Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

-1 - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HOÀNG HƯƠNG TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huy Lợi HÀ NỘI, 2009 -2 - LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã thừa kế thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà nội, tháng 09 năm 2009 Nguyễn Hoàng Hương -3 - MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa 1 Lời cam đoan 2 Mục lục 3 Mở đầu 4 Chương 1. Tích phân Cauchy 6 1.1. Khái niệm về hàm giải tích 6 1.2. Lý thuyết tích phân Cauchy 8 Chương 2. Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên 11 2.1. Tích phân loại Cauchy 11 2.2. Các bài toán biên 23 2.2.1. Bài toán biên Hilbert – Privalov 23 2.2.2. Công thức Keldysh – Sedov 32 2.2.3. Bài toán biên Riemann – Hilbert 38 2.2.4. Bài toán đạo hàm riêng 40 2.2.5 Dạng khác của bài toán đạo hàm riêng 41 2.2.6. Bài toán hỗn hợp đối với hàm điều hoà 43 Chương 3. Một số ứng dụng 45 3.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề của lý thuyết toán học 45 3.1.1. Hệ Carleman 45 3.1.2. Hệ Elliptic tuyến tính 49 3.1.3. Lý thuyết đạn lõm 57 3.2. Ứng dụng để giải quyết một số bài toán cụ thể 70 3.2.1. Bài toán Tricomi 70 3.2.2. Các bài toán thuỷ - khí động học 74 3.2.3. Các bài toán về lý thuyết đàn hồi 84 Kết luận 95 Tài liệu tham khảo 96 -4 - MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm biến phức có rất nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề toán học cũng như trong thực tiễn. Ngay từ những năm đầu của thế kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động học và khí động học. Đặc biệt trong lý thuyết này có bài toán biên dựa trên cơ sở của tích phân loại Cauchy đã được phát triển và ứng dụng nhiều vào giải quyết một số vấn đề lý thuyết, giải toán cũng như trong thực tiễn. Việc nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả của nó để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là cơ sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Hơn nữa, tìm hiểu về tích phân loại Cauchy và bài toán biên có thể giúp chúng ta nhìn nhận kiến thức toán giải tích ở bậc cao đẳng, đại học một cách sâu và rộng hơn để đáp ứng yêu cầu dạy học. Với lý do trên và với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi, tôi đã chọn đề tài: "Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên". 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên trong không gian phức. - Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân loại Cauchy và các bài toán biên. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm những ứng dụng của tích phân loại Cauchy và các bài toán biên. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên. -5 - trong không gian phức và một số ứng dụng của nó. Nội dung luận văn gồm có 3 chương: - Chương 1. Tích phân Cauchy - Chương 2. Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên - Chương 3. Một số ứng dụng 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của nó. 6. Giả thuyết khoa học Luận văn tập trung nghiên cứu một số đối tượng Toán học, nâng nó thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi đã hướng dẫn tôi tận tình, thường xuyên dành cho tôi sự chỉ bảo, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiên thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh em, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn này có thể được hoàn thành. Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn. Hà Nội, tháng 09 năm 2009 Tác giả Nguyễn Hoàng Hương -6 - Chương 1 TÍCH PHÂN CAUCHY 1.1. Khái niệm về hàm giải tích Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên miền    . Xét giới hạn: 0 ( ) ( ) lim , z f z z f z z z z          . Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, ký hiệu là ' ( )f z hay ( ) df z dz . Như vậy ' ( )f z = z zfzzf z    )()( lim 0 . Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay  -khả vi tại z. Bởi vì 0 lim z   [f(z+ z )-f(z)] = 0 ( ) ( ) lim 0 z f z z f z z z         nên nếu f  -khả vi tại z thì 0 lim z   [f(z + z ) - f (z)] = 0. Nói cách khác f liên tục tại z. Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết: 1 ' ( ) k k f f   nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên  . Định lý 1.1. Nếu f(z) và g(z) khả vi phức tại z o thì αf(z) + βg(z), f(z)g(z) và f(z)/g(z) (g(z o ) ≠ 0) cũng khả vi phức tại z o với mọi α, β   và (i) (αf + βg)’(z o ) = ' ' 0 0 f (z ) + g (z )   -7 - (ii) (fg)’(z o ) = )()()()( 0000 zgzfzgzf    (iii) (f/g)’(z o ) = )( )()()()( 0 2 0000 zg zgzfzgzf    (iv) Nếu ( )f z   khả vi phức tại z o , còn g(  ) khả vi phức tại 0 0 ( )f z   thì hàm hợp g f  khả vi phức tại z o và ' ' ' 0 0 0 (gf) (z )= g (f(z ))f (z ) . Ví dụ 1.1. a) Rõ ràng z  = 1, do đó theo công thức (ii) và quy nạp theo n ta có: (z n )’ = nz n-1 . Từ đó, nếu f(z) = a o z n + … + a n thì ' 1 0 1 ( ) n n f z na z a      . b) Cho hàm 2 1 ( ) , 2 1 2 z f z z z    , khi đó 2 ' 2 (2 1)2 2 ( ) (2 1) z z z f z z     . Như vậy f  -khả vi tại 1 2 z  . c) Từ ví dụ b) suy ra nếu f(z) = P(z)/Q(z) là hàm hữu tỉ thì nó  -khả vi tại mọi z mà nó xác định. Định nghĩa 1.2. Hàm f xác định trong miền    với giá trị trong  gọi là giải tích (chỉnh hình) tại 0 z  nếu tồn tại r > 0 để f  -khả vi tại mọi z  D(z 0 ,r)   . Nếu f giải tích tại mọi z ta nói f giải tích trên  (hay f chỉnh hình trên  ). Định lý 1.2. Giả sử    là một miền, H(  ) là tập các hàm giải tích trên  . Khi đó (i) H(  ) là một không gian vectơ trên  (ii) H(  ) là một vành (iii) Nếu f  H(  ) và f(z) ≠ 0 với z  thì 1/f  H(  ) (iv) Nếu f  H(  ) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. -8 - Định lý 1.3. Nếu f :   và g :    là các hàm giải tích, ở đây  và   là các miền trong mặt phẳng (z) và (w) thì  :fg   giải tích. Định lý 1.4. Giả sử chuỗi luỹ thừa   0n n n zC có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng f(z) của nó giải tích tại mọi z với Rz  và đạo hàm phức của nó là     1 1 n n n znC . 1.2. Lý thuyết tích phân Cauchy Định lý 1.5. (Định lý Cauchy cho miền đơn liên) Nếu hàm ω = f(z) chỉnh hình trong miền đơn liên Ω thì với mọi chu tuyến trơn từng khúc γ  Ω ta có: .0    fdz Định lý 1.6. Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn, với biên,  là một chu tuyến trơn từng khúc. Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên  =  và chỉnh hình trên Ω thì: .0    D fdz Ta gọi Ω là miền n – liên (hay đa liên bậc n) nếu biên của Ω gồm có chu tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ 1 , γ 2 , …., γ n-1 đôi một không giao nhau nằm trong Ω γ , như vậy Ω = Ω γ \  1 1    n k k  và 11   n  . Định lý 1.7. (Định lý Cauchy cho miền đa liên) Nếu Ω là một miền n-liên, f là hàm liên tục trên  , giải tích trên Ω thì .0   fdz -9 - Định lý 1.8. (Định lý về sự tồn tại của nguyên hàm) Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho tích phân của f dọc theo mọi chu tuyến bất kỳ nằm trong Ω đều bằng 0. Khi đó, với mọi z o = Ω cố định, hàm   z z dfz 0 )()(  là giải tích trong miền Ω và )()( ' zfz   z . Định lý 1.9. Giả sử Ω là miền đơn liên còn f là hàm giải tích trên Ω khác không tại mọi điểm. Khi đó tồn tại hàm g giải tích trên Ω để e g = f. Định lý 1.10. (Công thức tích phân Cauchy) Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω và  o z . Khi đó với mọi chu tuyến    ta có công thức tích phân Cauchy: f(z o ) =      d z f i   0 )( 2 1 (1.1) Nếu thêm f liên tục trên  và  là một chu tuyến thì với mọi z ta có: f(z) =     d z f i    )( 2 1 (1.2) Chứng minh: Giả sử  là chu tuyến tùy ý vây quanh z o sao cho   . Chọn 0   đủ bé để hình tròn D(z o,  )   . Ký hiệu  C là biên của D(z o,  ), đặt: ),(\ 0,   zD ,  ,  là miền 2-liên, nên theo định lý 1.4. ta có: 0 )( 0           d z f C . Hình 1.1 -10- Từ đó có đẳng thức:         d z f d z f C     00 )()( . (1.3) Thực hiện phép đổi biến   deidez ii  , 0 , vế phải của (1.3) trở thành:     d z f C   0 )( =            2 0 0 2 0 0 )( )( dezfidei e ezf ii i i =   )(2)()( 0 2 0 00 zfidzfezfi i      . Chú ý rằng khi ρ→0 thì do tính liên tục của f ta có          2 0 00 0 0)()(lim dzfezfi i . Vì thế )(2 )( lim 0 0 0 zifd z f C          . Kết hợp điều này với (1.3) ta có công thức (1.1). Trường hợp f liên tục trên  và giải tích trên Ω có thể lấy ∂Ω thay cho γ trong chứng minh trên. Khi đó, với mọi z  các điều kiện của trường hợp nói trên đều được thoả mãn. Vì thế ta có công thức (1.2). [...]... ra hữu hạn điểm Tích phân F(z) = 1 f ( )d ,  2i C   z (2.2) được xây dựng giống như tích phân (2.1) được gọi là tích phân loại Cauchy Chúng ta thấy rằng tích phân loại Cauchy là một hàm số giải tích tại điểm z bất kỳ, không nằm trên đường cong C Do đó, nếu C phân chia mặt phẳng thành một số miền thì tích phân loại Cauchy xác định trong các miền đó, nói chung, là các hàm số giải tích khác nhau...-11- Chương 2 TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN 2.1 Tích phân loại Cauchy Định nghĩa 2.1 Tích phân Cauchy f(z) = 1 f ( )d  2i C   z (2.1) là hàm số giải tích bên trong chu tuyến đóng C thông qua các giá trị của nó trên đường biên Ta giả sử rằng C là đường cong tự do không có điểm gãy khúc (đóng kín hoặc không đóng kín) và trong đó đã cho hàm số tự do f ( ) liên... công thức (2.14) kết luận rằng khi chuyển qua đường tích phân C tại điểm  0 thì tích phân loại Cauchy sẽ là: F  ( 0 )  F  ( 0 )  f ( 0 ) (2.15) Công thức (2.15) có chứa lời giải cho vấn đề mà chúng ta đã đặt ra ở phần đầu về việc tìm điều kiện để tích phân loại Cauchy trở thành tích phân Cauchy Chúng ta thấy rằng, nếu đường cong C khép kín và tại mỗi điểm của -19- nó F  ( )  0 thì giá trị... nghĩa là F(z) là tích phân Cauchy Ngược lại, nếu F(z) là tích phân Cauchy, tức là F+(  ) = f(  ) thì F  ( )  0 Do đó, điều kiện: F  ( )  0 , (2.16) thoả mãn tại mọi điểm của đường cong C là điều kiện cần và đủ để tích phân (2.2) trở thành tích phân Cauchy Điều kiện này đồng thời là điều kiện để giá trị của f ( ) trên đường cong C là giá trị biên hữu hạn của hàm số mà nó giải tích trong C Định... f  (z ) giải tích bên ngoài C, bao gồm cả điểm z =  , trong khi f  (z ) giải tích bên trong C; các giá trị biên f  ( ) và f  ( ) của các hàm số này trên C tồn tại và thoả mãn hệ thức: f  ( )  a( ) f  ( )  b( ) (2.24) Trường hợp cụ thể của bài toán này, khi b ( )  0 , chúng ta có: f  (  )  a ( ) f  (  ) , (2.25) D Hilbert đã giải bài toán này năm 1905 Bài toán biên Hilbert -... n là dương thì bài toán không có nghiệm giải tích trong miền tương ứng Với bài toán Privalov (2.24):   f ( )  a ( ) f ( )  b( ) Trường hợp đầu tiên, nếu đặt b( )  0 thì bài toán Privalov tương ứng bài toán Hilbert, ta có nghiệm duy nhất là:  f1 ( z )  e F  (z) , (2.37) -28- với F(z) được xác định bởi tích phân (2.27) Lời giải bài toán Privalov một lần     nữa tìm tích f ( z )  f1... dựng tích phân loại Cauchy: F ( z)  1 ln a( )d  2i C   z (2.27) -24- và kí hiệu F  (z ) và F  (z ) là các hàm số mà tích phân xác định tương ứng bên trong và bên ngoài C, khi đó nghiệm sẽ là:  f  ( z)  AeF ( z) ,  f  ( z)  AeF ( z) , (2.28) ở đó A là hằng số tuỳ ý (theo công thức (2.18) thì F  ()  0 , suy ra A  f  () ) Thật vậy, các hàm số F  (z ) và F  (z ) tương ứng giải tích. .. với các giá trị giới hạn của tích phân loại Cauchy -17- Định lý 2.2 (J V Sokhotsky) Giả sử rằng  0 là điểm đúng của chu tuyến C khác với hai đầu mút của nó, hàm số f(  0 ) ở tại điểm này thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1 và điểm z →  0 sao cho tỉ số h/d vẫn còn bị chặn Lúc đó tích phân loại Cauchy có giá trị giới hạn F  ( 0 ) và F  ( 0 ) , những giá trị này chính là giá trị mà tích phân. .. vì tích phân loại Cauchy F(z) giải tích ở khắp nơi bên ngoài đường cong C nên suy ra F(z)  0 ở khắp mọi nơi bên ngoài C Do đó, giá trị giới hạn F - ( )  0 , tức là F  ( )  f( ) và giá trị f( ) là giá trị biên giải tích bên trong C -20- Ngược lại, nếu giá trị f( ) là giá trị biên giải tích bên trong C thì với điểm z bất kỳ nằm ngoài C, tỷ số f ( ) như là một hàm số tại điểm  sẽ giải  z tích. .. 1 F1 ( z )  F   z giải tích bên ngoài hình tròn z  1 nếu F(z) giải tích bên trong hình tròn đó, suy ra, trên đường tròn | z | = 1, với   1  giá trị giới hạn của hàm số F1(z) bên ngoài giá trị giới hạn phức của hàm số F(z) từ bên trong (và ngược lại) -23- 2.2 Các bài toán biên 2.2.1 Bài toán biên Hilbert – Privalov Trên chu tuyến C với hai hàm số phức a ( )  0 và b( ) thoả mãn điều kiện . 1. Tích phân Cauchy 6 1.1. Khái niệm về hàm giải tích 6 1.2. Lý thuyết tích phân Cauchy 8 Chương 2. Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên 11 2.1. Tích phân loại Cauchy 11 2.2. Các bài. của tích phân loại Cauchy và các bài toán biên. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên. -5 - trong không gian phức và một. biên& quot;. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên trong không gian phức. - Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân loại Cauchy và các bài toán biên.