1. Lí do chọn đề tài Đại số đại cương là một học phần rất quan trọng trong toán học hiện đại. Các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường, môđun có nhiều ứng dụng và được nghiên cứu rất kỹ trong chương trình đại học. Nhóm aben là một trong những nội dung học khá quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như của các ngành khoa học khác. Đã từ lâu việc nghiên cứu nhóm aben đã được nhiều nhà toán học quan tâm và có nhiều công trình có giá trị. Vì vậy, trong quá trình học tập và nghiên cứu môn Đại số đại cương em chọn đề tài: “Nhóm aben” làm tiểu luận nghiên cứu của mình. 2. Mục đích của đề tài Nắm vững những kiến thức cơ bản về nhóm aben. Một số bài tập áp dụng sẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về lý thuyết và nâng cao khả năng suy luận và tính toán. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về những kiến thức liên quan về nhóm aben. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp. Phân tích một số bài tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó nhằm giải quyết vấn đề của bài toán đặt ra. 5. Đóng góp của đề tài Chứng minh chi tiết và làm rõ một số định lý, mệnh đề, cũng như đưa ra một vài ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận được vấn đề. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nhóm ben Chương 3: Một số bài tập áp dụng
Đề tài: Nhóm aben MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đại số đại cương học phần quan trọng toán học đại Các cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, môđun có nhiều ứng dụng nghiên cứu kỹ chương trình đại học Nhóm aben nội dung học quan trọng có nhiều ứng dụng toán học ngành khoa học khác Đã từ lâu việc nghiên cứu nhóm aben nhiều nhà toán học quan tâm có nhiều công trình có giá trị Vì vậy, trình học tập nghiên cứu môn Đại số đại cương em chọn đề tài: “Nhóm aben” làm tiểu luận nghiên cứu Mục đích đề tài Nắm vững kiến thức nhóm aben Một số tập áp dụng giúp hiểu sâu lý thuyết nâng cao khả suy luận tính toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức liên quan nhóm aben Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp Phân tích số tập khái quát hóa dựa phân tích nhằm giải vấn đề toán đặt Đóng góp đề tài Chứng minh chi tiết làm rõ số định lý, mệnh đề, đưa vài ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nhóm ben Chương 3: Một số tập áp dụng Trang Đề tài: Nhóm aben NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm nhóm Nhóm tập với phép toán nhân thỏa mãn điều kiện: (i) Phép toán có