tiểu luận phương pháp nghiên cứu khoa học

Khảo sát vẽ đồ thị hàm số là bài toán đóng vai trò quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp cũng như tuyển sinh vào đại học.. Theo phân bố chương trình của bộ 2013-2014 thì chương Ứng dụng

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Nhằm đáp ứng nhu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước giai đoạn hiện nay, Đảng và nhà nước ta đã xác định cần có những con người phát triển toàn diện, năng động, sáng tạo Muốn vậy, cần phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo Trong nghị quyết lần thứ IV ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam chỉ rõ “Mục tiêu giáo dục, đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động có năng lực thích ứng với kinh tế thị trường cạnh tranh và hợp tác,

có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ văn minh”

Ngày nay, quan điểm khoa học luận và sư phạm về dạy học đang phổ biến trong nhiều nước là: “thực hiện việc dạy học thỏa mãn hơn khoa học lý luận và tôn trọng hơn quá trình nhận thức của học sinh” Điều đó đòi hỏi trong dạy học phải đồng thời tính đến những kết quả nguyên cứu về khoa học lý luận lịch sử toán học và về khả năng nhận thức của học sinh Tuy nhiên, ở Việt Nam, các đối tượng toán học thường được đưa vào chương trình và sách giáo khoa theo truyền thống và kinh nghiệm chủ quan, tách rời khỏi lịch sử phát triển của đối tượng và ít quan tâm đến nhận thức của học sinh Điều này có ảnh hưởng như thế nào đến việc học tập của học sinh? Việc tìm lời đáp cho câu hỏi này thực sự rất cần thiết và cấp bách cho việc cái tiến dạy học toán ở trường phổ thông Việc giảng dạy lý thuyết và xây dựng hệ thống bài tập cho học sinh là vấn đề quan trọng và cần thiết nhằm giúp học sinh nắm rõ từng dạng toán và phương pháp giải

Khảo sát vẽ đồ thị hàm số là bài toán đóng vai trò quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp cũng như tuyển sinh vào đại học Theo phân bố chương trình của bộ (2013-2014) thì chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (vấn đề liên quan đến khảo sát, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị) có thời lượng 18 tiết riêng bài Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị thì được phân bố trong 6 tiết Ở các kì thi của lớp 12, trong đề thi toán hầu như luôn có 2 điểm hoặc 1 điểm dành cho khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Trong đề toán, kèm theo một câu về khảo sát hàm số luôn luôn là một số câu có chứa các vấn đề liên quan đến hàm số Những vấn đề này tương đối đơn giản trong các đề thi tốt nghiệp, nhưng được mở rộng, nâng cao và rất đa dạng ở các đề thi tuyển sinh vào các trường cao đẳng và đại học trong toàn quốc Việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh:

Thứ nhất: Việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức, rèn luyện tính linh hoạt, tính cẩn thận, logic, khả năng sáng tạo Khi giải bài toán này phải sử dụng các kiến thức liên quan như đạo hàm, giới hạn, đồng biến, nghịch biến, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…

Thứ hai: Khi giải các bài toán liên quan đến đồ thị học sinh có thể rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hóa, khái quát hóa Mặc dù là những vấn đề cơ bản trong môn toán những học sinh vẫn còn thấy khó khăn và dễ lộn các dạng với nhau Ngoài ra, có không ít học sinh làm một cách máy móc mà không hiểu được bao nhiêu và cũng chẳng hiểu được chúng ứng dụng để làm

gì Trong các đề thi đại học, cao đẳng, học sinh thường ít đạt điểm tối đa phần đồ thị

và khi giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị học sinh thường lúng túng khi tìm đường lối giải Vì vậy, chúng ta phải thường xuyên làm bài tập dạng này một cách thuần thục Không nên nghĩ rằng dạng toán này mình đã gặp qua rồi chính vì vậy không cần phải lãng phí thời gian cho nó, đó là một cách nghĩ sai lầm Hãy làm đi làm lại nhiều lần vì chắc rằng nếu không làm thường xuyên chúng ta sẽ quên Chính vì vậy, nhiệm vụ của người thầy là phải giúp học sinh nắm vững các khái niệm, định nghĩa, tính chất, giúp các em xâu chuỗi kiến thức, phân thành các dạng bài tập để dễ nhớ

Xuất phát từ những lí do đó, nên đề tài được chọn là: “Khảo sát vẽ đồ thị hàm

số và ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập chương I đại số 12”

I Mục đích nghiên cứu:

Làm cho học sinh nắm vững khái niệm, định nghĩa, định lí về khảo sát vẽ đồ thị hàm số và các kiến thức liên quan đến đồ thị để giải bài tập

Đưa ra một số dạng bài tập nhằm giúp học sinh lĩnh hội các kiến thức về đồ thị một cách đúng đắn, khoa học, hiệu quả

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: các vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số

Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số và ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập chương 1 giải tích 12 Nâng cao

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nhắc lại các kiến thức liên quan đến hàm số và đồ thị

Phân tích về chương trình và sách giáo khoa toán các lớp THPT về khảo sát

và vẽ đồ thị hàm số

Xây dựng các dạng bài tập thực nghiệm, cho phép làm rõ một số quan niệm của học sinh về kiến thức khảo sát vẽ đồ thị

IV.Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu tài liệu.

