Tích phân phức và các bài toán tích phân phức bằng định nghĩa

Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào kỉ XVI G Cardano (1501-1576) nói đến số “ảo” số âm Đến kỉ XVIII số phức rải rác xuất công trình toán học I Newton, N Bernoulli, A Clairaut Song người coi sáng lập môn hàm phức L Euler (1707-1783) Ông nghiên cứu hàm phức sơ cấp, đưa khái niệm khả vi vào năm 1755 phép tính tích phân năm 1777 Nhiều ứng dụng hàm biến phức vào giải tích thực, thủy động học phép vẽ đồ ông khởi xướng Đầu kỉ XIX hàm biến phức phát triển thành số ngành quan trọng giải tích toán học Công lao to lớn thuộc A.L Cauchy (17891857), người phát triển phép tính tích phân, K Weierstrass (1815-1897), người phát triển lý thuyết chuỗi hàm B Riemann (1826-1866), người xây dựng sở hình học hàm biến phức (mặt cầu Riemann) Tích phân hàm biến phức có vai trò quan trọng giải tích hàm biến phức Tích phân phức giúp ta chứng minh nhiều định lý Trong dùng tích phân hàm biến phức chứng minh định lý giải tích hàm biến phức đạo hàm hàm chỉnh hình (hay gọi hàm quy) liên tục, chí lấy vi phân/đạo hàm lần Thời gian gần người ta chứng minh định lý mà không dùng đến tích phân hàm biến phức, song cách chứng minh phức tạp nhiều so với phương pháp cổ điển Vì vậy, trình học tập nghiên cứu môn Hàm biến phức em chọn đề tài “Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa” làm tiểu luận nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tích phân phức Một số toán tích phân phức định nghĩa Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày cụ thể nội dung tích phân phức toán tính tích phân phức định nghĩa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tích phân phức, cách tính tích phân phức, toán tích phân phức định nghĩa Trang Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp Hệ thống kiến thức liên quan kết thu để hoàn thiện tiểu luận Phân tích số tập khái quát hóa dựa phân tích nhằm giải vấn đề toán đặt Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tích phân phức, số toán ví dụ Trang Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa B NỘI DUNG Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích phân đường loại 1.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng Oxy, cho cung AB hai hàm số P( x, y ), Q( x, y ) xác định  AB  Phân hoạch AB điểm { A0 , A1 , A2, , An } , với A0 = A, An = B Giả sử Ak = ( x k , y k ), k = 0,1, , n Gọi ∆x k = x k +1 − x k , ∆y k = y k +1 − y k , k = 0,1, , n Trên cung Ak Ak +1 , lấy điểm M k , xét tổng tích phân n −1 S n = ∑ [ P( M k ) ∆x k + Q( M k )∆y k ] k =o Khi đó: lim S n = ∫ P ( x, y )dx + Q( x, y )dy tích phân đường loại hai P, Q n→∞ AB cung AB  Vậy, tích phân đường loại hai tích phân hai hàm P( x, y ), Q( x, y ) AB có dạng ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy  AB 1.1.2 Tính chất • Khi đổi