tính kết hợp: a (bc ) = (ab)c , ∀a, b, c ∈ G (ii) G có đơn vị: ∃e ∈ G cho ex = xe = x , ∀x ∈ G (iii) Mọi phần tử G khả nghịch: với x ∈ G , tồn x −1 ∈ G cho xx −1 = x −1 x = e 1.2 Nhóm chuẩn tắc • Định nghĩa 1.2.1 Giả sử S nhóm G ( S ≤ G ) Với a ∈ G , tập hợp: aS = { as s ∈ S } Sa = { sa s ∈ S } gọi lớp kề trái (lớp kề phải) S a Nếu S nhóm chuẩn tắc G ( S G ) ta có Sa = aS , ∀a ∈ S • Định lý 1.2.2 Hai lớp kề trái S trùng nhau, phần tử chung Vậy nhóm G phân hoạch thành hợp rời lớp kề trái Tương tự lớp kề phải Chứng minh Giả sử Sa Sb có chung phần tử c (a, b, c ∈ G ) , tức c = s1 a = s b với s1 , s ∈ G , với s ∈ S , ta có: sa = ss1−1 s1 a = ss1−1 s b ∈ Sb hay sa ∈ Sb suy Sa ⊂ Sb (1) Do tính đối xứng a b , ta có: Sb ⊂ Sa (2) Từ (1) (2) ta có Sa = Sb Tương tự lớp kề trái chứng minh aS = bS Trang Đề tài: Nhóm aben 1.3 Tích trực tiếp tổng trực tiếp nhóm Giả sử G = A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B} G ta định nghĩa phép toán sau: ∀(a1 , b1 ), (a , b2 ) ∈ G (a1 , b1 )(a , b2 ) = (a1 a )(b1b2 ) Khi G với phép toán lập thành nhóm • Tích trực tiếp Nhóm G = A × B xác định gọi tích trực tiếp hai nhóm A B • Các tính chất suy từ định nghĩa (1) A × B ≅ B × A (2) ( A × B ) × C ≅ A × ( B × C ) (3) Có thể đồng A (tương ứng B ) Với A× { e B } ( tương ứng { e A } × B ) A × B nhờ đồng cấu: A → A× B B → A× B a ( a, e B ) b (e A , b) (4) Từ phép đồng trên, phần tử A giao hoán với phần tử B A × B ab = (a, e B )(e A , b) = (a, b) = (e A , b)(a, e B ) = ba suy ab = ba (5) A ∩ B = { e} A × B (6) Nhóm A × B sinh A ∪ B (7) A, B nhóm chuẩn tắc A × B Thật vậy, ∀(a1 , b1 ) ∈ A × B , (a, e B ) ∈ A (a1 , b1 )(a, e B )(a1 , b1 ) −1 = (a1 a1 a1−1 , b1e B b1−1 ) = (a1 a1 a1 , eB ) ∈ A Tương tự ta chứng minh được: (a1 , b1 )(e A , b)(a1 , b1 ) −1 ∈ B (8) A × B A ≅ B ; A × B B ≅ A Thật vậy, ta áp dụng định lý đồng cấu nhóm toàn cấu: ∏1 : A × B → A ∏ : A× B → B (a, b) ∏ (a, b) = a (a, b) ∏ (a, b) = b Ker ∏ = B , Ker ∏ = A Chú ý: Khi đó: A× B Ker ∏ ≅ B A × B ≅ A Ker ∏ • Nhận xét Trang Đề tài: Nhóm aben Giả sử N G Nói chung, G không đẳng cấu với N × (G / N ) hay G • Mệnh đề 1.3.1 Với m, n ∈ , cho (m, n) = Khi ta có : • Định lý 1.3.2 Giả sử A B hai nhóm chuẩn tắc G , A ∩ B = { e} G nhóm sinh A ∪ B Khi G ≅ A × B • Tổng trực tiếp Tích trực tiếp A × B nhóm A × B gọi tổng trực tiếp hai nhóm Ký hiệu A ⊕ B • Nhận xét Khái niệm tích trực tiếp tổng trực tiếp khác chúng áp dụng cho họ vô hạn nhóm Giả sử G nhóm nhân ∀i ∈ I Khi Ta xác định phép toán ∏G i∈I i ∏ G = { (a ) i∈I i i i ∈ I , a i ∈ Gi , i ∈ I } sau ∀(a i ) i∈I , (bi ) i∈I ∈ ∏ Gi ; a i , bi ∈ Gi i∈I ( a i ) i∈I (bi ) i∈I = (a i bi ) i∈I Dễ dàng kiểm tra ∏G i∈I i với phép toán xác định lập thành nhóm gọi tích trực tiếp họ nhóm Gi , i ∈ I Ký hiệu ∏G i∈I i Tổng trực tiếp họ nhóm Gi , i ∈ I viết: ⊕ Gi nhóm i∈I ∏G i∈I i Gồm tất phần tử ( a i ) i∈I cho a i = ei (đơn vị) hầu hết trừ số hữu hạn số i 1.4 Môđun tự • Định nghĩa 1.4.1 Trang Đề tài: Nhóm aben Cho M R - môđun Giả sử S = { x i i ∈ I } tập M , ta nói S hệ độc lập tuyến tính tập hữu hạn J ⊂ I ta có ∑r x i i = , ri ∈ R, i ∈ J suy xi = , i∈J Ta nói S sở S hệ sinh độc lập tuyến tính M Khi M gọi R - môđun tự với sở S ( ta nói S tập sinh tự M ) Vậy M gọi tự có sở môđun không • Định lý 1.4.2 Các điều kiện sau tương đương (a) F R - môđun tự (b) F = ⊕Fi , Fi ≅ R, i ∈ I • Mệnh đề 1.4.3 Mỗi R - môđun M đẳng cấu với môđun thương môđun tự • Hệ 1.4.4 Mọi nhóm nhóm aben tự tự 1.5 Định lý Lagrange • Định lý Lagrange Cho G nhóm hữu hạn, S ≤ G Khi cấp G bội cấp S ( hay G bội S ) • Hệ 1.5.1 Cấp phần tử nhóm hữu hạn G ước số cấp G • Định nghĩa 1.5.2 Giả sử G nhóm tùy ý i) Với a ∈ G , ∃m nguyên dương cho a m = e m gọi số mũ a ii) Số nguyên dương m gọi số mũ nhóm G số mũ phần tử G Trang Đề tài: Nhóm aben • Hệ 1.5.3 Cấp nhóm hữu hạn G số mũ Mọi nhóm có cấp nguyên tố nhóm xyclic • Hệ 1.5.4 (Định lý Fermat nhỏ) Giả sử p số nguyên tố, a số nguyên Ta có: a p − a chia hết cho p • Định lý Lagrange tổng quát Giả sử T ≤ S S ≤ G , G hữu hạn Khi đó: [ G : T ] = [ G : S ][ S : T ] Trang Đề tài: Nhóm aben Chương NHÓM ABEN 2.1 Một số kiểu nhóm sở 2.1.1 Nhóm xoắn • Định nghĩa 2.1.1.1 Nhóm A gọi nhóm xoắn phần tử có cấp hữu hạn; phần tử phần tử có cấp hữu hạn A gọi nhóm không xoắn Nhóm gọi p – nhóm hay nguyên sơ phần tử khác không có cấp lũy thừa số nguyên tố p cố định • Ví dụ 2.1.1.2 Nhóm cộng số nguyên không xoắn Nhóm thương nhóm xoắn lớp thặng dư theo số nguyên tố p p – nhóm Nhóm cộng • Mệnh đề 2.1.1.3 Tập hợp T tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm A nhóm A Khi T nhóm xoắn, nhóm thương A / T nhóm không xoắn Nhóm T gọi phần xoắn nhóm A ký hiệu T (A) • Định lý 2.1.1.4 Nhóm xoắn A phân tích thành tổng trực tiếp p – nhóm A p , với số nguyên tố p khác Hơn nữa, nhóm Ap xác định nhóm A Chứng minh Giả sử Ap gồm tất phần tử có cấp lũy thừa số nguyên tố p Hiển nhiên ∈ A p Nếu a, b ∈ Ap , nghĩa p m a = p n b = m, n ≥ p max( m ,n ) (a − b) = , a − b ∈ A p , Ap nhóm A { } Giả sử Api i ∈ I tập hợp p - nhóm Ap nhóm A theo số nguyên tố khác Trước hết ta chứng minh ∑A I p = ⊕ Ap I i Thật vậy, p ≠ p1 , p , , p k ( ) A p ∩ A p1 + A p2 + + A pk = Trang Đề tài: Nhóm aben phần tử khác không tổng Ap + A p + + Ap biến thành tích k p1 p p k Bây ta chứng tỏ phần tử a ∈ A nằm tổng trực tiếp ⊕ Ap I i r r r Giả sử a có cấp m = p1 p p n số nguyên tố pi đôi khác n −r Các số mi = m pi ( i = 1,2, , n ) số nguyên tố nên tồn số i nguyên s1 , s , , s n cho s1 m1 + s m2 + + s n mn = Từ đó, a = s1 m1 a + s m a + + s n m n a r Bởi pi mi a = ma = nên mi a ∈ Ap , a ∈ ⊕ Ap Như A = ⊕ Ap I i i i i Bây giả sử A = ⊕ B p phân tích nhóm A thành tổng trực tiếp p p − nhóm B p , p số nguyên tố khác Theo định nghĩa nhóm Ap p xảy bao hàm thức B p ⊂ A p Bởi nhóm B p Ap sinh tổng trực tiếp mà tổng A nên thiết B p = Ap p Trong nhóm xoắn A nhóm Ap gọi p − thành phần nguyên sơ Hiển nhiên, Ap p − nhóm cực đại A Định lý vừa nêu cho thấy lý thuyết nhóm xoắn đưa lý thuyết nhóm nguyên sơ • Hệ 2.1.1.5 r r r Giả sử m = p1 p p n phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên m Khi n Chứng minh Với số nguyên tố pi ( i = 1,2, , n ) nhóm A = có chứa nhóm xyclic Bi sinh phần tử cấp p α , p số nguyên tố nặt i phân tích m A p − nhóm Bởi vậy, A có phân tích theo thành phần nguyên sơ Trang Đề tài: Nhóm aben A = Ap ⊕ Ap ⊕ ⊕ Ap n Khi đó, Bi ⊂ Ap nên i n n ∑ Bi = ⊕ Bi ⊂ A 1 n r1 r2 n rn Do ⊕B i có cấp p1 p2 pn = m nên ta có ⊕ Bi = A nghĩa 1 • Ví dụ 2.1.1.6 1) Nhóm thương = có p − thành phần nguyên sơ , , đó, có phân tích trực tiếp , với ∏ tập tất số nguyên tố 2) Tìm tất nhóm aben không đẳng cấu có cấp 72 Giả sử A nhóm aben cấp 72 Do 72 = 3.32 nên theo Định lý, có phân tích theo thành phần nguyên sơ A = A2 ⊕ A3 Do cấp nhóm Ap , p = 2,3 ước 72 phần tử Ap có cấp lũy thừa p nên A2 = A3 = Nhóm A2 nhóm sau: , Nhóm A3 nhóm sau: , , Tổ hợp tất trường hợp ta thấy có tất nhóm không đẳng cấu có cấp 72 2.1.2 Nhóm đối xyclic nhóm giả xyclic • Định nghĩa 2.1.2.1 Nhóm C gọi nhóm đối xyclic chứa phần tử c ≠ cho đồng Trang Đề tài: Nhóm aben cấu ϕ : C → B mà c ∉ Kerϕ đơn cấu Khi c gọi phần tử đối sinh C Trang 10 Đề tài: Nhóm aben ta chứng tỏ ψ R -đồng cấu Đối với r , s ∈ R , ψ ( sb)(r ) = β (rsb) = ψ (b)(rs ) = (ψ (b) s )(r ) , nghĩa ψ ( sb) = sψ (b) Do ψ R -đồng cấu Hơn nữa, ta có (((ψα )a)r ) = β (α (a)r ) = β (α (ar )) = βα (ar ) = δϕ (ar ) = ϕ ( ar )(1) = (ϕ (a )r )(1) = ϕ ( a)(r ) Bởi ψα = ϕ , nghĩa là R − môđun nội xạ • Bổ đề 2.4.6 Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm nhóm aben chia Chứng minh Giả sử A nhóm aben với hệ sinh S = {u i i ∈ I } Khi theo Mệnh đề 