Tiểu luận nhóm aben

1. Lí do chọn đề tài Đại số đại cương là một học phần rất quan trọng trong toán học hiện đại. Các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường, môđun có nhiều ứng dụng và được nghiên cứu rất kỹ trong chương trình đại học. Nhóm aben là một trong những nội dung học khá quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như của các ngành khoa học khác. Đã từ lâu việc nghiên cứu nhóm aben đã được nhiều nhà toán học quan tâm và có nhiều công trình có giá trị. Vì vậy, trong quá trình học tập và nghiên cứu môn Đại số đại cương em chọn đề tài: “Nhóm aben” làm tiểu luận nghiên cứu của mình. 2. Mục đích của đề tài Nắm vững những kiến thức cơ bản về nhóm aben. Một số bài tập áp dụng sẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về lý thuyết và nâng cao khả năng suy luận và tính toán. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về những kiến thức liên quan về nhóm aben. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp. Phân tích một số bài tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó nhằm giải quyết vấn đề của bài toán đặt ra. 5. Đóng góp của đề tài Chứng minh chi tiết và làm rõ một số định lý, mệnh đề, cũng như đưa ra một vài ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận được vấn đề. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nhóm ben Chương 3: Một số bài tập áp dụng

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đại số đại cương là một học phần rất quan trọng trong toán học hiện đại Các cấutrúc đại số như nhóm, vành, trường, môđun có nhiều ứng dụng và được nghiên cứu rất

kỹ trong chương trình đại học

Nhóm aben là một trong những nội dung học khá quan trọng và có nhiều ứngdụng trong toán học cũng như của các ngành khoa học khác Đã từ lâu việc nghiên cứunhóm aben đã được nhiều nhà toán học quan tâm và có nhiều công trình có giá trị

Vì vậy, trong quá trình học tập và nghiên cứu môn Đại số đại cương em chọn đề

tài: “Nhóm aben” làm tiểu luận nghiên cứu của mình.

2 Mục đích của đề tài

Nắm vững những kiến thức cơ bản về nhóm aben

Một số bài tập áp dụng sẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về lý thuyết và nâng caokhả năng suy luận và tính toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về những kiến thức liên quan về nhóm aben

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp

Phân tích một số bài tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó nhằm giảiquyết vấn đề của bài toán đặt ra

5 Đóng góp của đề tài

Chứng minh chi tiết và làm rõ một số định lý, mệnh đề, cũng như đưa ra một vài

ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận được vấn đề

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương:Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Nhóm ben

Chương 3: Một số bài tập áp dụng

NỘI DUNG Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Khái niệm về nhóm

Nhóm là một tập cùng với phép toán nhân thỏa mãn các điều kiện:

(i) Phép toán có tính kết hợp: a(bc)=(ab)c, ∀a,b,c∈G

(ii) G có đơn vị: ∃e∈G sao cho ex=xe=x, ∀x∈G

(iii) Mọi phần tử của G đều khả nghịch: với mỗi x∈G, tồn tại x− 1∈G sao cho

được gọi là lớp kề trái (lớp kề phải) của S bởi a

Nếu S là nhóm con chuẩn tắc của G ( S  G ) thì ta có Sa=aS,∀a∈S

• Định lý 1.2.2

Hai lớp kề trái của S hoặc trùng nhau, hoặc không có phần tử chung nào Vậynhóm G được phân hoạch thành hợp rời của các lớp kề trái Tương tự lớp kề phải cũngnhư vậy

1 1hay sa Sb∈ suy ra Sa ⊂Sb (1)

1.3 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nhóm

Giả sử G = A×B ={(a,b)a∈A,b∈B} trên G ta định nghĩa phép toán như sau:

G b

(),)(

,(a1 b1 a2 b2 = a1a2 b1b2

Khi đó G cùng với phép toán lập thành một nhóm



×

→

),

b

B A B

A



×

→(4) Từ phép đồng nhất trên, mỗi phần tử của A giao hoán với mọi phần tử của B

trong A×B

ba e

a b e b a b e e a

ab= ( , B)( A, )=( , )=( A, )( , B)= suy ra ab=ba

(5) A∩B={ }e trong A×B

(6) Nhóm A×B được sinh ra bởi A∪B

(7) A, B là các nhóm con chuẩn tắc của A×B

Thật vậy, ∀(a1,b1)∈A×B, (a,e B)∈A

(a ,b )(a,e B)(a ,b)− =(a a a− ,b e B b− 1)=(a1a1a1,e B)∈A

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1Tương tự ta chứng minh được: a b e A b a b − 1∈B

1 1 1

Giả sử N  G Nói chung, Gkhông đẳng cấu với N×(G/N) hay G

)(

Ta xác định phép toán trên ∏

∈I

i G như sau i

I i i

i b G

a , ∈

I i i i I i i I i

a )∈ ( )∈ =( )∈(

Dễ dàng kiểm tra ∏

∈I

i G cùng với phép toán xác định trên lập thành một nhóm i

được gọi là tích trực tiếp của một họ nhóm G i,i∈I Ký hiệu ∏

Cho M là R- môđun Giả sử S ={x i i∈I} là tập con của M , ta nói S là hệ độc lậptuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn J ⊂I ta có ∑r i x i =0, r i ∈R,i∈Jsuy ra x i =0,

J

i∈

Ta nói S là cơ sở nếu S là hệ sinh và độc lập tuyến tính trong M

Khi đó M gọi là R- môđun tự do với cơ sở là S( ta cũng nói S là tập sinh tự

do của M )

Vậy M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở hoặc nó là môđun không

• Định lý 1.4.2

Các điều kiện sau tương đương

(a) F là R- môđun tự do

• Hệ quả 1.5.3

Cấp của một nhóm hữu hạn G là số mũ của nó.

Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic

Chương 2 NHÓM ABEN

2.1 Một số kiểu nhóm cơ sở

2.1.1 Nhóm xoắn

• Định nghĩa 2.1.1.1

Nhóm A được gọi là nhóm xoắn nếu mỗi phần tử của nó đều có cấp hữu hạn;

nếu phần tử 0 là phần tử duy nhất có cấp hữu hạn thì A được gọi là nhóm khôngxoắn

Nhóm được gọi là p – nhóm hay nguyên sơ nếu mỗi phần tử khác không của nó

có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố p cố định

• Ví dụ 2.1.1.2

Nhóm cộng các số nguyên là không xoắn Nhóm thương là nhóm xoắn

Nhóm cộng các lớp thặng dư theo số nguyên tố p là một p – nhóm

• Mệnh đề 2.1.1.3

Tập hợp T tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm A là một nhóm con của

A Khi đó T là nhóm xoắn, còn nhóm thương A / T là nhóm không xoắn

Nhóm con T được gọi là phần xoắn của nhóm A và ký hiệu bởi T (A)

• Định lý 2.1.1.4

Nhóm xoắn A phân tích được thành tổng trực tiếp của các p – nhóm A , với p

các số nguyên tố p khác nhau Hơn nữa, các nhóm A p được xác định duy nhất bởinhóm A

Chứng minh

Giả sử A p gồm tất cả các phần tử có cấp là lũy thừa của số nguyên tố p

Hiển nhiên 0 ∈A p Nếu a,b∈A p, nghĩa là p m a = p n b=0

đối với m,n≥0 nào đó thì

0)(

i

p I

do mọi phần tử khác không của tổng A p +A p + +A p k

p p

p

m 1 2

2 1

= trong đó các số nguyên tố p i đôi một khácnhau Các số m m p r i(i n)

2 2 1

1m +s m + +s n m n =

s

Từ đó,

a m s a

m s a m s

Bởi vì p i r i m i a=ma=0 nên m i a∈A p i, do đó a∈⊕A p i Như vậy p i

I A

A=⊕ .Bây giờ giả sử A= ⊕p B p là sự phân tích nào đó của nhóm A thành tổng trực tiếp

của các p−nhóm B p, trong đó p là các số nguyên tố khác nhau Theo định nghĩa củanhóm con A p đối với mỗi p xảy ra bao hàm thức B p ⊂A p Bởi vì các nhóm con B p

và A p sinh ra các tổng trực tiếp mà mỗi tổng này cùng bằng A nên nhất thiết B p =A p

đối với mỗi p.