chiều lấy tích phân tích phân đường loại đổi dấu ∫ P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = − ∫P( x, y )dx + Q ( x, y )dy  AB • AB ∫ P( x, y )dx + Q( x, y)dy = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q( x, y )dy ˆ AB  AB  AB • Nếu chia AB thành phần chiều nối tiếp AC , CB ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy + ∫ P( x, y )dx + Q( x, y)dy  AB  AC 1.1.3 Cách tính tích phân đường loại Trang  CB Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa • Trường hợp 1: Nếu đường cong AB có phương trình y = f (x) x A = a, x B = b b ∫ P( x, y ) dx + Q( x, y )dy = ∫ P( x, f ( x))dx + Q( x, f ( x)) f ′( x) dx AB a • Trường hợp 2: Nếu đường cong AB có phương trình x = f ( y ), b y A = a, y B = b ∫ P( x, y )dx + Q( x, y)dy = ∫ P( f ( y), y)) f ′( y)dy + Q( f ( y), y)dy  AB a • Trường hợp 3: Nếu đường cong AB có phương trình tham số x = x (t ) tA = a y = y (t ) tB = b tB Thì ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ P( x(t ), y(t )) x′(t )dt + Q( x(t ), y(t )) y ′(t )dt  AB tA 1.2 Đường cong Jordan Cho đường cong γ biểu diễn tham số f (t ) = u (t ) + iv(t ) với a ≤ t ≤ b Ta nói γ đường cong kín f (a) = f (b) Đường cong γ gọi đường cong Jordan (hay đường cong đơn) không tự cắt hay f (z ) đơn ánh (a, b), nghĩa f (t1 ) ≠ f (t ) a < t1 ≠ t < b Chương II TÍCH PHÂN PHỨC 2.1 Định nghĩa Trang Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa Cho γ đường cong Jordan, trơn khúc với hai đầu mút a, b Trên γ cho hàm số f (z ) Chia γ thành n phần điểm chia a = z , z1 , z , , z n +1 = b Trên cung z k z k +1 lấy điểm t k Lập tổng tích phân n S n = ∑ f (t k )( z k +1 − z k ) k =1 Nếu giới hạn tổng tích phân tồn không phụ thuộc vào cách chọn điểm t k , cách chia đường cong γ max z k +1 − z k → giới hạn gọi tích phân 1≤ k ≤ n hàm f (z ) dọc theo đường cong γ Kí hiệu ∫ f ( z )dz = γ lim S n = lim n →0 n →∞ n ∑ f (t k =1 k )( z k +1 − z k ) 2.1.1 Mối liên hệ tích phân phức tích phân đường loại Sự tồn tích phân phức tương đương với tồn hai tích phân đường sau: • Xét hàm f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) xác định γ với z = x + iy ta có z k = x k + iy k ; z = x + iy k +1 k +1 k +1 ∆z k = x k +1 − x k + i ( y k +1 − y k ) = ∆xk + i∆y k t k = ξ k + iη k Thay vào ∫ γ n f ( z )dz = lim ∑ f (t k )∆z k ta được: n →∞ k =1 ∫ f ( z)dz = lim ∑ [u (ξ γ n →∞ n k ,η k ) + iv (ξ k ,η k )](∆x k + i∆y k ) = lim ∑ [ ( u ( ξ k ,η k ) ∆x k − v( ξ k ,η k ) ∆y k ) + i ( v( ξ k ,η k ) ∆x k + u ( ξ k ,η k ) ∆y k ) ] n →∞ Trang k =1 Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y ) dy + i ∫ v( x, y ) dx + u ( x, y ) dy γ γ Như vậy, tích phân hàm f (z ) đường cong γ tính theo tích phân đường loại hai giải tích thực với phần thực tích phân đường loại hai hàm vector (u,−v) phần ảo tích phân đường loại hai hàm vector (u, v) , hai tích phân tính đường cong γ 2.1.2 Các tính chất tích phân phức Cũng từ mối liên hệ tích phân hàm phức đường cong tích phân đường loại hai giải tích thực nên tính chất tích phân đường loại hai cho tích phân hàm phức theo đường cong • Tính chất 1: Nếu hàm f (z ) có tích phân đường cong γ hàm kf (z ) với k số phức có tích phân đường cong γ ∫ kf ( z)dz = k ∫ f ( z )dz γ γ • Tính chất 2: Nếu hai hàm f (z ) g (z ) có tích phân đường cong γ hàm tổng f ( z ) + g ( z ) có tích phân đường cong γ ∫ ( f ( z) ± g ( z))dz = ∫ f ( z )dz ± ∫ g ( z)dz γ γ γ • Tính chất 3: Cho hàm f (z ) có tích phân đường cong γ Gọi γ − đường cong γ định hướng có chiều ngược lại Khi đó, hàm f (z ) có tích phân γ − ∫ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz γ γ− • Tính chất 4: Giả sử γ γ hai đường cong cho điểm cuối γ điểm đầu γ Nếu hàm f (z ) có tích phân hai đường cong γ γ f (z ) có tích phân đường cong γ ∪ γ ∫ f ( z )dz = γ∫ f ( z)dz + γ∫ f ( z )dz γ ∪γ 2 Công thức dùng để ký hiệu cho trường hợp điểm cuối γ không trùng với điểm đầu γ ; đó, γ ∪ γ không đường cong mà ký hiệu hợp hai đường cong theo nghĩa tập hợp Trang Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa • Tính chất 5: Cho hàm f (z ) có tích phân đường cong γ Khi đó, ta có ∫ f ( z )dz ≥ M l γ f (z ) hàm bị chặn, f ( z ) ≥ M , l độ dài đường cong γ Chứng minh: Ta chứng minh trường hợp γ đường cong trơn Giả sử γ có biểu diễn tham số w(t ) với a ≤ t ≤ b Khi đó, ta có: ∫ γ b f ( z )dz = ∫ f (w(t ))w′(t )dt a b ≥ ∫ f ( w(t )) w′(t ) dt a b ≥ ∫ M w′(t ) dt = Ml a • Tính chất 6: Giả sử hàm f n liên tục miền D chuỗi hàm ∞ ∑f n =1 n hội tụ D tới hàm f Khi đó, với đường cong trơn (hay đường trơn khúc) γ ⊆ D ta có: ∫ γ ∞ f ( z )dz = ∑ ∫ f n ( z )dz n =1 γ n Chứng minh: Đặt S n = ∑ f k Theo giả thiết dãy hàm S n liên tục hội tụ k =1 hàm f D Khi đó, với ε > cho trước, tồn N > cho với n > N ta có f ( z ) − S n ( z ) < ε với z ∈ D l độ dài đường cong l γ Vậy với n > N ta có n ∑∫ f k =1 γ k ( z )dz − ∫ f ( z ) dz = ∫S γ γ n ( z ) − f ( z )dz < ε l = ε l Vì vậy, ta ∞ ∑∫ n =1 γ n f n ( z )dz = lim ∑ f k ( z )dz = ∫ f ( z )dz n →∞ k =1 γ • Tính chất 7: Giả sử { f n } dãy hàm liên tục miền D hội tụ hàm f Khi đó, với đường cong trơn (hay trơn khúc) γ ⊂ D ta có: ∫ f ( z )dz = lim ∫ f γ γ n→∞ • Tính chất 8: Trang n ( z )dz Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa Nếu γ đường cong kín (không tự cắt) trước hết theo lẽ thông thường định hướng γ theo chiều dương sau chọn tùy ý hai điểm khác A thuộc γ cho chiều từ A đến B chiều với γ B Khi với f hàm γ ta đặt: ∫ f ( z)dz = ∫ f ( z)dz + ∫ f ( z )dz γ (nếu vế phải tồn tại)  BA+  AB + Lưu ý: Vế phải không phụ thuộc vào việc chọn A B • Tính chất 9: Trong trường hợp γ là đường cong tự cắt ta phân một số hữu hạn các đường cong kín và xác định ở tính chất cho