Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

Việc nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quảcủa nó để giải quyết một số vấn đề của

-1-BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HOÀNG HƯƠNG

TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY

VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi

Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã thừa kế thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà nội, tháng 09 năm 2009 Nguyễn Hoàng Hương

MỤC LỤC

Trang

Mở

đầu 4

Chương 1 Tích phân Cauchy 6 1.1 Khái niệm về hàm giải tích 6

1.2.Lý thuyết tích phân Cauchy 8

Chương 2 Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên 11 2.1 Tích phân loại Cauchy 11

2.2.Các bài toán biên 23

2.2.1 Bài toán biên Hilbert – Privalov 23

2.2.2 Công thức Keldysh – Sedov 32

2.2.3 Bài toán biên Riemann – Hilbert 38

2.2.4 Bài toán đạo hàm riêng 40

2.2.5 Dạng khác của bài toán đạo hàm riêng 41

2.2.6 Bài toán hỗn hợp đối với hàm điều hoà 43

Chương 3 Một số ứng dụng 45 3.1 Ứng dụng để giải quyết các vấn đề của lý thuyết toán học 45

3.1.1 Hệ Carleman 45

3.1.2 Hệ Elliptic tuyến tính 49

3.1.3 Lý thuyết đạn lõm 57

3.2.Ứng dụng để giải quyết một số bài toán cụ thể 70

3.2.1 Bài toán Tricomi 70

3.2.2 Các bài toán thuỷ - khí động học 74

3.2.3 Các bài toán về lý thuyết đàn hồi 84

Kết luận 95

Tài liệu tham khảo 96

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm biến phức có rất nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một

số vấn đề toán học cũng như trong thực tiễn Ngay từ những năm đầu của thế

kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc nghiên cứu ứngdụng Lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động học vàkhí động học Đặc biệt trong lý thuyết này có bài toán biên dựa trên cơ sở củatích phân loại Cauchy đã được phát triển và ứng dụng nhiều vào giải quyếtmột số vấn đề lý thuyết, giải toán cũng như trong thực tiễn

Việc nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên giúp chúng

ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quảcủa nó để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là cơ

sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác

Hơn nữa, tìm hiểu về tích phân loại Cauchy và bài toán biên có thể giúpchúng ta nhìn nhận kiến thức toán giải tích ở bậc cao đẳng, đại học một cáchsâu và rộng hơn để đáp ứng yêu cầu dạy học

Với lý do trên và với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.NGƯT Nguyễn

Huy Lợi, tôi đã chọn đề tài: "Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên".

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm những ứng dụng của tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

trong không gian phức và một số ứng dụng của nó.

Nội dung luận văn gồm có 3 chương:

- Chương 1 Tích phân Cauchy

- Chương 2 Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

- Chương 3 Một số ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụngcủa nó

6 Giả thuyết khoa học

Luận văn tập trung nghiên cứu một số đối tượng Toán học, nâng nóthành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.NGƯTNguyễn Huy Lợi đã hướng dẫn tôi tận tình, thường xuyên dành cho tôi sự chỉbảo, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban lãnh đạo, các thầy

cô giáo, cán bộ nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiênthuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh em, bạn bè, đồng nghiệp đãđộng viên, tạo mọi điều kiện để luận văn này có thể được hoàn thành

Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của cácthầy giáo, cô giáo và các bạn

Hà Nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Nguyễn Hoàng Hương

Chương 1 TÍCH PHÂN CAUCHY

1.1 Khái niệm về hàm giải tích

Nói cách khác f liên tục tại z

Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết:

f k  ( f k 1 )'

nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên 

Định lý 1.1.

