Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG KHƠNG GIAN BESOV LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Mạnh Cường XẤP XỈ VÀ KHƠI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG KHƠNG GIAN BESOV Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thảo HÀ NỘI - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn tập thể cán hướng dẫn Các số liệu kết trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận án Nguyễn Mạnh Cường LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thảo Trước tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đinh Dũng TS Mai Xuân Thảo, thầy đặt tốn, giúp đỡ, bảo tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học tập thể thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt mơn Giải tích ln quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp q báu cho tác giả q trình học tập nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hồng Đức, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Bộ mơn Giải tích-Khoa Khoa học Tự nhiên ln động viên giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Xin chân thành cám ơn PGS.TS Ninh Văn Thu, TS Lê Huy Chuẩn, TS Vũ Nhật Huy, PGS.TS Đỗ Đức Thuận , thầy cô bạn đồng nghiệp góp nhiều ý kiến quý báu thời gian tác giả tham dự Xêmina mơn Giải tích, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Xin cảm ơn tập thể cán Viện Nghiên cứu cao cấp Toán tạo điều kiện để tác giả làm việc GS.TSKH Đinh Dũng thời gian GS.TSKH Đinh Dũng làm việc Cuối cùng, xin cám ơn bạn nghiên cứu sinh gia đình, bạn bè chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Mở đầu Chương CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU 1.1 Không gian Besov 1.2 Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu 1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu 1.4 Kết luận 13 13 16 29 35 Chương KHƠI PHỤC HÀM SỐ KHƠNG TUẦN HỒN CĨ ĐỘ TRƠN ĐẲNG HƯỚNG 2.1 Các đại lượng xấp xỉ khôi phục hàm số 2.2 Khơi phục hàm số phương pháp tuyến tính 2.3 Khơi phục hàm số khơng tuần hồn phương pháp thích nghi 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Xấp xỉ khôi phục hàm số phương pháp thích nghi 2.4 Kết luận 37 37 40 45 45 46 58 Chương KHƠI PHỤC VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ TUẦN HỒN CÓ ĐỘ TRƠN HỖN HỢP 59 3.1 Xấp xỉ khôi phục hàm số phương pháp phi tuyến không gian B ap,θ 60 3.2 A 69 Xấp xỉ khôi phục hàm số không gian B p,θ 3.3 Kết luận 82 Kết luận kiến nghị 83 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 84 Tài liệu tham khảo 85 CÁC KÝ HIỆU F:X→Y ánh xạ từ X vào Y R tập số thực Rd không gian Euclide d−chiều Id [0, 1]d Td := [0, 2π ]d hình xuyến d chiều Z tập số nguyên chuẩn véc tơ x x x chuẩn véc tơ x không gian X X ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B( B ⊃ A) tập A tập B A∩B giao hai tập A B A∪B hợp hai tập A B A\B hiệu tập A tập B B tích Descartes hai tập A B | A| lực lượng tập hữu hạn A SX mặt cầu đơn vị không gian X span( A) khơng gian tuyến tính sinh tập A { xn } dãy số xn supp( ϕ) giá hàm ϕ α := (α1 , α2 , , α N ) đa số x α := x1 x2α2 x NN đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi L p ( D ), < p < ∞ khơng gian hàm p−khả tích tập D L∞ ( D ) không gian hàm f với chuẩn sup| f ( x )| C ( A) không gian hàm liên tục tập A