Trong nhóm xoắn A nhóm con A p được gọi là p−thành phần nguyên sơ của

nó Hiển nhiên, A plà p−nhóm con cực đại trong A Định lý vừa nêu trên cho thấy lýthuyết các nhóm xoắn cơ bản được đưa về lý thuyết các nhóm nguyên sơ

• Hệ quả 2.1.1.5

n r r

p p

p

2 1

= là phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên m Khi đó

Chứng minh

Với mọi số nguyên tố p i (i=1,2, ,n) trong nhóm A= có chứa nhóm conxyclic B i sinh bởi phần tử cấp pαi, và nếu p là số nguyên tố không có nặt trong sựphân tích của m thì trong A không có p−nhóm con nào Bởi vậy, A có sự phân tíchtheo các thành phần nguyên sơ

p p

=

2 1

2) Tìm tất cả các nhóm aben không đẳng cấu có cấp 72

Giả sử A là nhóm aben cấp 72 Do 72=23.32 nên theo Định lý, có sự phân tíchduy nhất theo các thành phần nguyên sơ

Tổ hợp tất cả các trường hợp trên ta thấy có tất cả 6 nhóm không đẳng cấu có cấp 72

2.1.2 Nhóm đối xyclic và nhóm giả xyclic

• Định nghĩa 2.1.2.1

Nhóm Cđược gọi là nhóm đối xyclic nếu nó chứa phần tử c≠0 sao cho mọi đồng

cấu ϕ:C→B mà c∉Kerϕ đều là đơn cấu Khi đó c được gọi là phần tử đối sinh của

C

của C Hiển nhiên, giao này là nhóm con khác 0 nhỏ nhất của C Hơn nữa, mọi phần

tử đối sinh của C đều thuộc nhóm này

( )⇐ Gọi D là nhóm con khác không nhỏ nhất của C Lấy phần tử tùy ý c≠0 của D

và giả sử ϕ :C → B là đồng cấu mà c∉Kerϕ Thế thì Kerϕ=0, bởi vì nếu không thì

đó là nhóm con chứa D mà không chứa c, vô lý Vậy ϕ là đơn cấu.

Hiển nhiên, nhóm con nhỏ nhất khác không của nhóm đối xyclic là một nhómxyclic cấp nguyên tố

Bây giờ ta xét tới một kiểu nhóm đối xyclic khác

Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình x p n =1, n=1,2, củatrường số phức với phép nhân thông thường là một p−nhóm aben vô hạn Chuyển

về cách viết cộng ta nhận được nhóm gọi là nhóm giả xyclic, hay nhóm kiểu

• Định nghĩa 2.1.2.4

Nhóm giả xyclic, ký hiệu , là nhóm được sinh bởi các phần tử

c n+1∉ Ta khẳng định rằng B=〈c n〉 Hiển nhiên c n∈B Theo nhận xét nêu trên

mỗi phần tử b∈B có thể viết dưới dạng b=kc m , với m k, nào đó, ngoài ra có thể giả

thiết k không chia hết cho p Khi đó tồn tại r, s∈ sao cho kr+ p m s=1

Từ đó

c krc p m sc m rb B

m

Bởi vậy m≤n và b=kc m∈〈c n〉 Điều này chứng tỏ B=〈c n〉

Như vậy tất cả các nhóm con thực sự của nhóm đều là nhóm xyclic hữuhạn cấp p n,(n=1,2 )