1.4.3, ta có đẳng cấu α:A Đơn cấu tắc τ : cảm sinh đơn cấu τ∗ : Do Q chia nên Q ( I ) Q ( I ) / K chia Bởi τ ∗α đơn cấu phải tìm • Định lý 2.4.7 Mỗi môđun M ánh xạ đơn cấu môđun nội xạ Chứng minh Giả sử M R − môđun cho Khi theo Bổ đề 2.4.6, tồn - đơn cấu µ : M → D , D nhóm aben chia Theo Bổ đề 2.4.5, Q = R -môđun nội xạ Ta xác định tương ứng f :M → cho Trang 27 Đề tài: Nhóm aben f (m)(r ) = µ (rm), m ∈ M , r ∈ R Rõ ràng f đồng cấu R -môđun Từ tính đơn cấu µ suy f đơn cấu Định lý chứng minh hoàn toàn Sau chứng minh trực tiếp tính nội xạ nhóm aben chia (điều kiện đủ Định lý 2.4.4) dựa vào định nghĩa mà không thông qua đặc trưng tính nội xạ làm Giả sử D nhóm chia giả sử cho biểu đồ đồng cấu nhóm A xem nhóm B i phép nhúng tắc Xét tập Γ tất cặp (G, γ ) , G nhóm trung gian A B γ : G → D đồng cấu kéo dài δ Tập Γ thứ tự (G, γ ) ≤ (G ' , γ ' ) G ⊂ G ' γ hạn chế γ ' G Tập khác rỗng cặp ( A, δ ) thuộc vào Giả sử L = ((Gi , γ i ) i ∈ I ) dãy chuyền Γ Đặt G = I Gi γ : G → D đồng cấu trùng với γ i Gi Thế cặp (G, γ ) ∈ Γ cận dãy chuyền L Bởi theo Bổ đề Zorn, Γ có phần tử tối đại (G0 , γ ) Ta chứng minh G0 = B Giả sử ngược lại, tồn phần tử b ∈ B / G0 Khi đặt G ' , xét hai trường hợp: • Trường hợp 1: Khi G ' = 〈b〉 + G = 〈b〉 ⊕ G tương ứng γ: G' → D nb + c γ 〈c〉 đồng cấu có hạn chế G0 γ Điều chứng tỏ cặp (G ' , γ ' ) ∈ Γ thực lớn (G0 , γ ) , trái với tính tối đại (G0 , γ ) Trang 28 Đề tài: Nhóm aben • Trường hợp 2: 〈 Ta chọn n số nguyên dương bé cho nb ∈ G Do tính chia D ta có d ∈ D thỏa mãn nd = γ (nb) Bây ta chứng minh tương ứng γ ': G' → D mb + c m + γ (c) ánh xạ, đồng cấu Bởi vậy, cặp (G ' , γ ' ) ∈ Γ thực lớn (G0 , γ ) , trái với tính tối đại (G0 , γ ) Vậy G0 = B ta có điều phải chứng minh 2.5 Cấu trúc nhóm chia • Bổ đề 2.5.1 Đế nhóm A , tập hợp tất phần tử a ∈ A mà cấp không chia hết cho bình phương số tự nhiên Từ bổ đề suy rằng, trường hợp đặc biệt, A p - nhóm, Soc( A) = { a ∈ A, pa = 0} • Định nghĩa 2.5.2 Nhóm E nhóm A gọi cốt yếu E ∩ B ≠ với nhóm B khác không nhóm A Trong trường hợp người ta nói nhóm A mở rộng cốt yếu nhóm E • Ví dụ 2.5.3 có phần tử sinh cấp p Nhóm c sinh c cốt 1) Trong nhóm yếu 2) Trong nhóm nhóm khác không nhóm cốt yếu Thật vậy, hai nhóm khác dạng m , n với m, n ≠ Khi đó, giao chúng chứa tích mn ≠ 3) Trong nhóm nhóm nhóm khác không nhóm cốt yếu Thật vậy, A với ≠ a ∈ ta có ≠ na ∈ với số nguyên n Bởi vậy, na ∈ A ∩ Z Các nhóm nhũng ví dụ nhóm chia Định lý Trang 29 Đề tài: Nhóm aben đồng cấu nhóm chia chứng tỏ nhóm mô tả tích trực tiếp nhóm • Mệnh đề 2.5.4 