tiểu luận khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp và ứng dụng

49 2.9K 7
tiểu luận khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp và ứng dụng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khảo sát hàm số nội dung quan trọng thường xuyên có đề thi tuyển sinh đại học Nó có tầm quan trọng cao, thường bậc trung học phổ thông học sinh học cách khảo sát hàm số phương pháp giải tích hay nói cách sử dụng dấu đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số Vậy câu hỏi đặt phương pháp phương pháp sơ cấp khảo sát hàm số sơ cấp không việc khảo sát có ưu, nhược điểm so với phương pháp giải tích, cách tiến hành khảo sát nào? Để giải câu hỏi em định chọn đề tài “Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng” Đó tìm hiểu trình khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng sâu vào tìm hiểu việc khảo sát dạng hàm số sơ cấp riêng biệt Qua giúp em học sinh có thêm công cụ để giải nhanh toán khảo sát đơn giản Mục đích đề tài Xây dựng cách có hệ thống lý thuyết việc khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp hệ thống phương pháp giải hàm số thường gặp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài tiểu luận em tập trung phân tích tìm hiểu việc khảo sát hàm số phạm vi sử dụng công cụ toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Trong trình làm tiểu luận sử đụng phối hợp phương pháp: Đọc tài liệu Hệ thống hóa lý thuyết Phân dạng tập Tham khảo ý kiến chuyên gia (giáo viên hướng dẫn) Đóng góp đề tài - - Đề tài liệt kê rõ bước khảo sát hàm số hệ thống cách đầy đủ việc khảo sát số dạng hàm số thường gặp phương pháp đơn giản Qua đề tài mong muốn nghiên cứu sâu việc khảo sát hàm số tiếp thu cách dùng phương pháp sơ cấp để khảo sát hàm số nhằm vận dụng linh hoạt nhiều trường hợp Cấu trúc đề tài Trang Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng Đề tài nghiên cứu gồm có phần chính: Phần Mở đầu Phần Nội dung Chương 1: Hàm số khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp Chương 2: Một số áp dụng Phần Kết luận kiến nghị Phần Tài liệu tham khảo Phần Nhận xét Trang Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng B NỘI DUNG Chương HÀM SỐ VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SƠ CẤP 1.1 Đại cương hàm số 1.1.1 Hàm số Giả sử M N hai tập hợp phần tử tùy ý Nếu quy luật f ta cho x∈M ứng với phần tử y∈N với phần tử ta nói cho hàm (hay ánh xạ) từ M vào N y = f (x) x∈M Các phần tử gọi giá trị đối, phần tử tương ứng y∈N gọi giá trị hàm Tập M gọi miễn xác định hay tập y = f (x) xác định f, hay tập giá trị thừa nhận đối Tập giá trị tương ứng gọi miền giá trị hàm 1.1.2 Tập giá trị hàm số y = f (x) Tập hợp tất cá giá trị y (thỏa ) gọi tập giá trị hàm f ( x + T ) = f (x), ∀ x ∈ D số Ký hiệu: 1.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ - Tập đối xứng qua O: D gọi tập đối xứng qua O nếu:  Ví dụ: x = ( −1,1) tập đối xứng qua Thật vậy: Trang ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ X Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng - Hàm số y = f(x) gọi hàm chẵn D nếu: D đối xứng qua - f (− x ) = f ( x ), ∀x ∈ D Hàm số y = f(x) gọi hàm lẻ D nếu: X đối xứng qua f (− x) = − f ( x), ∀x ∈ D - Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ Trang Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng 1.1.4 Hàm số tuần hoàn Hàm số y = f(x) gọi hàm số tuần hoàn D tồn số T khác f ( x + T ) = f (x), ∀ x ∈ D cho: (*) Số dương bé số giá trị T thỏa mãn (*) gọi chu kỳ hàm số tuần hoàn  Ví dụ: y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Hàm số y = c = const (hằng số) hàm tuần hoàn chu kỳ 1.1.5 Hàm số bị chặn y = f (x ) - Hàm số bị chặn tồn a∈ cho f ( x) ≥ a, ∀x ∈ D y = f (x ) - Hàm số bị chặn tồn b∈ cho f ( x) ≤ b, ∀x ∈ D - Hàm số y = f(x) bị chặn tồn f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D 1.1.6 Hàm số hợp f : X →Y Cho ánh xạ x  y = f (x) Trang M∈ cho Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng g :Y → Z Và hàm số y  z = g ( y) Tf Khi đó, miền giá trị Dg f thuộc miền xác định g hàm số g(f(x)) gọi hàm hợp g f Ký hiệu: g  f ( x ) = g ( f ( x)) f ( x ) = sin x  Ví dụ: Khi đó: ; g ( x) = x g  f ( x) = g ( f ( x )) = g (sin x) = sin x f  g ( x) = f ( g ( x)) = f ( x ) = sin( x )  Nhận xét f0 g ≠ g0 f 1.1.7 Hàm số ngược a Ảnh ngược Từ hàm số y = f(x) với y hàm theo biến số x, ta biểu diễn x theo y, giả sử x = g(y) ánh xạ g gọi ảnh ngược y cho ánh xạ f Khi đó, ta ký hiệu: g = f −1 Trang Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng - x = f −1 ( y) Để ảnh ngược hàm số ứng với giá trị y tương ứng với giá trị x - y = f −1 ( x) Khi đó, xét hàm số hàm số gọi hàm số ngược y = f (x ) hàm  Ví dụ: y = e x ⇒ x = ln y Ta có: y = lnx Khi đó, hàm số hàm ngược y = ex hàm số y = x3 + ⇒ x = Ta có: hàm ngược hàm số y−4 y = 2x3 + y=3 Khi đó, hàm số b Định nghĩa hàm số ngược f −1 Hàm số g gọi hàm ngược hàm số f kí hiệu - - f ( g ( x) ) = x g( f ( x) ) = x với x thuộc miền xác định g với x thuộc miền xác định f f −1 ( x) ≠ f ( x) Lưu ý: Trang nếu: x−4 Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng y = ln x Rõ ràng, e ln(x ) = x, ln(e x ) = x ln e = x hàm ngược y = ex Vì: c Tính chất: - Hàm số g hàm ngược f chi f hàm ngược g - Hàm ngược đơn ánh - Mọi hàm số đơn ánh có hàm ngược Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt có hàm số ngược - Hàm ngược hàm số (nếu có)  Ví dụ: Hàm y = x2 không hàm đơn điệu toàn miền xác định, có x=± y ảnh ngược y = x2 , x ≥ hàm số số không nên hàm số ngược Tuy nhiên, y = x2 , x ≥ x= đơn ánh có ảnh ngược y nên hàm y= x có hàm ngược d Đồ thị hàm số ngược Đồ thị hai hàm số ngược đối xứng qua đường phân giác thứ Nói y = f (x ) cách khác: Điểm (a;b) thuộc đồ thị hàm số (b, a) thuộc đồ thị hàm ngược y = f −1 ( x ) Trang điểm Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng y = f (x ) Thật vậy, (a;b) thuộc đồ thị hàm số f −1 (b) = f −1 ( f (a )) = a đó: a = f −1 (b) Vậy f (a) = b Khi (b, a) Hay điểm thuộc y = f −1 ( x ) đồ thị hàm số 1.2 Khảo sát hàm số sơ cấp 1.2.1 Tìm miền xác định hàm số a Định nghĩa miền xác định Miền xác định (tập xác định) hàm số tập hợp tất giá trị thực đối số cho tất phép toán có mặt biểu thức xác định hàm số có nghĩa thực trường số thực b Các quy tắc tìm miền xác định hàm số - Mẫu thức phân thức phải khác không 2k - Các biểu thức nằm dấu bậc chẵn ( ) phải không âm, lũy thừa mà số mũ có chứa đối số phải dương - Các biểu thức dấu logarit phải dương - Trong biểu thức dạng AB , số số mũ không đồng thời triệt tiêu - Các biểu thức cần nâng lên lũy thừa vô tỉ hay lũy thừa mà số mũ có chứa đối số phải dương - Miền xác định hàm số giao miền xác định hàm số thành phần - Miền xác định hàm hợp y = F [( x) ] y = f (u) u = f (x) tức hàm tập hợp tất giá trị x thuộc miền xác định f(x) cho F(u) có nghĩa c Ví dụ Trang Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng = Miền xác định hàm số y 2x + 3x + R /  2 −   3 1.2.2 Khảo sát biến thiên hàm số  Bước Xét chiều biến thiên hàm số Các định lý khảo sát biến thiên + Định lý Nếu c số hàm số f(x) + c biến thiên chiều với hàm f(x) + Định lý Nếu A hàm số khác không hàm số Af(x) biến thiên f (x) chiều với f (x) A>0 ngược chiều với A 0, ∀x , x2 ∈ R + x2 − x1 x2 − x1 Ta có (0, ∞) n Vậy hàm y= x đồng biến • Đồ thị ∀n ∈ N Với đồ thị qua điểm A(1,1) O(0,0) n>2 đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành O Đặc biệt : n =1⇒ y = x + Khi + Khi ta phân giác thứ n = ⇒ y = x2 ta parabol 2.5.2 Ví dụ Trang 37 Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng y = x3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 + hàm số lẻ n = lẻ (0, ∞) Do cần khảo sát • D= TXĐ: + ∀x , x2 ∈ R , x1 ≠ x2 • Ta có y2 − y1 x2 − x13 3 = = x2 −1 + x1 x2 −2 + + x13−1 > 0, ∀x1 , x2 ∈ R + x2 − x1 x2 − x1 ⇒ (0, ∞) y= x đồng biến ⇒ Mà y hàm số lẻ nên • (−∞, 0) y đồng biến BBT x ∞ - ∞ + y ∞ + ∞ • BGT x y - - • - Đồ thị Trang 38 Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng • Nhận xét: Đồ thị nằm góc phần tư thứ thứ ba qua điểm A(1,1) O(0,0) 2.5.3 Bài tập áp dụng y = x4 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x4 + hàm số lẻ n = chẵn (0, ∞) Do cần khảo sát • D= TXĐ: ∀x , x2 ∈ R + , x1 ≠ x2 • y − y1 x2 − x12 = = x2 + x1 > x2 − x1 x2 − x1 Ta có ⇒ y = x4 (0, ∞) đồng biến ⇒ Mà y hàm số chẵn nên • (−∞,0) y nghịch biến BBT x ∞ + y + ∞ ∞ ∞ Trang 39 + Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng • BGT: x y - 1 1 6 • Đồ thị • Nhận xét: Đồ thị parabol có bề lõm quay lên, nhận trục tung làm trục đối xứng y = xα ,α ∈ Q 2.6 Hàm 2.6.1 Lý thuyết y = xα , α ∈ Q • TXĐ: D= + D= + • Hàm số α >0 α Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng ⇒y=x f Vì nghịch biến hàm chẵn nên ( 0,+∞) −2 đồng biến Ta có: lim y = +∞ lim y = x →0 ± • x → ±∞ BBT x ∞ - ∞ + y ∞ + ∞ + 0 • BGT x 3 - Đồ thị • y • Nhận xét: Đồ thị gồm nhánh nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng Bài tập Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Trang 43 y = x5 ( − ∞,0 ) Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng • TXĐ: • D=R ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D f (− x) = ⇒ ( − x) 2 = x = x = f ( x) Hàm số cho hàm số chẵn (0,+∞) Xét khoảng y = f ( x) = x Ta có: ⇒ (0,+∞) đồng biến y = f ( x) = x (0,+∞) đồng biến y = f ( x) = x = x Suy ra: (0,+∞) đồng biến y = f ( x) = x = x Mà y hàm chẵn nên (−∞,0) • BBT −∞ x +∞ +∞ y +∞ • BGT x y - 1 1 32 32 Trang 44 2 nghịch biến Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng • Đồ thị • Nhận xét Đồ thị hàm số gồm nhánh nằm phía trục hoành qua điểm O ( 0, ) B ( 1,1) C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Tiểu luận trình bày cách có hệ thống, chi tiết nội dung kiến thức quan trọng việc khảo sát hàm số Dùng công cụ sơ cấp học lớp để giải toán khảo sát hàm số cách logic Trong tiểu luận rõ trường hợp dùng phương pháp này, trường hợp dùng phương pháp khác, áp dụng Trang 45 Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng cho dạng hàm số cụ thể nhằm giúp độc giả hiểu sâu thấy mối liên hệ tầm quan trọng chúng việc giải toán Hy vọng vấn đề mà đề cập đến tiểu luận giúp ích đáng kể cho bạn sinh viên, đặc biệt em học sinh trung học phổ thông học tập nghiên cứu khảo sát hàm số, chuẩn bị hành trang kiến thức vững vàng để bước vào kì thi trung học phổ thông quốc gia Kiến nghị Khảo sát hàm số toán hay câu quan trọng có mặt đề thi tuyển sinh Chính cần phải tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu sâu phương pháp tiếp cận, tìm tòi phương pháp khác để giải toán cách hay hơn, ngắn gọn Do thời gian hạn hẹp khả nghiên cứu nhiều hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý độc giả để tiểu luận hoàn thiện Trang 46 Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà, Đại số sơ cấp thực hành giải toán, NXB Đại học sư phạm, 2005 [ 2] Phạm Hữu Nhân, Nguyễn Phúc Hồng Dương, Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1978 [ 4] Hoàng Kỳ, Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1998 Trang 47 Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng E NHẬN XÉT Trang 48 Khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp áp dụng MỤC LỤC Trang 49

Ngày đăng: 08/07/2016, 09:55

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan