Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG KHƠNG GIAN BESOV LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHƠI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG KHƠNG GIAN BESOV Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thảo LOI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cU'u cua riêng tôi, dưoi sv hưong dan cua t�p the cán b(> hưong dan Các s6 li �u k �t qua trung thvc chưa tung đưqc công b6 b�t kì m(>t cơng trình khác Hà N9i, ngày tháng năm 2020 Tác gia lu�n án NguyJn M�nh Cưo'ng LOI CAM ƠN Lu�n án đưqc hoàn thành tci Trưong Đci h9c Khoa h9c Tv nhiên - Đci h9c Qu6c gia Hà N(>i dưoi sv hưong dan t�n tình cua GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thao Trưoc tiên, tác gia xin đưqc bày to lòng bi �t ơn sâu s �c toi GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thao, th �y đ �t tốn, giúp đo, chi bao t�n tình, chu đáo su6t trình tác gia thvc hi�n lu�n án Tác gia xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đco Trưong Đci h9c Khoa h9c Tv nhiên - Đci h9c Qu6c gia Hà N(>i, Phòng Sau đci h9c, Khoa Toán - Cơ - Tin h9c t�p the th�y cô giáo tci Trưong Đci h9c Khoa h9c Tv nhiên - Đci h9c Qu6c gia Hà N(>i, đ�c bi�t tci b(> mơn Giai tích ln quan tâm giúp đo, tco �u ki�n thu�n lqi có nhfrng ý ki�n đóng góp quý báu cho tác gia trình h9c t�p nghiên cU'u Xin bày to lòng bi�t ơn đ�n Ban Lãnh đco Trưong Đci h9c H6ng ĐU'c, th�y cô giáo bcn đ6ng nghi �p o B(> mơn Giai tích-Khoa Khoa h9c Tv nhiên đ(>ng viên giúp đo tác gia trình h9c t �p, nghiên cU'u Xin chân thành cám ơn PGS.TS Ninh Văn Thu, TS Lê Huy Chuan, TS Vũ Nh�t Huy, PGS.TS Đo ĐU'c Thu�n , th �y cô bcn đ6ng nghi �p góp nhi�u ý ki�n quý báu thoi gian tác gia tham dv Xêmina tci b(> mơn Giai tích, Khoa Toán-Cơ-Tin h9c, Trưong Đci h9c Khoa h9c Tv nhiên Xin cam ơn t �p the cán b(> Vi�n Nghiên cU'u cao c�p v� Toán tco �u ki �n đe tác gia làm vi�c GS.TSKH Đinh Dũng thoi gian GS.TSKH Đinh Dũng làm vi�c tci Cu6i cùng, xin cám ơn bcn nghiên cU'u sinh gia đình, bcn bè chia se, đ(>ng viên tác gia su6t trình h9c t�p, nghiên cU'u Ml)C Ll)C Lo'i cam đoan Lo'i cam ơn Mclc Các ký hi�u Mo đ�u Chương CÁC Đ!NH LÝ BIEU DIEN QUA GIÁ TR! LAY MAU 13 1.1 Không gian Besov 13 1.2 Bieu dien B-spline gia n(>i suy qua giá tri l�y mau 16 1.3 Bieu dien lưqng giác qua giá tri l�y mau .29 1.4 K�t lu�n 35 Chương KHÔI PHUC HÀM S6 KHƠNG TUAN HỒN CĨ Đ6 TRƠN ĐiNG HƯ6NG 37 2.1 Các đci lưqng x�p xi khôi phvc hàm s6 37 2.2 Khôi phvc hàm s6 b�ng phương pháp tuy�n tính 40 2.3 Khơi phvc hàm s6 khơng tu�n hồn b�ng phương pháp thích nghi 45 2.3.1 Đinh nghĩa 45 2.3.2 X�p xi khôi phvc hàm s6 b�ng phương pháp thích nghi 46 2.4 K�t lu�n 58 Chương KHƠI PHUC VÀ XAP Xi HÀM S6 TUAN HỒN CĨ Đ6 TRƠN HON H(;JP 59 3.1 X�p xi khôi phvc hàm s6 b�ng phương pháp phi tuy�n không gian p, 60 Ba θ 3.2 X�p xi khôi phvc hàm s6 không gian p, 69 BA θ 3.3 K�t lu�n 82 K t lu�n ki n ngh 83 Danh m c công trình khoa hc;c cua tác gia liên quan đ n lu�n án 84 Tài li�u tham khao 85 CÁC KÝ HIEU F:X→Y R ánh xc tu X vào Y t�p s6 thvc Rd Id Td := [0, 2π]d Z không gian Euclide d−chi�u [0, 1]d hình xuy�n d chi�u t�p s6 nguyên \ x\ \x\X ∅ x∈A x ∈/ A A ⊂ B(B ⊃ A) A∩B A∪B A\B A×B | A| SX span(A) {xn} supp(ϕ) α := (α1, α2, , α N ) xα := xα1 xα2 N xαN Lp(D), < p < ∞ L∞(D) chuan cua