Các phương pháp tính tích phân gần đúng cho hàm số có số biến rất lớn và ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TIẾN ĐÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GẦN ĐÚNG CHO HÀM SỐ CĨ SỐ BIẾN RẤT LỚN VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐINH DŨNG HÀ NỘI - Năm 2013 Mục lục Lời nói đầu CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CĨ SỐ CHIỀU RẤT LỚN 1.1 Phân rã ANOVA 1.1.1 Phân rã ANOVA cổ điển 1.1.2 Phân hoạch ANOVA có điểm neo 12 1.2 Phương pháp tính tích phân theo số chiều .14 1.2.1 Sự chặt cụt rời rạc hóa 14 1.3 Sai số chi phí .15 1.4 Xây dựng tiên nghiệm sử dụng khơng gian hàm có trọng .18 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỐI ƯU TRÊN LƯỚI THƯA 20 2.1 Lưới thưa tổng quát 20 2.2 Mối quan hệ phương pháp tính tích phân lưới thưa với phương pháp tính tích phân theo số chiều 21 2.3 Lưới thưa tối ưu khơng gian có trọng .23 2.4 Tỉ lệ chi phí lợi nhuận 24 2.5 Phân tích chi phí 27 2.6 Phân tích sai số 28 2.7 Phân tích sai số so với chi phí 30 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH VÀ KẾT QUẢ SỐ 33 3.1 Kết số 33 3.1.1 Xây dựng đường ngẫu nhiên (RW) 34 3.1.2 Xây dựng cầu Brown (BB) 34 3.1.3 Xây dựng thành phần chủ yếu (PCA) 35 3.2 Tùy chọn kiểu Châu Á .36 3.2.1 Mơ hình tốn 37 3.2.2 Số chiều hiệu dụng 38 3.2.3 Sai số chi phí tích phân .39 3.3 Trái phiếu lãi suất không 40 3.3.1 Mơ hình tốn 40 3.3.2 Số chiều hiệu dụng 42 3.4 3.3.3 Sai số chi phí tích phân 42 Trái vụ bảo đảm tài sản chấp .43 3.4.1 Mơ hình toán .44 3.4.2 Số chiều hiệu dụng 45 3.4.3 Chi phí sai số tích phân 45 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Lời nói đầu Lý thuyết xấp xỉ nhánh tốn học nói chung giải tích nói riêng Hiện phát triển mạnh mẽ, thâm nhập vào hầu hết ngành toán học ngành khoa học khác hóa học, vật lí chí tài tốn Đơi phải làm việc với toán mà việc tính giá trị xác gặp nhiều khó khăn số lí biểu thức tốn học cồng kềnh, phức tạp phải tính tích phân có số chiều lớn nhiều lúc người ta xem thảm họa cần phải khắc phục loại trừ hay làm giảm theo nghĩa đó.Với tốn việc tính gần giá trị cho sai số tính tốn nhỏ cần thiết Điều đáng nói xuất nhiều tích phân có số chiều lớn nhiều mơ hình bao gồm từ tốn học, vật lí, hóa học đến tài Trong hầu hết trường hợp, tích phân xuất khơng thể tính tốn theo cơng cụ giải tích thơng thường phương pháp số cần phải áp dụng Ở vấn đề tiên thảm họa số chiều cần phải tránh theo nghĩa Thảm họa số chiều thể chỗ chi phí để xấp xỉ tích phân với độ xác ε cho trước phụ thuộc theo hàm mũ vào số chiều toán Nó trở ngại lớn cho phương pháp số truyền thống với tốn có số chiều cao Điều nói đến [8] Hơn thảm họ số chiều tìm thấy theo quan điểm định lý phức tạp lý thuyết số Ở đó, thể vài tốn tích phân với thuật tốn tốt chí khơng tránh khỏi thảm họa số chiều, toán gọi khơng khả thi Tuy nhiên nhiều tốn ứng dụng đơi lại xuất lớp tốn nhỏ khả thi, thêm vào tồn thuật tốn phá vỡ thảm họa số chiều, thuật toán ngẫu nhiên Monte Carlo (MC) thuật tốn có dạng Mặc dù tốc độ hội tụ thấp phải sử dụng số lượng tương đối lớn điểm đánh giá Sau phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) thay cho phương pháp Monte Carlo, phương pháp giành tốc độ hội tụ nhanh Sai số phương pháp đạt ε(n) = O(n−1(log n)d) cho hàm dấu tích phân có phương sai bị chặn Với nhiều toán tài chính, chuyên gia lý thuyết số chứng minh phương