Các nhóm này lập thành một chuỗi theo quan hệ bao hàm

• Định lý 2.1.2.7

Nhóm aben Clà đối xyclic khi và chỉ khi C ≅ , trong đó k=1,2 , hoặc ∞

Chứng minh

Giả sử C là nhóm đối xyclic và c là một phần tử đối sinh của C Khi đó D =〈c〉

là nhóm con nhỏ nhất của C; nó là nhóm xylic cấp nguyên tố Bởi vì c nằm trong mọinhóm con thực sự của C nên mọi phần tử của C đều không thể có cấp vô hạn, cũngnhư không thể có cấp chia hết cho số nguyên tố khác p Do đó C là một p−nhóm

Ta tiếp tục chứng minh bằng quy nạp Giả thiết rằng nhóm C chứa không quámột nhóm con C n có cấp n

p , ngoài ra nhóm con này là xyclic, C n =〈c n〉.Giả sử A, B là hai nhóm con của Ccùng có cấp p n+ 1 Lấy các phần tử

pa = , = ,với r, s là những số nguyên tố cùng nhau với p Do ( )r,p =1 nên (r,p n)=1, do đótồn tại r' và k sao cho rr'+p n k =1

, suy ra (r ,'p) =1 Tương tự, tồn tại s' sao cho

(s,'p) =1 và ss'≡1(modp n) Bây giờ đặt a'=r'a, b'=s'b ta có

n

n

c pb b b

c pa a a

','

Từ đó p(a'−b')=0, nghĩa là phần tử a ' b− ' có cấp p Dop n− 1c n cũng có cấp p nên tasuy ra

n n

n c kc tp

b

a'= '= − 1 =

với số nguyên t nào đó Thế thì

a'=b'+kpb ,'b'=a'−kpa'

Điều này chứng tỏ a ,'b ' cùng sinh ra một nhóm xyclic, nghĩa là A=B

Do nhóm C chứa không quá một nhóm con xyclic cấp n

p , n=1,2, , nên C làhợp của dãy tăng các nhóm con cấp p , tức là n C có dạng ( )p k với k hữu hạn hoặcbằng ∞

Với p−nhóm đã nói trong ví dụ ở trên ta có phát biểu sau

• Mệnh đề 2.1.2.8

trong đó là nhóm con p−thành phần của

p Vậy m / p n +

và do đó ϕ là đơn cấu.

Rõ ràng ϕ là toàn cấu và bởi vậy

:ϕ

là đẳng cấu

2.2 Hình vuông phổ dụng – Hình vuông đối phổ dụng

• Định lý 2.2.1

Cho các đồng cấu α:A→C và β :B→C Khi đó tồn tại duy nhất nhóm G , sai

khác một đẳng cấu, và các đồng cấu γ : G → A, δ :G→B, sao cho các điều kiện sauthỏa mãn:

(i) Hình vuông sau giao hoán:

(ii) Nếu có hình vuông giao hoán:

thì tồn tại duy nhất đồng cấu ϕ:G'→G sao cho γ =' γϕ và δ =' δϕ.

Hình vuông giao hoán (1) thỏa mãn điều kiện (2) được gọi là hình vuông đối phổdụng

với ∀( )a,b ∈G nên αγ =δβ Vậy ta có (1)

Giả sử có hình vuông gioa hoán (2) Khi đó tương ứng sau là một đồng cấu:

ϕ:G'→G

g' (γ'( ) ( )g',δ' g' )

Rõ ràng

),'(')'(g γ g

γϕ =

'

'),'(')'(g =δ g ∀g∈G

δϕ

Vậy γϕ =γ ,'δφ =δ'. Dễ thấy rằng

γ Ker Ker = 0, và Kerδ =(Kerα,0) (3)Bây giờ nếu có 'ϕ là đồng cấu thỏa mãn γϕ'=γ ,'δϕ'=δ' thì

,' γϕ

Ta chứng minh tính duy nhất của G Giả sử nhóm G1 có cùng tính chất như

nhóm G Các ánh xạ tương ứng trong biểu đồ (1) là γ1:G1 → A và δ1:G1 → B Khi

đó ta sẽ có các đồng cấu được xác định duy nhấtϕ:G1 →G và ϕ1:G→G1, thỏa mãncác tính chất

