Phương trình eliptic với hệ số biến thiên trong rd

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HỒNG THỊ KIM OANH PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN TRONG Rd LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HỒNG THỊ KIM OANH PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN TRONG Rd Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hữu Thọ, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, Thầy Cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Kim Oanh i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ, luận văn Thạc sỹ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài " Phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd " tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Kim Oanh ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Đa số 1.3 Hàm trơn hóa 1.4 Định lý giá trị trung bình Phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd 11 2.1 Toán tử elliptic 11 2.2 Khụng gian Hăolder 13 2.3 Bất đẳng thức nội suy 16 2.4 Chuẩn tương đương không gian Hăolder 18 2.5 Ước lượng tiên nghiệm Schauder 20 2.6 Tính quy Lu dẫn đến tính quy u 24 2.7 Tính giải phương trình elliptic bậc hai 27 2.8 Trường hợp phương trình bậc hai Lu − zu = f với số phức z 32 2.9 Tính giải phương trình elliptic cấp cao 36 iii Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 41 iv Lời mở đầu Lí chọn đề tài Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, tốn tử elliptic tổng qt hóa tốn tử Laplace Chúng xác định điều kiện: hệ số đạo hàm bậc cao dương, từ biểu trưng khả nghịch, tức không tồn hướng đặc trưng thực Toán tử elliptic đặc trưng lý thuyết vị chúng thường xuất toán tĩnh điện, học liên tục Trong mô hình tốn thực tế nhiều trường hợp u cầu cần phải nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết phương trình elliptic, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tơi chọn đề tài cho luận văn là: " Phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd " Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày khái niệm tốn tử elliptic tổng qt, khơng gian Hăolder v bt ng thc ni suy + Trong luận văn tác giả trình bày tính quy Lu dẫn tới tính quy u + Khảo sát tính giải phương trình elliptic cấp hai với hệ số biến thiên + Khảo sát tính giải phương trình elliptic với hệ số biến thiên cấp lớn hai Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Không gian Hăolder + Phng phỏp liờn tc + Toỏn t elliptic + Phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu số vấn đề phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd Chương Kiến thức chuẩn bị (Các kiến thức chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [3] [4].) 