pháp tựa Monte Carlo hội tụ gần độc lập với số chiều, đồng thời nhanh xác phương pháp Monte Carlo Với hàm đủ trơn, kết tương tự tìm thấy cho phương pháp tính tích phân lưới thưa Một giải thích cho thành cơng phương pháp dựa phân tích phân rã phương sai gọi tắt ANOVA Trong luận văn, tác giả trình bày lại số phương pháp tính tích phân gần cho hàm số có số chiều lớn dựa theo nội dung báo: Michael Griebel, Markus Holtz, "Dimension - wise integration of high - dimensional functions with applications to finance", Journal of Complexity 26 (2010), pp 455 - 489 Đồng thời dựa theo nội dung báo tác giả đưa vài kết số quan trọng số ứng dụng tài Cụ thể là, phương pháp tính tích phân xây dựng sở chặt cụt rời rạc hóa phân rã ANOVA có điểm neo Những phương pháp thiết lập nhằm khai thác số chiều hiệu dụng thấp hàm dấu tích phân mà phương pháp lưới thưa trường hợp đặc biệt Hơn phương pháp áp dụng theo cách thích nghi theo số chiều thích nghi địa phương Hiệu chúng kiểm tra chuyên gia số học tích phân có số chiều lớn xuất phát từ tài Nội dung luận văn gồm chương Chương Các phương pháp tính tích phân có số chiều lớn Chương nhắc lại hai phân rã ANOVA, phân rã ANOVA cổ điển phân rã ANOVA có điểm neo Qua đưa khái niệm tương ứng số chiều chặt chụt số chiều hiệu dụng cho loại phân rã Sau sử dụng phân rã ANOVA có điểm neo để giới thiệu lớp phương pháp cho việc tính tích phân nhiều biến Chương Phương pháp tính tích phân tối ưu lưới thưa Chương trình bày phương pháp lưới thưa tổng quát, lưới thưa cổ điển lưới thưa có trọng Qua phân tích mối quan hệ yếu tố sai số, chi phí lợi nhuận phương pháp cho việc tính tích phân nhiều biến Chương Một số kết số ứng dụng tài Chương trình bày kết số số ứng dụng tài mơ hình tùy chọn kiểu Châu Á, trái phiếu khơng lãi suất tốn CMO ( trái vụ bảo đảm tài sản chấp) Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đinh Dũng, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy, thông qua luận văn tác giả xin lời cảm ơn chân thành đến thầy cô hội đồng phản biện đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Một lần tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên giúp đỡ tơi nhiều q trình hồn thành luận văn Do thời gian, kinh nghiệm lực nhiều hạn chế nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến phê bình kịp thời thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện mặt nội dung lẫn hình thức Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013 Tác giả Nguyễn Tiến Đà Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CĨ SỐ CHIỀU RẤT LỚN 1.1 Phân rã ANOVA Trong mục giới thiệu phép phân tích phương sai cổ điển (ANOVA cổ điển) phép phân tích phương sai có điểm neo (ANOVA có điểm neo) hàm nhiều biến f Dựa phân rã này, định nghĩa khái niệm khác số chiều hiệu dụng f Để bắt đầu, cho Ωd ⊆ Rd tập xác định f giả sử dµ(x) = ∏n j= dµj(x) kí hiệu tích độ đo định nghĩa tập Borel Ωd Ở x = (x1, , xd) µj với j = 1, 2, , d độ đo Ω Với ∫ dµj(xj) = (1) Ω[0,1] Đồng thời kí hiệu V (d) không gian Hilbert gồm tất hàm f : Ωd → R Trong tích vô hướng xác định ∫ (f, g) = f (x)g(x)dµ(x) Ωd Với tập u ⊆ D, D = {1, , d} tập số, độ đo µ cảm sinh phép chiếu Pu : V (d) →V (|u|) ∫ cho Puf (xu) = f (x)dµD\u(x) Ωd−|u| Ở ta kí hiệu xu kí hiệu véc tơ có số chiều |u| gồm thành phần ∏ x mà số thuộc u dµD\u(x) := dµj(xj) j̸∈u Phép chiếu định nghĩa phân rã f ∈ V d f (x1 , , xd ) = f0 + ∑ d fj1 (xj1 ) + (d) ∑ thành tổng hữu hạn fj1 ,j2 (xj1 , xj2 ) + + fj1 , ,jd (xj1 , , xjd ) j1 j1 k2 > Liên quan tới số chiều d = 512, nhìn thấy hình 2b, |∆k| < 10−10 k2 > Điều phản ánh số chiều chặt cụt toán Vasicek với việc xây dựng cầu Brown Những kết thể hình 3.2 biểu thị cho ví dụ đặc biệt có tập số I nhỏ đủ để chụp tất số k tương ứng với phân bố đáng kể giá trị tích phân Điều giải thích độ xác cao lại đạt với chi phí phương pháp SGH Hình 3.2: Lát mỏng hai chiều qua tập số I với ε = 10−3 cho toán Vasicek với xây dựng cầu Brownian 3.4 Trái vụ bảo đảm tài sản chấp Cuối xem xét toán bổn phận trả nợ việc vay chấp hay cịn gọi tốn CMO (CMO từ viết tắt cụm từ "Collaralized Mortgage Obligations") Bài tốn mơ hình diễn đạt chi tiết [10],[11] ngồi có thêm vài tài liệu tham khảo khác Nó dùng để nghiên cứu hiệu phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) Nó xem xét [12] để chứng minh hiệu phương pháp lưới thưa (SG) 3.4.1 Mơ hình toán Bây xem xét toán CMO [10] Cụ thể xét đảm bảo chấp tài sản với kì hạn d tháng Ta kí hiệu tk = ∆t.k với k = 1, 2, , d, ∆t kí hiệu cho chiều dài chu kì tháng Khi giá trị tổng tất tiền nợ cho d ∑ g(z) := uk m k , k=1 uk := k−1 ∏ (1 + ij)−1 j=0 yếu tố giảm giá cho tháng k, phụ thuộc vào tỉ lệ lãi suất ij Tỉ lệ lãi suất ik cho tháng k tính cơng thức ik := Kk0eσ(z1+z2+ +z k) i0 Trong zj với j = 1, 2, , d số ngẫu nhiên phân phối chuẩn Ở i0 tỉ lệ lãi suất thời điểm ban đầu, σ số dương K0 := 2e−σ /2 cho E[ik ] = i0 Tiền nợ hàng tháng thời điểm tk cho mk := crk((1 − ωk) + ωkck), c kí hiệu tiền trả hàng tháng Ngồi d−k ∑ ck := (1 + i0)−j, j=0 k−1 ∏ rk := (1 − ωj), j=1 ωk :=K1 + K2 arctan(K3ik + K4) Ở rk kí hiệu cho phần lại chấp, phụ thuộc vào phần trả trước ωk tháng k Hơn K1, K2, K3, K4 số tỉ lệ toán trước ωk Giá trị kì vọng tổng tất tiện nợ viết tích phân d chiều ∫ PV := g(z)φd(z)dz, Rd φd(z) := e−x T x/2 hàm trọng Gauss Tiếp theo tập trung vào hiệu tính tốn số tích phân Theo chuyên gia số học, sử dụng tham số i0 = 0.007, c = 1, K1 = 0.01, K2 = −0.005, K3 = 10, K4 = 0.5 σ = 0.0004 Với d = 256 giành PV= 119.21588257 (2π)d/2 3.4.2 Số chiều hiệu dụng Bây sử dụng tham số [12], đồng thời xem xét trường hợp d = 256 Đầu tiên xem xét số chiều chồng chất trường hơp có điểm neo cho toán CMO Chúng ta lại giành ds ™ với α ∈ [0.9, 0.9999] tất cách xây dựng đường, nhìn vào bảng 3.4b Số chiều chặt cụt phương pháp trình bày bảng 3.3b Nó cho thấy đường xây dựng có ảnh hưởng nhỏ vào số chiều chặt cụt trường hợp có điểm neo, nhiên lợi phương pháp BB, PCA, LT so sánh với RW không rõ ràng cho toán CMO Với α = 0.9 có dt = 123, trường hợp RW LT Số chiều chặt cụt cắt giảm tới dt = 18, dt = 13 tương ứng cho BB, PCA Tuy nhiên với yêu cầu độ xác cao hơn, ví dụ α “ 0.99 tất cách xậy dựng cắt giảm khơng đáng kể chí khơng Chú ý với toán CMO, số chiều hiệu dụng trường hợp cổ điển rõ ràng khác với số chiều chặt cụt trường hợp có điểm neo Ở BB, PCA, LT đưa việc cắt giảm số chiều đáng kể Thậm chí LT cắt giảm số chiều chồng chất tới trường hợp cổ điển Hình 3.3: Số chiều chặt cụt tốn Vasicek CMO 3.4.3 Chi phí sai số tích phân Tiếp theo kết số tương ứng minh họa hình 3.7 Chúng ta quan sát phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) hội tụ nhanh hơn, dao động so với phương pháp Monte Carlo chuyển từ RW tới BB, PCA LT Phương pháp SGP thực tương tự phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) trường hợp BB, PCA tồi tệ trường hợp của RW LT Phương pháp hỗn hợp CUHRE/QMC, COW, CPW CAD giành kết tốt kết hợp với PCA Trong trường hợp chúng tốt phương pháp QMC phương pháp SGP Cuối nhìn thấy đến phương pháp SGH kết hợp với BB PCA phương pháp hiệu cho tốn CMO Nó đạt tốc độ hội tụ cao kết xác Với 104 điểm đánh giá hàm, phương pháp SGH giành sai số tương đối nhỏ khoảng 100 lần so với sai số tương đối phương pháp QMC 1-α 1e - 1e - 1e - 1e - RW 1 BB 1 (a) Vasicek problem (d=512) PCA 1 1 LT 1 1 1-α 1e - 1e - 1e - 1e - RW 2 BB 2 PCA 1 2 LT 2 (b) CMO problem (d=256) Bảng 3.4 Số chiều chồng chất trường hợp cổ điển Nhắc lại LT không cải thiện hội tụ phương pháp tính tích phân theo số chiều so sánh với RW Sự nhận xét giải thích số chiều hiệu dụng trường hợp cổ điển LT giành kết tối ưu dt = cho toán CMO Tuy nhiên quan sát cho thấy LT không đưa việc cắt giảm số chiều chặt cụt trường hợp có điểm neo Điều nói lên hiệu phương pháp tính tích phân theo số chiều phụ thuộc vào số chiều chặt cụt trường hợp có điểm neo Chú ý phương pháp QMC hội tụ nhanh dao động với LT RW Điều cho thấy dáng điệu hội tụ phương pháp QMC liên quan tới số chiều hiệu dụng dt trường hợp cổ điển có điểm neo Cuối ý số chiều chặt cụt dt trường hợp có điểm neo giải thích ảnh hưởng cách thức xây dựng không hiệu cao phương pháp SGH dt cao cho toán Tốc độ hội tụ nhanh giải thích số chiều chồng chất thấp ds ™ độ trơn hàm dấu tích phân Hình 3.4: Dáng điệu hội tụ phương pháp khác cho toán Asian với số chiều d=16 Hình 3.5: Dáng điệu hội tụ phương pháp số khác cho toán Asian 100 với số chiều d=16 Hình 3.6: Dáng điệu hội tụ phương pháp khác cho tốn Vasicek số chiều d=512 Hình 3.7: Dáng điệu hội tụ phương pháp khác cho toán CMO với số chiều d=256 Kết luận Nội dung luân văn chủ yếu dựa vào kết đề cập báo: Michael Griebel, Markus Holtz , "Dimension - wise integration of high - dimensional functions with applications to finance", Journal of Complexity 26 (2010), pp 455 - 489 Ở trình bày lại lớp phương pháp cho việc tính tốn tích phân có số chiều cao, thơng qua việc giới thiệu số khái niệm số chiều hiệu dụng trường hợp có điểm neo Bên cạnh giải thích phương pháp lưới thưa kết hợp chặt cụt phân rã ANOVA có điểm neo kết hợp với rời rạc hóa chuỗi cho phép làm cân sai số mơ hình hóa sai số rời rạc hóa theo cách tới ưu Cũng dựa vào nội dung báo đề cập đến toán ứng dụng từ tài mà dẫn đến tích phân hàm trơn với số chiều lên tới 512 Với toán mơ hình này, phương pháp lưới thưa thích nghi theo số chiều dựa công thức Gauss - Hermite hay gọi phương pháp SGH mang lại hiệu tốt Phương pháp làm lợi từ số chiều hiệu dụng thấp tích phân làm mịn lưới thưa thích nghi theo số chiều khai thác cách tối đa độ trơn của hàm dấu tích phân tránh việc biến đổi đặc biệt hình cầu đơn vị Hiển nhiên kết mở rộng theo nhiều hướng khác Ví dụ thú vị để xác định lớp hàm cho số chiều hiệu dụng trường hợp có điểm neo trùng với số chiều hiệu dụng trường hợp cổ điển Chúng ta toán giá cổ phiếu trái phiếu không lãi suất thuộc lớp hàm toán CMO Một điều thú vị làm người quan tâm nên chọn điểm neo tốt mang lại hiệu cao Những lĩnh vực khác nghiên cứu tương lai, việc cải thiện phương pháp tính tích phân theo số chiều khơng có dạng lưới thưa ví dụ cân sai số mơ hình hóa rời rạc hóa Với ứng dụng từ tài phương pháp hỗn hợp CUHRE/QMC