Nếu f(z) và g(z) khả vi phức tại zo thì αf(z) + βg(z), f(z)g(z) và f(z)/g(z)(g(zo) ≠ 0) cũng khả vi phức tại zo với mọi α, β  □ và

(i) (αf + βg)’(zo) =  f ' (z ) + 0  g' (z )0

Hàm f xác định trong miền   □ với giá trị trong □ gọi là giải tích

(chỉnh hình) tại z0  nếu tồn tại r > 0 để f □ -khả vi tại mọi z  D(z0,r)   Nếu f giải tích tại mọi

trên  )

Định lý 1.2.

z   ta nói f giải tích trên  (hay f chỉnh hình

Giả sử   □ là một miền, H(  ) là tập các hàm giải tích trên  Khi đó(i) H(  ) là một không gian vectơ trên □

(ii) H(  ) là một vành

(iii) Nếu fH(  ) và f(z) ≠ 0 với z  thì 1/f H(  )

(iv) Nếu fH(  ) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi

'

:   □ giải tích.

Giả sử chuỗi luỹ thừa 

n0

C n z có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó tổng f(z)

của nó giải tích tại mọi z với z  R và đạo hàm phức của nó là 

n1

nC n z

n1

1.2 Lý thuyết tích phân Cauchy

Định lý 1.5 (Định lý Cauchy cho miền đơn liên)

Nếu hàm ω = f(z) chỉnh hình trong miền đơn liên Ω thì với mọi chu

tuyến trơn từng khúc γ Ω ta có:

Định lý 1.6.



Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn, với biên, 

là một chu tuyến trơntừng khúc Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên  =

k 1

và      1    n1

Định lý 1.7 (Định lý Cauchy cho miền đa liên)

Nếu Ω là một miền n-liên, f là hàm liên tục trên  , giải tích trên Ω thì

Hình 1.1

Định lý 1.8 (Định lý về sự tồn tại của nguyên hàm)

Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho tích phân của f dọc theo mọi chu tuyến bất kỳ nằm trong Ω đều bằng 0

Giả sử Ω là miền đơn liên còn f là hàm giải tích trên Ω khác không tại

mọi điểm Khi đó tồn tại hàm g giải tích trên Ω để e g = f.

Định lý 1.10 (Công thức tích phân Cauchy)

Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω và z o   Khi đó với mọi chu

tuyến      ta có công thức tích

phân Cauchy:

f(zo) = 2i   z d (1.1)

Nếu thêm f liên tục trên  và  là

một chu tuyến thì với mọi z   ta có:

f(z) = i  z d

(1.2)2

Kết hợp điều này với (1.3) ta có công thức (1.1).

Trường hợp f liên tục trên  và giải tích trên Ω có thể lấy ∂Ω thay cho γtrong chứng minh trên Khi đó, với mọi z  

các điều kiện của trường hợpnói trên đều được thoả mãn Vì thế ta có công thức (1.2)

Chương 2 TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN

2.1 Tích phân loại Cauchy

đó, nói chung, là các hàm số giải tích khác nhau

Ví dụ 2.1.

1  d

2i  1   z

bằng 1 ở mọi nơi trong hình tròn |z|<1 và bằng 0 nếu không thuộc đường tròn

Dễ thấy rằng, ngay cả trong trường hợp chu tuyến C đóng kín thì tích phân loại Cauchy trong trường hợp tổng quát không phải là tích phân Cauchy,

C

C

Hình 2.1

nghĩa là giá trị hàm f (

)

sẽ không là giá trị F(z) khi z   Thật vậy, việc

cho trên biên của miền chỉ một phần thực của hàm giải tích xác định đượcphần thực ở bên trong miền Khi đó, từ phương trình Cauchy - Riemann bêntrong miền với độ chính xác đến hằng số xác định được phần ảo của hàm và

do đó xác định được cả giá trị giới hạn của nó theo z tiến tới biên của miền.Bởi vậy, khi đó trên biên hai hàm không có liên hệ gì với nhau là phần thực

và phần ảo của hàm f ( ) , cho nên trong trường hợp tổng quát không thể hy

vọng rằng hàm F(z) với z   tiến tới giá trị đã cho.

Để xét các giá trị giới hạn của tích phân loại Cauchy, đầu tiên chúng tatìm hiểu ý nghĩa của tích phân này, khi điểm z nằm trên giới hạn tích phân C.Nếu điểm z nằm trên C, tích phân (2.2), nói chung, khác với hàm số tích phândần tới vô cùng khi   z Tuy nhiên, bổ sung thêm một số giả định cho f( )

thì tích phân này có thể được xác định Giả sử, tại một số điểm    0 của

đường cong C hàm số f (

) thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số  1:

Tồn tại một hằng số M mà tại tất cả các điểm  trên giới hạn C, đóng tại

 0 , có một bất đẳng thức:

f ( )  f ( 0

)

 M    0  , 0    1. (2.3)

Hiển nhiên rằng, điều kiện Golder biểu diễn sự kiện là số gia của hàm số

là vô cùng bé, bậc không nhỏ hơn μ đối với số gia của biến số.

Giả sử rằng tích phân loại Cauchy tồn tại

với z =  0 , nếu hiểu theo cách đặc biệt là tìmthấy những biểu thức thông qua các tích phânthông thường Đầu tiên giả sử  0 là một điểmnhọn của đường C,   và   là điểm giao

của C với đường tròn z  0  r , c là một

 M ;suy ra tồn tại

f (  ) d 

C    0



giới hạn này được gọi là giá trị chính của tích phân, còn bản thân tích phântrong giới hạn này xác định bởi công thức (2.7) được gọi là tích phân đặc biệt(trong ý nghĩa Cauchy) Trong định nghĩa của tích phân đặc biệt tồn tại mộtcung c từ đường cong C nén lại tại điểm  0 theo một quy tắc xác định (vì haiđầu mút của cung luôn nằm trên đường tròn z  

0

 r ; nếu c bị nén lại theomột quy tắc khác thì công thức (2.7) có thể sẽ không tồn tại Theo định nghĩa thông thường của tích phân suy rộng thì đòi hỏi rằng giới hạn của (2.7) tồn tạikhi c   0 theo quy luật bất kỳ Suy ra, nếu tích phân tồn tại ở trong ý nghĩathông thường thì nó sẽ tồn tại trong ý nghĩa đặc biệt, và các giá trị của nó sẽ trùng với giá trị thường của tích phân Điều ngược lại sẽ không đúng

Chúng ta sẽ giải thích định nghĩa dưới một ví dụ đơn giản như sau Xéttích phân:

1

dx

,

1 x

xét trên đoạn (-1,1) của trục thực, như chúng ta biết là tích phân này không

tồn tại nhưng nó lại tồn tại dưới dạng tích phân đặc biệt trong ý nghĩa củaCauchy nên giới hạn

Cauchy sẽ tồn tại tại điểm này và giá trị chính của nó sẽ biểu thị qua tích phân thông thường bằng công thức:

Nếu trong trường hợp riêng đường cong C đóng kín thì có thể coi rằng

a=b, khi đó công thức (2.8) sẽ có dạng đơn giản hơn

Giả sử  0 là điểm góc của đường cong C, kí hiệu α là góc giữa các tiếp

tuyến đối với C tại điểm này, đo từ phía bên trái của đường cong C theo chiềukim đồng hồ (hình 2.1) Thay vì công thức (2.5), điều kiện về mối quan hệcủa các nhánh logarit, ta có

 "

0  i

r 0    0Khi đó, thay vì công thức (2.8) ta có công thức mới:

cho

từ z tới đường cong C - là một số hữu hạn thì ta có công thức:

Bẻ tích phân ∆ làm đôi, đoạn thứ nhất chúng ta sẽ khảo sát trên cung ccủa đường cong C mà những điểm của nó thoả mãn điều kiện   

0

  , ở

đó  là một số bất kỳ, số đó ta sẽ nghiên cứu sau, đoạn thứ hai chúng ta sẽ

nghiên cứu trên phần còn lại C ’ = C - c.