A := B A định nghĩa B ∃x tồn x α α x∈D ∀x với x | x |1 := ∑id=1 xi chuẩn l1 véc tơ x = ( x1 , x2 , , xd ) S( A, x ) := sup( a, x ) hàm giá A a∈ A Ao+ tập hợp { x ∈ Rd+ : ( a, x ) ≤ 1, a ∈ A} α := α( A) 1/α := sup{| x |1 : x ∈ Ao+ } s := s( A) số chiều tập hợp { x ∈ Ao+ : | x |1 = 1/α} ( x, y) tích vô hướng hai véc tơ x y An ( f ) Bn ( f ) ∃C > độc lập với n thỏa mãn An ( f ) ≤ C.Bn ( f ) An ( f ) Bn ( f ) ∃C > độc lập với n thỏa mãn An ( f ) ≥ C.Bn ( f ) An ( f ) Bn ( f ) An ( f ) Bn ( f ) An ( f ) tr trang ✷ kết thúc chứng minh Bn ( f ) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, phương pháp xấp xỉ đại toán học ứng dụng cách triệt để có hiệu vào lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh thị giác máy tính Bài tốn khơi phục tín hiệu (hàm số) tốn quan trọng lĩnh vực xử lý tín hiệu xử lý ảnh, thực tế khơng có loại máy cho ta thơng tin xác tín hiệu Bài tốn khơi phục tín hiệu từ giá trị lấy mẫu có nguồn gốc từ Định lý ShannonKotelnikov tiếng, khơi phục tín hiệu có giải tần hữu hạn từ giá trị lấy mẫu Một vấn đề tảng đặt tìm phương pháp tối ưu để khơi phục tín hiệu nén tín hiệu từ số hữu hạn giá trị lấy mẫu Lý thuyết sóng nhỏ hình thành phát triển năm 90 kỷ trước, công cụ biểu diễn hiệu xử lý tín hiệu, đặc biệt tốn khơi phục nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu Trong toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh thị giác máy tính, tín hiệu mơ hình hóa hàm số biến nhiều biến Trước tiên xét số tốn truyền thống khơi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu: Vấn đề đặt cần khơi phục gần tín hiệu nhiều chiều f từ n giá trị lấy mẫu Trên sở thông tin xây dựng phương pháp để khôi phục Trong cách tiếp cận truyền thống thông tin giá trị lấy mẫu phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm số, nghĩa điểm lấy mẫu phương pháp khôi phục tín hiệu chọn giống cho tín hiệu Các phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu nghiên cứu cơng trình [9–11,27,28,32,36] tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Tổng hợp South Carolina-Hoa Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena-CHLB Đức, Các tác giả cơng trình tính tốc độ hội tụ đại lượng đặc trưng cho phương pháp khôi phục khơng thích nghi với hàm từ giá trị lấy mẫu tối ưu Tuy nhiên, nhiều trường hợp phương pháp khơi phục khơng thích nghi khơng mềm dẻo linh hoạt dáng điệu tín hiệu khác Đề tài Luận án nghiên cứu phương pháp khơi phục tuyến tính khơng thích nghi từ giá trị lấy mẫu cách tiếp cận cho tốn khơi phục tín hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu cách buộc thông tin giá trị lấy mẫu phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu Cách tiếp cận Giáo sư Đinh Dũng đề xuất nghiên cứu [15, 16] có ý nghĩa quan trọng nén lưu trữ tín hiệu Cụ thể điểm lấy giá trị thử phương pháp khơi phục tín hiệu chọn cho chúng thích nghi với tín hiệu Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp khơi phục thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu tín hiệu đơn giản từ tập hợp có dung lượng hữu hạn đo số phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension) chúng, tín hiệu đơn giản tổ hợp tuyến tính n số hạng từ từ điển Giả chiều (pseudo-dimension) [15, 29] đóng vai trò quan trọng Lý thuyết nhận dạng, đánh giá hồi