Phương trình Eliptic với hệ số biến thiên trong Rd

B ® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I HỒNG TH± KIM OANH PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VéI Hf SO BIEN THIÊN TRONG Rd LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN H6C HÀ N®I, 2016 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I HỒNG TH± KIM OANH PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VéI Hf SO BIEN THIÊN TRONG Rd Chuyên ngành: Toán giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯ6I HƯ6NG DAN KHOA H6C: TS NGUYEN HUU THO Lèi cám ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cúa TS Nguyen Huu Tho Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói TS Nguyen Huu Tho, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tác giá hồn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, Thay Cơ giáo day cao hoc chun ngành Tốn Giái tích, Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưòi thân ln đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá q trình hoc t¾p hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2016 Tác giá Hồng Th% Kim Oanh i Lèi cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cúa TS Nguyen Huu Tho, lu¾n văn Thac sy chun ngành Tốn Giái tích vói đe tài " Phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên Rd" tn làm Các ket tài li¾u trích dan đưoc chí rõ nguon goc Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cúa nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2016 Tác giá Hoàng Th% Kim Oanh ii Mnc lnc Lèi cám ơn i Lèi cam đoan ii Lèi mé đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach 1.2 Đa chí so 1.3 Hàm trơn hóa 1.4 Đ%nh lý giá tr% trung bình 2.3 Phương trình elliptic véi h¾ so bien thiên Rd 11 2.1 Tốn tú elliptic .11 2.2 Khụng gian Hoă lder .13 Bat thúc n®i suy 16 2.4 Hoă lder 2.5 2.6 Ưóc lưong tiên nghi¾m Schauder 20 Tính quy cúa Lu dan đen tính quy cúa u .24 2.7 2.8 Tính giái đưoc cúa phương trình elliptic b¾c hai .27 Trưòng hop phương trình b¾c hai Lu − zu = f vói so phúc z32 2.9 Tính giái đưoc cúa phương trình elliptic cap cao 36 18 Ket lu¾n Tài li¾u tham kháo 41 41 Lèi mé đau Lí chon đe tài Trong lý thuyet phương trình đao hàm riêng, tốn tú elliptic tong qt hóa cúa tốn tú Laplace Chúng đưoc xác đ%nh bói đieu ki¾n: h¾ so cúa đao hàm b¾c cao nhat dương, tù bieu trưng cúa ngh%ch, túc se khơng ton tai hưóng đ¾c trưng thnc Tốn tú elliptic đ¾c trưng lý thuyet the v% chúng thưòng xuat hi¾n tốn ve tĩnh đi¾n, hoc liên tnc Trong mơ hình cúa tốn thnc te nhieu trưòng hop u cau can phái nghiên cúu phương trình vi phân đao hàm riêng dang elliptic Vói mong muon đưoc tiep c¾n tói lý thuyet ve phương trình elliptic, đưoc sn hưóng dan cúa Tien sy Nguyen Huu Tho, tơi chon đe tài cho lu¾n văn cúa là: " Phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên Rd." Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu tong quan ve phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên d R Nhi¾m nghiên cNu + Trình bày khái niắm toỏn tỳ elliptic tong quỏt, ve khụng gian Hoălder v bat ang thỳc nđi suy + Trong luắn văn tác giá se trình bày ve tính quy cúa Lu dan tói tính quy cúa u + Kháo sát ve tính giái đưoc cúa phương trình elliptic cap hai vói h¾ so bien thiên + Kháo sát tính giái đưoc đoi vói phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên cap lón hai Đoi teng v pham vi nghiờn cNu + Khụng gian Hoălder + Phương pháp liên tnc + Toán tú elliptic + Phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên Rd Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet, thu th¾p tài li¾u, đoc phân tích, tong hop đe nhắn oc mđt nghiờn cỳu ve mđt so van e đoi vói phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên Rd Đóng góp cúa đe tài Trình bày mđt cỏch cú hắ thong ve phng trỡnh elliptic vúi h¾ so bien thiên Rd Chương Kien thNc chuan b% (Các kien thúc chương đưoc trích dan yeu tù tài li¾u [3] [4].) 1.1 Không gian Banach Cho X không gian tuyen tính thnc Đ%nh nghĩa 1.1.1 Ánh xa "." : X → [0, ∞) đưoc goi chuan neu (i) "u + v" ≤ "u" + "v" , ∀u, v ∈ X (ii) "λu" = |λ| "u" , ∀u ∈ X, λ ∈ R (iii) "u" = ⇔ u = Bat thúc (i) goi Bat thúc tam giác Khơng gian tuyen tính trang b% chuan đưoc goi khơng gian tuyen tính đ%nh chuan ∞ Đ%nh nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy {uk}k= ⊂ X h®i tn đen u ∈ X neu lim k→∞ "uk − u" = 0, ký hi¾u uk → u Đ%nh nghĩa 1.1.3 (i) Dãy {uk} ∞ k= ⊂ X đưoc goi m®t dãy Cauchy neu vói moi ε > 0, ∃N > cho "uk − ul" < ε, ∀k, l ≥ N (ii) X đay đú neu moi dãy Cauchy X đeu h®i tn, có nghĩa vói ∞ ∞ {uk}k= ⊂ X dãy Cauchy, ton tai u ∈ X cho {uk}k= h®i tn đen u 1 (iii) Khơng gian Banach X khơng gian tuyen tính đ%nh chuan đay đú Đ%nh nghĩa 1.1.4 Ta nói X tách đưoc neu X chỳa mđt em oc trự mắt X 1.2 Đa chí so Ký hi¾u đa chí so mđt ký hiắu toỏn hoc n giỏn húa cỏc cụng thúc tính tốn nhieu bien Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho m®t đa chí so n− chieu m®t b® n− so nguyên không âm α = (α1, α2, , αn) T¾p tat cá đa chí so n− chieu ký hiắu l Nn Mđt so tớnh chat Cho đa chí so α, β ∈ Nn x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, đó: • Tong hi¾u: α ± β = (α1 ± β1, α2 ± β2, , αn ± βn) • Thú tn riêng: Neu ta lay m®t cách hình thúc z = ∞, |pz| tró thành ij i j I (ξ, x) := a ξ ξ + θ Khi arg |θ| ≤ π/4, 2 I (ξ, x) ≥ a ijξiξj + 2−1/2 ≥ κ |ξ| + 2−1/2 + |ξ| ≥ κ1 Vói π/4 ≤ arg |θ| ≤ η ta có Imθ ≥ (sin η) ∧ sin (π/4) Do I (ξ, x) ≥ (sin η) ∧ sin (π/4) vói ξ bat kỳ Cũng trưòng hop I (ξ, x) ≥ κ |ξ| /2 vói |ξ| ≥ 2/κ Như v¾y, vói π/4 ≤ arg |θ| ≤ η ta có I (ξ, x) ≥ κ2 , ∀ξ + |ξ| vói κ2 = κ2 (κ, η) > Khi |z| lón, |pz| dan tói I (ξ, x) Tù đó, z ∈ Eη |z| đú lón, chang