Tổng kết kinh nghiệm

V Đóng góp của đề tài:

Giúp cho học sinh có thêm kiến thức về khảo sát vẽ đồ thị hàm số

Học sinh biết thêm nhiều dạng bài tập để ứng dụng khảo sát vẽ đồ thị hàm số

VI Cấu trúc đề tài:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo thì nội dung của đề tài chia làm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Nội dung khảo sát vẽ đồ thị hàm số trong chương I đại số12 Chương 3: Hệ thống bài tập

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG 1: CƠ SƠ LÝ LUẬN

1.1 Giới hạn của hàm số:

1.1.1 Định nghĩa

1.1.2 Tính chất

1.2 Đạo hàm:

1.2.1 Định nghĩa đạo hàm

1.2.2 Quy tắc Hospital để tìm giới hạn của hàm số

1.2.3 Tính đơn điệu của hàm số

1.2.4 Định lý

1.2.5 Nhận xét

1.2.6 Định lý Lagrange

1.3 Cực trị của hàm số

1.3.1 Khái niệm cực trị của hàm số

1.3.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lí 1:

1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Định lí 3:

1.4 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.4.1 Định nghĩa:

1.4.2 Nhận xét:

1.4.3 Quy tắc:

1.5 Sự lồi, lõm, điểm uốn:

Các khái niệm lồi, lõm, điểm uốn

1.6 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

1.6.1 Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độ.

1.6.2 Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ mới

1.7 Tiệm cận của đồ thị hàm số

1.7.1 Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang

+ Định nghĩa 1:

+ Định nghĩa 2:

1.7.2 Đường tiệm cận xiên

+ Định nghĩa 3:

+ Chú ý:

1.8 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:

• Các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số

1.8.1 Tập xác định:

Tìm tập xác định của hàm số

1.8.2 Sự biến thiên:

 Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y'

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y'bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm y'và suy ra chiều biến thiên của hàm số

 Tìm cực trị

 Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

 Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên) 1.8.3 Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số (bước này

chỉ thực hiện với hàm bậc ba)

 Tính y ''

 Giải phương trình y'' = 0

 Lập bảng xét dấu y ''

1.8.4 Đồ thị:

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ

 Chú ý:

- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox

- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là giao điểm của đồ thị

và các trục tọa độ

- Nên lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = f (x) =a x3 + b x2 + c x

+ d

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm trùng phương

c bx ax x f

y= ( )= 4 + 2 +

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ:

 Hàm số

d cx b ax y

+ +

= (c≠0và ad −bc≠0)

 Hàm số

' ' 2

b x a

c bx ax y

+ + +

= (a≠ 0 , a'≠0)

CHƯƠNG 2: NỘI DUNG KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG

CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 12

2.1 Bài 1:Tính đơn điệu của hàm số:

+ Định nghĩa hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến

+Định lí:

+Chú ý:

+Ví dụ:

2.2 Bài 2: Cực trị của hàm số:

+Khái niệm cực trị của hàm số *Định nghĩa

*Chú ý

+Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị * Định lí 1

* Định lí 2

* Định lí 3

* Ví dụ 2.3 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

+Định nghĩa

+Ví dụ

+Nhận xét

2.4 Bài 4: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ:

+Tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độ

+Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ mới

+Ví dụ

2.5 Bài 5: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

+Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang * Định nghĩa 1

* Định nghĩa 2

* Ví dụ +Đường tiệm cận xiên * Định nghĩa 3

* Ví dụ 2.6 Bài 6: Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức:

+Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

+Hàm số y = f (x) =a x3 + b x2 + c x + d

+Hàm số trùng phương y= f(x)=ax4 +bx2 +c

2.7 Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ:

+ Hàm số

d cx b ax y

+ +

= (c≠0và ad −bc≠0)

+ Hàm số

' ' 2

b x a

c bx ax y

+ + +

= (a≠ 0 ,a'≠0)

CHƯƠNG 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP

• Vấn đề: Tìm giới hạn của hàm số

• Vấn đề 1: Đạo hàm của hàm số

• Vấn đề 2: Dùng quy tắc Hospital để tìm giới hạn

• Vấn đề 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số theo tham số

• Vấn đề 2: Định tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

• Vấn đề 3: Định tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trong một khoảng

• Vấn đề 4: Áp dụng định lý Lagrange để chứng minh một bất đẳng thức

• Vấn đề 5: Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một bất đẳng thức

• Vấn đề 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một phương trình

có nghiệm duy nhất

• Vấn đề 7: Dùng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình

• Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số.

