Ứng dụng sai phân giải bài toán biên của phương trình eliptic

Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn Phòng sau Đai hoc; Các thay giáo, cô giáo Khoa Tốn tồn the anh ch% em hoc viên khóa 13 chun ngành Tốn giái tích Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, đ®ng viên giúp đõ đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat suot q trình thnc hi¾n đe tài nghiên cúu khoa hoc Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hùng đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình chí báo giúp đõ em hồn thành Lu¾n văn Do thòi gian kien thúc có han nên Lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che có thieu sót nhat đ%nh Em xin chân thành cám ơn nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban hoc viên Hà N®i, tháng 11 năm 2011 Tác giá Bùi Văn Lương Lài cam đoan Em xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hùng, Lu¾n văn Thac sy chun ngành Tốn giái tích vói đe tài "ÚNG DUNG SAI PHÂN GIÁI BÀI TỐN BIÊN CÚA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC" đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân tác giá, khơng trùng vói bat cú Lu¾n văn khác Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n Lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn! Hà N®i, tháng 11 năm 2011 Tác giá Bùi Văn Lương Mnc lnc Lài nói đau Chương Các khái ni¾m bán ve phương trình đao hàm riêng 1.1 Các kí hi¾u đ%nh nghĩa chung .6 1.1.1 Ve mien Rn 1.1.2 Ve đao hàm 1.1.3 Ve không gian 1.1.4 Đ%nh nghĩa phương trình đao hàm riêng 1.1.5 Các phương trình đ¾c bi¾t 1.2 Phân loai phương trình đao hàm riêng .9 1.3 Các tốn biên cna phương trình Eliptic 10 Chương Phương trình sai phân .11 2.1 Các khái ni¾m bán 12 2.1.1 Đ%nh nghĩa 12 2.1.2 Tính chat cna sai phân 14 2.2 Phương trình sai phân tuyen tính 17 2.2.1 Đ%nh nghĩa 17 2.2.2 Nghi¾m 18 2.2.3 Tuyen tính hóa 23 2.3 Phương trình sai phân tuyen tính cap m®t .25 2.3.1 Đ%nh nghĩa 25 2.3.2 Nghi¾m 25 2.3.3 M®t so phương pháp tìm nghi¾m riêng x∗ cna phương trình sai phân tuyen tính cap m®t khơng thuan nhat 26 2.3.4 Phương trình sai phõn tuyen tớnh cap mđt vúi hắ so bien thiên 29 2.4 Phương trình sai phân tuyen tính cap hai 31 2.4.1 Đ%nh nghĩa 31 2.4.2 Nghi¾m 32 2.4.3 Phương trình sai phân tuyen tính cap hai vói h¾ so bien thiên 35 Chương Giái tốn biên phương trình Eliptic bang phương pháp sai phân 38 3.1 Sai phân hóa tốn biên cna phương trình Eliptic 38 3.1.1 Bài tốn biên Đirichlê 38 3.1.2 Nhung bưóc vi¾c sai phân hóa tốn biên Đirichlê 39 3.1.3 Thí du 44 3.1.4 Bài toán biên Nơman Sai phân hóa biên ki¾n ∂u/∂n 45 3.2 Phương pháp giái h¾ phương trình sai phân cna tốn biên phương trình Eliptic 48 3.2.1 Vài đieu ý 48 3.2.2 Ve vi¾c giái l¾p h¾ phương trình đai so tuyen tính 52 3.2.3 Phép l¾p Iacơbi phép l¾p Zayđen 55 3.2.4 Phép giám dư han ke tiep (phép l¾p SOR) 57 3.2.5 Phép l¾p ln hưóng (phép l¾p ADI) 60 3.2.6 Các phép l¾p khoi .64 3.3 Sn h®i tu cna tốn biên sai phân phương trình Eliptic 66 3.3.1 Đưòng loi chung đe chúng minh sn h®i tu 66 3.3.2 Cách chúng minh cu the 67 Ket lu¾n 70 n Tài li¾u tham kháo 71 Lài nói đau Phương trình đao hàm riêng đưoc nghiên cúu lan đau tiên vào giua the ký 18 công trình cna nhung nhà tốn hoc noi tieng Ơle, Đalambe, Lagrăng Laplaxơ m®t cơng cu quan đe mơ tá mơ hình cna v¾t lý hoc Nhung tốn có n®i dung tương tn van đưoc nghiên cúu đen t¾n ngày m®t n®i dung bán cna lý thuyet phương trình đao hàm riêng Chí đen giua the ký 19 đ¾c bi¾t cơng trình cna Riemann, phương trình đao hàm riêng mói tró thành công cu manh nhung lĩnh vnc khác cna tốn hoc lý thuyet Phương trình đao hàm riêng thưòng xun xuat hi¾n tốn úng dung cna lý thuyet thuý đng hoc, c hoc long tỳ, iắn hoc, đi¾n – tù trưòng Đa so tốn rat phúc tap, khơng có phương pháp giái Nhieu tốn khơng có nghi¾m theo nghĩa co đien Van đe tìm nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng nhieu không the không can thnc hi¾n moi trưòng hop Bói v¾y nhieu trưòng hop ta chí tìm đưoc nghi¾m gan cna phương trình đao hàm riêng tù xuat hi¾n phương pháp đe giái gan phương trình Phương pháp sai phân (hay goi phương pháp lưói) m®t nhung phương pháp đưoc áp dung r®ng rãi nhieu lĩnh vnc khoa hoc, ky thuắt Nđi dung cna nú l dan oi tưong can xét ve vi¾c giái phương trình sai phân M®t nhung úng dung cna phương pháp giái tốn biên phương trình đao hàm riêng, có phương trình Eliptic m®t nhung phương trình đao hàm riêng quan Vói mong muon đưoc tìm hieu ky úng dung cna sai phân, vói sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Nguyen Văn Hùng, tơi xin giói thi¾u đe tài: “ÚNG DUNG SAI PHÂN GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC” Chương Các khái ni¾m bán ve phương trình đao hàm riêng 1.1 Các kí hi¾u đ%nh nghĩa chung 1.1.1 Ve mien Rn R = x = (x1, x2, , xn) | xi ∈ R, i = 1, n n 21 Chuan "x" xi n = i=1 Tích vơ hưóng: x.y = n i=1 n xiy i Hình cau mó tâm a ∈ R , bán kính r > Kí hi¾u: Br(a) ho¾c B(a, r); B(a, r) = {x ∈ Rn : "x − a" < r} Ω ⊂ Rn m®t mien ⇔ Ω mó liên thơng r Π2 Wn the tích cna Br(a) Rn, Wn n = Γ + 1.1.2 Ve đao hàm Đa chí so: m®t b® α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn Khi b¾c cna α so |α| = α1 + α2 + · · · + αn Đao hàm cap α cna hàm so u = u(x), x ∈ Rn là: ∂ α|u D u(x) = α1 |α2 α ∂x ∂x ∂x n α n P (αk) = (I − αkA1) (I + αkA2) −1 (I − αkA2) (I + αkA2) −1 Goi λ(A1), λ(A2) giá tr% riêng cna A1, A2 giá tr% riêng cna P (αk) − αkλ(A1) × λ[P (αk)] + λ(A ) = αk αk − αkλ(A2) + λ(A ) (3.58) Phộp lắp luõn húng l mđt phộp l¾p khơng dùng Dùng kí hi¾u ó (3.32), đoi vói phộp lắp ny k = P (k) ì P (k1) × × P (α0) , ρ(φk) = ρ[P (αk)] × ρ[P (αk−1)] × × ρ[P (α0)] Pixơman, Rêchfo giái toán: chon dãy α0, α1, , αk cho ρ(φk) có giá tr% bé nhat Ket vói α0, α1, , αk chon v¾y phộp lắp luõn húng hđi tu nhanh hn rừ rắt so vói phép l¾p SOR Ngồi có the nh¾n thay rang sn ln hưóng can đe cho phộp lắp hđi tu Thắt vắy, cho i(A1) l mđt giá tr% riêng cna A1, λj (A2) m®t giá tr% riêng cna A2 Giá tr% riêng tương úng cna P (αk) − αkλi(A1) × − αkλj (A2) λ[P (αk)] + λ ) λ ), α (A (A = +α k i k j (3.59) ó λj (A1), λj (A2) đeu không âm Ta thay phân so ó ve phái cna (3.59) đeu có giá tr% tuy¾t đoi khơng lón đơn v%, |λ[P (αk)]| ≤ Nhưng neu ta khơng ln hưóng mà cú giu cho the an ln ó m®t hưóng nhat đ%nh, hưóng x chang han, |λ[P (αk)]| = − αkλj (A2) + λ (A ) α k i Vói nhung i, j ve phái có the lón đơn v%, khien cho phộp lắp khụng hđi tu 3.2.6 Cỏc phộp l¾p khoi Các phép l¾p ke đeu nhung phép l¾p điem, bói phép l¾p ay thành phan cna U đưoc súa tùng điem m®t Bây giò ta xét phép l¾p khoi nhung phép l¾p thành phan cna U đưoc súa tùng nhóm m®t Vói sơ đo năm điem, ma tr¾n A thưòng có dang ba đưòng chéo khoi (xem Hình 3.8 3.9): D1 −F1 −E2 D2 −F2 · A= , · · −Eq−1 Dq−1 −Fq−1 −Eq Dq D1, , Dq nhung ma tr¾n ba đưòng chéo, khoi −Ej, −Fj nhung ma tr¾n đưòng chéo Giá sú, tương úng vói sn chia khoi cna A trên, vectơ U, B đưoc chia thành V β V2 U= · β2 , B= · · · · · Vq βq Như v¾y h¾ AU = B viet dưói dang chia thành khoi là: −F1 D1 −E2 β V2 β2 −F2 D2 · V1 · · · = · · −Eq−1 Dq−1 −Fq−1 · · −Eq Vq βq · Dq (3.60) Trong phép l¾p khoi ngưòi ta xem moi khoi cna (3.60) m®t “phan tú”, vói cách xem ay, ngưòi ta áp dung cho h¾ (3.60) phép l¾p Iacơbi, ho¾c phép l¾p Zayđen, ho¾c phép giám dư q han ke tiep Vói phép l¾p Iacơbi (khoi) V (k+1) Ej (k) = j −1 D vói phép l¾p Zayđen (khoi) Vj j (k+1) =D j j−1 (3.61) + Fj Vj+1 + βj (k+ 1) −1 ; (k) V (k) j (Ej V − j+1 + Fj V + βj ); (3.62) vói phép l¾p giám dư han ke tiep (khoi) [xem 3.46] (k+1) (k) (k V ) (k+1) j = Vj − ωD−1 j Ej V j− + Fj V j+ − βj , (ω − tham so giám dư) (3.63) Trong 3.61 – 3.63, Dj ma tr¾n ba đưòng chéo V¾y muon có Vj (k+1) ta can giái nhung h¾ phương trình vói ma tr¾n ba đưòng chéo Vi¾c ay có the làm theo phép khú đuoi, ó điem Các phép l¾p khoi hđi tu nhanh hn cỏc phộp lắp iem tng ỳng Ngồi phép l¾p khoi ti¾n dùng cho máy tính đi¾n tú giái nhung tốn rat lón Đó đoi vói nhung tốn vắy cỏc giỏ tr% trung gian phỏi lu ú bđ nhó ngồi Khi đưa chúng tù b® nhó ngồi vào bđ nhú trong, hoắc tự bđ nhú bđ nhó ngồi, vói phép l¾p khoi ta se đưa chúng tùng loat m®t (úng vói tùng khoi m®t) Làm the nhanh đoi vói phép l¾p điem, ó phép l¾p điem ta phái đưa giá tr% trung