Mọi nhóm chia D phân tích thành tổng trực tiếp D =T ⊕ E T phần xoắn D Rõ ràng phương trình nx = a , với c ∈ T có nghiệm x ∈ T ( x có cấp vô hạn) Bởi T nhóm chia Theo Định lý 1.5.3 T hạng tử trực tiếp D , D = T ⊕ E Hiển nhiên E không xoắn chia theo Định lý 1.5.2 Định lý 2.4.4 • Mệnh đề 2.5.5 Mọi nhóm chia xoắn tổng trực tiếp nhóm kiểu Chứng minh Giả sử T nhóm xoắn chia Nếu p − thành phần nhóm T ký hiệu T p ta có T = ⊕ Tp p Còn lại ta phải chứng minh T p tổng trực tiếp nhóm Gọi S p đế nhóm T p , S p tổng trực tiếp nhóm xyclic cấp nguyên tố p : S p = ⊕ Ai Ai = 〈 a i 〉 I Do T p hạng tử trực tiếp nhóm chia nên nhóm chia Bởi i ∈ I , nhóm T p tồn dãy vô hạn phần tử a i , , a i , cho a i = a i , pa i n +1 n = a i , n = 1,2, Từ suy phần tử a i ta n nhúng vào nhóm C i = 〈 a i , , a i , 〉 Rõ ràng C i đẳng cấu với nhóm n có đế nhóm Ai Bây ta chứng tỏ ∑C I i = ⊕ Ci I Trang 30 Đề tài: Nhóm aben Ta chứng tỏ với i ∈ I , C i ∑ C j = j ≠i Giả sử g phần tử khác không thuộc giao Khi g = ci = ∑ c j , c k ∈ C k j ≠i tổng hữu hạn Do C i nhóm kiểu nên tồn số nguyên dương n để ≠ p n ci ∈ Ai = Soc(Ci ) Như p n ci phần tử cấp p thuộc vào ∑C nhóm j ≠i j ∑A j ≠i j ∑C j ≠i j Bởi vậy, p n ci thuộc vào đế = ⊕ A j Điều vô lý A A = ∑ j j ≠i i j ≠i • Mệnh đề 2.5.6 Mọi nhóm chia không xoắn E tổng trực tiếp nhóm đẳng cấu với Chứng minh Trước hết ta nhắc lại hệ { a1 , , ak } phần tử khác không nhóm aben không xoắn A độc lập tuyến tính hay đơn giản độc lập từ đẳng thức n1a1 + + nk ak = ( n i ∈ Z ) (1) suy n1 = = nk = Hệ vô hạn L = { } i∈I phần tử A gọi độc lập L hệ hữu hạn độc lập Hệ độc lập M nhóm A gọi tối đại A không tồn hệ độc lập thực chứa M Tương tự trường hợp không gian vectơ, cách sử dụng Bổ đề Zorn ta chứng minh hệ độc lập phần tử nhóm aben A bổ sung đến hệ độc lập tối đại Ta chọn hệ độc lập tối đại phần tử {b j j ∈ J } nhóm F Bởi E nhóm không xoắn nên nhóm xyclic 〈b j 〉 đẳng cấu với nhóm cộng Dễ dàng Trang 31 Đề tài: Nhóm aben thấy nhóm cộng số hữu tỉ nhóm chia tối tiểu chứa Bởi vậy, E nhóm chia nên E có nhóm chia B j chứa b j đẳng cấu với Bởi {b j } hệ độc lập nên nhóm B j sinh E nhóm B tổng trực tiếp chúng: B = ⊕ j B j Nhóm hạng tử trực tiếp E , chứa hệ độc lập tối đại phần tử E nên B = E , E tổng trực tiếp nhóm đẳng cấu với • Định lý 2.5.7 Mọi nhóm chia tổng trực tiếp nhóm kiểu đẳng cấu với nhóm cộng số hữu tỉ nhóm Trang 32 Đề tài: Nhóm aben Chương MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Giả sử A nhóm aben tự có sở { x1 , x2 , , xn } , pA = { pa a ∈ A} với p số nguyên