han |z| ≥ z1, theo Bo đe 2.1.1 tốn tú Lz elliptic hang so elliptic cúa b% ch¾n giá thiet cúa áp a, η Đoi vói |z| v¾y, chuan cúa bz , cz khụng gian Hoălder thớch hop l b% ch¾n đeu Do đó, Đ%nh lý 2.5.1 ta có the lay hang so λ0 chung cho tat cá Lz vói |z| ≥ z1 z ∈ Eη Sau chí can xác đ%nh z0 = z1 + λ2, , áp dnng Đ%nh lý 2.6.1 cho λ lay λ = | z| Lz Và tù ta nh¾n đưoc ket q ve tính giái đưoc trưòng hop đ%nh lý dưói Đ%nh lý 2.8.2 Giá sú rang giá thiet cúa Đ%nh lý 2.8.1 thóa mãn lay hang so z0 > tù đ%nh lý Khi vói z ∈ Eη mà |z| ≥ z0, vói f ∈ C k+δ R d ln ton tai nghi¾m nhat u ∈ C k+2+δ R d cúa phương trình Lu (x) − zu (x) = f (x) , x ∈ Rd Chúng minh Đ%nh lý 2.8.1 suy rang chí can xét trưòng hop k = Trong trưòng hop chí can áp dnng phương pháp liên tnc Co đ%nh z ∈ Eη ∩ {|z| ≥ z0} lay đưòng cong trơn bat kỳ z (t) ∈ Eη ∩ {|z| ≥ z0} , t ∈ [0, 1] cho z(1) = z z(0) thnc Khi vói tốn tú L − z(t), ta l¾p lai chúng minh cúa Đ%nh lý 2.7.2 sau ý rang theo đ%nh lý phương trình Lu − z(0)u = f giái đưoc t¾p nghi¾m tương đương T khác rong Đ%nh lý đưoc chúng minh Ta có h¾ q trnc tiep cúa đ%nh lý sau H¾ 2.8.1 Neu a, b, c, f vi vô han đao hàm cúa chúng b% ch¾n, ket tương tn van đoi vói nghi¾m u cúa phương trình Lu − zu = f Chú ý 2.8.1 Lay so nguyên k ≥ hang so K > Đ%nh lý 2.8.2 cho ta thay: neu |a, b, c|k+δ ≤ K lay z0 > tù Đ%nh lý 2.8.2, vói z ∈ Eη, |z| ≥ z0 tốn tú z−L:C k+2+δ R d →C k+δ R d ngh%ch Hơn nua, neu ta ký hi¾u Rz tốn tú ngưoc, theo Đ%nh lý 2.8.1 se ton tai hang so N chí phn thu®c vào κ, η, δ, K, d, z0 cho vói f ∈ Ck+δ Rd ta có [Rzf ]k+2+δ + | z| (k+2+δ)/ |Rz f|0 ≤ N | z| (k+δ)/ |f |k+δ Bang phép n®i suy, ta đat đưoc vói r ≤ k + + δ đánh giá sau: [Rzf ]r ≤ Nz r/2−1 r/2−1 |f |k+δ , |Rz f|r ≤ |f |k+δ Nz Đ¾c bi¾t, ta có |Rz f|2 ≤ N |f |δ , |Rz f|1 ≤ |z| − |Rz f|1+δ ≤ |z| (δ−1)/2 1/ N |f |δ , |Rz f|δ ≤ |z| N |f |δ , −1+δ/ N |f |δ Đ%nh lý 2.8.2 suy rang toán tú Rz khơng phn thu®c k δ 2.9 Tính giái đưec cúa phương trình elliptic cap cao Trưóc het nhac lai m®t ket cúa phương trình elliptic vói h¾ so hang Đ%nh lý 2.9.1 Cho L = L (x) = |α|≤m aα(x)Dα Xét so nguyên k “ < δ < Khi ton tai hang so N cho vói u ∈ Ck+m+δ (Rd) so thnc λ ta có [u]k+m+δ + |λ|k+m+δ|u|0 ™ N ([Lλu]k+δ + |λ|k+δ|Lλu|0) Phan cuoi cúa lu¾n văn dành cho vi¾c trình bày ve tính giái đưoc cúa phương trình elliptic b¾c cao vói h¾ so bien thiên Đ%nh lý 2.9.2 Cho L = L (x) = |α|≤m aα (x) Dα m®t tốn tú elliptic đeu so nguyên k ≥ Giá thiet rang aα ∈ Ck+δ Rd vói α bat kỳ Xét hang so λ0 chí phn thu®c vào hang so elliptic κ, m, δ, d cnc đai cúa | aα|δ Đ%nh lý 2.5.1, lay so thnc λ cho |λ| ≥ λ0 Khi vói f ∈ Ck+δ Rd ln ton tai nghi¾m nhat u ∈ Ck+m+δ Rd cúa phương trình Lλu (x) = f (x) , x ∈ Rd Chúng minh Tính nhat cúa nghi¾m suy tù Đ%nh lý 2.5.1 Tù Đ%nh lý 2.6.1 ta thay rang chí can xét trưòng hop k = Đe chúng