gian tùng m®t 3.3 SN h®i tn cúa tốn biên sai phân phương trình Eliptic 3.3.1 Đưàng loi chung đe chNng minh sN h®i tn Trong phan 3.1 ta thay toán biên vi phân cho hàm u xác đ%nh G bang toán biên sai phân tương úng cho hàm U xác đ%nh Gh ⊂ G Bài toán biên sai phân ay đưa đen h¾ phương trình đai so tuyen tính AU = B mà cách giái đưoc xét ó phan 3.2 Vì u xác đ%nh G xác đ%nh Gh V¾y Gh ta có hàm vectơ 1 U u U2 u2 · U= , u= · · · · · UN uN Bài tốn biên sai phân can phái h®i tu, túc vectơ sai so ε := U −u can phái bé h, l bé ε phái → h, l → Trong phan ta chúng minh sn h®i tu ay Trưóc vào chi tiet, ta phác qua đưòng loi chúng minh Theo (3.14) h2LhUmn = h2fmn (3.64) Ta se tìm cách tính h2Lhumn Giá sú ta đưoc h2Lhumn = h2δmn (3.65) Vì Lh tốn tú tuyen tính tù (3.64), (3.65) h2LhUmn − h2Lhumn = h2Lhεmn = h2(fmn − δmn) M¾t khác, tù vi¾c sai phân hóa biên ki¾n ta có the ưóc tính giá tr% cna sai so εmn = Umn − umn (m, n) ∈ Γh V¾y sai so ε thóa mãn tốn biên sai phân  h2L ε h mn = h (fmn − δmn), [(mn) ∈ Gh],  εmn cho trưóc (3.66) Γh Bài toán toán biên (3.17) cho hàm U , chí khác ó giá tr% cna ve phái cna biên ki¾n Tù tốn ta có the ưóc tính đưoc ε ú ket luắn oc ve sn hđi tu cna bi toán biên sai phân 3.3.2 Cách chNng minh cn the Tù (3.7) – (3.12) de nh¾n thay Lhumn = Lumn + O(h2 + l2) = fmn + O(h2 + l2), h2Lhumn = h2fmn + h2O(h2 + l2) Trù vói (3.64): h2Lhεmn = h2O(h2 + l2), [(mn) ∈ Gh] (3.67) M¾t khác, Γh, εmn se bang 0, ho¾c bang O(h+l), ho¾c bang O(h2 + l2), tùy theo ta sai phân hóa biên ki¾n bang (3.4), (3.5) ho¾c (3.24) V¾y nói chung ta cho εmn = O(hq + lq), (q ≥ 1), [(mn) ∈ Γh] (3.68) Bài toán biên (3.66) cho ε đưoc viet cu the thành (3.67), (3.68) Ta tách toán biên (3.67), (3.68) thành toán biên cho V Z là:   (3.69) h2LhVmn = 0, [(mn) ∈ Gh], V mn = εmn = O(hq + lq), [(mn) ∈ Γh)];  2 2  h2 L Z h mn = h Lhεmn = h O(h + l ), [(mn) (3.70) ∈ Gh],  Zmn = O, [(mn) ∈ Γh)] Rõ ràng nghi¾m ε cna tốn biên (3.67), (3.68) se bang tong nghi¾m cna tốn biên (3.69) (3.70) Ta xét tốn biên (3.69) Theo (3.15) phương trình viet đưoc thành Vmn = T αmn Đ N B n + nVm+1,n + αmnVm,n−1 + αmnVm,n+1 αmnVm−1, αm T Khi h, l đn bé αmn âm, α m , n α Đ mn, α N B mn, mnα đeu dương Do vói h, l đn bé, h¾ so ó ve phái đeu dng Do tớnh ũng chộo trđi cna ma trắn A, de dàng nh¾n thay |Vmn| < max (|Vm−1,n| , |Vm+1,n| , |Vm,n−1| , |Vm,n+1|) Tù ta ket lu¾n: Giá tr% tuy¾t đoi lón nhat cna Vmn tốn (3.69) chí có the đat đưoc ó biên Γh Ta xét lai tốn biên (3.70) Vì Zmn = Γh neu viet toán (3.70) dưói dang h¾ phương trình đai so tuyen tính AZ = β β vectơ N - chieu mà thành phan ve phái cna phương trình đau tiên cna (3.70) Neu ta dùng chuan "Z" = |Zi| theo max 1≤i≤N cách đánh giá chuan cna ma tr¾n ngh%ch đáo