Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

Đặc biệt trong lý thuyết này có bài toán biên dựa trên cơ sở của tích phân loại Cauchy đã được phát triển và ứng dụng nhiều vào giải quyết một số vấn đề lý thuyết, giải toán cũng như tro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HOÀNG HƯƠNG

TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY

VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi

Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã thừa kế thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà nội, tháng 09 năm 2009

Nguyễn Hoàng Hương

MỤC LỤC

Trang

1.1 Khái niệm về hàm giải tích 6

1.2 Lý thuyết tích phân Cauchy 8

Chương 2 Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên 11 2.1 Tích phân loại Cauchy 11

2.2 Các bài toán biên 23

2.2.1 Bài toán biên Hilbert – Privalov 23

2.2.2 Công thức Keldysh – Sedov 32

2.2.3 Bài toán biên Riemann – Hilbert 38

2.2.4 Bài toán đạo hàm riêng 40

2.2.5 Dạng khác của bài toán đạo hàm riêng 41

2.2.6 Bài toán hỗn hợp đối với hàm điều hoà 43

Chương 3 Một số ứng dụng 45 3.1 Ứng dụng để giải quyết các vấn đề của lý thuyết toán học 45

3.1.1 Hệ Carleman 45

3.1.2 Hệ Elliptic tuyến tính 49

3.1.3 Lý thuyết đạn lõm 57

3.2 Ứng dụng để giải quyết một số bài toán cụ thể 70

3.2.1 Bài toán Tricomi 70

3.2.2 Các bài toán thuỷ - khí động học 74

3.2.3 Các bài toán về lý thuyết đàn hồi 84

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm biến phức có rất nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một

số vấn đề toán học cũng như trong thực tiễn Ngay từ những năm đầu của thế

kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động học và khí động học Đặc biệt trong lý thuyết này có bài toán biên dựa trên cơ sở của tích phân loại Cauchy đã được phát triển và ứng dụng nhiều vào giải quyết một số vấn đề lý thuyết, giải toán cũng như trong thực tiễn

Việc nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên giúp chúng

ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả của nó để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là cơ

sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác

Hơn nữa, tìm hiểu về tích phân loại Cauchy và bài toán biên có thể giúp chúng ta nhìn nhận kiến thức toán giải tích ở bậc cao đẳng, đại học một cách sâu và rộng hơn để đáp ứng yêu cầu dạy học

Với lý do trên và với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.NGƯT Nguyễn

Huy Lợi, tôi đã chọn đề tài: "Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên"

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm những ứng dụng của tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

trong không gian phức và một số ứng dụng của nó

Nội dung luận văn gồm có 3 chương:

- Chương 1 Tích phân Cauchy

- Chương 2 Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

- Chương 3 Một số ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của nó

6 Giả thuyết khoa học

Luận văn tập trung nghiên cứu một số đối tượng Toán học, nâng nó thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi đã hướng dẫn tôi tận tình, thường xuyên dành cho tôi sự chỉ bảo, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban lãnh đạo, các thầy

cô giáo, cán bộ nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiên thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh em, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn này có thể được hoàn thành

Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn

Hà Nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Nguyễn Hoàng Hương

Chương 1 TÍCH PHÂN CAUCHY

1.1 Khái niệm về hàm giải tích

Nói cách khác f liên tục tại z

Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết:

1 '( )

(i) (αf + βg)’(zo) = f (z ) + g (z )'  '

(ii) (fg)’(zo) = f(z0)g(z0) f(z0)g(z0)

(iii) (f/g)’(zo) =

) (

) ( ) ( ) ( ) (

0 2

0 0 0

0

z g

z g z f z g z

Định nghĩa 1.2

Hàm f xác định trong miền   với giá trị trong gọi là giải tích (chỉnh hình) tại z  nếu tồn tại r > 0 để f -khả vi tại mọi z 0  D(z0,r)   Nếu f giải tích tại mọi z  ta nói f giải tích trên  (hay f chỉnh hình trên )

Định lý 1.2

Giả sử   là một miền, H() là tập các hàm giải tích trên  Khi đó (i) H() là một không gian vectơ trên

(ii) H() là một vành

(iii) Nếu fH() và f(z) ≠ 0 với z  thì 1/f H()

(iv) Nếu fH() và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi



 1

1.2 Lý thuyết tích phân Cauchy

Định lý 1.5 (Định lý Cauchy cho miền đơn liên)

Nếu hàm ω = f(z) chỉnh hình trong miền đơn liên Ω thì với mọi chu

tuyến trơn từng khúc γΩ ta có:

0







D fdz

Ta gọi Ω là miền n – liên (hay đa liên bậc n) nếu biên của Ω gồm có chu tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ1, γ2, …., γn-1 đôi một không giao nhau nằm

trong Ωγ, như vậy Ω = Ωγ \ 1

 và  1 n1 Định lý 1.7 (Định lý Cauchy cho miền đa liên)

Nếu Ω là một miền n-liên, f là hàm liên tục trên , giải tích trên Ω thì

.0

Định lý 1.8 (Định lý về sự tồn tại của nguyên hàm)

Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho tích phân của f dọc theo mọi chu tuyến bất kỳ nằm trong Ω đều bằng 0