tố Chứng minh rằng: a) A = ; vành số nguyên b) A ≅ c) pA A d) a) A = ; vành số nguyên Giải Vì { x1 , x , , x n } sở A nên ∀a ∈ A ta có: a = z1 x1 + + z n x n ∈ ⇒ A= b) A ≅ Giải Xét tương ứng ϕ : A n a = ∑ z i xi i =1 ( z1 x1 , , z n x n ) n n i =1 i =1 Chứng minh ϕ ánh xạ: Giả sử a = ∑ z i xi = a ' = ∑ z 'i xi ⇒ ∑ ( z i − z 'i ) xi = A i =1 ⇒ ⇒ z i = z ' i , ∀i = 1, n ( z1 x1 , , z n x n ) = ( z '1 x1 , , z ' n x n ) ⇒ ϕ (a) = ϕ (a' ) Trang 33 Đề tài: Nhóm aben n n i =1 i =1 Chứng minh ϕ đồng cấu nhóm: ∀a = ∑ z i x i , ∀a ' = ∑ z ' i x i ∈ A n i =1 i =1 n n Xét ϕ (a + a ' ) = ϕ ∑ zi xi + ∑ z 'i xi = ϕ ∑ ( zi + z 'i ) xi i =1 = ( ( z1 + z 'i ) xi , , ( z n + z 'n ) xn ) = ( z1 x1 , , z n xn ) + ( z 'i xi , , z 'n xn ) n n = ϕ ∑ z i xi + ϕ ∑ z ' i xi i =1 i =1 = ϕ (a) + ϕ ( a' ) Chứng minh ϕ đơn cấu: n ⇒ ( A , ,0 A ) = ϕ ∑ zi xi = ( z1 x1 , , z n xn ) i =1 ⇒ zi xi = A ; ∀i = 1, n ⇒ zi = ; ∀i = 1, n ⇒ a = A ⇒ ϕ đơn cấu Chứng minh ϕ toàn cấu: ⇒ ∀b ∈ n n b = ( z1 x1 , , z n x n ) , z i ∈ ⇒ ∃a = ∑ z i x i ∈ A : ϕ (a) = ϕ ∑ zi xi = ( z1 x1 , , z n xn ) = b i =1 Vậy ϕ đẳng cấu i =1 ⇒ ϕ: A ≅ c) pA A ∀u, v ∈ pA ⇒ u = pa v = pa ' với a, a '∈ A ⇒ u − v = pa − pa' = p(a − a' ) ∈ pA (do a − a '∈ A ) ⇒ pA ≤ A Lại A nhóm aben nên pA A d) Xét biểu đồ: Trong đó: Trang 34 Đề tài: Nhóm aben p toàn cấu tắc p ' : ( z1 x1 , , z n x n ) toàn cấu Ta thấy hình vuông gioa hoán, tức là: ϕ ' p = p'ϕ với đẳng cấu: ϕ ' : A pA n ∑z x i =1 i i → + pA Thật Trước hết ta chứng minh ϕ ( pA) ⊂ p n Với ∑ pz x i =1 i i : ∈ pA , ta có n ϕ ∑ pz i x i = ( pz1 x1 , , pz n x n ) ∈ p i =1 p ϕ ' ánh xạ: Giả sử ⇒ Hay n ∑z x i =1 i n i + pA = ∑ z 'i xi + pA ∈ A i =1 pA n ( z i − z 'i ) xi ∈ pA ⇒ ϕ ∑ ( z i − z 'i ) xi ∈ ϕ ( pA) ⊂ p ∑ i =1 i =1 n ( ( z1 − z '1 ) x1 , , ( z n − z 'n ) xn ) ∈ p Hay ( z1 x1 , , z n x n ) − ( z ' n x1 , , z ' n x n ) ∈ p ⇒ ( z1 x1 , , z n xn ) + ⇒ z1 x1 + + z n xn + p p Trang 35 Đề tài: Nhóm aben ⇒ ( z1 + p ⇒ (( z1 + p n i =1 n ⇒ ϕ ' ∑ zi xi + pA = ϕ ' ∑ z 'i xi + pA i =1 n n ϕ ' đồng cấu: Giả sử ∑ z i xi + pA ; ∑ z 'i xi + pA ∈ A pA i =1 i =1 n n n ϕ ' ∑ zi xi + pA + ∑ z 'i xi + pA = ϕ ' ∑ ( zi + z 'i ) xi + pA Ta có i =1 i =1 i =1 = [(( z1 + z '1 ) + p = (( z1 + p n n = ϕ ' ∑ z i xi + pA + ϕ ' ∑ z 'i xi + pA i =1 i =1 ϕ ' đơn cấu: ∀ ∑ z i xi + pA ∈ Kerϕ ' Khi đó: n i =1 (p ⇒ p ⇒ z i xi ∈ p ; ∀i = 1, n ; ∀i = 1, n ⇒ z i ∈ p ; ∀i = 1, n n n n ⇒ ∑ z i xi + pA = p ∑ z 'i xi + pA = p ∑ z 'i xi + A = pA i =1 i =1 i =1 = A ⇒ ϕ ' đơn cấu pA ϕ ' toàn cấu: dễ thấy Vậy ϕ ' đẳng cấu Bài