1.1 Không gian Banach Cho X khơng gian tuyến tính thực Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ : X → [0, ∞) gọi chuẩn (i) u + v ≤ u + v , ∀u, v ∈ X (ii) λu = |λ| u , ∀u ∈ X, λ ∈ R (iii) u = ⇔ u = Bất đẳng thức (i) gọi Bất đẳng thức tam giác Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X hội tụ đến u ∈ X lim uk − u = 0, k→∞ ký hiệu uk → u Định nghĩa 1.1.3 (i) Dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X gọi dãy Cauchy với ε > 0, ∃N > cho uk − ul < ε, ∀k, l ≥ N (ii) X đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ, có nghĩa với ∞ {uk }∞ k=1 ⊂ X dãy Cauchy, tồn u ∈ X cho {uk }k=1 hội tụ đến u (iii) Không gian Banach X không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ Định nghĩa 1.1.4 Ta nói X tách X chứa tập đếm trù mật X 1.2 Đa số Ký hiệu đa số ký hiệu toán học đơn giản hóa cơng thức tính tốn nhiều biến Định nghĩa 1.2.1 Cho đa số n− chiều n− số nguyên không âm α = (α1 , α2 , , αn ) Tập tất đa số n− chiều ký hiệu Nn0 Một số tính chất Cho đa số α, β ∈ Nn0 x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , đó: • Tổng hiệu: α ± β = (α1 ± β1 , α2 ± β2 , , αn ± βn ) • Thứ tự riêng: κ > với x, ξ ∈ Rd ta ln có: aij (x)ξ i ξ j κ|ξ|2 , c(x) Hằng số κ gọi số elliptic L Không tính tổng quát ta giả sử ma trận A đối xứng Trong luận văn xét nghiệm nhận giá trị thực Người đọc không cho phép phần 1.2 lấy k = sử dụng kết phần 1.1 thay cho phần 1.2 Định lý 2.7.1 Lấy số nguyên k ≥ giả sử aij , bi , c ∈ C k+δ Rd với i, j Khi u ∈ C 2+δ Rd Lu − zu ∈ C k+δ Rd với z ∈ R ta có u ∈ C k+2+δ Rd Hơn nữa, z > [u]k+2+δ ≤ N [f ]k+δ + z −1 + z (k+δ)/2 |f |0 , z |u|0 ≤ |f |0 , (2.21) đó, f := Lu − zu số N phụ thuộc d, κ, δ chuẩn a, b, c C k+δ Rd Chứng minh Ước lượng thứ hai (2.21) suy từ Định lý 2.9.2 [5] Tiếp theo, đặt L0 u := aij Di Dj u Dễ thấy toán tử L0 − toán tử elliptic mà Định lý 2.6.1 áp dụng Do vậy, u ∈ C k+2+δ Rd u ∈ C 2+δ Rd L0 u ∈ C k+δ Rd Ta thay toán tử L0 L − z giống chứng minh Định lý 2.6.1 sau ý hiệu chúng toán tử bậc thấp so với hệ số quy Từ ta nhận chứng minh khẳng định thứ định lý Cũng từ Định lý 2.6.1 ta thấy tồn z0 ≥ phụ thuộc vào d, κ, δ 28 chuẩn a, b, c C δ Rd cho [u]k+2+δ ≤ N [L0 u − z0 u]k+δ + |L0 u − z0 u|0 (2.22) với N phụ thuộc d, κ, δ chuẩn a, b, c C k+δ Rd Hơn nữa, theo bất đẳng thức nội suy [(L0 − L) u − (z0 − z) u]k+δ + |(L0 − L) u − (z0 − z) u|0 N |u|k+1+δ + (z + 1) [u]k+δ + (z + 1) |u|0 γ [u]k+2+δ + N (γ) (z + 1)(k+δ)/2+1 |u|0 , γ > số số N (γ) phụ thuộc vào đại lượng khác Điều (2.22) cho ta cách chọn γ thích hợp cho [u]k+2+δ ≤ (1/2) [u]k+2+δ + N [f ]k+δ + |f |0 + (z + 1)(k+δ)/2+1 |u|0 , ta nhận bất đẳng thức (2.21) sau sử dụng lần hai với ý + (z + 1)(k+δ)/2+1 z −1 ≤ N z −1 + z (k+δ)/2 Định lý chứng minh hồn tồn Từ ta nhận kết tính giải sau Định lý 2.7.2 Với giả thiết Định lý 2.7.1, với z > f ∈ C k+δ Rd tồn nghiệm u ∈ C k+2+δ Rd phương trình Lu (x) − zu = f (x) , x ∈ Rd Chứng minh Tính suy trực tiếp từ Định lý 2.7.1, từ Định lý 2.7.1 ta