Khi đó, với mọi zo = Ω cố định, hàm  

z

z

d f z

0

)()

miền Ω và '(z ) f(z) z

Định lý 1.9

Giả sử Ω là miền đơn liên còn f là hàm giải tích trên Ω khác không tại

mọi điểm Khi đó tồn tại hàm g giải tích trên Ω để e g = f

Định lý 1.10 (Công thức tích phân Cauchy)

Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω và z o  Khi đó với mọi chu tuyến      ta có công thức tích

1

(1.1) Nếu thêm f liên tục trên  và   là

một chu tuyến thì với mọi z  ta có:

1

(1.2)

Chứng minh:

Giả sử  là chu tuyến tùy ý vây quanh zo sao cho    Chọn   0 đủ

bé để hình tròn D(zo, )   Ký hiệu Clà biên của D(zo, ), đặt:

),(

f

C

Hình 1.1

f d

C 

0

) (

0

0

) (

) (

d e z f i d e i e

e z

i i

Kết hợp điều này với (1.3) ta có công thức (1.1)

Trường hợp f liên tục trên  và giải tích trên Ω có thể lấy ∂Ω thay cho γ trong chứng minh trên Khi đó, với mọi z   các điều kiện của trường hợp nói trên đều được thoả mãn Vì thế ta có công thức (1.2)

Chương 2 TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN

2.1 Tích phân loại Cauchy

1

là hàm số giải tích bên trong chu tuyến đóng C thông qua các giá trị của nó trên đường biên Ta giả sử rằng C là đường cong tự do không có điểm gãy khúc (đóng kín hoặc không đóng kín) và trong đó đã cho hàm số tự do f(  )

liên tục khắp nơi, có thể trừ ra hữu hạn điểm

Tích phân

F(z) =  

d f

1

, (2.2) được xây dựng giống như tích phân (2.1) được gọi là tích phân loại Cauchy Chúng ta thấy rằng tích phân loại Cauchy là một hàm số giải tích tại điểm z bất kỳ, không nằm trên đường cong C Do đó, nếu C phân chia mặt phẳng thành một số miền thì tích phân loại Cauchy xác định trong các miền

đó, nói chung, là các hàm số giải tích khác nhau

bằng 1 ở mọi nơi trong hình tròn |z|<1 và bằng 0 nếu không thuộc đường tròn

Dễ thấy rằng, ngay cả trong trường hợp chu tuyến C đóng kín thì tích phân loại Cauchy trong trường hợp tổng quát không phải là tích phân Cauchy,

nghĩa là giá trị hàm ( )f  sẽ không là giá trị F(z) khi z Thật vậy, việc cho trên biên của miền chỉ một phần thực của hàm giải tích xác định được phần thực ở bên trong miền Khi đó, từ phương trình Cauchy - Riemann bên trong miền với độ chính xác đến hằng số xác định được phần ảo của hàm và

do đó xác định được cả giá trị giới hạn của nó theo z tiến tới biên của miền Bởi vậy, khi đó trên biên hai hàm không có liên hệ gì với nhau là phần thực

và phần ảo của hàm ( )f  , cho nên trong trường hợp tổng quát không thể hy

vọng rằng hàm F(z) với z tiến tới giá trị đã cho

Để xét các giá trị giới hạn của tích phân loại Cauchy, đầu tiên chúng ta tìm hiểu ý nghĩa của tích phân này, khi điểm z nằm trên giới hạn tích phân C Nếu điểm z nằm trên C, tích phân (2.2), nói chung, khác với hàm số tích phân dần tới vô cùng khi   Tuy nhiên, bổ sung thêm một số giả định cho f( z  )

thì tích phân này có thể được xác định Giả sử, tại một số điểm  0 của đường cong C hàm số ( )f  thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số  1:

Tồn tại một hằng số M mà tại tất cả các điểm  trên giới hạn C, đóng tại

0

 , có một bất đẳng thức:

.10

,)

()(  f 0  M 0    

Hiển nhiên rằng, điều kiện Golder biểu diễn sự kiện là số gia của hàm số

là vô cùng bé, bậc không nhỏ hơn μ đối với số gia của biến số

Giả sử rằng tích phân loại Cauchy tồn tại

với z = 0, nếu hiểu theo cách đặc biệt là tìm thấy những biểu thức thông qua các tích phân thông thường Đầu tiên giả sử 0 là một điểm nhọn của đường C,  và  là điểm giao của C với đường tròn z0 r, c là một Hình 2.1

đoạn của đường cong C nằm giữa  và  , còn a và b là hai đầu mút của C (hình 2.1) Chúng ta có:

d f

d f f

d f

0 0

0 0 0

)()

()()

0 ' 0 '' 0

0 0

0 0

lnln

)ln(

0 ) ( )

suy ra tồn tại

,)()()

()(lim

0

0 0

f d

f f

C c

)()

()()

(

0 0

0 0

0 0 0

r O f

i a

b f

d f f

d f

C c

f

0

)()

(lim

giới hạn này được gọi là giá trị chính của tích phân, còn bản thân tích phân trong giới hạn này xác định bởi công thức (2.7) được gọi là tích phân đặc biệt (trong ý nghĩa Cauchy) Trong định nghĩa của tích phân đặc biệt tồn tại một cung c từ đường cong C nén lại tại điểm 0 theo một quy tắc xác định (vì hai đầu mút của cung luôn nằm trên đường tròn z 0 r; nếu c bị nén lại theo một quy tắc khác thì công thức (2.7) có thể sẽ không tồn tại Theo định nghĩa thông thường của tích phân suy rộng thì đòi hỏi rằng giới hạn của (2.7) tồn tại khi c 0theo quy luật bất kỳ Suy ra, nếu tích phân tồn tại ở trong ý nghĩa thông thường thì nó sẽ tồn tại trong ý nghĩa đặc biệt, và các giá trị của nó sẽ trùng với giá trị thường của tích phân Điều ngược lại sẽ không đúng