Chứng minh rằng: Tổng trực tiếp nhóm xoắn (hay p -nhóm) nhóm xoắn (hay p -nhóm) a) Giả sử A = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An ; Ai (i = 1,2, , n) nhóm xoắn Khi Trang 36 Đề tài: Nhóm aben đó, ∀k i ∈ Đặt k = BCNN (k1 , , k n ) , ta có k = d i k i Khi đó, ∀a ∈ A thì: a = a1 + a + + a n ; ∈ Ai ka = ka1 + ka + + ka n = d1 k1 a1 + d k a + + d n k n a n suy = d1 A + d A + + d n A = A Vậy A nhóm xoắn b) Giả sử A = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An ; Ai (i = 1,2, , n) p − nhóm A suy ∀x ∈ Ai , ∃α i ∈ Đặt α = max (α , , α n ) ; Khi ∀a ∈ A thì: a = a1 + a + + a n ; a i ∈ Ai α α α suy p a = p a1 + + p a n = A + + A = A Vậy A p − nhóm Bài Chứng minh nhóm aben hữu hạn A , với ước nguyên dương d A có nhóm khác d ( khẳng định ngược định lý Lagrange) Giải Giả sử A nhóm aben hữu hạn, d nguyên dương cho d \ A Đặt q = A d Lấy a ∈ A , xét phần tử qa ∈ A , có tập: B = { A , qa,2qa, , (d − 1)qa} = 〈 qa〉 Là nhóm xyclic A , sinh phần tử qa , có cấp d Bài Xét nhóm cộng Chứng minh Nhóm có đứng nhóm cấp n , ∀n ∈ nhóm tuần hoàn nhóm xyclic Giải Ta có Chứng minh nhóm tuần hoàn: Trang 37 Đề tài: Nhóm aben ∀ Vậy ta có: y nhóm tuần hoàn Chứng minh ∀n ∈ có nhóm cấp n : Xét tập A = ∀ ta có: Chứng minh A nhóm xyclic: Ta có A = Vậy A nhóm xyclic cấp n , sinh phần tử Chứng minh A nhất: Giả sử có B ≤ Khi phần tử B có dạng ⇒ B ⊂ A Ngược lại, + n có cấp n có cấp n phần tử sinh A có cấp n nên A ⊂ B Vậy A = B , tức A Bài Chứng minh G vừa nhóm tự do, vừa nhóm aben G ≅ Giải Giả sử G nhóm aben tự tập S có nhiều phần tử Xét sơ đồ: Trang 38 Đề tài: Nhóm aben Trong đó: i phép nhúng; A nhóm không giao hoán; g : S → A toàn ánh Vì G nhóm tự tập S nên tồn đồng cấu ϕ : A → G cho tam giác giao hoán, tức ϕ (i ) = g ∀a, b ∈ A suy ∃x, y ∈ S : a = g ( x), b = g ( y ) suy a + b = g ( x) + g ( y ) = (ϕi )( x) + (ϕi )( y ) = ϕ ( x) + ϕ ( y ) Và b + a = g ( y ) + g ( x) = (ϕi )( y ) + (ϕi )( x ) = ϕ ( y ) + ϕ ( x ) Vì A không aben nên a + b ≠ b + a; ∀a, b ∈ A Suy ϕ ( x) + ϕ ( y ) ≠ ϕ ( y ) + ϕ ( x) suy G không aben Trang 39 Đề tài: Nhóm aben KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu lý thuyết nhóm aben, đề tài thể cách tổng quan hệ thống khái niệm, mệnh đề, bổ đề trình bày chứng minh chi tiết Ngoài ra, ví dụ tập trình bày rõ ràng nhằm làm sáng tỏ vấn đề nghiên cứu Trang 40 Đề tài: Nhóm aben TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục năm 1999 [2] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình môđun nhóm aben, Nhà xuất ĐHSP năm 2008 Trang 41