tiểu luận khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp và ứng dụng

Nó có tầm quan trọng rất cao, thường thì ở bậc trung học phổ thông họcsinh sẽ được học về cách khảo sát hàm số bằng phương pháp giải tích hay nói cách là sử dụng dấu của đạo hàm để khảo

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khảo sát hàm số là một nội dung quan trọng thường xuyên có trong đề thi tuyểnsinh đại học Nó có tầm quan trọng rất cao, thường thì ở bậc trung học phổ thông họcsinh sẽ được học về cách khảo sát hàm số bằng phương pháp giải tích hay nói cách là

sử dụng dấu của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số Vậy một câu hỏi đặt ra

ở đây là ngoài phương pháp đó thì bằng phương pháp sơ cấp chúng ta có thể khảo sátmột hàm số sơ cấp được không và việc khảo sát đó có những ưu, nhược điểm gì so vớiphương pháp giải tích, cách tiến hành khảo sát như thế nào?

Để giải quyết những câu hỏi trên em quyết định chọn đề tài “Khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp và áp dụng” Đó chính là tìm hiểu quá trình khảo sát một

hàm số bằng phương pháp sơ cấp và áp dụng đi sâu vào tìm hiểu việc khảo sát đối vớitừng dạng hàm số sơ cấp riêng biệt Qua đó giúp các em học sinh có thêm một công

cụ để giải nhanh các bài toán khảo sát đơn giản

2 Mục đích của đề tài

Xây dựng một cách có hệ thống lý thuyết cơ bản về việc khảo sát hàm số bằngphương pháp sơ cấp và hệ thống phương pháp giải đối với các hàm số thường gặp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài tiểu luận này của em tập trung phân tích và tìm hiểu về việc khảo sát hàm sốtrong phạm vi sử dụng các công cụ toán sơ cấp

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình làm bài tiểu luận này tôi đã sử đụng và phối hợp các phương pháp:

Qua đề tài này tôi mong muốn nghiên cứu sâu hơn về việc khảo sát hàm số tiếpthu cách dùng phương pháp sơ cấp để khảo sát hàm số nhằm vận dụng linh hoạt trongnhiều trường hợp.

B NỘI DUNGChương 1 HÀM SỐ VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SƠ CẤP 1.1 Đại cương về hàm số

định của f, hay tập các giá trị thừa nhận được của đối Tập giá trị y=f ( x) tương ứng

được gọi là miền giá trị của hàm

 Ví dụ: y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π

Hàm số y = c = const (hằng số) là 1 hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ

a Ảnh ngược

Từ hàm số y = f(x) với y là hàm theo biến số x, ta biểu diễn x theo y, giả sử

x = g(y) thì ánh xạ g được gọi là ảnh ngược của y cho bởi ánh xạ f

b Định nghĩa hàm số ngược

Hàm số g gọi là hàm ngược của hàm số f và kí hiệu là f−1 nếu:

- f (g(x))=x với mọi x thuộc miền xác định của g.

- g(f(x))=x với mọi x thuộc miền xác định của f.

 Ví dụ: Hàm y=x2 không là hàm đơn điệu trên toàn bộ miền xác định, vì có

ảnh ngượcx y không duy nhất nên không có hàm số ngược Tuy nhiên, hàm

số y x x 2,  là 1 đơn ánh và có ảnh ngược là 0 x y nên hàm số y=x2, x≥0 có

hàm ngược y= √ x .

d Đồ thị hàm số ngược

Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất Nóicách khác: Điểm (a;b) thuộc đồ thị hàm số y=f ( x) khi và chỉ khi điểm (b,a)

thuộc đồ thị hàm ngược y=f−1(x) .

Thật vậy, nếu (a;b) thuộc đồ thị hàm số y=f ( x) thì f (a)=b Khi đó:

b Các quy tắc tìm miền xác định của hàm số

- Mẫu thức của các phân thức phải khác không

- Các biểu thức nằm dưới dấu căn bậc chẵn ( 2k√ ) phải không âm, lũy thừa mà

số mũ có chứa đối số đều phải dương

- Các biểu thức trong dấu logarit phải dương

- Trong các biểu thức dạng AB , cơ số và số mũ không được đồng thời triệt tiêu.