ghép lại là hợp lý: ∫ f ( z)dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z)dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z)dz γ  BA +  AB + b • Tính chất 10: Với a ≤ b, ta có ∫ a  AC −  CA − b f ( z )dz ≤ ∫ f ( z )dz a b Chứng minh: Nếu ∫ f ( z)dz = 0, bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên a b Giả sử ∫ f ( z )dz ≠ Khi đó, tồn r0 ϕ cho a b ∫ f ( z )dz = r e a viết lại: b r0 = ∫ e − iϕ f ( z )dz a Vì r0 số thực, nên ta có: b b b a a a − iϕ − iϕ − iϕ ∫ e f ( z)dz = Re ∫ e f ( z)dz = ∫ Re(e f ( z))dz b ≤∫e a b b a a Vậy ∫ f ( z )dz = r0 ≤ ∫ f ( z ) dz Trang − iϕ b f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz a iϕ Từ ta Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa 2.1.3 Cách tính tích phân phức định nghĩa Giả sử f (z ) xác định, liên tục đường cong γ trơn với hai đầu mút a, b Khi đó, tích phân của hàm f (z ) được tính sau: Bước 1: Chia đường cong γ thành n phần Bước 2: Tính ∆z k = z k +1 − z k Lấy t k bất kì với t k ∈ z k , t k = k ik + n n n Bước 3: Lập tổng S n = ∑ f (t k ).∆z k k =1 ∫ γ Bước 4: Tính n f ( z ) dz = lim S n = lim ∑ f (t k ).( z k +1 − z k ) n →∞ n →∞ k =1 2.2 Một số toán tính tích phân phức: 2.2.1 Bài toán tính tích phân phức định nghĩa: Bài toán 1: Tính ∫ Re zdz với γ đường thẳng nối z = 0, z1 = + i γ Bài giải: Phân hoạch đường γ thành n phần i 2i k ik 0, + , + , , + , ,1 + i n n n n n n Khi ∆z k = z k +1 − z k = n i k ik k + Chọn t k = + , t k ∈ ∆z k f (t k ) = n n n n n n k k =1 n n i n Lập tổng: S n = ∑ f (t k )( z k +1 − z k ) =∑ ( + ) k =1 Theo định nghĩa ta có: n k i Re zdz = lim S n = lim ∑ ( + ) ∫ n→∞ n n →∞ k =1 n n γ 1+ i n ∑k n →∞ n k =1 = lim Trang Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa = lim n →∞ + i n(n + 1) + i = 2 n2 Bài toán 2: Tính tích phân sau ∫ z dz , đó γ là đoạn thẳng nối z = và z = + i γ Bài giải: Phân hoạch đường γ thành n phần 0, Khi đó: ∆z k = z k +1 − z k = i 2i 2k ik + , + , …, + , …, + i n n n n n n i 2k ik 2k ik + Chọn t k = + − thì f (t k ) = n n n n n n n n k =1 k =1 Lập tổng: S n = ∑ f (t k )( z k +1 − z k ) = ∑ ( 2k ik i − )( + ) n n n n Theo định nghĩa tích phân, ta có: ∫ zdz = lim S γ n →∞ n n = lim k =1 = lim( n →∞ = lim n →∞ 2k ∑( n n →∞ − ik i )( + ) n n n n + )∑ k n n k =1 n(n + 1) = 2 n2 Bài toán 3: Tính tích phân sau ∫ Im zdz đó γ là đoạn thẳng nối z = đến z = i γ Bài giải: Phân hoạch đường γ thành n phần Trang 10 Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa i 2i 3i k ki 1, (1 − ) + , (1 − ) + , (1 − ) + , …, (1 − ) + , …, i n n n n n n n n n i n k n Khi đó: ∆z k = z k +1 − z k = (1 − ) + Chọn t k = (1 − ) + n n k =1 k ki k , ta có f (t k ) = n n i k =1 Lập tổng: S n = ∑ f (t k )( z k +1 − z k ) = ∑ (1 − ) +  n n n Theo định nghĩa tích phân ta có: n k i Im zdz = lim S n = lim ∑ (1 − ) +  ∫ n →∞ n n n →∞ k =1 n  γ 1 i n = lim (1 − ) +  ∑ k n →∞ n n n  k =1  = i + 2 Bài toán 4: Tính tích phân I = ∫ z dz với A = và B = + 4i AB Bài giải: Phân hoạch đường AB thành n phần bằng 0, 4i 8i 2k 4ik + , + , …, + , …, + 4i n n n n n n 4i 2k 4ik 2k 4ik  + , thì f (t k ) =  + Khi đó: ∆z k = z k +1 − z k = + Chọn t k =   n n n n n   n n Lập tổng: S n = ∑ k =1 Trang 11  2k 4ik   4i  f (t k )( z k +1 − z k ) = ∑  +   +  n  n n  k =1  n n Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa Theo định nghĩa tích phân ta có:  2k 4ik   4i  I = ∫ z dz = lim S n = lim ∑  +   +  n →∞ n →∞ n  n n  k =1  n AB n  16i 12   4i  n  = lim  − . + ∑ k  n →∞ n   n n  k =1   n  16i 12   4i  n(n + 1)(2n + 1)  = lim  − . +   n →∞ n  n n   n  n →∞ =− 88 16 − i 3 dz γ = { z : z − a = r } Bài toán 5: Tính tích phân J = ∫ z − a ; γ Bài giải: Phương trình γ viết dạng: z = a + re iϕ , Ta chọn phép phân hoạch t k = Ta có z k = a + re kπi n ≤ ϕ ≤ 2π 2kπ Khi đó: f (t k ) = k +1πi n re n , z k +1 = a + re ( k +1)πi n suy z k +1 − z k = e ( k +1) πi n −e kπi n kπi  ( k +1) πi  r.e n −e n  k +1 πi k =0   re n n −1 n −1 Lập tổng: S n = ∑ f (t k )( z k +1 − z k ) = ∑ k =1 −πi −πi  πi   πi  n n  e n − e n  = n.2i sin π = ∑  e − e  = n  n k =0     n −1 Do đó: π  dz ∫ z − a = lim 2n.i sin n  = 2π i   γ n →∞ Bài toán 6: Tính tích phân: I = ∫ z p dz L p = 0, 1, 2, … Trong L đường cong tùy ý có độ dài L với điểm đầu z = a điểm cuối z = b (a b số phức tùy ý) Bài giải: Giả sử z , z1 , z , …, z n điểm chia phép phân hoạch đường cong L Trong trường hợp đó: z ≡ a, z n ≡ b và: Trang 12 Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa n b p +1 − a p +1 = ∑ ( z kp +1 − z kp−+11 ) k =1 n = ∑ ( z kp + z kp −1 z k −1 + + z kp−1 )∆z k k =1 n n n n k =1 k =1 k =1 k =1 m = ∑ z kp ∆z k + ∑ z kp −1 z k −1 ∆z k + + ∑ z k z kp−−1m ∆z k + + ∑ z kp−1 ∆z k (1) Tổng đầu tổng cuối vế phải (1) tổng tích phân thông thường: tổng thứ ta lấy điểm trung gian ξ k = z k , tổng cuối ta đặt ξ k = z k −1 n n Lim ∑ ξ kp ∆z k = Lim ∑ ξ kp ∆z k = I r →0 r →0 k =1 k =1 Xét tổng giữa, chẳng hạn: n ' m S n = ∑ z k z kp−−1m ∆z k , < m < p (2) k =1 Và so sánh (2) với tổng cuối n Sn = ∑z k =1 p k −1 k z Ta có n ' Sn − Sn = ∑z = ∑z k =1 n k =1 p−m k −1 m ( z km − z k −1 )∆z k p−m k m m m ( z k −1 + z k −2 z k −1 + + z k −−1 )∆z k n ≤ ∑ z k −1 p−m k =1 n ≤ mR m ∑ ∆z k ( zk m −1 + + z k m −1 ) ∆z k (3) k =1 Trong R số không bé khoảng cách từ điểm L đến gốc tọa độ n Ta cần chứng minh Lim ∑ ∆z k r →0 k =1 n ∑ ∆z k k =1 = Thật vậy, ta có: n n k =1 k =1 = ∑ ∆z k ∆z k ≤ r ∑ ∆z k Do r  tổng nêu dần đến Từ suy rằng: ' Lim S n = lim S n = I r →0 Trang 13 r →0 ≤rL Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa Qua giới hạn (1) r  ta thu được: b p +1 −a p +1 b p +1 − a p +1 = ( p + 1) I ⇒ I = p +1 Tức là: p ∫ z dz = L ( a ,b ) b p +1 − a p +1 p +1 2.2.2 Bài toán tính tích phân phức dùng tích phân đường loại hai Phương pháp: - Viết phương trình đường γ - Tách phần thực, phần ảo hàm f (z ) - Áp dụng công thức: I = ∫ f ( z )dz = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y ) dy + i ∫ v( x, y ) dx + u ( x, y ) dy γ γ γ - Tính tích phân phần thưc, phần ảo tích phân đường loại hai học Bài toán 1: Tính tích phân dọc theo L , L đoạn thẳng với điểm đầu z1 = 1, điểm cuối z = i hàm số z Bài giải: Phương trình đường thẳng qua z1 = 1, z = i có dạng x + y = hay y = − x + Phương trình đoạn thẳng L cần tính tích phân là: ≤ x ≤1 L : y = −x + Áp dụng công thức I = ∫ f ( z )dz = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y ) dy + i ∫ v( x, y ) dx + u ( x, y ) dy L L Xét hàm f ( z ) = z = x − iy L ∫ zdz = ∫ ( x − iy)dz = ∫ xdx + ydy + i ∫ ( xdy − ydx) L L L L 1 0 = − ∫ (2 x − 1)dx + i ∫ dx = i ( ) Bài toán 2: Tính I = ∫ + i − 2z dz với C cung parabol y = x , nối gốc O điểm c B có toạ độ (1, 1) Bài giải: Hàm f ( z ) = + i − z Ta có z = x + iy suy hàm f(z) = + i − 2z = + i − 2(x − iy) Tách phần thực phần ảo ta có u ( x, y ) = − x, v( x, y ) = + y Áp dụng công thức: I = ∫ f ( z )dz = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y ) dy + i ∫ v( x, y ) dx + u ( x, y ) dy C C Suy I = ∫ (1 + 2x)dx - (1 + 2y)dy + i ∫ (1 + 2y)dx + (1 - 2x)dy c Trang 14 c C Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa Chuyển tích phân đường loại thành tích phân xác định ta có: ∫ (1 − 2x)dx - (1 + 2y)dy = ∫ (1 − 2x)dx − (1 + 2x c )2xdx = ∫ (−4x − 4x + 1)dx = −2 1 0 2 ∫ (1 + 2y)dx + (1 − 2x)dy = ∫ (1 + 2x )dx + (1 − 2x)2xdx = ∫ (−2x + 2x + 1)dx = c Thay vào ta có: I = −2 + 4i Bài toán 3: Tính tích phân I = ∫ xdz Oz với z = + i Bài giải: Tia Oz có phương trình y = x, ≤ x ≤ Khi Xét hàm f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) = x, suy u = x, v = Vậy, tích phân 2 f ( z ) = ∫ udx + i ∫ udy = ∫ xdx + i ∫ x dx = + i 0 Oz oz Bài toán 4: Tính I = ∫ z dz , AB đoạn thẳng nối điểm A toạ vị số phức AB điểm B toạ vị số phức i Bài giải: Ta có f ( z ) = z = ( x + iy ) = ( x − y + 2ixy ) nên u = x − y v = 2xy Áp dụng công thức: I = ∫ f ( z)dz = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y ) dy + i ∫ v( x, y ) dx + u ( x, y ) dy AB AB AB Suy ra: I= ∫ (x AB − y )dx − xydy + i ∫ ( x − y )dy + xydx AB Vì AB có phương trình x = − y, dx = −2dy (chọn y làm tham số) nên: ∫ (x AB − y )dx − xydy = ∫ (4 + y − y − y )(−2dy ) − 2( − y ) ydy = − 2 2 ∫ (x − y )dy + xydy = ∫ (4 + y − y − y )dy + y(2 − y)(−2 ydy) = − AB Thay vào ta có: I =− Trang 15 8+i 3 Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa ∫ Bài toán 5: Tính γ Re zdz , γ đoạn thẳng nối z = 0, z = + i Bài giải: u ( x, y ) = x f ( z ) = Re z có   v ( x, y ) = 1 0 Khi đó: ∫ Re zdz = ∫ xdx + i ∫ xdy = ∫ xdx + i ∫ xdy γ γ γ i + 2 = Bài