γ =1 γϕ γ =γ1ϕ1

δ =1 δϕ δ =δ1ϕ1

Từ đó

1

γϕϕ

γ = , δ =δϕϕ1.Vậy γ(ϕϕ1−Id G)= 0 và δ(ϕϕ1 −Id G)=0

• Định lý 2.2.2

Cho các đồng cấu α:C→A và β :C→ B Khi đó tồn tại duy nhất nhóm G, saikhác một đẳng cấu, và các đồng cấu δ :A→G,γ :B→G sao cho các điều kiện sauthỏa mãn:

(i) Hình vuông sau giao hoán:

(ii) Nếu có hình vuông giao hoán:

thì tồn tại duy nhất đồng cấu ϕ:G→G' sao cho γ'=ϕγ,δ'=ϕδ

Hình vuông (4) thỏa mãn điều kiện (5) được gọi là hình vuông phổ dụng

Chứng minh

Từ các đồng cấu α, ta xác định β G là nhóm thương của tổng trực tiếp A⊕B

theo nhóm con

Vậy γα(c)=δβ(c)=0, hay γα =δβ , và do đó hình vuông (4) giao hoán.

Nếu có hình vuông giao hoán (5) thì ta xác định một tương ứng:

('),0()(

),(')0,()(

B b b b

b

A a a a

ϕδ

γϕ

2.3 Nhóm aben hữu hạn sinh

sở tùy ý của F n đều có giá trị tuyệt đối không nhỏ hơn m1.

Bây giờ ta chứng tỏ rằng các hệ số s i chia hết cho m1 Thật vậy, giả sử

s i =q1m1 +r i , 0≤r i ≤m1với mọi i=1,2,3, ,n Khi đó đặt

A= a1 ⊕ B,trong đó a1 là nhóm xyclic sinh bởi phần tử a1 và B=A∩F n− 1 Bởi vì a1 ∩B=0

nên ta chỉ còn phải chứng minh A= a1 + B Phần tử tùy ý a∈A có dạng

a=mu1 +b,b∈F n−1

Chia m cho m1 ta được

m=qm1+r,0≤r≤m1Khi đó

A qa a b ru b ru u qm

a2 −a1 =m2e2−m1u1 =m1(qe2−u1)+re2Theo giả thiết về m ta suy ra 1 r=0, tức là m2 chia hết cho m1 Định lý được chứng

minh hoàn toàn

• Định lý 2.3.2

Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều có thể phân tích được thành tổng trực tiếp của

các nhóm con xyclic.

Chứng minh

Giả sử nhóm aben B có tập sinh gồm n phần tử Khi đó theo nhận xét ban đầu,

B đẳng cấu với nhóm thương F n / A của nhóm aben tự do hạng n Theo Định lý

2.3.1, trong các nhóm F n và A tồn tại các cơ sở {e1,e2, ,e n} và {a1,a2, ,a k} saocho

= n

I i

s

a

s

a = 1 1+ 2 2 + +

là một nhóm xyclic cấp là lũy thừa của p Từ đó, do nhận xét trên ta có điều phải chứngminh.

• Định lý 2.3.5 ( Về tính duy nhất của sự phân tích)

Nếu A là nhóm aben hữu hạn sinh và

B

B1, 2, , r, ≤ là những nhóm con xyclic cấp hữu hạn của A lần lượt tương ứng

với hai sự phân tích trên Thế thì

i

r i i

A T

1 1

) (

=

= = ⊕

⊕

= δtrong đó T (A) là nhóm con gồm tất cả các phần tử cấp hữu hạn.