Chúng ta sẽ giải thích định nghĩa dưới một ví dụ đơn giản như sau Xét tích phân:

xét trên đoạn (-1,1) của trục thực, như chúng ta biết là tích phân này không

tồn tại nhưng nó lại tồn tại dưới dạng tích phân đặc biệt trong ý nghĩa của Cauchy nên giới hạn

0

1lnlnlimlim

0 1

dx

r r

r r

tồn tại (theo định nghĩa của tích phân đặc biệt chúng ta vứt đi khoảng (-r,r) trên đoạn (-1,1) )

Chuyển công thức (2.7) qua giới hạn khi r 0, ta thu được định lý sau:

Định lý 2.1

Nếu tại điểm 0 là điểm đúng của chu tuyến C và khác với hai đầu mút, hàm f(  ) thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1 thì tích phân loại

Cauchy sẽ tồn tại tại điểm này và giá trị chính của nó sẽ biểu thị qua tích phân thông thường bằng công thức:

ln

2

) ( ) ( 2

1 ) ( ) ( 2

1 )

( 2

0 0

0 0

F

C C

(2.8) Nếu trong trường hợp riêng đường cong C đóng kín thì có thể coi rằng

a=b, khi đó công thức (2.8) sẽ có dạng đơn giản hơn

).

( 2

1 ) ( ) ( 2

1 )

( 2

1 )

0 0 0

F

C C

Giả sử 0 là điểm góc của đường cong C, kí hiệu α là góc giữa các tiếp

tuyến đối với C tại điểm này, đo từ phía bên trái của đường cong C theo chiều kim đồng hồ (hình 2.1) Thay vì công thức (2.5), điều kiện về mối quan hệ của các nhánh logarit, ta có

2

) ( ) ( 2

) ( ) ( 2

1 ) (

0

0 0

0 0

0 0

()(lim

0

0 0

C C

(

) ( ) ( ) (

z





Bẻ tích phân ∆ làm đôi, đoạn thứ nhất chúng ta sẽ khảo sát trên cung c của đường cong C mà những điểm của nó thoả mãn điều kiện  0  , ở

đó  là một số bất kỳ, số đó ta sẽ nghiên cứu sau, đoạn thứ hai chúng ta sẽ

nghiên cứu trên phần còn lại C ’ = C - c

Đối với tích phân thứ nhất, sử dụng điều kiện Golder (chúng ta coi  là

đủ nhỏ) và cùng với điều kiện  z  d, ta thu được:

1 0 0

d d

hM d

Adt

ds

d    và kết quả cuối cùng sẽ là:

.2

0 1 1

Từ đây, rõ ràng thấy rằng  có thể chọn nhỏ đến mức sao cho 1 không vượt quá  / 2 cho trước

Bởi vì đường cong C’ không chứa điểm 0 nên khi cố định  thì:

f f

C

 ( ))

là hàm số của z liên tục tại 0, suy ra với giá trị đủ nhỏ h  z0 thì 2

không vượt quá giá trị /2 Đối với giá trị h ta có   1  2 , điều này

đã chứng minh xong bổ đề

Với bổ đề này chúng ta thu được công thức đối với các giá trị giới hạn của tích phân loại Cauchy

Định lý 2.2 (J V Sokhotsky)

Giả sử rằng 0 là điểm đúng của chu tuyến C khác với hai đầu mút của

nó, hàm số f(0) ở tại điểm này thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1

và điểm z →0 sao cho tỉ số h/d vẫn còn bị chặn Lúc đó tích phân loại Cauchy có giá trị giới hạn  (0)

1)()(

),(2

1)()(

0 0

0

0 0

F

f F

d i

f d z

f f

i z

d f i z

()(2

1)

(2

1)

, (2.13) nhưng theo bổ đề đã được chứng minh thì khi z →0 tích phân thứ nhất ở vế phải tiến tới giới hạn

,)()(

C 

còn tích phân thứ hai bằng 2 i, hoặc bằng 0, tuỳ thuộc vào z nằm bên trái hay phải của đường cong C (nghĩa là bên trong hay bên ngoài C) Với điều này, chúng ta chuyển công thức (2.13) tiến đến giới hạn khi z →0 (bên trái hay bên phải của C):

),()

()(2

1)

Thay vào đây giá trị của tích phân lấy từ công thức (2.9), chúng ta nhận được công thức Sokhotsky cần tìm (2.12)

Bây giờ xét với C là đường cong không kín, chúng ta bổ sung vào đó một đường cong C ’ để được một đường cong khép kín C 0 =C+C ’ và đặt

1 ) (

C 



và nếu 0 không trùng với điểm mút của đường cong C thì theo những điều chúng ta đã chứng minh công thức Sokhotsky (2.12) sẽ là đúng, trong đó tích phân F( 0) được lấy dọc theo C0 Tuy nhiên, vì f()0 trên đường cong