• Vấn đề 2: Định tham số để hàm số có cực trị

• Vấn đề 3: Định tham số để hàm số chỉ có một cực trị

• Vấn đề 4: Định tham số để đồ thị của hàm số có các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

• Vấn đề 5: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Quỹ tích (tập hợp) các điểm cực trị

• Vấn đề 6: Điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị ở hai phía hoặc ở cùng một phía đối với một đường thẳng

• Vấn đề 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

• Vấn đề 2: Dùng tính chất của hàm số bậc hai để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

• Vấn đề 3: Dùng sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

• Vấn đề 4: Dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

• Vấn đề 5: Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình a cos x + b sin x =

cđể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

• Vấn đề 6: Dùng dấu của tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

• Vấn đề 7: Dùng tính chất của hàm số lượng giác để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

• Vấn đề 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số cụ thể

• Vấn đề 2: Tiệm cận có tham số

3.7 Một số dạng toán thường gặp về đồ thị:

Dạng 1: Giao điểm của hai đồ thị.

Dạng 2: Sự tiếp xúc của hai đường cong.

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đồ thị.

Dạng 4: Biện luận phương trình bằng đồ thị.

Dạng 5: Vị trí của đồ thị đối với trục hoành hay đối với đường thẳng.

Dạng 6: Tìm hai điểm trên đồ thị đối xứng nhau qua một điểm hoặc qua một

đường thẳng

Dạng 7: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ là số nguyên.

Dạng 8: Họ đường đi qua điểm cố định-tập hợp điểm mà họ đường không đi

qua

Vấn đề 1: Họ đường đi qua điểm cố định

Vấn đề 2: Biện luận số đường đi qua điểm đã cho

Vấn đề 3: Tìm tập hợp những điểm mà họ đường không đi qua

Dạng 9: Tiếp tuyến:

Vấn đề 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Vấn đề 2: Xác định tham số để từ một điểm vẽ được hai tiếp tuyến vuông góc với đồ thị hoặc hợp với nhau một góc α≠ 90 0

Vấn đề 3: Tìm tập hợp những điểm từ đó vẽ được n tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

Dạng 10: Đường thẳng tiếp xúc với đường cong:

Vấn đề 1: Họ đường thẳng tiếp xúc với một parabol cố định hoặc một đường tròn cố định

Vấn đề 2: Đường tiệm cận của đồ thị tiếp xúc với một đường cong cố định Vấn đề 3: Đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại hai điểm phân biệt

Dạng 11: Họ đường cong tiếp xúc với đường thẳng cố định:

Vấn đề 1: Họ đường cong tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định

Vấn đề 2: Họ đường cong tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Dạng 12: Đường cong tiếp xúc với đường cong:

Vấn đề: Họ đường cong tiếp xúc với một đường cong cố định

Dạng 13: Khoảng cách và diện tích.

Dạng 14: Quỹ tích, tập hợp điểm.

Dạng 15: Biến đổi đồ thị:

Vấn đề 1: Biến đổi đồ thị y = f(x)⇒ y= f(x).

Vấn đề 2: Biến đổi đồ thị y = f(x)⇒ y= f(x).

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I Kết luân:

II Kiến nghị:

Đối với sách giáo khoa: Thêm lượng bài tập về khảo sát vẽ đồ thị và các bài tập liên quan đến dạng này

Đối với nhà trường: Tăng tiết dạy đối với dạng này để học sinh có thời gian làm bài

Đầu tư các trang thiết bị cần thiết phục vụ cho quá trình giảng dạy của giáo viên

Đối với giáo viên: Không ngừng học hỏi thêm các kinh nghiệm, phương pháp giải về khảo sát vẽ đồ thị từ đó chọn lọc, truyền đạt lại cho học sinh những phương pháp hay, ngắn gọn

D TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1 Sách giải tích 12 nâng cao

2 http://tailieu.vn/doc/khao-sat-h-am-so-va-ve-do-thi-362605.html

3 http://giaibaitap.com/bai-tap-phuong-phap-giai-dai-giai-tich-12

4 http://www.tuyensinhvn.com/3385/on-thi-dai-hoc-mon-toan-khao-sat-su-bien-thien-ve-do-thi-ham-so.html

5 http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/The/khao-sat-va-ve-do-thi-ham-so

6.

http://loigiaihay.com/khao-sat-su-bien-thien-va-ve-do-thi-cua-ham-so-e359.html