quy Lý thuyết học máy [15, 30] Luận án nghiên cứu đại lượng đặc trưng cho phương pháp khơi phục tối ưu có liên quan đến -entropy [24], độ dày phi tuyến [36] xấp xỉ n số hạng [6] Ngoài đề tài luận án nghiên cứu phương pháp xấp xỉ khôi phục khơng thích nghi tốt nhất, phương pháp tuyến tính Để xây dựng phương pháp khơi phục thích nghi khơng thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu, xây dựng biểu diễn B-spline giả nội suy biểu diễn lượng giác hàm số qua giá trị lấy mẫu Một biểu diễn hàm số xây dựng dựa sở toán tử giả nội suy [2, 4, 7] B-spline nhân lượng giác de la Vallée Poussin Các phương pháp khơi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu cho bậc tiệm cận sai số xấp xỉ tốt phương pháp khơi phục khơng thích nghi nghiên cứu Tuy nhiên, độ phức tạp tính tốn phương pháp thích nghi đơi lớn phương pháp khơng thích nghi, đặc biệt phương pháp tuyến tính Mục đích nghiên cứu Mục đích Luận án nghiên cứu số vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số không gian Besov phương pháp khơi phục thích nghi khơng thích nghi với hàm số, phương pháp tuyến tính phi tuyến Do đó, ta tiếp tục đánh giá (3.22) sau f ∆ ν − S∆ ν ( f ) B∞,τ ≤ f ∆∗ν − S∆∗ν ( f ) 1/ρ−1/p |∆∗ν |1/ρ−1/θ +1/τ N0 B∞,τ −1/ρ −nν /mν − α S( B,k) α mν 2 1/p N0 f ∆∗ν A B p,θ (ξ − ν1 − 1)s(1/ρ−1/θ +1/τ ) (ν1 − ν2 + 1)λ (2(ξ −ν1 )/α )1/ρ−1/p (2(ξ −ν1 )/α (ξ − ν1 )s )−1/ρ −2(1−δ)/α ν1 − αα α 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) (ν1 − ν2 + 1)λ α (ξ −ν1 ) (3.23) (2(ξ −ν1 )/α )1/p f ∆∗ν ν1 −2(1−δ)/α ν1 f ∆∗ν A B p,θ A , B p,θ λ = r (1/ρ − 1/θ + 1/τ ) Chúng ta đánh giá sai số xấp xỉ f S1 ( f ) : = ∑ S∆ν ( f ) Từ (3.21), (3.23) bất đẳng thức f ∆∗ν ν∈ J (ξ ) f − S1 ( f ) B∞,τ ≤ ∑ f ∆ ν − S∆ ν ( f ) A B p,θ ≤ f A B p,θ ta có B∞,τ ν∈ J (ξ ) ∑ ∑ α 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) (ν1 − ν2 + 1)λ α ν1 −2(1−δ)/α ν1 f 0≤ν1 ≤ξ ν2 ≤ν1 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) ∑ α 0≤ν1 ≤ξ ν1λ+1 α ν1 −2(1−δ)/α A B p,θ ν1 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) (3.24) Bây ta đề cập đến số hạng f Lấy {γ j }∞ j=1 dãy số dương cố định cho γ1 = λ, γ j+1 − γ j = λ , j ≥ 1, λ số dương có giá trị chọn sau Lấy µ ∈ {γ j }∞ j=1 , tồn i cho µ = γi ∆v(ξ + µ) = (ξ + γi+1 )v\(ξ + γi )v, Dµ = ∆v(ξ + µ)\ξw Suy Dµ ⊂ σ(ξ, µ) |σ(ξ, µ)| ≤ µr ξ s (r = d − − s) Dễ thấy, Dµ = ((ξ + γi+1 )v\ξw) \ ((ξ + γi )v\ξw) = ( Dξ +γi+1 \ Dξ )\( Dξ +γi \ Dξ ) Đặt mµ = ∑ 2|k|1 Chúng ta chứng minh mν 2(ξ +µ)/α (ξ + µ)s sau k ∈ Dµ Từ Bổ đề 3.1 tồn số dương C3 , C4 C5 cho ∑ k ∈ Dξ + γ 2|k|1 ≥ C3 2(ξ +γi+1 )/α (ξ + γi+1 )s , i +1 74 ∑ 2|k|1 ≤ C4 2(ξ +γi )/α (ξ + γi )s , k ∈ Dξ + γ i ∑ 2|k|1 ≤ C5 2(ξ +γi )/α (ξ + γi )s k ∈ Dξ + γ i Với số cố định λ > α log2 (C4 + C5 )/C3 , ta có ∑ ∑ 2| k |1 = k ∈ Dµ k ∈ Dξ + γ i +1 \ Dξ ∑ 2| k |1 k ∈ Dξ + γ \ Dξ i ∑ 2| k |1 − k ∈ Dξ + γ ∑ 2| k |1 − 2| k |1 − k ∈ Dξ + γ i +1 ∑ k ∈ Dξ + γ i 2| k |1 (3.25) i (C3 2λ/α − C4 − C5 )2(ξ +γi )/α (ξ + γi )s 2(ξ +µ)/α (ξ + µ)s Mặt khác, ∑ ∑ 2| k |1 ≤ k ∈ Dµ 2| k |1 k ∈ Dξ + γ 2(ξ +γi+1 )/α (ξ + γi+1 )s 2(ξ +µ)/α (ξ + µ)s (3.26) i +1 2(ξ +µ)/α (ξ + µ)s Từ (3.25), (3.26) nhận mν Đặt nµ = mµ 2−(1+δ)/α µ Khi nµ > cần với µ ≤ µ∗ = ξ/δ Chọn ∞ < δ < pα − 1, ta có f = ∑ f Dµ Đặt µ =0 µ∗ S2 ( f ) : = ∑ S Dµ ( f ) µ =0 Xấp xỉ hàm f S2 ( f ), ta nhận µ∗ f − S2 ( f ) B∞,τ ≤ ∑ f Dµ − S Dµ ( f ) B∞,τ + ∑∗ f Dµ B∞,τ (3.27) µ>µ µ =0 Giả sử ≤ µ ≤ µ∗, nµ < mµ Áp dụng Bổ đề 3.4: Cho < p, θ, τ ≤ ∞, µ N với số dương nµ < mµ = ∑ Nk , ta xây dựng tập Mµ ⊂ b∞,τ có lực lượng lớn sup µ x ∈S N p,θ k ∈ Dµ nµ mµ ( nµ ) x − Gµ ( x ) µ N b∞,τ µ ánh xạ Gµ : b N p,θ → Mµ cho ≤ C ( p)nµ −1/p | Dµ |1/τ +(1/p−1/θ )+ µ Ký hiệu Bµ := SDµ ( Mν ), thấy | Bν | ≤ | Mν | ≤ 2nµ (m nµ ) Do từ (3.21), ta có f Dµ − S Dµ ( f ) B∞,τ ∗ = {{ f k,s − f k,s }} µ N b∞,τ 75 nµ −1/p | Dµ |1/τ +(1/p−1/θ )+ {{ f k,s }} µ bN p,θ {2(ξ +µ)/α (ξ + µ)s }−1/p 2(1+δ)/( pα )µ (µr ξ s )1/τ +1/p−1/θ 2−ξ 2−µ f Dµ 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) 2−(1−δ/( pα ))µ µr(1/τ +1/p−1/θ ) f A B p,θ A B p,θ Vì vậy, µ∗ ∑ f Dµ − S Dµ ( f ) B∞,τ µ∗ ∑ 2−(1−δ/( pα ))µ µr(1/τ+1/p−1/θ) −α/α ξ s(1/τ −1/θ ) ξ µ =0 µ =0 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) (3.28) Nếu µ > µ∗ ta có f Dµ B∞,τ 2−ξ −µ | Dµ |1/τ −1/θ f Dµ A B p,θ 2−ξ −µ (ξ s µr )1/τ −1/θ 2−ξ 2−ξ/( pα ) ξ s(1/τ −1/θ ) 2ξ/( pα ) 2−µ µr(1/τ −1/θ ) 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) 2δµ/( pα ) 2−µ µr(1/τ −1/θ ) Do đó, ∑∗ f Dµ ∑ ∗ 2(δ/( pα )−1)µ µr(1/τ−1/θ) 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) B∞,τ µ>µ µ>µ −α/α ξ s(1/τ −1/θ ) ξ (3.29) Từ (3.28), (3.29) tiếp tục đánh giá (3.27) f − S2 ( f ) B∞,τ 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) (3.30) A , ta định nghĩa Với xấp xỉ f ∈ U p,θ S ( f ) : = S1 ( f ) + S2 ( f ) = ∑ µ∗ S∆ ν ( f ) + Chú ý S ánh xạ từ A U p,θ ∑ S Dµ ( f ) µ =0 ν∈ J (ξ ) µ∗ vào B := ∑ Bν + ∑ Bµ ν∈ J (ξ ) µ =0 Ta có f − S( f ) = ( f − S1 ( f )) + ( f − S2 ( f )) Do đó, từ (3.24), (3.30) (3.20) suy đánh giá sau f − S( f ) B∞,τ ≤ f − S1 ( f ) B∞,τ + f − S2 ( f ) 2−α/α ξ ξ s(1/τ −1/θ ) 76 Eθ,τ (n) B∞,τ (3.31) Ta có log | B| ≤ ∑ µ∗ log | Bν | + ∑ log | Bµ | µ =0 ν∈ J (ξ ) µ∗ ∑ ∑ nν + µ =0 ν∈ J (ξ ) ∑ mµ nµ nµ + log µ∗ µ∗ µ =0 µ =0 ∑ nµ + ∑ log nν + ν∈ J (ξ ) mµ nµ Hơn nữa, ∑ ∑ nν ∑ 2(ξ −ν1 )/α (ξ − ν1 )s 2(1−δ)/α ν1 0≤ν1 ≤ξ ν2 ≤ν1 ν∈ J (ξ ) 2ξ/α ξ s ∑ ν1 2−δ/α ν1 n, 0≤ν1 ≤ξ µ∗ ∑ nµ µ =0 µ∗ ∑ 2(ξ +µ)/α (ξ + µ)s 2−(1+δ)/α µ µ∗ 2ξ/α ξ s µ =0 ∑ 2−δµ/α n µ =0 Mặt khác, theo cơng thức Stirling ta có µ∗ mµ ∑ log nµ µ =0 µ∗ ≤ ∑ nµ log µ =0 bmµ nµ µ∗ ≤ ∑ 2(ξ +µ)/α (ξ + µ)s 2−(1+δ)/α µ (b + (1 + δ)/α µ) µ =0 µ∗ ∑ 2ξ/α ξ s 2−δµ/α (c + (1 + δ)/α µ) n, µ =0 c số khơng âm Vì thế, thu log | B| n, dẫn đến | B| ≤ 2n Đặt V∗ = (∪ν∈ J V∗˚ ) ∪ (∪0≤µ≤µ∗ V∗¯ ), V∗˚ = { ϕk,s }s∈Qk , k∈∆ν V∗¯ = { ϕk,s }s∈Qk , k∈ Dµ Theo cách xây dựng, ta suy V∗ tập hữu hạn V B tập Mn (V∗ ) Tóm lại, xây dựng tập B Mn (V∗ ) có lực lượng ≤ 2n phương pháp phục hồi xấp xỉ SnB := S có dạng (2.2) thỏa mãn bất đẳng thức (3.31) đó, nhận cận (3.19) 77 Chứng minh Định lý 3.5 Chú ý q1 q1 ≤ q2 q2 , (3.32) Do đó, ta cần chứng minh (3.17) q ≥ Từ (1.55) suy A en (U p,θ , Lq ) A en (U p,θ , Bq,min{q,2} ) Sử dụng bất đẳng thức Định lý 3.6, thu đánh giá cận A , L ) en (U p,θ q Định lý 3.7 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ α > 1/p Khi đó, ta có (n/ logs n)−α (log n)s(1/2−1/θ ) A ρ(U p,θ , Lq ) (3.33) Định lý chứng minh từ định lý: Định lý 3.8 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ α > 1/p Khi đó, có (n/ logs n)−α (log n)s(1/τ −1/θ ) A ρ(U p,θ , Bq,τ ) A ⊂ U A nên ta