C’ nên tích phân cuối sẽ được thay thế bằng tích phân dọc theo đường cong C Định lý đã được minh chứng

Nếu điểm 0 không là điểm nhọn trên C với góc tiếp tuyến bằng α, thì

thay vì sử dụng công thức (2.9) ta dùng công thức (2.10) (trong đó đặt a = b),

chúng ta thu được công thức Sokhotsky ở dạng đơn giản hơn:

),(21)()(

0 0

0

0 0

F

f F

F

(2.14)

Từ công thức Sokhotsky (2.12) đối với trường hợp điểm nhọn, công thức (2.14) kết luận rằng khi chuyển qua đường tích phân C tại điểm 0 thì tích phân loại Cauchy sẽ là:

)

()()

(0 F 0 f 0

Công thức (2.15) có chứa lời giải cho vấn đề mà chúng ta đã đặt ra ở phần đầu về việc tìm điều kiện để tích phân loại Cauchy trở thành tích phân Cauchy Chúng ta thấy rằng, nếu đường cong C khép kín và tại mỗi điểm của

nó F()0thì giá trị giới hạn F(z) tính từ bên trong C, tức là F + ( ), bằng f( ), điều đó có nghĩa là F(z) là tích phân Cauchy Ngược lại, nếu F(z) là tích phân Cauchy, tức là F + ( ) = f( ) thì F()0 Do đó, điều kiện:

0)( 

Định lý 2.3

Nếu tại mỗi điểm của chu tuyến C, hàm f(  ) thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1, thì để giá trị của nó là giá trị biên của các hàm số, giải tích bên trong C, cần và đủ thoả mãn đẳng thức sau:

z z







nên tích phân loại Cauchy trong lân cận vô cùng nhỏ của một điểm chúng ta

có sự khai triển sau:

C

d f z

i z

d f

i z

1)

(2

1)(

1 0

(2.18)

Do đó, nếu điều kiện (2.17) thoả mãn thì trong lân cận vô cùng nhỏ điểm

0

F(z)  Nhưng bởi vì tích phân loại Cauchy F(z) giải tích ở khắp nơi bên

ngoài đường cong C nên suy ra F(z) 0 ở khắp mọi nơi bên ngoài C Do đó, giá trị giới hạn F-()0, tức là F()f() và giá trị f()là giá trị biên giải tích bên trong C

Ngược lại, nếu giá trị f()là giá trị biên giải tích bên trong C thì với

như là một hàm số tại điểm  sẽ giải tích bên trong đường cong C và nó liên tục Khi đó, theo định lý Cauchy với mọi z:

0 )

( 2

1 )

và suy ra đẳng thức (2.18) bằng 0 Điều này và kết hợp với điều kiện (2.17) ta

có điều phải chứng minh

Định lý được chứng minh

Định lý 2.4

Trong điều kiện của định lý trước, điều kiện cần và đủ để giá trị của f( )

là giá trị biên của hàm số này, giải tích bên trong C, là đẳng thức:

0)

(2

i 





đối với tất cả điểm z nằm ngoài đường cong C

Xét các điều kiện trên đường cong C sao cho các giá trị của nó là những giá trị biên của hàm số giải tích bên ngoài của C Trước hết, lưu ý rằng, nếu

các hàm số f(z) là giải tích bên ngoài C, bao gồm cả điểm vô cùng và liên tục

trên đường cong của nó thì chúng ta có công thức Cauchy sau đây:

d f

i C 





(đường cong C tính ngược chiều kim đồng hồ)

Thật vậy, nếu điểm z nằm bên ngoài C thì chúng bao quanh C thành đường cong đóng C ’ , chứa trong nó một điểm nối giữa C và C ’, chúng ta áp dụng công thức Cauchy:

khi z nằm ngoài C khi z nằm trong C

d f i z

1)

(2

1)(

'

(cả hai đường cong đều tính ngược chiều kim đồng hồ) Bởi vì, trong lân cận

vô cùng nhỏ của một điểm chúng ta có sự khai triển:

trong lân cận tại điểm  c0   f (  )

i C 





Nếu z là điểm bên trong C thì hàm số

là giải tích giữa C và C ’ , suy ra, theo định lý Cauchy:

0)

()

('

d f

và kết hợp các kết quả trước đó, chúng ta có công thức (2.20)

Trên cơ sở những công thức thu được ta có điều phải chứng minh

z

d f



) ( 2

1

(2.21)

đối với mọi z nằm bên trong C, hơn nữa hằng số ở bên phải bằng f( )

Để chứng minh điều này, chúng ta lưu ý rằng hàm số:

a z

d f i z

giải tích bên ngoài C, với điều kiện (2.21) cho thấy rằng giới hạn của hàm số trên tính từ bên trong F()0, vì vậy theo công thức Sokhotsky ta có

)(

)

F  Định lý đã được minh chứng

Trong kết luận đã xây dựng ở định lý 2.4 và định lý 2.5 liên quan đến

đường cong C là một đường tròn đơn vị

Định lý 2.6

Để các giá trị của hàm số f(  ) tại mỗi điểm của đường tròn đơn vị C thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1 là giá trị biên của giá trị hàm số giải tích tương ứng a) bên trong hình tròn z  1 hoặc là b) bên ngoài hình

tròn, cần và đủ là thoả mãn các điều kiện:

a) đối với mọi z bên trong C

const a

z

d f

i C     



)(2

1

(2.22)