Đối với tích phân thứ nhất, sử dụng điều kiện Golder (chúng ta coi  là

đủ nhỏ) và cùng với điều kiện   z  d , ta thu được:

Kí hiệu t     0 là độ dài cung  0 của đường cong C Vì C không cóđiểm gãy khúc nên tỉ lệ độ dài của đường cong chia cho độ dài cung củađường cong là hữu hạn Giả sử rằng tỉ lệ này không lớn hơn A thì

d   ds  Adt và kết quả cuối cùng sẽ là:

  2 dt h MA  const    .

0

Từ đây, rõ ràng thấy rằng  có thể chọn nhỏ đến mức sao cho 1

vượt quá  / 2 cho trước

là hàm số của z liên tục tại  0 , suy ra với giá trị đủ nhỏ h  z   0 thì  2

không vượt quá giá trị  / 2 Đối với giá trị h ta có

đã chứng minh xong bổ đề

  1  2   , điều nàyVới bổ đề này chúng ta thu được công thức đối với các giá trị giới hạncủa tích phân loại Cauchy

Định lý 2.2 (J V Sokhotsky)

Cauchy có giá trị giới

nhưng theo bổ đề đã được chứng minh thì khi z → 0

phải tiến tới giới hạn

bên phải của C):

(bên trái hay

F  ( )  1  f ( )  f ( 0 )

d

2i C    0

0

Thay vào đây giá trị của tích phân lấy từ công thức (2.9), chúng ta nhậnđược công thức Sokhotsky cần tìm (2.12).

Bây giờ xét với C là đường cong không kín, chúng ta bổ sung vào đó một đường cong C ’ để được một đường cong khép kín C 0 =C+C ’ và đặt

f ( )  0 trên đường cong C’ Rõ ràng:

0

) được lấy dọc theo C0 Tuy nhiên, vì f ( ) 

0 trên đường cong

C’ nên tích phân cuối sẽ được thay thế bằng tích phân dọc theo đường cong C Định lý đã được minh chứng

Nếu điểm  0 không là điểm nhọn trên C với góc tiếp tuyến bằng α, thì

thay vì sử dụng công thức (2.9) ta dùng công thức (2.10) (trong đó đặt a = b),

chúng ta thu được công thức Sokhotsky ở dạng đơn giản hơn:

C





nó F  ( )  0 thì giá trị giới hạn F(z) tính từ bên trong C, tức là F+

( ), bằng f( ), điều đó có nghĩa là F(z) là tích phân Cauchy Ngược lại, nếu F(z) là tích phân Cauchy, tức là F + ( ) = f( ) thì F 

( )  0 Do đó, điều kiện:

F  ( )  0 , (2.16)thoả mãn tại mọi điểm của đường cong C là điều kiện cần và đủ để tích phân (2.2) trở thành tích phân Cauchy Điều kiện này đồng thời là điều kiện để giátrị của f (

) trên đường cong C là giá trị biên hữu hạn của hàm số mà nó giảitích trong C

Định lý 2.3.

với chỉ

bên trong C, cần và đủ thoả mãn đẳng thức sau:

nên tích phân loại Cauchy trong lân cận vô cùng nhỏ của một điểm chúng ta

có sự khai triển sau:

Ngược lại, nếu giá trị f( ) là giá trị biên giải tích bên trong C thì với

điểm z bất kỳ nằm ngoài C, tỷ số f (

)

  z

như là một hàm số tại điểm  sẽ giải

tích bên trong đường cong C và nó liên tục Khi đó, theo định lý Cauchy với mọi z:

F (z)  1 f (  ) d 

  0

2  i C   z

và suy ra đẳng thức (2.18) bằng 0 Điều này và kết hợp với điều kiện (2.17) ta

có điều phải chứng minh

Định lý được chứng minh

Định lý 2.4.

là giá trị biên của hàm số này, giải tích bên trong C, là đẳng thức:

đối với tất cả điểm z nằm ngoài đường cong C.