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng A1,A2, ,A k là tất cả các hạng tử trực tiếp

có cấp là lũy thừa của số nguyên tố cố định p Thế thì tổng A1 ⊕ ⊕A k là p- thànhphần của nhóm A Tương tự đối với sự phân tích thứ hai ta có tổng B1 ⊕ ⊕B t là p-thành phần của nhóm A Do tính duy nhất của p- thành phần ( theo Định lý 2.1.1.4) tacó

A1 ⊕ ⊕A k =B1 ⊕B t

Giải thiết rằng các nhóm con A , i B i có cấp tương ứng là pα 1 ,pβ 1, hơn nữa, luôn luôn

có thể giả thiết rằng: α ≥ α ≥ ≥ α δ

β1 ≥β2 ≥ ≥βτNếu β <1 α1 thì mọi phần tử của tổng B1⊕ ⊕B t có cấp nhỏ hơn α1 là điều vô lý.Bởi vậy β =1 α1 Từ đó suy ra

A2 ⊕ ⊕A k =B2 ⊕ ⊕Bτ.Lập luận tương tự ta được A2 và B2 cùng có cấp p Tiếp tục quá trình này sauα 2

hữu hạn bước ta được k=t và αi =B i,i≤k

Sự kiện này cũng đúng với các thành phần nguyên sơ khác của phần xoắn T (A),

do đó r=s.

Bây giờ rõ ràng

A s+1 ⊕ ⊕A n ≅ B r+1 ⊕ ⊕B m

Do mỗi hạng tử A , j B j của hệ thức trên đều là nhóm xyclic vô hạn nên hai tổng ở hai

vế là những nhóm aben tự do Chúng đẳng cấu vơi nhau nên chúng có cùng hạng, vìvậy m = n Và dĩ nhiên A j ≅B j, s< j≤n Định lý được chứng minh hoàn toàn

2.4 Tính xạ ảnh và nội xạ của các nhóm aben

F và một toàn cấu f :F →A Xét biểu đồ các đồng cấu nhóm

Do tính xạ ảnh của A tồn tại đồng cấu g:A→G sao cho f g =id A Điều này

chứng tỏ f là toàn cấu chẻ ra và ta có

g Kerf

F = ⊕Im

Hơn nữa, g đơn cấu và do đó A Im≅ g Theo Hệ quả 1.4.4 thì Img là nhóm aben tự

do và do đó A là nhóm aben tự do

Tính nội xạ của nhóm aben được đặc trưng bởi tính chia được theo định nghĩadưới đây.

• Định nghĩa 2.4.2

Nhóm aben A được gọi là chia được (hay đầy đủ) nếu đối với mỗi số nguyên

dương n và mỗi phần tử a∈A phuơng trình nx=a có nghiệm trong A Một cáchtương đương, nhóm A là chia được nếu nA= A

• Ví dụ 2.4.3

1) Nhóm cộng các số hữu tỉ là chia được

2) Nhóm xyclic cấp vô hạn không là nhóm vô hạn

3) Tổng trực tiếp của hai nhóm xyclic không là chia được

4) Ta chứng minh tính chia được của nhóm giả xyclic

Ta biết rằng nhóm đẳng cấu ( theo cách viết cộng) với hợp của chuỗi tăngcác nhóm xyclic hữu hạn

0 ⊂ 〈a1〉 ⊂ 〈a2〉 ⊂ ⊂ 〈a n〉 ⊂trong đó

2 , 1 , , ,

,

1 = pa =a pa + =a n=

Xét phương trình x=a Phần tử a chứa trong một nhóm con của dãy, chẳng hạn

trong 〈a s〉 nghĩa là a=ta s Nếu n= p k m, (m,p)=1, thì tìm được các số nguyên u, vsao cho 1 = p s u+mv. Từ đó, do a=ts s và s = 0

s a

p ta có

.)

k vta n vta mp

hợp tất cả các nhóm con B của A sao cho D∩B = 0.

Γ={B B∩D=0}

Do 0∈Γ nên Γ ≠ Hơn nữa hợp của một dãy chuyền các phần tử của Γ(theo quan

hệ bao hàm) cũng thuộc Γ nên theo Bổ đề Zorn trong Γ có phần tử tối đại, kí hiệu bởi B Rõ ràng ta có 0 D+B=D⊕B0 ⊂ A

Còn lại ta phải chứng minh rằng A=D⊕B0.

Đối với phần tử tùy ý a∈A ta xét nhóm con n , gồm tất cả x∈ sao cho xa∈D+B0.Giả sử na =d+b Từ tính chia được của D suy ra sự tồn tại của phần tử d0 sao cho