ở đó a bằng giá trị của hàm số khi z = 0, hoặc là

b) đối với mọi z bên ngoài C

0)

(2

giải tích bên ngoài hình tròn z  1 nếu F(z) giải tích bên trong hình tròn đó,

suy ra, trên đường tròn | z | = 1, với  1 giá trị giới hạn của hàm số F 1 (z) bên ngoài giá trị giới hạn phức của hàm số F(z) từ bên trong (và ngược lại)

2.2 Các bài toán biên

2.2.1 Bài toán biên Hilbert – Privalov

Trên chu tuyến C với hai hàm số phức a()  0 và b() thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số  1 Bắt buộc tìm hai hàm số, trong đó có f (z)

giải tích bên ngoài C, bao gồm cả điểm z = , trong khi f (z) giải tích bên trong C; các giá trị biên ()

f của các hàm số này trên C tồn tại

và thoả mãn hệ thức:

)()()()( a  f  b 

Trường hợp cụ thể của bài toán này, khi b() 0, chúng ta có:

) ( ) ( )

Hãy bắt đầu với nghiệm của bài toán Hilbert (2.25) Chúng ta thấy rằng,

chỉ số hàm số a( ) là một số nguyên bằng sự biến đổi đầy đủ acgumen của

nó vòng quanh C chia cho 2 :

Đầu tiên, giả sử rằng chỉ số bằng 0, nghĩa là hàm số ln a( ) đơn trị trên

chu tuyến C Trong trường hợp này dễ dàng tìm thấy nghiệm Chúng ta xây dựng tích phân loại Cauchy:



d a i z

1)

và kí hiệu F(z) và F(z) là các hàm số mà tích phân xác định tương ứng bên trong và bên ngoài C, khi đó nghiệm sẽ là:

)()

1)()( F  a 

2

1)()

( A a  e F 

)()

)(







a f

f







thoả mãn yêu cầu

Chứng minh tính duy nhất của nghiệm với hằng số nhân A Giả sử tồn tại nghiệm thứ hai f1(z) thì hàm số (2.28) không đi đến 0, sẽ giải tích (trong

miền tương ứng), hàm số ( )

)(

)(

z f

1)()(

)()(

)()

(

)(

f f

f g

Bây giờ cho lna() là hàm số hỗn hợp và các chỉ số n là âm; để đơn

giản ta giả sử C chứa toạ độ gốc bên trong nó Khi đó, chỉ số hàm số:

)()

2)(argarg

)(

) ( 1

1

) ( z e F z f z e F z

ở đó F 1 (z) là tích phân loại Cauchy được xây dựng trên giá trị biên lna1()

(xem công thức (2.27) và (2.28), chúng ta thừa nhận A = 1)

Tiếp theo, chọn hàm số f2(z) để trên đường cong C ta có:

),(

1)

khi đó tích (2.30) thoả mãn điều kiện (2.29) (dĩ nhiên đảm bảo đã nhân (2.31)

và (2.33)) Hãy lựa chọn hàm số f2(z) thì (2.33) có ý nghĩa với hàm số )

(

f  và z n f2(z) trùng nhau trên C, do đó tạo thành một hàm giải tích trên

toàn bộ mặt phẳng hữu hạn.Hàm số này có cực hữu hạn bậc không lớn hơn n, bởi vì f2(z) đúng tại vô tận, nghĩa là hàm số f2(z) là một đa thức Do đó:

;)

(

,)

(

1 1 0

2

1 0 2

n n

n

n n

a z

a z a z f

z

a z

a a z f

khi chú ý tới các công thức (2.30) và (2.32), chúng ta có thể tìm được nghiệm

cụ thể của bài toán đối với trường hợp được xét dưới dạng:

(

,)

(

) ( 1

1 0

) ( 1

0

1 1

z F n n

n

z F n n

e a z

a z a z f

e z

a z

a a z f

z F

Khi đặt a 0 , a 1 , …, a n trong công thức (2.34) một cách tuỳ ý, hơn nữa một

trong những hệ số đó, a 0 được xác định bởi việc viết lại giá trị f ()

Vì vậy, nếu các chỉ số hàm số a()bằng -n, thì bài toán Hilbert cho ta

n+1 nghiệm độc lập tuyến tính Ký hiệu:

, )

( F1 (z)

e z

),(),(

);

(

1,),(

1),(

z G z z

zG z G

z G z z

G z z G

(

1)(

)

()

2   f  

Từ đó thấy rằng f2(z) và z n f2()là một hàm giải tích trong toàn bộ

mặt phẳng, do đó là hằng số Bởi vì tại gốc toạ độ bằng không (vì trong C,hàm số này trùng với z n f2()) cho nên nó đồng nhất bằng không

Tổng hợp lại ta có kết quả

Định lý 2.7 (F D Gaxov)

Bài toán Hilbert

)()()(   



a f f

có n+1 nghiệm độc lập tuyến tính dạng (2.36) nếu chỉ số n của hàm biên

)

(

a không dương Còn nếu chỉ số n là dương thì bài toán không có nghiệm

giải tích trong miền tương ứng

Với bài toán Privalov (2.24):

)()()()( a  f  b 

f    

Trường hợp đầu tiên, nếu đặt b (  )  0 thì bài toán Privalov tương ứng bài toán Hilbert, ta có nghiệm duy nhất là:

, )

1

z F

e z f







với F(z) được xác định bởi tích phân (2.27) Lời giải bài toán Privalov một lần

nữa tìm tích f (z) f1(z)f2(z) với hàm số f1(z) được xác định bởi công thức (2.37) Trên đường cong C ta có hệ thức:

b f f b f af f

f1 2  1 2   1 2 

Chúng ta có được điều kiện biên cho f 2 (z):

) ( F 2

2

)()()( f  b  e 

Điều kiện biên này phụ thuộc bậc của hàm số f 2 (z) trên đường cong C

Theo công thức Sokhotxky (2.15), chúng ta có thể khẳng định rằng hàm số

f 2 (z) có hằng số khác nhau từ tích phân loại Cauchy:

e b i z

-) ( 2

1 )

nghĩa là:

)()

với A là hằng số tuỳ ý

Vì vậy, khi các chỉ số của hàm số a()bằng 0, nghiệm của bài toán

Privalov đại diện có dạng:

) ( z e ( ) A F2 z

ta thấy rằng mọi nghiệm của bài toán Privalov thu được từ (2.41) được thay đổi bởi hằng số A

Nếu chỉ số của hàm số a() bằng -n, chúng ta có hàm số

)(

1

)

(z e F z

f    và F 1 (z) được xác định bởi tích phân (2.35), f 2 (z) thoả mãn

điều kiện biên:

.)()(

1)

(

),()

(

2

1 1 0

2

2

1 0 2

z F z a z

a z a z f

z F z

a z

a a z f

n n n

n

n n

với a0, a1,…, an là hằng số tuỳ ý, F 2 (z) được xác định bởi công thức (2.39),

trong đó thay F() bằng F1() Cuối cùng nghiệm của bài toán Privalov

trong trường hợp chỉ số -n âm có dạng:

()

(

,)

()

(

) ( 2

1 1 0

) ( 2

1 0

1

1

z F n

n n

n

z F n

n

e z F z a z

a z a z f

e z F z

a z

a a z f

Cuối cùng, nếu chỉ số n của hàm số a() là dương thì chính phương

pháp đó dẫn đến f 1 (z) tới điều kiện:

)()()

ở đó F 1 (z) là tích phân loại Cauchy được xây dựng theo các giá trị biên

F Dễ thấy, chỉ các hàm này thoả mãn các điều kiện của chúng ta Hàm

số f2(z)là đúng tại điểm z = 0 Nếu điểm này là 0 - điểm bậc không nhỏ hơn

n đối với A+F 2 (z)

Điều kiện sau cùng này có thể được biến đổi, nếu phân tích F2(z) thành chuỗi Taylor theo z Muốn vậy, chúng ta đặt:

111

k

k

z z

b i

z d

e

b i

z d e

b i z

F

C n n

C C

) ( F 1 )

( F 2 )

( F 2

1 -

-1 -

2

)(2

)(2

1)

Từ đó thấy rằng điều kiện giải được của chúng ta có dạng

0)

C

(hằng số A được coi như bằng số hạng tự do của khai triển) Vì vậy, trong

trường hợp các chỉ số dương n bài toán Privalov có nghiệm duy nhất với điều

kiện (2.43)

Định lý được chứng minh

Định lý 2.8 (F D Gaxov)

Bài toán Privalov

) ( ) ( ) ( ) ( a  f  b

có họ nghiệm (2.42) tùy thuộc vào n + 1 hằng số tuỳ ý nếu chỉ số n của hàm

số biên a()không dương Nếu chỉ số n của hàm số a()dương thì bài toán chỉ tìm ra nghiệm khi hàm số b()thoả mãn điều kiện bổ sung (2.43)

Trong kết luận, đề cập đến nghiệm của bài toán Hilbert - Privalov áp dụng cho các đường cong mở C Để có sự sắp xếp như vậy, ta bổ sung đường cong C để được đường cong đóng C0 xuyên qua đường cong C , chỗ nối ở

cuối C (C 0 = C+ C) và trên C 

,1)( 

a b()0

Xét trường hợp đơn giản, khi b()= 0 và chỉ số hàm số a()được định

nghĩa như là sự thay đổi arga()với sự vòng đầy đủ của điểm  theo cả hai

bờ của C theo hướng dương bằng không Sau đó, nghiệm của f(z) xây dựng trên công thức (2.27) và (2.28) cho đường cong C0, của các công thức tích phân chỉ được đưa dọc theo C (trên C ta định nghĩa lna()= 0), sẽ đơn

giản và giải tích khắp nơi ở bên ngoài đường cong C (trên C  điều kiện biên

2.2.2 Công thức Keldysh – Sedov

Trên biên C của miền đơn liên D cho trước các điểm a 1 , b 1, a 2 , b 2 , , a n ,

b n được sắp xếp theo thứ tự đó Cần tìm hàm số f(z) giải tích trong D, phần thực thiết lập giá trị trên các cung a k b k , còn phần ảo thiết lập giá trị trên các

cung b k a k1 (k=1, 2,…, n; a n+1 =a 1 )