Xét các điều kiện trên đường cong C sao cho các giá trị của nó là nhữnggiá trị biên của hàm số giải tích bên ngoài của C Trước hết, lưu ý rằng, nếu

các hàm số f(z) là giải tích bên ngoài C, bao gồm cả điểm vô cùng và liên tục

trên đường cong của nó thì chúng ta có công thức Cauchy sau đây:

1 f (  ) d   f (z)  f () khi z nằm ngoài C

2i   

(đường cong C tính ngược chiều kim đồng hồ)

Thật vậy, nếu điểm z nằm bên ngoài C thì chúng bao quanh C thành đường cong đóng C ’ , chứa trong nó một điểm nối giữa C và C ’, chúng ta ápdụng công thức Cauchy:

C

C

f (z)  1 f ( )d

  1  f ( )d

(cả hai đường cong đều tính ngược chiều kim đồng hồ) Bởi vì, trong lân cận

vô cùng nhỏ của một điểm chúng ta có sự khai triển:

Nếu z là điểm bên trong C thì hàm số

suy ra, theo định lý Cauchy:

và kết hợp các kết quả trước đó, chúng ta có công thức (2.20)

Trên cơ sở những công thức thu được ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.5.

Theo các điều kiện của định lý 2.3, điều kiện cần và đủ để các giá trị của

1  f (  )d  a  const (2.21)

2i C   z

đối với mọi z nằm bên trong C, hơn nữa hằng số ở bên phải bằng

Để chứng minh điều này, chúng ta lưu ý rằng hàm số:

giải tích bên ngoài C, với điều kiện (2.21) cho thấy rằng giới hạn của hàm sốtrên tính từ bên trong F 

( )  0 , vì vậy theo công thức Sokhotsky ta có

F  ( )

 f ( ) Định lý đã được minh chứng

Trong kết luận đã xây dựng ở định lý 2.4 và định lý 2.5 liên quan đến

đường cong C là một đường tròn đơn vị.

Định lý 2.6.

Để các giá trị của hàm

số

f (

giải tích tương ứng a) bên trong hình tròn

tròn, cần và đủ là thoả mãn các điều kiện:

a) đối với mọi z bên trong C

1  f ( )d  a  const (2.22)

2i C   z

ở đó a bằng giá trị của hàm số khi z = 0, hoặc là

b) đối với mọi z bên ngoài C

giải tích bên ngoài hình tròn z 1 nếu F(z) giải tích bên trong hình tròn đó,

suy ra, trên đường tròn | z | = 1, với   1  giá trị giới hạn của hàm số F 1 (z)

bên ngoài giá trị giới hạn phức của hàm số F(z) từ bên trong (và ngược lại).

C

2.2 Các bài toán biên

2.2.1 Bài toán biên Hilbert – Privalov

kiện Golder với chỉ

số   1 Bắt buộc tìm hai hàm số, trong đó có f  (z)

Hãy bắt đầu với nghiệm của bài toán Hilbert (2.25) Chúng ta thấy rằng,

chỉ số hàm số a( ) là một số nguyên bằng sự biến đổi đầy đủ acgumen của

nó vòng quanh C chia cho

Đầu tiên, giả sử rằng chỉ số bằng 0, nghĩa là hàm số ln a( ) đơn trị trên

chu tuyến C Trong trường hợp này dễ dàng tìm thấy nghiệm Chúng ta xâydựng tích phân loại Cauchy:

2i C  z

2 C 2i

và kí hiệu F 

(z)

và

F  (z) là các hàm số mà tích phân xác định tương ứngbên trong và bên ngoài C, khi đó nghiệm sẽ là:

bên trong C và có giá trị giới hạn Theo công thức Sokhotsky:

khi đó tỷ lệ f  ( ) ( ) thoả mãn yêu cầu.