- Các biểu thức cần nâng lên lũy thừa vô tỉ hay lũy thừa mà số mũ có chứa đối sốđều phải dương

- Miền xác định của hàm số là giao của các miền xác định của các hàm số thànhphần.

- Miền xác định của hàm hợp y=f ( u ) và u=f ( x) tức là hàm y=F[(x)]

là tập hợp tất cả các giá trị của x thuộc miền xác định của f(x) sao cho F(u) có nghĩa

1.2.2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số.

 Bước 1 Xét chiều biến thiên của hàm số

Các định lý khảo sát sự biến thiên

+ Định lý 1 Nếu c là một hằng số thì hàm số f(x) + c biến thiên cùng chiều với

hàm f(x)

+ Định lý 2 Nếu A là một hàm số khác không thì hàm số Af(x) biến thiên cùng

chiều với f (x ) nếu A >0 ngược chiều với f (x ) nếu A <0

+ Định lý 3 Nếu trong một khoảng nào đó mà các hàm số f (x ) và g( x)

biến thiên cùng chiều thì hàm số f (x )+g( x) cũng sẽ biến thiên theo chiều đó trong

khoảng nói trên

+ Định lý 4 Hiệu của một hàm số đồng biến và một số nghịch biến là một hàm

số đồng biến Hiệu của một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến là một hàm

số nghịch biến

+ Định lý 5 Hàm số

1

f ( x) biến thiên ngược chiều với hàm số f (x ) trong

những khoảng mà f (x ) không đổi dấu.

+ Định lý 6 Hàm số hợp f [u( x)] biến thiên cùng chiều với f (u) nếu

f (u) đồng biến, ngược chiều với u(x) nếu f (u) nghịch biến.

n

a) Hàm số chẵn có các chiều biến thiên ngược nhau trên khoảng (a,b) và

(−b,−a) .

b) Hàm số lẽ có các chiều biến thiên như nhau trong các khoảng (a,b) và

(−b,−a) .

 Bước 2:Tìm cực trị

 Bước 3: Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực, tiệm cận nếu có.

 Bước 4: Lập bảng biến thiên.

1.2.3 Vẽ đồ thị hàm số

a Tìm một số điểm đặc biệt

- Đó là những giá trị tại một số điểm có hoành độ đặc biệt: x = 0, ±1, ±2…

- Hoặc các giá trị của đối số làm cho hàm số có giá trị bằng không (nếu có), tức

là các giao điểm của đồ thị với trục hoành

- Các giá trị cực đại (cực tiểu): Hàm số có cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu giá trịf(x0) là lơn nhất (bé nhất) so vơi các giá trị mà hàm số nhận được trong một lân cậnnào đó (dù là bé) của điểm x0 Ta thường gọi chung cực đại và cực tiểu là cực trị (địa

phương) của hàm số

b Tìm đường tiệm cận nếu có (nếu có) của đồ thị

Giả sử có một đường cong mà một nhánh của nó đi ra xa vô tận Nếu khoảngcách từ một điểm tùy ý của nhánh đó đến một đường thẳng xác định nào đó dần tớikhông khi điểm ấy đi ra xa vô tận trên nhánh đó thì đường thẳng đó được gọi là đườngtiệm cận của đường cong

+ Trường hợp 1: Nếu x → ∞limf ( x )=0

thì đồ thị của hàm số y=f(x) có đường tiệmcận đứng là x = a Tiệm cận về phía dưới hay phía trên tùy theo dấu của giói hạn vôhạn

 Ví dụ 1 Đường cong y = a xcó tiệm cận đứng là trục tung (x=0)

 Ví dụ 2 Đường cong y = tgx có các tiệm cận đứng là:

X= (2k +1)π2,k = 0, ±1, ±2…

x có tiệm cận ngang là trục hoành ( y=0 ).