Chứng minh Sử dụng kỹ thuật [31] [13] Vì U∞,θ p,θ cần chứng minh trường hợp p = ∞ Đặt Ξ := {ξ ≥ : ∃k, S( A, k ) = ξ } Với ξ ∈ Ξ, ký hiệu ∆(ξ ) := {k ∈ Zd+ : S( A, k ) = ξ, |k |1 = ξ/α + 1}, α = α( A) Đặt B(ξ ) không gian tất hàm f có dạng ∑ ∑ f = f k,s ϕk,s , k ∈∆(ξ ) s∈ Qk với < ζ, η ≤ ∞, đặt B(ξ )ζ,η không gian Bζ,η bao gồm tất f ∈ B(ξ ) Từ định nghĩa ϕk,s tính chất nội suy (1.43) suy với f ∈ B(ξ ) ta có f = ∑ ∑ f (shk ) ϕk,s k ∈∆(ξ ) s∈ Qk Ta có f A B∞,θ = 2ξ f B∞,θ ≤ 2ξ |∆(ξ )|1/θ f 78 B∞,∞ A , với f ∈ B(ξ )∞,θ Điều kéo theo 2−ξ |∆(ξ )|−1/θ SB(ξ )∞,∞ ⊂ SB∞,θ SB(ξ )∞,∞ hình cầu đơn vị B(ξ )∞,∞ Do với M ⊂ Bq,τ , nhận A E(SB∞,θ , M, Bq,τ ) ≥ 2−ξ |∆(ξ )|−1/θ E(SB(ξ )∞,∞ , M, Bq,τ ) (3.34) Xét lưới Γ := {shk }s∈Qk ,k∈∆(ξ ) tập Td Ký hiệu f ∗ hạn chế f Γ Đặt W ∗ := { f ∗ : f ∈ W } B(ξ )∗ζ,η không gian tất hàm f ∗ , với chuẩn tương ứng xác định vế phải (1.54) A = {0} Đặt dim p ( M ) ≤ n Khi từ định nghĩa suy dimp ( M∗ ) ≤ n E(SB(ξ )∞,∞ , M, Bq,τ ) ≥ E(SB(ξ )∗∞,∞ , M∗ , B(ξ )∗q,τ ) Lấy số cố định ρ cho < ρ ≤ min{1, q, τ } Từ hệ thức |∆(ξ )| (3.35) ξ s dễ dàng kiểm tra · ξ s(1/τ −1/ρ) · B(ξ )∗q,τ B(ξ )∗ρ,ρ Do đó, định nghĩa nửa chuẩn B(ξ )∗ζ,η có E(SB(ξ )∗∞,∞ , M∗ , B(ξ )∗q,τ ) ξ s(1/τ −1/ρ) E(SB(ξ )∗∞,∞ , M∗ , B(ξ )∗ρ,ρ ) Do đó, từ (3.34) (3.35), ta nhận A E(SB∞,θ , M, Bq,τ ) 2−ξ ξ s(1/τ −1/θ −1/ρ) E(SB(ξ )∗∞,∞ , M∗ , B(ξ )∗ρ,ρ ) (3.36) Chúng ta định nghĩa ánh xạ F : B(ξ )ρ,ρ → SB(ξ )∞,∞ sau Nếu f = ∑ ∑ k ∈∆ξ s∈ Qk f k,s ϕk,s , F( f ) = ∑ ∑ k ∈∆ξ s∈ Qk f k,s ϕk,s , f k,s = sgn( f k,s ) min{1, | f k,s |} Ánh xạ F sinh ánh xạ F ∗ : B(ξ )∗ρ,ρ → SB(ξ )∗∞,∞ xác định công thức F ∗ ( f ∗ ) = ( F ( f ))∗ Hiển nhiên, F ( f ) = f với f ∈ SB(ξ )∞,∞ , từ bất đẳng thức F∗ ( f ∗ ) B(ξ )∗ρ,ρ 79 ≤ f∗ B(ξ )∗ρ,ρ suy với f ∗ ∈ SB(ξ )∗ρ,ρ g∗ ∈ M∗ , ta có f ∗ − F ∗ ( g∗ ) B(ξ )∗ρ,ρ ≤ f ∗ − g∗ B(ξ )∗ρ,ρ Điều có nghĩa E(SB(ξ )∗∞,∞ , M∗ , B(ξ )∗ρ,ρ ) ≥ E(SB(ξ )∗∞,∞ , M , B(ξ )∗ρ,ρ ), (3.37) M = F ∗ ( M∗ ) Hơn nữa, từ định nghĩa giả chiều dễ dàng suy dimp ( M ) ≤ dimp ( M∗ ) ≤ n Ký hiệu · = · B(ξ )∗ρ,ρ Chú ý rằng, từ định nghĩa nửa chuẩn B(ξ )∗ζ,η tìm độ đo xác suất ω cho |∆ξ |−1/ρ · = · L p (Γ,µ ) Với tập M không gian nửa chuẩn tuyến tính X, đặt Hε ( M, X ) lực lượng tập cực đại M ε-tách (một tập A gọi ε-tách được, f−f X > ε với f , f ∈ A cho f = f ) Do đó, từ [13, Bổ đề 5] suy Hε ( M , B(ξ )∗ρ,ρ ) ≤ e(n + 1)(4e|∆ξ |1/ρ /ε)n (3.38) Từ [13, Bổ đề 2], tồn tập U ⊂ SB(ξ )∗∞,∞ có lực lượng lớn 2u/16 cho với f ∗ , g∗ ∈ U, f ∗ = g∗ , ta có f ∗ − g∗ ≥ 2−ξ/(αρ) (u/2)1/ρ ≥ C |∆ξ |−1/ρ , (3.39) u := dim B(ξ ) = 3d 2ξ/α |∆ξ | Rõ ràng, E(SB(ξ )∗∞,∞ , M , B(ξ )∗ρ,ρ ) ≥ E(U, M , B(ξ )∗ρ,ρ ) (3.40) Cho δ > bất kỳ, đặt σ = E(U, M , B(ξ )∗ρ,ρ ) + δ Bằng định nghĩa, tồn ánh xạ G : U → M cho với f ∗ ∈ U, ta có f ∗ − G ( f ∗ ) ≤ σ Sử dụng (3.39), với f ∗ , g∗ ∈ U, ta có G ( f ∗ ) − G ( g∗ ) ≥ f ∗ − g∗ − f ∗ − G ( f ∗ ) − g∗ − G ( g∗ ) ≥ 2ε − 2σ, 80 2ε = C |∆ξ |1/ρ Giả sử σ ≤ ε /2 Khi với f ∗ , g∗ ∈ V = G (U ), ta nhận f ∗ − g∗ ≥ ε Điều có nghĩa |V | = |U | > 2u/16 Hε (V, B(ξ )∗ρ,ρ ) > 2u/16 Mặt khác, từ (3.38) suy Hε (V, B(ξ )∗ρ,ρ ) ≤ e(n + 1)(4e|∆(ξ )|1/ρ /ε )n Do đó, 2u/16 < e(n + 1)(4e|∆(ξ )|1/ρ /ε )n ≤ e(n + 1)(4e/C )n Vì vậy, với số n tùy ý đủ lớn, ta có u < 16n(2 + log(e/C )) Ký hiệu ξ = ξ (n), từ điều kiện n 2ξ/α ξ s = u > 16n(2 + log(e/C )), suy bất đẳng thức u > 16n(2 + log(e/C )) Điều mâu thuẫn, σ > ε /2 với ξ = ξ (n) δ > tùy ý Do đó, E(U, M , B(ξ )∗ρ,ρ ) ≥ ε /2 |∆(ξ )|1/ρ Kết hợp đánh giá cuối với (3.36), (3.37) (3.40) suy với tập M tùy ý có giả chiều lớn n, có 2−ξ ξ s(1/τ −1/θ ) A E(SB∞,θ , M, Bq,τ ) Eθ,τ (n) Chứng minh Định lý 3.7 Từ (3.32), ta cần chứng minh (3.33) với q < Có thể kiểm tra, từ (1.55) A ρn (U p,θ , Bq,max{q,2} ) A ρn (U p,θ , L q ) A , L ) chứng minh bất đẳng thức Khi cận ρn (U p,θ q cuối Định lý 3.8 Từ Định lý 3.1, 3.7 (2.5), (2.6) suy kết sau đây: Định lý 3.9 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ α = α( A) > 1/p, s = s( A) Đặt γn số đại lượng en , rn , n ρn Khi ước lượng tiệm cận sau thỏa mãn A γn (U p,θ , Lq ) n−α (log n)s(α+1/2−1/θ ) 81 3.3 Kết luận Chương trình bày kết vấn đề khơi phục lớp hàm số tuần hồn khơng gian Besov với modul trơn hỗn hợp phương pháp phi tuyến thích nghi Nếu hàm số có độ trơn đẳng hướng, phương pháp khôi phục hàm số thường có nhiều tính chất chung, hàm số có độ trơn hỗn hợp, phương pháp khơi phục hàm số cần xây dựng cho độ trơn hỗn hợp cụ thể Các kết Chương Định lý 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.7, 3.9 Đầu tiên, không gian Besov B ap,θ , trình bày cách chứng minh đơn giản nhiều so với trường hợp tổng quát, kết tổng quát kết [13] [13] véc tơ a có thành phần nên việc tổng quát cho véc tơ a gặp nhiều khó khăn, sử dụng kỹ thuật biến đổi nhiều bổ đề để khéo léo đưa cách chứng minh A với A tập thông thường Tiếp theo tổng quát cho không gian Besov B p,θ hữu hạn Rd+ ; Chúng ta sử dụng phương pháp mà cần đến kỹ thuật phức tạp hơn, chia miền biến số cách phù hợp tính chất số đặc trưng tập hợp A 82 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án bao gồm: Phát biểu chứng minh định lý biểu diễn qua giá trị lấy mẫu B-spline đa thức lượng giác không gian Besov Xây dựng phương pháp khơi phục thích nghi khơng thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu không gian Besov BΩ p,θ đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp qua đại lượng đặc trưng Cụ thể xây dựng phương pháp tuyến tính, đánh giá tốc độ tụ phương pháp tuyến tính Nghiên cứu thuật toán tham lam, xây dựng phương pháp khơi phục thích nghi ước lượng tiệm cận sai số phương pháp Xây dựng phương pháp phi tuyến để xấp xỉ khôi phục hàm số, A Đặc đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp không gian Besov B p,θ biệt, trường hợp A = { a} đưa cách chứng minh đơn giản so với trường hợp tổng quát Có thể phát triển kết luận án sau: A với A Nghiên cứu vấn đề không gian Besov B p,θ tập compact Rd+ 83 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ VÀ ĐỒNG TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [CT1] Cuong N.M., Thao M.X (2017), "Adaptive sampling recovery of functions with bounded modulus of smoothness", Acta Math Vietnamica, 42, pp 113127 [CT2] Cuong N.M., Thao M.X (2018), "Quasi-interpolation representation and sampling recovery of multivariate functions", Acta Math Vietnamica, 43, pp 373-389 [CT3] Cuong N.M (2019), "Nonlinear approximations of functions having mixed smoothness", Journal of Computer Science and Cybernetics, 35, pp 119-134 [CT4] Cuong N.M., "Adaptive sampling recovery and nonlinear approximations of multivariate