Chứng minh tính duy nhất của nghiệm với hằng số nhân A Giả sử tồntại nghiệm thứ hai 

(z) thì hàm số (2.28) không đi đến 0, sẽ giải tích (trongmiền tương ứng), hàm số

giải tích trong toàn bộ mặt phẳng z của hàm số g(z) Theo định lý Liouville

g (z)  const , chính điều này đã chứng minh khẳng định

Bây giờ cho ln a( ) là hàm số hỗn hợp và các chỉ số n là âm; để đơn

giản ta giả sử C chứa toạ độ gốc bên trong nó Khi đó, chỉ số hàm số:

sẽ bằng không, bởi vì:

a1 ( )   n

a( )

C arg a1 ( )   C arg    C arg a( )  2n  2n  0 ,

và điều kiện biên (2.25) được viết lại như sau:

ở đó F 1 (z) là tích phân loại Cauchy được xây dựng trên giá trị biên

(xem công thức (2.27) và (2.28), chúng ta thừa nhận A = 1)

toàn bộ mặt phẳng hữu hạn Hàm số này có cực hữu hạn bậc không lớn hơn n,bởi vì 

(z) đúng tại vô tận, nghĩa là hàm số

khi chú ý tới các công thức (2.30) và (2.32), chúng ta có thể tìm được nghiệm

cụ thể của bài toán đối với trường hợp được xét dưới dạng:

trong những hệ số đó, a 0 được xác định bởi việc viết lại giá trị f  ()

Vì vậy, nếu các chỉ số hàm số a( ) bằng -n, thì bài toán Hilbert cho ta

n+1 nghiệm độc lập tuyến tính Ký hiệu:

Cuối cùng, xét trường hợp các chỉ số n của hàm số a( ) là dương.

Trong trường hợp này, bài toán không có nghiệm giải tích trong miền tương ứng Thật vậy, chúng ta đã có các hàm số chỉ số không:

mặt phẳng, do đó là hằng số Bởi vì tại gốc toạ độ bằng không (vì trong C,

hàm số này trùng với z f2 ( ) ) cho nên nó đồng nhất bằng không

Trường hợp đầu tiên, nếu đặt b(  )  0 thì bài toán Privalov tương ứng

bài toán Hilbert, ta có nghiệm duy nhất là:

với F(z) được xác định bởi tích phân (2.27) Lời giải bài toán Privalov một lần nữa tìm tích f 

(z)   (z) f  (z) với hàm số  (z) được xác định bởi công

thức (2.37) Trên đường cong C ta có hệ thức:

f  f   af  f   b  f  f   b

Chúng ta có được điều kiện biên cho f 2 (z):

f  ( )  f  ( )  b( )eF ( ) (2.38)

Điều kiện biên này phụ thuộc bậc của hàm số f 2 (z) trên đường cong C.

Theo công thức Sokhotxky (2.15), chúng ta có thể khẳng định rằng hàm số

Vì vậy, khi các chỉ số của hàm số

Privalov đại diện có dạng:

a( ) bằng 0, nghiệm của bài toán

ta thấy rằng mọi nghiệm của bài toán Privalov thu được từ (2.41) được thayđổi bởi hằng số A

F  ( ) Cuối cùng nghiệm của bài toán Privalov

trong trường hợp chỉ số -n âm có dạng:

Cuối cùng, nếu chỉ số n của hàm số

pháp đó dẫn đến f 1 (z) tới điều kiện:

a( ) là dương thì chính phương

f  ( )  a( )

f  ( )1

và đối với f 2 (z) là điều kiện:  n 1 ,

ở đó F 1 (z) là tích phân loại Cauchy được xây dựng theo các giá trị biên

– ( ) Dễ thấy, chỉ các hàm này thoả mãn các điều kiện của chúng ta Hàm

số 2 (z) là đúng tại điểm z = 0 Nếu điểm này là 0 - điểm bậc không nhỏ hơn

n đối với A+F 2 (z).