Như vậy, giả sử trên trục x cho các điểm -∞ < a1 < b1 < a2 < b2 < < an <

bn < ∞ và hai hàm số thực u(x), v(x), có hữu hạn các điểm gián đoạn loại một,

và u(x) được xác định tại tất cả các khoảng (a k ,b k ), v(x) được xác định tại tất

cả các khoảng (b k , a k+1 ) (k = 1,2,…,n; a n+1 = a 1 ) Chúng ta còn giả thiết rằng trên các đoạn (-∞, a 1 ) và (b n , ∞) hàm số v(x) thoả mãn điều kiện



x const

(  

n

k a z

b z z

có nghiệm dương trên khoảng (b n , ∞),  - bất kỳ Cho z là một điểm bất kỳ

thuộc nửa trên, bao quanh đường cong đóng C, bao gồm các đầu mút của C R:

R



 , Im 0 và trục thực (-R, R) Giả sử rằng hàm số f(z) được tìm thấy,

khi đó công thức Cauchy sẽ có dạng:

.)()(2

1)()



z g z f i z

g z f

()(







) ( )(

nằm ở lân cận điểm   phân tích thành dạng:

,)()()()(

g f

(2.46)

ở đó ()  0 khi    Bằng cách kết hợp (2.46) trên CR bán kính đủ lớn, chúng ta nhận được:

.)(2

1)(2

1)

()(2

f d

z

g f

1)()(2

1)()

t g t f i z

g z f

1)()(2

t g t f i



Bây giờ cuối cùng để một công thức phức hợp liên quan đến giá trị và phải loại bỏ nó trước:

)

()

()()()(2

1)()

t

t g t f t g t f i z

g z f

b t

1

có giá trị âm, còn trên

khoảng (b k ,a k+1 ) nó có giá trị dương, suy ra hàm số g(t) trên (a k ,b k ) hoàn toàn

ảo, và trên (b k ,a k+1 ) - giá trị hợp lệ Với lưu ý này, chúng ta viết lại công thức

cuối như sau:

)(

()()()

()()(2

1

1 1

t f t f dt

t g z t

t f t f i

n k a b

n k b a

k k k

k

Như chúng ta đã biết, trên đoạn (a k , b k ) có Re f(t)=u(t), còn trên (b k ,a k+1 )

có Im f(t)=v(t) Như vậy, chúng ta có công thức Keldysh - Sedov:

.)(

)()

()()

()()

(

1)

(

1 1

1

z g

f dt z t

t g t v i

dt z t

t g t u z

ig z

f

n

k a

b

n

k b

a

k k k

(trong đó có tích phân của tổng thứ hai xét trên đoạn (b k ,a k+1 ) hội tụ tới v(x)

bắt buộc phải thêm điều kiện)

Phần còn lại cho thấy rằng hàm số xác định bởi công thức này là lời giải thực sự của bài toán hỗn hợp Để làm điều này, xét một trong những tổng của công thức (2.49)

.)()()(

1)

z t

t g t u z ig z

(

2

)

(t  u t g t

 Xét f k(t0)g(t0) với z dần tới điểm t 0 trên đoạn (a k , b k )

được xác định bởi công thức Sokhotsky (2.12):

),()()()()(t0 g t0 t0 u t0 g t0

t t

t g t u t g t u i t

0

t a

t b i

t g t u

t b t

a

t b

k

k k

0 lnln

(coi như là một nhánh của logarit, hợp lệ trên trục t phía bên phải của

khoảng), chúng ta có thể viết lại công thức (2.51) sau khi thay thế (t0)vào

công thức (2.52) và chia cho g(t 0 ) là:

.ln

)()(

)()(

)()(1)(

0

0 0

0 0

0 0

0

k k b

a k

a t

t b i

t u t u dt t

t

t u t g

t g t u

i t

b t t

g

1

)(

nhận toàn giá trị ảo hợp lệ để các tích phân trong công thức cuối là hợp lệ, và

nó cũng là một vế của

k

k a t

t b





0

0

ln Suy ra Re f k(t0)u(t0) Nếu bây giờ z dần

tới điểm t 1, nằm ở bất kỳ khoảng ( , )

1)

(

1 1

t t

t g t u t ig t

Giá trị này g(t 1 ) - hoàn toàn ảo, cũng như g(t) Do vậy, giá trị f k(t1)- hoàn toàn ảo và Re f k(t1)0 Nếu, cuối cùng, z dần tới điểm t 2 nằm trên

khoảng (b v ,a v+1 ), v = 1, 2, n, giá trị giới hạn bằng

.)()()(

1)

(

2 2

t t

t g t u t ig t

f

k k

t g t u z ig z

1)

b

dt z t

t g t v z

g z

(

1)

)()()()

z g

f z f z f z

trong thực tế, lời giải bài toán giá trị biên hỗn hợp (sự tồn tại của các thành

viên sau không thay đổi bất cứ điều gì: f(∞) - số thực, và g(z) trên khoảng (a k ,b k ) có giá trị ảo, và trên khoảng (b k , a k+1 ) có giá trị thực) Từ việc xây dựng các hàm số f * (z) và f ** (z) cho thấy rằng nếu z→∞ thì các hàm số này dần tới

không; hàm số g(z) dần tới 1, vì vậy, các điều kiện ở vô cùng cũng được thực hiện Từ việc tìm ra công thức (2.49) cho thấy rằng chỉ có lời giải cho bài toán

hỗn hợp mới thoả mãn các điều kiện 2.44)-2.46) Các định lý đã được minh chứng

Vấn đề đặt ra ở đây là nếu ta bỏ đi các điều kiện giới hạn của f(z) tại điểm a k, và yêu cầu chỉ có giới hạn tích phân 