minh sn ton tai ta chia thành bon bưóc Ta lai áp dnng phương pháp liên tnc Chú ý rang, neu L toán tú elliptic cap hai vói x ta có L = − 1, vói x khác ta lai có L = −6 + Cách noi L vói − bói tL + (1 − t) (6 − 1) se khơng cho ta m®t ho tốn tú elliptic đeu Do v¾y ta se phái sú dnng ho tốn tú khác Bưéc Giá sú aα khơng phn thuđc x Thỡ ta nhắn oc ket quỏ tự Đ %nh lý 2.9.1 Bưéc Giá thiet rang aα(x) ∈ C Rd Vói t ∈ [0, ∞] (túc t có the nh¾n giá tr% bang ∞), đ%nh nghĩa ζ (t, x) = tx , t+| x| aα (t, x) = aα (ζ (t, x)) , (t, x) m−|α|Dα t Lλ = λ α a |α|≤m (chú ý: ζ (∞, x) := x) goi T t¾p tat cá điem t ∈ [0, ∞] mà tai phát bieu cúa đ%nh lý (vói Lt λ the cho Lλ) Đe ý rang aα (0, x) = aα (0) Do đó, t¾p T khác rong Tiep theo ta se chúng minh rang |ζ (t, x) − ζ (t, y)| ≤ |x − y| (2.24) vói t, x, y bat kỳ De thay, ta chí can chí rang |gradxζ (t, x)| ≤ vói x ƒ= Vói x ƒ= đơn v% l ta có l·x tl tx |l · gradxζ (t, x)| = − |x| t + |x| t + |x| t t |x| ≤ + t + |x| (t + |x|) t |x| ≤ + = t + |x| t + |x| Và ta nh¾n đưoc (2.24) Bat thúc (2.24) cho ta thay, trưòng hop riêng [aα (t, ·)]δ ≤ [aα]δ , theo Đ%nh lý 2.5.1 đánh giá Đ%nh lý 2.9.1 thóa mãn vói m®t hang so N cho tat cá nghi¾m cúa phương trình Lt u = f Đieu λ suy T t¾p đóng Do đó, đe hồn thành bưóc chí can chúng minh T ∩ [0, ∞) mó [0, ∞) Lay điem t0 ∈ T ∩ [0, ∞) đ%nh nghĩa tốn tú tuyen tính R : Cm+δ Rd → C δ Rd t cho bien f ∈ C δ Rd thành nghi¾m cúaλL u = f Tù giá thiet R xác đ%nh theo Đ%nh lý 2.5.1 b% ch¾n Bây giò đe chí rang vói t ∈ [0, ∞) dan đen t0 , phươλng trình Lt u = f giái đưoc, ta viet phương trình dưói dang .f + L u = λ λ − Lλ u, t0 t Lt0 t u = Rf + R L − Lt u, λ t ta se chúng tó rang tốn tú R L − Lt ∈ λ [0, ∞) dan tói t0 λ λ co Cm+δ Rd vói t Theo ó ta có t t R L − L u t t ≤ N L − L λ λ λ λ m+δ u δ vói hang so N khơng phn thu®c t, u Tiep theo t L − t λ u δ Lλ 0 δ δ α α α α α α ≤ {[a (t0, ·) − a (t, |D u| + |a (t0, ·) − a (t, |D u| } |α|≤m ·)] ·)| |aα (t0, ·) − aα (t, ≤ N ·)| |ζ (t0, x) − ζ (t, x)| ≤ N |t0 − t| supx |ζt| ≤ Cũng v¾y, neu |x − y| ≤ |t0 − t| , (do tính trơn cúa aα) ta có I:= α |[a (t0, x) − (t, x)] − (t0, y) − (t, y)]| aα [aα aα δ |x − y| |aα (t0, x) − aα (t0, |aα (t, x) − aα (t, y)| y)| + δ ≤ |x − y| δ |x − y| ≤ N |x − y| 1−δ ≤ N |t0 − t| 1−δ Neu |x − y| ≥ |t0 − t| , I≤ α |a (t0, x) − (t, x)| aα a + α | (t0, y) − (t, y)| aα δ |x − y| |t0 − t| ≤ N | − t|1−δ ≤ δ t0 |x − y| N |x − y| δ Do v¾y, vói |t0 − t| ≤ ta có t0 L λ t − 1−δ u.δ ≤ N |u|m+δ |t0 − t| , L.