Điều kiện sau cùng này có thể được biến đổi, nếu phân tích

chuỗi Taylor theo z Muốn vậy, chúng ta đặt:

(hằng số A được coi như bằng số hạng tự do của khai triển) Vì vậy, trong

trường hợp các chỉ số dương n bài toán Privalov có nghiệm duy nhất với điều

Trong kết luận, đề cập đến nghiệm của bài toán Hilbert - Privalov ápdụng cho các đường cong mở C Để có sự sắp xếp như vậy, ta bổ sung đườngcong C để được đường cong đóng C0 xuyên qua đường cong C  , chỗ nối ở

cuối C (C 0 = C+ C ) và trên C 

a ( )  1, b( )  0

Xét trường hợp đơn giản, khi b( ) = 0 và chỉ số hàm số a( ) được định

nghĩa như là sự thay đổi arg a( ) với sự vòng đầy đủ của điểm  theo cả hai

bờ của C theo hướng dương bằng không Sau đó, nghiệm của f 

Golder, thì nghiệm với sự xấp xỉ ở cuối của C sẽ có bậc hữu hạn nhỏ hơn 1

2.2.2 Công thức Keldysh – Sedov

Trên biên C của miền đơn liên D cho trước các điểm a 1 , b 1, a 2 , b 2 , , a n ,

thực thiết lập giá trị trên các cung

cung b k a k 1 (k=1, 2,…, n;

a n+1 =a 1 ).

a k b k , còn phần ảo thiết lập giá trị trên các

Như vậy, giả sử trên trục x cho các điểm -∞ < a1 < b1 < a2 < b2 < < an <

bn < ∞ và hai hàm số thực u(x), v(x), có hữu hạn các điểm gián đoạn loại một,

và u(x) được xác định tại tất cả các khoảng (a k ,b k ), v(x) được xác định tại tất

cả các khoảng (b k , a k+1 ) (k = 1,2,…,n; a n+1 = a 1 ) Chúng ta còn giả thiết rằng

trên các đoạn (-∞, a 1 ) và (b n , ∞) hàm số v(x) thoả mãn điều kiện

v(x)  const x với  > 0 Cần phải tìm hàm f(z) giải tích trên nửa mặt

phẳng trên sao cho trên đoạn (a k , b k )

Để chứng minh điều này có nghĩa là chứng minh:

n g(z)  

có nghiệm dương trên khoảng (b n , ∞),  - bất kỳ Cho z là một điểm bất kỳ

thuộc nửa trên, bao quanh đường cong đóng C, bao gồm các đầu mút của C R:

  R , Im  0 và trục thực (-R, R) Giả sử rằng hàm số f(z) được tìm thấy,khi đó công thức Cauchy sẽ có dạng:

g( )  1 nên suy ra:

không khi R   , suy ra tỷ lệ (2.45) trong giới hạn:

f ()

2i  t  z 2

Bây giờ cuối cùng để một công thức phức hợp liên quan đến giá trị vàphải loại bỏ nó trước:

Lưu ý rằng trên khoảng (a k ,b k ), tích  t 

b k có giá trị âm, còn trên

k 1 t  a k khoảng (b k ,a k+1 ) nó có giá trị dương, suy ra hàm số g(t) trên (a k ,b k ) hoàn toàn

ảo, và trên (b k ,a k+1 ) - giá trị hợp lệ Với lưu ý này, chúng ta viết lại công thức

cuối như sau:

Như chúng ta đã biết, trên đoạn (a k , b k ) có Re f(t)=u(t), còn trên (b k ,a k+1 )

có Im f(t)=v(t) Như vậy, chúng ta có công thức Keldysh - Sedov:



ig z   t 

(trong đó có tích phân của tổng thứ hai xét trên đoạn (b k ,a k+1 ) hội tụ tới v(x)

bắt buộc phải thêm điều kiện)

Phần còn lại cho thấy rằng hàm số xác định bởi công thức này là lời giảithực sự của bài toán hỗn hợp Để làm điều này, xét một trong những tổng củacông thức (2.49)

k (t0 )g (t0 )

với z dần tới điểm t 0 trên đoạn (a k , b k )

được xác định bởi công thức Sokhotsky (2.12):