ giua bien thịi gian, trang thái cna h¾ thong v¾n toc thay đői cna trang thái tai m®t thịi điem e ta phân làm hai loai: h¾ phương trình vi phõn ụtụnụm v hắ phng trỡnh khụng ụtụnụm Mđt h¾ phương trình vi phân ơtơnơm h¾ phương trình vi phân có dang: x˙ (t) = f (x), t ≥ 0, x ∈ Rn; f (.) : Rn → Rn Hay nói cách khác, h¾ phương trình vi phân ơtơnơm h¾ phương trình vi phân mà ve phai khơng phu thu®c vào bien thịi gian t Ngưoc lai, h¾ phương trình vi phân khơng ơtơnơm hắ phng trỡnh vi phõn m ve phai phu thuđc vào bien thịi gian t, túc phương trình cna có dang x˙ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) Chương CƠ Sá TOÁN HOC vói x ∈ Rn; f (.) : [0, +∞) × Rn → Rn 1.1.2 Các đ%nh lý ton tai nhat nghiắm liờn tucphng trờn mien (a, b) ì{y ∈ Rn (1.1), : ǁy −trong y0ǁ ≤ fr}xác Cùng phương Xét trình vi=phân khơng đ%nhvói trình (1.1) ta xét G tốn Cauchy : ơtơnơm x(tx(t)), 0) = x0 x˙ (t) = (t, t0, f Đ%nh lý sau khang đ%nh sn ton tai nghi¾m x(.) mđt lõn cắn (1.2) cna t0 %nh lý 1.1 (Đ%nh lý ton tai đ%a phương) Gia su f ánh xa liên tnc tù G sang Rn thóa mãn đieu ki¾n sau vái MQI t ∈ (a, b), x, y ∈ B n (x0) = {x ∈ Rn : ǁx − x0ǁ ≤ η} ǁf (t, x)ǁ ≤ M1, ǁf (t, x) − f (t, y)ǁ ≤ M2ǁx − yǁ, M1, M2 hang so khơng phu thu®c vào t, x, y Khi đó, ton tai so δ > (δ = η ,M1 , M12 ,) cho vói MQI t0 ∈ (a, b), khoang (t t + δ)ǁφ(t) ∩ (a, toỏn Cauchy (1.2) cú ỳng mđtnnghiắm , x(t) thoa −lýb) xton ǁ≤ η n 0bài Đ%nh lý0mãn 1.2 taisau tồn tnc thóa mãn(Đ%nh đieu ki¾n : cnc) Gia su f (.) : R+ × R → R liên + ǁf (t, x)ǁ ≤ M1 + M0ǁxǁ, ∀t ∈ R , x ∈ R , + ǁf (t, x) − f (t, y)ǁ ≤n M2ǁx − yǁ, ∀t ∈ R , x ∈ Rn + Khi đó, vái bat kì điem x0 ∈ R , t0 ∈ R , ton tai nhat mđt nghiắm x(t) cua tốn Cauchy cua phương trình (1.2) tồn khoang R+ 1.2 1.2.1 Tính on đ%nh h¾ phương trình vi phân Bài tốn on đ%nh h¾ phương trình vi phân Xét h¾ phương trình vi phân khơng ơtơnơm x˙ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.3) + n ú f :Cauchy Rvúi ìnghiắm R cú Rntrên Gia fđ¾t thoa mãn ki¾n thiet đe tốn (1.2) nghi¾m nhat R+η(t), đieu Giatúc su nghi¾m cna (1.3) xác đ%nh R+ su Ta y= x cỏc yxl=can đ(t) lắch cna nghiắm x (t) Vì η˙(t) = f (t, η(t)) nên ta nh¾n đưoc phương trình vi phân đoi vói y: y˙ = g(t, y), g(t, 0) = nên h¾ phương trình y˙ = g(t, y) có nghi¾m tam thưịng y = úng vói nghi¾m cho x = η(t) cna phương trình x˙ = f (t, x) Như v¾y vi¾c nghiên cúu tính őn đ%nh cna nghi¾m x = η(t) không gian Rn đưoc đưa ve nghiên cúu tính őn đ%nh cna nghi¾m tam thưịng y = Rn Do đó, khơng mat tính tőng qt, ta ln gia su phương trình (1.1) có nghi¾m tam thưịng x = 0, túc f (t, 0) = Đ%nh nghĩa 1.1 Nghi¾m tam thưịng x = đưoc GQI őn đ%nh neu ∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0) > cho tù bat thúc ǁx(t0)ǁ ≤ δ suy ǁx(t)ǁ < ε, vói ∀t ≥ t0 Đ%nh nghĩa 1.2 Nghi¾m tam thưịng x = đưoc GQI őn đ%nh ti¾m c¾n neu őn đ%nh MQI nghi¾m x(t) thoa mãn: lim ǁx(t)ǁ = t→+ ∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Nghi¾m tam thưịng x = đưoc GQI őn đ%nh mũ neu ∃M > 0, α > cho vói MQI nghi¾m x(t) cna phương trình (1.1) thoa mãn: ǁx(t)ǁ ™ Mǁx(t0)ǁe−α(t−t0), ∀t ≥ t0 Ta quy ưóc thay nói nghi¾m tam thưịng cna h¾ (1.1) őn đ%nh ( őn đ%nh ti¾m c¾n, őn đ%nh mũ ) ta nói rang h¾ (1.1) őn đ%nh ( őn đ%nh ti¾m c¾n, őn đ%nh mũ ) Ví dn 1.1 Xét h¾ phương trình vi phân sau Rn x˙ (t) = αx(t), t ≥ Nghi¾m x(t), vói x(t0) = x0 cho boi cơng thúc x(t) = x0eαt, t ≥ Khi h¾ őn đ%nh (ti¾m c¾n, mũ) neu α < Neu α = h¾ őn đ%nh Ví dn 1.2 Xét phương trình vi phân x˙ (t) = a(t)x(t), t ≥ 0, ∫ nghi¾m trongđau đó,x(t a(t) : Rx+ → Rboi hàm liên tuc, x(t) cna h¾ vói đieu ki¾n ban 0) = cho t a(t)dt x(t) = x0 t0 Do de kiem tra đưoc h¾ őn đ%nh neu a(τ )dτ ≤ µ(t0) < +∞, t ∫ ∀t ≥ őn đ%nh ti¾m c¾n neu t lim t→ ∞ ∫ t t0 a(τ )dτ =− ∞ Đe giai tốn őn đ%nh h¾ phi tuyen, Lyapunov đưa hai phương pháp: - Phương pháp thú nhat: N®i dung cna phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh thơng qua so mũ Lyapunov ho¾c thơng thưịng dna vào h¾ xap xi tuyen tính Neu ve phai đn tot tính őn đ%nh se đưoc rút tù tính őn đ%nh cna xap xi tuyen tính - Phương pháp thú hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp đưoc xem cách tiep c¾n nghiên cúu ve tính őn đ%nh N®i dung cna phương pháp dna vào sn ton tai cna mđt lúp hm ton phng ắc biắt (GQI hàm Lyapunov) mà tính őn đ%nh cna h¾ cho đưoc kiem tra trnc tiep qua dau cna đao hàm (DQc theo quy đao xét) cna hàm Lyapunov tng ỳng Hiắn cha cú mđt thuắt toỏn tőng quát đe tìm đưoc hàm Lyapunov cho tat ca phương trình Sau chúng tơi xin trình bày nhung ket qua cna phương pháp Tài li¾u tham khao 53 Tài li¾u tham khao 54 Tài li¾u tham khao 55 Tài li¾u tham khao 56 Tài li¾u tham khao 57 Tài li¾u tham khao 58 Tài li¾u tham khao 59 Tài li¾u tham khao 60 Tài li¾u tham khao 61 Tài li¾u tham khao 62 Tài li¾u tham khao 63 Tài li¾u tham khao 64 Tài li¾u tham khao 65 Tài li¾u tham khao 66 (t) + Σ − 1, Tài li¾u tham khao 67 a (t) + n ... pháp nghiên cúu tính őn đ%nh thơng qua so mũ Lyapunov ho¾c thơng thưịng dna vào h¾ xap xi tuyen tính Neu ve phai đn tot tính őn đ%nh se đưoc rút tù tính őn đ%nh cna xap xi tuyen tính - Phương pháp... Chương Tính on đ%nh cua h¾ phương trình vi phân tuyen tính Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so ket qua ve tính őn đ%nh h¾ phương trình vi phân tuyen tính ơtơnơm, khơng ơtơnơm tính őn... nhưoc điem riêng Trong lu¾n văn này, chúng tơi nghiên cúu tính őn đ%nh h¾ tuyen tính khơng ơtơnơm úng dung đieu khien theo phương pháp thú hai: phương pháp hàm Lyapunov Lu¾n văn đưoc chia thành