z

dz z

f( ) (cũng như ở điểm b k),

thì đối với giá trị biên của f(∞), lời giải của bài toán sẽ là ngẫu nhiên và vĩnh

viễn Trong thực tế, với bất kỳ hằng số thực cố định 0, 1,   1 phần thực của hàm số

n n b z a z

z z

z h

1

1 1 1

0

) )(

chúng ta có thể thêm hàm số này vào hàm số f(z) xác định bởi công thức

(2.49), và tổng nhận được sẽ giải tích ở nửa trên của tích phân hàm số giới hạn trong vùng lân cận của điểm ak và bk, hàm số của vô cùng cho giá trị thực

f(∞) và ta có lời giải bài toán biên hỗn tạp

)()(

t iv

t u t

(k = 1, 2,…,n), chúng ta có thể viết công thức Keldysh - Sedova như sau:

,)(

)()()

()()(

1)

(

z g

f z h dt z t

t t g z ig z

với g(z) và h(z) được xác định theo công thức (2.44) và (2.54) Có thể thấy

rằng công thức (2.56) có chứa tất cả lời giả bài toán thoả mãn các điều kiện Trong phần kế tiếp, chúng ta sẽ áp dụng công thức Keldysh - Sedov, trên

nửa hình tròn

2

1 2

1

1 z

iz z

1)()()(

1)

g z ig z

1





 , ()- bài toán trên đường tròn của hàm số

sẽ bằng u( ) trên (a k , b k ), và bằng iv( ) trên (b k , a k+1 ), còn g(z) được xác

định bởi công thức (2.44) (điểm ak và bk là trong C)

Tương tự như công thức (2.56), chuyển đổi sang trường hợp của hình tròn đơn vị | z | <1 Trong trường hợp này, nó có dạng:

))(

(

1 1 0 1

n n

n n

k k

c z

c z c b z a z

b a

ở đó c k là hằng số phức thoả mãn các điều kiện c n-k = c k

2.2.3 Bài toán biên Riemann - Hilbert

Tìm hàm số f(z) =u(z)+iv(z) giải tích trong miền D và liên tục trong D

thoả mãn trên biên C điều kiện:

a( )u( )-b( )v( )=c( ), (2.60)

ở đó a, b, c là các hàm số thực trên C

Chúng ta xem lời giải của bài toán Riemann – Hilbert

Nếu D là miền liên thông thì việc sử dụng bài toán ánh xạ là quy về trường hợp D là vòng tròn đơn vị |z| <1 Trường hợp này, giả định thêm rằng

các hàm số a, b, c thỏa mãn điều kiện Golder và a2 + b2 ≠ 0 ở khắp mọi nơi

trên C

Điều kiện biên (2.60), chúng ta viết lại dưới dạng:

2Re(a+ib)f( ) = (a+ib)f( )+(a-ib)f(  ) = 2c (2.61)

Đặt vào bên ngoài đường tròn đơn vị:

,

1)

và biểu thức F(z) là hàm số bằng f(z) nếu nằm trong |z| <1 và bằng f*(z)nếu

nằm bên ngoài Giá trị giới hạn F(z) trên C về bên trái F + ( )=f( ), giá trị

giới hạn về bên phải F-(  ) = f(  ) (tiếp theo sau ta có định nghĩa (2.62) và

1/ = trên C)

Vì vậy điều kiện (2.61) có thể được viết lại như sau:

(a+ib)F + ( ) + (a-ib)F-(  )= 2c, (2.63) với F-()A()F()B(),

(2.64)

ở đó

ib a

c B

ib a

ib a A

Vì vậy, lời giải của bài toán Riemann - Hilbert quy về lời giải của bài

toán Hilbert - Privalov

Tuy nhiên, không phải bất kỳ lời giải F(z) nào của bài toán (2.64) cũng

sẽ cho lời giải của bài toán (2.61), bởi vì điều kiện (2.62) liên kết các giá trị

F(z) tương xứng với số điểm của vòng tròn, nói chung là không thoả mãn

Tuy nhiên, với lời giải bất kỳ của F(z) rất dễ dàng xây dựng một lời giải thoả

mãn điều kiện này Để làm được điều này, cùng với F(z) hãy xét hàm số:

F*( ) 1

và lưu ý rằng vì nó cũng thoả mãn được điều kiện (2.63) nên suy ra thoả mãn (2.64) Nhưng sau đó cùng một điều kiện sẽ được thoả mãn và hàm số

 ( ) ( ),2

1

* z F z

rõ ràng cũng thoả mãn điều kiện (2.62) Bên trong vòng tròn đơn vị ta có lời giải của bài toán biên Riemann - Hilbert

2.2.4 Bài toán đạo hàm riêng

Tìm hàm u(z) điều hoà trong miền D và có đạo hàm riêng liên tục trong miền D thoả mãn trên biên C điều kiện:

),()

()

y

u b x

)(

b a

c l

Theo những giả định đã được giới thiệu trong bài toán, bài toán đạo hàm

riêng được rút gọn lại Thật vậy, biểu thức f(z) = u + iv với hàm số một phần

u z

và ta thấy trùng với điều kiện (2.60) Vì vậy, f ' (z) có thể tìm thấy những lời giải được mô tả trong phần 2.2.3) và f(z) là một tích phân đơn giản