cải thiện thêm thay sử dụng phương pháp CUHRE phương pháp thích nghi địa phương khác mà xử lý trực tiếp tích phân Rd cho tránh việc biến đổi đặc biệt hình cầu đơn vị Chúng ta hi vọng phương pháp tương tự chí cho kết tốt giành với phương pháp tính tích phân theo số chiều dựa lưới thưa Cuối thấy mức độ hầu hết phương pháp kết mang lại khơng bị hạn chế tài mà sử dụng theo lĩnh vực ứng dụng khác vật lý hóa học Tài liệu tham khảo [1] F.J Hikernell (1998), "A generalized discepancy quadrature error bound", Math Comput, 67, pp 299 - 322 [2] H Rabitz, O Alis (1999), "General foundation of high - dimension model representaions", Journal of mathematical chemistry, 25, pp 197 - 233" [3] Hegland (2003), "Adaptive spare grids", ANZIAM J 44, C335 - C353 [4] G Wasilkowski , H Woz’niakowski (1999), "Weighted tensor product algorithms for linear multivariate problems", J complexity 15, pp 402 - 447 [5] Imai,Tan (2006), "A general dimension reduction technique for derivative pricing", Journal of computaion finance 10 (2), pp 129 -155 [6] J Bersten, T Espelid, A Genz (1991), "Algorithms 698: DCUHRE - An adaptive multidimensional integration routine for a vector of integrals", ACM Transac- tions on mathematical Software, 17, pp 452 - 456 [7] Michael Griebel, Markus Holtz (2010), "Dimension - wise integration of high dimensional functions with applications to finance", Journal of Complexity 26, pp 455 - 489 [8] M Griebel (2006), "Sparse grids and related approximation schemes for higher dimensional problems", in: L Pardo, A Pinkus, E.Suli, M Todd (Eds), Foundtaions of Computational Mathematics (FoCM05), Santander, Cambridge University Press, pp 106 -161 [9] Ninomiya, S Tezuka (1996), "Toward real - time pricing of complex financial derivatives", Applied Mathematical Finance 3, pp - 20 [10] R Caflisch, W.Morokoff, A Owen (1997), "Valuation of Mortgage backed securities using Brownian bridges to reduce effective dimention", J Comp Finance, 1, pp 27 - 46 [11] S Paskov, J Traub (1995), "Faster valuation of finance derivatives", J Portfolio Management 22, pp 113-120 [12] T Gerstner, M Griebel (1998), "Numerical integration using spare grid", Numerical Algorithms 18, pp 209 -232 [13] T Gerstner, M Griebel (2003), "Dimension - adaptive tensor - product quadrature", computing 71 (1), pp 65 -87 [14] T Hahn (2005), "Cuba - a library for mutidimensional numerical integration", Computer Physics Comumunications 168, pp.78 -95 [15] X.Wang, K - T Fang (2003), "The effective dimension and quasi - Monte Carlo integration", J complexity 19 (2), pp 101 -124 [16] Wang (2006), "On the effects of dimension reduction techniques on some high - dimensional problems in finance", Operator Reseach 54 (6), pp 1063 -1078 ... giải thích cho thành cơng phương pháp dựa phân tích phân rã phương sai gọi tắt ANOVA Trong luận văn, tác giả trình bày lại số phương pháp tính tích phân gần cho hàm số có số chiều lớn dựa theo... Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CĨ SỐ CHIỀU RẤT LỚN 1.1 Phân rã ANOVA Trong mục giới thiệu phép phân tích phương sai cổ điển (ANOVA cổ điển) phép phân tích phương sai có điểm neo (ANOVA có. .. học tích phân có số chiều lớn xuất phát từ tài Nội dung luận văn gồm chương Chương Các phương pháp tính tích phân có số chiều lớn Chương nhắc lại hai phân rã ANOVA, phân rã ANOVA cổ điển phân