λ t t R L − L u λ ≤N| u| λ |t0 − t| 1−δ m+δ m+δ Vì hang so N cuoi khơng phn thu®c t, u ta có the khang đ%nh rang toán t tú R L − Lt co vói t dan tói t0 ta hồn thành bưóc λ λ Bưéc Ta se phái xét trưòng hop tong quát chúng minh tính giái đưoc neu |λ| đú lón Vói aα(x) bat kỳ, ta xây dnng trơn hóa aεα(x) Đe ý rang [aεα]δ ≤ [aα]δ Hơn nua aεα(x) tien dan đeu tói aα(x) ε nhó dan aα(x) ∈ C δ Rd Do đó, neu ε đú nhó đoi vói tốn tú ε L = aεα(x)Dα |α|≤m hang so elliptic κε lón hơn, chang han gap rưõi hang so elliptic κ cúa L (xem Bo đe 1.1.7 [5]) đai lưong 0λε tương úng vói Lε b% ch¾n εα ∞ ¯ đeu, chang han bói λ Cuoi cùng, a b(x) ∈ C Rd Theo bưóc ta ε ¯ , f ∈ C δ Rd Hơn có the giái phươ ng t rình L u = f |λ| ≥ λ ε λ nua, chuan cúa uε Cm+δ Rd l b% chắn khụng phn thuđc vo Do ú ta có the cho qua giói han đe đat đưoc đieu mong muon Bưéc Bang phương pháp liên tnc, tính giái đưoc cúa Lλu = f vói λ, |λ| ≥ λ0 (mà vói ta có ưóc lưong tiên nghi¾m) có the đưoc suy tù tính giái đưoc vói |λ| đú lón Và v¾y đ%nh lý đưoc chúng minh hồn tồn H¾ q 2.9.1 Neu aα(x) vi vô han đao hàm cúa chúng b% ch¾n, ket q tương tn van cho nghi¾m u cúa phương trình Lλu = f Ket lu¾n Lu¾n văn nham trình bày tong qua ve phương trình elliptic vói h¾ so biên thiên Rd Lu¾n văn trình bày đưoc m®t so van đe sau: Trình bày khái ni¾m tốn tú elliptic tong qt, ve khụng gian Hoălder v bat ang thỳc nđi suy Trong lu¾n văn tác giá se trình bày ve tính quy cúa Lu dan tói tính quy cúa u Kháo sát ve tính giái đưoc cúa phương trình elliptic cap hai vói h¾ so bien thiên Kháo sát tính giái đưoc đoi vói phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên cap lón hai Do ieu kiắn ve thũi gian v trỡnh đ nghiên cúu han che nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót, kính mong q Thay Cơ ban bè đóng góp ý kien bo sung đe bán thân tác bán lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn! Tác giá xin chân thành cám ơn Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Manh Hùng (2006), Phương trình đao hàm riêng, NXB Đai hoc Sư pham Hà N®i [2] Hồng Tny(2003), Hàm thnc Giái tích hàm, NXB Đai hoc Quoc gia Hà N®i [3] Tran Đúc Vân (2003), Lý thuyet phương trình Vi phân Đao hàm riêng, Nhà xuat bỏn hoc Quoc Gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [4] L.C Evans (1998), Partical Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [5] N.V.Krylov (1996), Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Hoălder space, American Mathematical Society, Providence, Rhode Is- land ... ton tai nhat m®t hàm u ∈ C m Rd thóa mãn phương trình Còn neu vói L : Cm (Rd) → C (Rd) , m®t câu hói đ¾t li¾u vói hàm f ∈ C (Rd) có the tìm đưoc nghi¾m cúa phương trình Cm (Rd) hay khơng? Đây m®t van... nghĩa 2.1.2 Phương trình L(x, D)u = f (x)) x ∈ Rd đưoc goi phương trình elliptic neu L tốn tú elliptic Vói tốn tú elliptic L cap m, xét phương trình elliptic Lu = f Như biet, neu f ∈ C m Rd se ton... lu¾n văn cúa là: " Phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên Rd. " Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu tong quan ve phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên d R Nhi¾m nghiên cNu + Trình bày khái ni¾m