A−1 < KO(h−2), K- hang so V¾y "Z" ≤ A−1 "β" ≤ KO(h−2)h2O(h2 + l2) = KO(h2 + l2) Vì ε = V + Z "ε" ≤ "V " + "Z" ≤ O(hq + l q ) + KO(h2 + l2), (q ≥ 1) V¾y sai so ε := U − u đai lưong nhó b¾c vói h, l; h, l → ε → 0, túc tốn sai phân cho hàm U h®i tu Ket luắn Luắn ó trỡnh by mđt so van đe sau đây: Các khái ni¾m bán ve phương trình đao hàm riêng, phân loai phương trỡnh ao hm riờng, v giúi thiắu mđt so bi tốn biên cna phương trình Eliptic Các khái ni¾m tính chat bán cna sai phân; Đ%nh nghĩa v mđt so %nh lý ve nghiắm cna phng trỡnh sai phân tuyen tính, đ¾c bi¾t phương trình sai phân tuyen tính cap m®t cap hai Phương pháp sai phân hóa tốn biên cna phương trình Eliptic Các phép l¾p giái h¾ phương trình sai phân cna tốn biên phương trình Eliptic như: phép l¾p Iacơbi, phép l¾p Zayđen, phép l¾p SOR (phép giám dư q han ke tiep), phép l¾p ln hưóng, phộp lắp khoi Chỳng minh sn hđi tu cna tốn biên sai phân cna phương trình Eliptic Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Pham kỳ Anh, Phan Văn Hap, Hoàng Đúc Nguyên, Lê Đình Th %nh, Nguyen Cơng Th (1990), Giáo trình só phương pháp tính, t¾p I, t¾p II, NXB ĐHTH Hà N®i [2] Phan Văn Hap, Hồng Đúc Ngun, Lê Đình Th%nh (1996),Phương pháp tính (phan t¾p), NXB Khoa hoc v Ky thuắt H Nđi [3] Phan Vn Hap, Nguyen Quý Hý, Ho Thuan, Nguyen Công Thuý (1970), Cơ só phương pháp tính, NXB Đai hoc Trung hoc chuyờn nghiắp H Nđi [4] Lờ ỡnh Th%nh (1997), Dnng hàm Grin cho h¾ phương trình sai phân, t¾p II, NXB HTH H nđi [5] Lờ ỡnh Th%nh, ắng ỡnh Châu, Lê Đình Đ%nh, Phan Văn Hap (2002), Phương trình sai phân m®t so úng dnng, NXB Giáo duc [6] Lê Đình Th%nh, Lê Đình Đ%nh (2004), Phương pháp sai phõn, NXB HQG H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [7] M Costabel, M Dauge (1993), General edge asymtotics of solutions of second order Elliptic boundary value problems I, Proc Toy Soc Edinburgh [8] Y Egorov and V A Kondratiev (1996), On spectral theory of Elliptic operators, Birkhauser, Basel-Boston-Berlin [9] B A Plamenevskii (1999), On the Dirichlet problem for the wave equation in the cylinder with edges, St Peterburg Math J 10 (1999) ... sai phân, ta goi tat sai phân huu han sai phân goi sai phân cap sai phân Đ%nh nghĩa 2.2 Ta goi sai phân cap cna hàm so xn sai phân cna sai phân cap 1, nói chung sai phân cap k cna hàm so xn sai. .. Phương trình sai phân tuyen tính cap hai vói h¾ so bien thiên 35 Chương Giái toán biên phương trình Eliptic bang phương pháp sai phân 38 3.1 Sai phân hóa tốn biên cna phương trình Eliptic. .. Chương Phương trình sai phân Phương pháp sai phân phương pháp đưoc áp dung r®ng rãi nhieu lnh vnc khoa hoc, k thuắt Nđi dung cna đưa tốn can xét ve vi¾c giái phương trình sai phân ho¾c h¾ phương trình