 Ví dụ 4 Đường cong y=arctan x nhận các đường thẳng y=

 Định lí 1 Đồ thị của hàm số y=f ( x) nhận đường thẳng d có phương

trình x=a làm trục đối xứng khi và chỉ khi f (2a−x)=f ( x) .

Thật vậy, muốn cho đường thẳng ∆có phương trình x = a làm trục đối xứng của

đồ thị y=f ( x) thì ắt có và đủ là các điểm M ( x, y) thuộc đồ thị thì điểm M ' đốixứng với điểm M qua ∆, tức là điểm M ' (2a−x , y ) cũng thuộc đồ thị Như vậy,

với mọi giá trị của x ta có: f (2a−x)=f ( x) .

M’ M

x x’

 Hệ quả 1 Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đó là

trường hợp riêng của định lí trên với a=0

 Định lí 2 Đồ thị của hàm số y=f ( x) nhận điểm I( α , β) làm tâm đối

xứng khi và chỉ khi:

f (2a−x)=2β−f ( x)

Thật vậy, muốn cho điểm I( α , β) là tâm đối xứng của đồ thị, cắt có và đủ là nếu

điểm M ( x, y) thuộc đồ thị thì điểm M ' đối xứng với nó qua điểm I , tức là điểm có

tọa độ M ' (2α−x ,2β− y) cũng thuộc đồ thị, tức là với mọi x ta phải có:

Chương 2 MỘT SỐ ÁP DỤNG 2.1 Hàm số bậc nhất y=f ( x)=ax+b , (a≠0 )

b Trường hợp tổng quát y=f ( x)=ax+b

Vậy hàm số đồng biên trên từng khoảng xác định của nó.

Đồ thị là đường thẳng đi qua điểm A(0,2) và B(1,9)

2.2 Hàm số bậc 2: y=f ( x)=ax 2+bx+c ,( a≠0 )

b TH tổng quát : y=f ( x)=ax 2+bx+c ,( a≠0 )

 a>0 thì y=f ( x)=ax2+ bx+c sẽ đồng biến trên khoảng (−2a b ,+∞) và

nghịch biến trên khoảng (−∞,

−b

2a) .

 a<0 thì y=f ( x)=ax2+ bx+c sẽ nghịch biến trên khoảng (−∞,−2a b) và

nghịch biến trên khoảng (

−b

2a

- ∞

 Ta có y=x−1 là hàm số đồng biến trên R

Mà y=x2 là hàm đồng biến trên ( 0,+∞ ) , nghịch biến trên ( −∞ ,0 )

⇒ y=( x−1)2 là hàm số đồng biến trên (1, và nghịch biến trên ( ,1))  

Vì a>0 nên yf x( ) 2 x2 4x 2 đồng biến trên (1, và nghịch biến trên)( ,1)

 BBT

+ ∞

y 4 -2 -4 -2

 Đồ thị

 Nhận xét

Đồ thị hàm số là một parabol nhận I(1,−4) làm đỉnh và đường thẳng x=1

làm trục đối xứng Đồ thị hàm số sốy2x2 4x 2 là một parabol nhận I(1,−4) làmđỉnh, nhận đường thẳng x=1 làm trục đối xứng.

Đồ thị có bề lõm quay lên trên, có điểm cực cực tiểu là −4

Ta có y=x+1 là hàm số đồng biến trên R

⇒ y=( x−1)2 là hàm số đồng biến trên ( −1,+∞ ) và nghịch biến trên (  , 1)

Vì a=−2<0 nên ⇒y=f ( x )=−2 x2−4 x−1 đồng biến trên (  , 1)và nghịchbiến trên ( 1,  )

2

2

y

7

1

-1 1

7

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nếu a<0

 Bảng biến thiên

x

- ∞

−c d

 Đồ thị:

 Nhận xét:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nếu a>0 , hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nếu a<0

Đồ thị là các hypebol vuông, gồm hai nhánh nằm trong góc phần tư thứ nhất và

thứ ba nếu Δ=ad−bc<0 , nằm trong góc phần tư thứ hai nếu Δ>0 Nhận giao

của hai đường tiệm cận I (−c d ,

a

c) làm tâm đối xứng và hai đường phân giác của

các góc vuông tạo bởi các đường tiệm cận làm trục đối xứng

2.3.2 Ví dụ

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y= 3 x+2 x−1 , a≠0

 TXĐ: D=R / { 1 }

 ∀x

1, x2¿D, x1¿x2

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1,)

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ,1)

 BBT

+ ∞y

-4

10

 Đồ thị

 Nhận xét:

3 −∞

|

¿ ¿¿ +

 ∀ x∈D,−x∈D , f (−x)=f ( x )

.Suy ra hàm số là chẵn nên ta chỉ cần xét sự biến thiên trên (0,∞) rồi lấy đối

đồng biến trên ( 1,+∞ ) và nghịch biến trên (0,1)

f (x )=x2+2 x+1 đồng biến trên ( 1,+∞ ) , nghịch biến trên (0,1)

Vì f(x) chẵn nên ⇒ hàm số y=f (|x|)=x2+2|x|+1

Đồng biến trên những khoảng 1,  và (−1,0)

Nghịch biến trên những khoảng (0,1) và (−∞,−1)

 BBT:

0 0

 BGT

X 2

1

y1

 Đồ thị

⇒ y=( x−1)2 đồng biến trên ( 1,+∞ ) và nghịch biến trên ( −∞ ,1 )

Suy ra: y=x2−2 x−1=( x−1)2−2 sẽ đồng biến trên ( 1,+∞ ) và nghịch biếntrên ( −∞ ,1 )

Ta có y=x2 đồng biến trên (0,+∞) và nghịch biến trên (−∞,0)

⇒ y =( x−1)2 đồng biến trên ( 1,+∞ ) và nghịch biến trên ( −∞ ,1 )

Suy ra: y=x2−2x−3=( x−1)2−4 sẽ đồng biến trên ( 1,+∞ ) và nghịch biếntrên ( −∞ ,1 )

∀n∈N đồ thị luôn đi qua điểm A(1,1) và O(0,0).

Với n>2 đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại O

Đặc biệt :

+ Khi n=1⇒ y=x ta được phân giác thứ nhất.

+ Khi n=2⇒ y=x2 ta được parabol

2.5.2 Ví dụ

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x3

+ y=x3 là hàm số lẻ vì n = 3 lẻ.

Do đó chỉ cần khảo sát trên (0, )

1

 Đồ thị

 Nhận xét: Đồ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba và luôn đi qua điểmA(1,1) và O(0,0)

 y=x4 là đồng biến trên (0,∞)

Mà y là hàm số chẵn nên  y nghịch biến trên ( ,0).

6

1

+ D= R nếu   0

+ D= R \ {0} nếu   0

 Hàm số

+ Đồng biến trên (0,∞) nếu   0

+ Nghịch biến trên (0,∞) nếu   0

2.6.2 Ví dụ

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=f ( x )=x

−5 3

Ta có y=f ( x )=x

−5 3

y 0

|| +

∞

- ∞0

 BGT

-2

1

đồng biến trên ( −∞ ,0 ) nghịch biến trên( 0,+∞ )

Ta có:

lim y

x →0±

=+ ∞ lim y x →±∞=0

 BBT

x - ∞ 0 + ∞

 BGT

-3

3

1

f (−x)= 5√(−x )2=√5 x2=x

2 5

=f ( x )

⇒ Hàm số đã cho là hàm số chẵn

Xét trên khoảng (0,+∞)

Ta có: y=f ( x)=x2 đồng biến trên (0,+∞)

⇒ y=f ( x)=5√ x2 đồng biến trên (0,+∞)

Suy ra: y=f ( x )=

5

√x2

2 5

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

Tiểu luận này trình bày một cách có hệ thống, chi tiết các nội dung kiến thứcquan trọng của việc khảo sát hàm số Dùng những công cụ sơ cấp đã học ở lớp dưới đểgiải quyết bài toán khảo sát hàm số một cách logic Trong tiểu luận chỉ rõ trường hợpnào thì dùng phương pháp này, trường hợp nào thì dùng phương pháp khác, áp dụng

Hy vọng các vấn đề mà tôi đề cập đến trong bài tiểu luận này sẽ giúp ích đáng

kể cho các bạn sinh viên, đặc biệt là các em học sinh trung học phổ thông trong họctập và nghiên cứu về khảo sát hàm số, cũng như chuẩn bị một hành trang kiến thứcvững vàng để bước vào kì thi trung học phổ thông quốc gia

2 Kiến nghị

Khảo sát hàm số là một bài toán rất hay và cũng là một câu rất quan trọng luôn

có mặt trong các đề thi tuyển sinh Chính vì vậy chúng ta cần phải tiếp tục nghiên cứutìm hiểu sâu hơn về phương pháp này cũng như tiếp cận, tìm tòi các phương pháp khác

để giải quyết bài toán này một cách hay hơn, ngắn gọn hơn

Do thời gian còn hạn hẹp và khả năng nghiên cứu còn nhiều hạn chế nên tiểuluận khó có thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận được sự góp ý của độc giả để bàitiểu luận được hoàn thiện hơn

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà, Đại số sơ cấp và thực hành giải toán, NXBĐại học sư phạm, 2005

[ 2] Phạm Hữu Nhân, Nguyễn Phúc Hồng Dương, Đại số sơ cấp, NXB Giáodục, Hà Nội, 1978

[ 4] Hoàng Kỳ, Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1998.

E NHẬN XÉT

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Đóng góp đề tài 1

6 Cấu trúc đề tài 2

B NỘI DUNG 3

Chương 1 HÀM SỐ VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SƠ CẤP 3

1.1 Đại cương về hàm số 3

1.1.1 Hàm số 3

1.1.2 Tập giá trị của hàm số 3

1.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 3

1.1.4 Hàm số tuần hoàn 4

1.1.5 Hàm số bị chặn 4

1.1.6 Hàm số hợp 4

1.1.7 Hàm số ngược 5

1.2 Khảo sát hàm số sơ cấp 6

1.2.1 Tìm miền xác định của hàm số 6

1.2.2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số 7

1.2.3 Vẽ đồ thị hàm số 8

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ÁP DỤNG 11

2.1 Hàm số bậc nhất y=f ( x)=ax+b , ( a≠0 ) 11

2.1.1 Lý thuyết 11

2.1.2 Ví dụ 12

2.2 Hàm số bậc 2: y= f(x) = ax2 + bx +c, (a ≠ 0) 13

2.2.1 Lý thuyết 13

2.2.2 Ví dụ: 15

2.3.2 Ví dụ 20

2.3.3 Bài tập áp dụng 21

2.4 Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 22

2.4.1 Dạng yf x( ) 22

2.4.1.1 Lý thuyết 22

2.4.1.2 Ví dụ 22

2.4.1.3 Bài tập áp dụng: 23

2.4.2 Dạng y= |f(x)| 24

2.4.2.1 Lý thuyết 24

2.4.2.2 Ví dụ 25

2.4.2.3 Bài tập áp dụng 26

2.5 Hàm y=xn,n∈N 26

2.5.1 Lý thuyết 26

2.5.2 Ví dụ 27

2.5.3 Bài tập áp dụng 28

2.6 Hàm y=xα,α ∈Q 29

2.6.1 Lý thuyết 29

2.6.2 Ví dụ 29

2.6.3 Bài tập áp dụng 31

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 33

1 Kết luận 33

2 Kiến nghị 33

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

E NHẬN XÉT 35