functions in Besov-type spaces", Southeast Asian Bulletin of Mathematics, accepted 30-4-2019 84 Tài liệu tham khảo [1] Byrenheid G., Dung D., Sickel W and Ullrich T (2016), "Sampling on energynorm based sparse grids for the optimal recovery of Sobolev type functions in H γ ", J Approx Theory, 207, pp 207-231 [2] Chui C.K., Diamond H (1987), "A natural formulation of quasi-interpolation by multivariate splines", Proc Amer Math Soc, 99, pp 643-646 [3] Chui C.K (1992), "An Introduction to Wavelets", Academic Press, New York [4] De Boor C., Fix G.J (1973), "Spline approximation by quasiinterpolants", J Approx Theory, 8, pp 19-45 [5] DeVore R.A., Lorentz G.G (1993), "Constructive Approximation", Springer, Berlin [6] DeVore R.A (1998), "Nonlinear approximation", Acta Numerica, 7, pp 51-150 [7] DeVore R.A., Popov V.A (1988), "Interpolation of Besov spaces", Trans Amer Math Soc, 305, pp 397–413 [8] Dung D (1988), "Approximation by Trigonometric Polynomials of Functions of Several Variables on the Torus", Mathematics Sbornik, 59, pp 247-267 [9] Dung D (1991), "On optimal recovery of multivariate periodic functions", In: Harmonic Analysis (Satellite Conference Proceedings, Ed S Igary), Springer, Berlin, pp 96-105 [10] Dung D (1991), "On interpolation recovery for periodic functions", In: Functional Analysis and Related Topics (Ed S Koshi), World Scientific, Singapore, pp 224-233 85 [11] Dung D (1992), "Optimal recovery of functions of a certain mixed smoothness", Vietnam J Math., 20, No2, pp 18-32 [12] Dung D (2000), "Continous algorithms in n-term approximation and nonlinear widths", J Approx Theory, 102, pp 217-242 [13] Dung D (2001), "Non-linear approximations using sets of finite cardinality or finite pseudo-dimension", J Complexity., 17, pp 467-492 [14] Dung D., Thao M.X (2002), "Approximate recovery of periodic functions using wavelet decompositions", Acta Math Vietnamica, 27, pp 185-195 [15] Dung D (2009), "Non-linear sampling recovery based on quasi-interpolant wavelet representations", Adv Comput Math., 30, pp 375 -401 [16] Dung D (2011), "Optimal adaptive sampling recovery", Adv Comput Math., 34, pp 1–41 [17] Dung D (2011), "B-spline quasi-interpolant representations and sampling recovery of functions with mixed smoothness", J Complexity., 27, pp 541567 [18] Dung D (2016), "Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline quasi-interpolation", Found Comp Math., 16, pp 1193-1240 [19] Dung D (2018), "B-Spline Quasi-Interpolation Sampling Representation and Sampling Recovery in Sobolev Spaces of Mixed Smoothness", Acta Math Vietnamica, 43, pp 83-110 [20] Dung D., Temlyakov V N and Ullrich T (2018), "Hyperbolic Cross Approximation", Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona, Birkhăauser [21] Galeev E.M (1990), "Kolmogorov widths of classes of periodic functions of one and several variables", Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat., 54:2, pp 418–430 [22] Galeev E.M (1996), "Linear widths of Holder-Nikol’skii classes of periodic ¨ functions of several variables", Mat Zametki, 59, pp 189-199 86 [23] Haussler D (1982), "Decision theoretic generalization of the PAC model for neural net and other learning applications", Inform Comput., 100, pp 78-150 [24] Kolmogorov A N., Tikhomirov V.M (1959), " -entropy and -capacity of sets in function space", Uspekhi Mat Nauk, 14, pp 3-86; English transl in Amer Math Soc Transl, 17(1961) [25] Kydryatsev S.N (1998), "The best accuracy of reconstruction of finitely smooth functions from their values at a given number of points", Izv Math., 2, pp 19-53 [26] Nikol’skii S (1975), "Approximation of Functions of Several Variables and Embedding Theorems", Springer, Berlin [27] Novak E (1988), "Deterministic and Stochastic Error Bounds in Numerical Analysis", Lecture Notes in Mathematics 1349, Springer, Berlin [28] Novak E., Triebel H (2006), "Function spaces in Lipschitz domains and optimal rates of convergence for sampling", Constr Approx., 23, pp 325-350 [29] Pollard D (1989) , "Empirical processes: theory and applications, NSF-CBMS Regional Conference Series in Probability and Statistics", Inst Math., Stat and Ann Stat Assoc., Providence, RI, vol [30] Ratsaby J., Maiorov V (1998), "The degree of approximation of sets in Euclidean space using sets with bounded Vapnik–Chervonekis dimension", Discrete Applied Math., 86, pp 81–93 [31] Ratsaby J., Maiorov V (1999), "On the degree of approximation by manifolds of finite pseudo-dimension", Constr Approx., 15, pp 291-300 [32] Smolyak, S.A (1963), "Quadrature and interpolation formulas for tensor products of certain classes of functions", Dokl Akad Nauk SSSR, 148, pp 1042–1045 [33] Temlyakov V (1985), "Approximation recovery of periodic functions of several variables", Mat Sb., 128, pp 256-268 87 [34] Temlyakov V (1989), "Estimates of the asymptotic characteristics of classes of functions with bounded mixed derivative of difference", Trudy Mat Inst Steklov, 189, pp 138-167 [35] Temlyakov V (1993), "On approximate recovery of functions with bounded mixed derivative", J Complexity, 9, pp 41-59 [36] Temlyakov V (1993), "Approximation of Periodic Functions", Nova Science Publishers, Inc., New York [37] Temlyakov V (1995), "An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the entropy numbers", J Complexity, 11, pp 293307 [38] Temlyakov V (2018), "Multivariate Approximation", Cambridge Univ Press [39] Vapnik V N., Chervonekis A Y (1981), "Necessary and sufficient conditions for the uniform convergence of means to their expectations", Theory Prob Appl., vol 26, pp 264-280 [40] Vibíral J (2006), "Function spaces with dominating mixed smoothness", Dissertationes Math., 436, pp 73 [41] Whittaker, Kotelnikov, Shannon (1990), "The Whittaker-Kotelnikov-Shannon theorem, -entropy and -dimension", Dokl Akad Nauk SSSR, 312, pp 524528 88 ... tuyến tính Mục đích nghi? ?n cứu Mục đích Luận án nghi? ?n cứu số vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số không gian Besov phương pháp khôi phục thích nghi khơng thích nghi với hàm số, phương pháp tuyến tính... hóa hàm số thuộc không gian hàm Sobolev, Besov, Holder-Nikol’skii , ¨ việc khơi phục tín hiệu đưa khôi phục xấp xỉ hàm số không gian hàm Một không gian thuận tiện cho việc khôi phục xấp xỉ hàm số. .. hóa hàm số thỏa mãn số tính chất thuộc không gian Besov Luận án nghi? ?n cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số phương pháp khơng thích nghi thích nghi, nhìn chung phương pháp thích nghi cho ta sai số