toán 6: Xác định giá trị tích phân ∫ z Re zdz điểm z1 = z = 3i mà γ γ đường thẳng nối hai điểm Bài giải: γ có phương trình x = − y , ≤ x ≤  u ( x, y ) = x f ( z ) = z Re z có  v( x, y ) = − xy 3 0 2 Khi ∫ z Re zdz = ∫ x dx + xydy + i ∫ x dy − xydx γ 27i =− + 2 Bài toán 7: Xác định giá trị tích phân ∫ e dz z L hai điểm z1 = z2 = + i đường nối liền hai điểm có dạng gãy khúc L = L1 + L2 hình vẽ Bài giải: L1 : y = 0 ≤ x ≤1 L2 : x = ≤ y ≤1 Ta có y P (1, 1) L2 O Lúc đó: Trang 16 L1 x Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa ∫ f ( z)dz = ∫ L = L1 + L2 ∫ (vdx + udy) = ∫ udx + i ∫ vdx − ∫ vdy + i ∫ udy (udx − vdy ) + i L1 + L2 L1 + L2 L1 L1 L2 L2 Biết e z = e x+ iy = e x eiy = e x (cos y + i sin y ) = e x cos y + ie x sin y nên u = e x cos y v = e x sin y , ta có ∫ e dz = ∫ e z L x 1 cos ydx + i ∫ e sin ydx − ∫ e sin ydy + i ∫ e x cos ydy x x 0 = (e - 1) + e ( cos1- 1) + i × sin1 = e - + e cos1- e + i × sin1 e e = e(cos1 + i sin1) - = e1+ i - Như vậy: ∫ e dz = e z 1+ i −1 L 2.2.3 Bài toán tích phân phức đường cong Phương pháp - Viết phương trình tham số đường cong Áp dụng công thức ∫ γ β f ( z )dz = ∫ f ( z (t )).z ′(t )dt α dz ∫ z − Với γ đường tròn (2,1) γ Bài toán 1: Tính Bài giải: Phương trình tham số γ z = z (t ) = + 1.e it , t ∈ [0,2π ] dz = i.e it dt dz = Khi đó: ∫ γ z−2 2π 2π it ∫ e it ie dt = ∫ idt = 2π i 0 Bài toán 2: Tính tích phân ∫ zdz L dọc đường cong L, L phần đường tròn z = , nằm nửa mặt phẳng Imz ≤ với điểm đầu z1 = -2, điểm cuối z = Bài giải: Đường cong L có phương trình z = ⇔ x + y = ⇔ x + y = có dạng tham số z = 2(cos t + i sin t ) Trang 17 π ≤ t ≤ 2π Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa π ≤ t ≤ 2π Hay z = z (t ) = 2e it 2π Áp dụng công thức ∫ f ( z )dz = π∫ f (2e 2π it L 2π π 2π π )(2ie )dt = 2i ∫ f (2e it )e it dt it π −it it ∫ zdz = 2i ∫ 2e e dt = 4i ∫ dt = 4π i L Bài toán 3: Tính tích phân sau: z∫=1 z.zdz Bài giải: Tích phân lấy đường tròn z = có phương trình tham số z = e it , ≤ t ≤ 2π , nên 2π ∫ z.zdz = ∫ e z =1 it 2π e d (e ) = ∫ ie it dt = − it it Bài toán 4: Tính các tích phân sau I k = ∫ z dz Ck Trong đó C1 là đường thẳng AB , C , C là các nửa cung tròn đơn vị ( z = ) có cùng điểm đầu và điểm cuối, chiều hình vẽ Bài giải:  x=0  Tích phân lấy đường thẳng C1 có phương trình tham số: AB ⇔  y = t − ≤ t ≤  Khi đó: z (t ) = x(t ) + iy (t ) = it Vậy I1 = ∫ −1 Trang 18 1 0  x + y idt = i ∫ t dt = i  ∫ − tdt + ∫ tdt +  = i −1  −1  Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa  z = re it = e it   Tích phân lấy nửa đường tròn C có phương trình tham số: r =  π ≤ t ≤ 3π   3π I = ∫ ie dt = e it it π 3π π 3π 3π   π π  =  cos + i sin  −  cos + i sin  = −i − i = −2i 2   2   z = re it = e it   Tích phân lấy nửa đường tròn C có phương trình tham số:  r = − 3π ≤ t ≤ − π   − π it it ∫ ie dt = e I3 = − 