véc tơ x chuan cua véc tơ x không gian X t�p rong ph�n tu x thu(>c t�p A ph�n tu x không thu(>c t�p A t�p A cua t�p B giao cua hai t�p A B hqp cua hai t�p A B hi�u cua t�p A t�p B tích Descartes cua hai t�p A B lvc lưqng cua t�p hfru hcn A m�t c�u đơn vi không gian X không gian tuy�n tính sinh boi t�p A dãy s6 xn giá cua hàm ϕ m(>t đa chi s6 đơn thU'c c�p |α| := ∑N αi C(A) A := B ∃x i= khơng gian hàm p−kha tích t�p D khơng gian hàm f voi chuan sup |f (x) x∈D | không gian hàm liên tvc t�p A A đưqc đinh nghĩa b�ng B t6n tci x ∀x |x|1 := ∑d xi i= S(A, x) := sup(a, x) voi m9i x chuan l1 cua véc tơ x = (x1, x2, , xd) hàm giá cua A a∈A Ao + α := α( A) } s := s(A) Ao t�p hqp {x ∈ +Rd : (a, x) ≤ 1, a ∈ A} 1/α := sup{| x |1 : x ∈+Ao s6 chi�u cua t�p hqp {x ∈+ : |x|1 = 1/α} (x, y) An( f ) Bn( f ) C.Bn( f ) An( f ) Bn( f ) C.Bn( f ) An( f ) ;: Bn( f ) tr tích vơ hưong cua hai véc tơ x y ∃C > đ(>c l�p voi n thoa mãn An( f ) ≤ ∃C > đ(>c l�p voi n thoa mãn An( f ) ≥ An( f ) Bn( f ) An( f ) Bn( f ) trang D k�t thúc chU'ng minh MO ĐAU Lý chc;n đ� tài Trong nhfrng năm g�n đây, phương pháp x�p xi hi�n đci cua toán h9c đưqc U'ng dvng m(>t cách tri�t đe có hi�u qua vào lĩnh vvc xu lý tín hi�u, xu lý anh thi giác máy tính Bài tốn khơi phvc tín hi �u (hàm s6) m(>t tốn h�t sU'c quan tr9ng lĩnh vvc xu lý tín hi�u xu lý anh, thvc t� khơng có m(>t loci máy có the cho ta thơng tin xác cua tín hi�u Bài tốn khơi phvc tín hi�u tu giá tri l�y mau có ngu6n g6c tu Đinh lý Shannon- Kotelnikov noi ti�ng, v� khôi phvc tín hi�u có giai t�n hfru hcn tu giá tri l�y mau M(>t nhfrng v�n đ� n�n tang đưqc đ�t tìm phương pháp t6i ưu đe khơi phvc tín hi�u ho�c nén tín hi�u tu m(>t s6 hfru hcn giá tri l�y mau Lý thuy�t sóng nho đưqc hình thành phát trien nhfrng năm 90 cua th� ky trưoc, m(>t nhfrng công cv bieu dien hi�u qua nh�t xu lý tín hi�u, đ�c bi�t tốn khơi phvc ho�c nén tín hi�u tu giá tri l�y mau Trong tốn xu lý tín hi�u, xu lý anh thi giác máy tính, tín hi �u đưqc mơ hình hóa m(>t hàm s6 m(>t bi�n ho�c nhi�u bi�n Trưoc tiên xét m(>t s6 toán truy�n th6ng v� khôi phvc hàm s6 tu giá tri l�y mau: V�n đ� đ�t c�n khôi phvc g�n tín hi�u nhi�u chi�u f tu n giá tri l�y mau Trên so thông tin xây dvng m(>t phương pháp đe khôi phvc Trong cách ti�p c�n truy�n th6ng thông tin v� giá tri l�y mau phương pháp khơi phvc khơng thích nghi voi hàm s6, nghĩa điem l�y mau phương pháp khơi phvc tín hi�u đưqc ch9n gi6ng cho m9i tín hi�u Các phương pháp khơi phvc khơng thích nghi voi hàm s6 tu giá tri l�y mau t6i ưu đưqc nghiên cU'u cơng trình [9– 11,27,28,32,36] tác gia tu Đci h9c Qu6c gia Hà N(>i, Đci h9c Tong hqp South Carolina-Hoa Kỳ, Đci h9c Tong hqp Jena-CHLB ĐU'c, Các tác gia cua cơng trình tính đưqc t6c đ(> h(>i tv cua đci lưqng đ�c trưng cho ... Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG KHƠNG GIAN BESOV Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN... m(>t hàm s6 thoa mãn m(>t s6 tính ch�t thu(>c không gian Besov Lu�n án nghi? ?n cU'u v�n đ� khôi phvc x�p xi hàm s6 b�ng phương pháp khơng thích nghi thích nghi, nhìn chung phương pháp thích nghi. .. (phương pháp tuy�n tính) Ngưqc lci voi p ≥ q sai s6 cua phương pháp thích nghi phương pháp khơng thích nghi trưong hqp phương pháp khơng thích nghi lci có ưu điem h ơn phương pháp thích nghi đ(>