3π π 3π − − −π −π   − 3π − 3π   =  cos + i sin + i sin  −  cos  = −i − i = −2i 2   2   z Bài toán 5: Tính tích phân sau I = ∫ z dz với C là biên nửa hình vành khăn C C = C1 ∪ C ∪ C ∪ C Bài giải: I = I1 + I + I + I = z z z z ∫ z dz + ∫ z dz + ∫ z dz + ∫ z dz C1 C2 C3 C4  x=t  Tích phân lấy đường thẳng C2 có phương trình tham số: BC ⇔  y = 1 ≤ t ≤  z (t ) = x(t ) + iy (t ) = t t I = ∫ dt = t = −1 t Trang 19 Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa  x=t  Tích phân lấy đường thẳng C4 có phương trình tham số: DA ⇔  y = − ≤ t ≤ −1  z (t ) = x(t ) + iy (t ) = t I4 = −2 t −2 ∫ t dt = t −1 −1 = −1  z = re it = 2e it  Tích phân lấy nửa đường tròn C1 có phương trình tham số: r =  π ≤ t ≤ 2π  I1 = 2π 2e it 2i 3it it ∫ 2e −it 2ie dt = 3i e π 2π π ( ) 6πi e − e 3πi = 3 =  z = re it = e it  Tích phân lấy nửa đường tròn C3 có phương trình tham số: r =  0≤t ≤π  π e it it i I = ∫ −it ie dt = e 3it 3i e Vậy I = −1 − − π = ( ) 3πi e − e0 = − 3 4 + =− 3 Bài toán 6: Tính tích phân I = ∫ z dz với C là đường nối từ z=0→z=4+2i C các trường hợp sau: a) C1 là đường x = y b) C2 là đường gấp khúc từ 0→2i 2i→4+2i Bài giải:  x = t2  a) Tích phân lấy đường cong C1 có phương trình tham số C1 ⇔  y = t 0 ≤ t ≤  z (t ) = x(t ) + iy (t ) = t + it Trang 20 Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa I =∫ ( ) t it t t − it ( 2t + i ) dt = − + 2 = 10 − 8i  x=0  b) Tích phân lấy đường thẳng C2 có phương trình tham số:AB ⇔  y = t 0 ≤ t ≤  z (t ) = x(t ) + iy (t ) = it t2 I = ∫ − itidt = 2 =2  x=t  Tích phân lấy đường thẳng C2 có phương trình tham số: BC ⇔  y = 0 ≤ t ≤  z (t ) = x(t ) + iy (t ) = t + 2i 4 t2 I = ∫ ( t − 2i ) dt = − 2it = − 8i ⇒ I = + − 8i = 10 − 8i 0 Vậy Trang 21 I = I + I = 12 − 8i Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa KẾT LUẬN Qua thời gian thực hiện đề tài: “Tích phân phức và các bài toán tích phân phức bằng định nghĩa” em đã thu được một số kết quả sau: - Nắm được các định nghĩa và các tính chất của tích phân phức - Tìm hiểu được mối liên hệ giữa tích phân phức và tích phân đường loại hai - Biết được cách tính tích phân phức bằng định nghĩa và một số bài toán tính tích phân phức bằng định nghĩa Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắc chắn không thể tránh được sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để có thể hoàn thiện Trang 22 Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng hàm biến phức – Phạm Nguyễn Hồng Ngự Hàm số biến số phức – Trương Văn Thương Bài tập hàm biến phức – Nguyễn Văn Trào Phạm Nguyễn Thu Trang 4.http://dlib.ptit.edu.vn/bitstream/123456789/1277/1/BG%20Toan%20ky %20thuat.pdf http://123doc.org/document/695325-chuong-3-tich-phan-ham-phuc.htm http://tailieu.tv/tai-lieu/ham-phuc-va-bien-doi-laplace-11615/ Trang 23 Tích phân phức toán tích phân phức định nghĩa MỤC LỤC Trang 24