thấy cần xét trường hợp k = Ta áp dụng phương pháp liên 29 tục Với t ∈ [0, 1] định nghĩa Lt = tL + (1 − t) ∂2 ∂ i + tb (x) + tc(x), ∂xi ∂xj ∂xi = taij (x) + (1 − t) δ ij gọi T tập tất điểm t ∈ [0, 1] mà khẳng định định lý (với Lt thay L).Theo ∈ T , T khác rỗng Rõ ràng ước lượng (2.21) với số N nghiệm phương trình Lt u − zu = f Điều suy T tập đóng Vì thế, để hồn thành chứng minh ta cần chứng minh T tập mở [0, 1] Lấy điểm t0 ∈ T ∩ [0, 1] xác định tốn tử tuyến tính R : C δ Rd → C 2+δ Rd cho với hàm f ∈ C δ Rd cho nghiệm Lt0 u − zu = f Từ giả thiết R xác định theo Định lý 2.7.1 bị chặn Bây để thấy với t ∈ [0, 1] gần t0 phương trình Lt u−zu = f giải được, viết phương trình sau Lt0 u − zu = f + Lt0 − Lt u, u = Rf + R Lt0 − Lt u, ta chứng tỏ toán tử R (Lt0 − Lt ) co C 2+δ Rd với t dần tới t0 Theo với số N độc lập với t, u ta có R Lt0 − Lt u 2+δ ≤N = N |t0 − t| · |(L − Lt0 − Lt u δ ) u|δ ≤ N1 |t0 − t| · |u|2+δ Với t cho N1 |t0 − t| ≤ 1/2, toán tử R (Lt0 − Lt ) co, định lý 30 chứng minh Chú ý 2.7.1 Lập luận dựa tính đóng tính mở T cần thiết trường hợp phức tạp Định lý 2.7.2 Trong trường hợp số N1 khơng phụ thuộc vào t0 đạt điểm t = từ điểm bắt đầu với t = sau số hữu hạn bước xác định t0 = ti+1 cho N1 |ti+1 − ti | ≤ 1/2 Hệ 2.7.1 Nếu a(x), b(x), c(x), f (x) hàm khả vi vô hạn đạo hàm với bậc tùy ý bị chặn, ta nhận khẳng định định lý nghiệm u phương trình Lu − zu = f Chú ý 2.7.2 Lấy số nguyên k ≥ số K > Các định lý 2.7.1 2.7.2 cho thấy rằng: Nếu |a, b, c|k+δ ≤ K z > tốn tử z − L : C k+2+δ Rd → C k+δ Rd − Hơn nữa, ta ký hiệu Rz tốn tử ngược với z1 > tồn số N phụ thuộc vào κ, η, δ, K, d, z1 cho f ∈ C k+δ Rd z ≥ z1 [Rz f ]k+2+δ ≤ N z (k+δ)/2 |f |k+δ , z |Rz f |0 ≤ |f |0 Từ bất đẳng thức 1−s/r [u]s ≤ N [u]s/r r |u|0 , ≤ s ≤ r, ta nhận với r ≤ k + + δ đánh giá: [Rz f ]r ≤ N z r/2−1 |f |k+δ , |Rz f |r ≤ N z r/2−1 |f |k+δ 31 Đặc biệt, ta có |Rz f |1 ≤ |z|−1/2 N |f |δ , |Rz f |2 ≤ N |f |δ , |Rz f |δ ≤ |z|−1+δ/2 N |f |δ |Rz f |1+δ ≤ |z|(δ−1)/2 N |f |δ , Ta nhận số hệ sau Hệ 2.7.2 Cho F (ξ) hàm thực khả vi liên tục Rd cho F (0) = Khi với u ∈ C Rd ta có |u|0 ≤ |f |0 , f := u+F (gradu)−u Mặt khác với g ∈ C Rd hai nghiệm thuộc lớp C Rd phương trình u + F (gradu) − u = g trùng Hệ 2.7.3 Cho F (ξ) hàm thực khả vi liên tục đến cấp hai Rd Khi với u ∈ C 3+δ Rd ta có |u|3+δ ≤ Ψ |f |1+δ , f := u + F (gradu) − u hàm số Ψ hàm hữu hạn không phụ thuộc vào u 2.8 Trường hợp phương trình bậc hai Lu − zu = f với số phức z Nghiên cứu toán tử eliptic với hệ số giá trị phức cho phép ta thu thông tin quan trọng phương trình bậc hai trường hợp có số hạng bậc nhận giá trị phức Ta lấy δ ∈ (0, 1) toán tử L mục Ta cố định số η ∈ [0, π) định nghĩa E = Eη = {z = a + ib ∈ C \ {0} : |arg z| ≤ η} 32 Trước tiên ta viết lại Định lý 2.6.1 dạng sau Định lý 2.8.1 Với số nguyên k ≥ giả thiết aij , bi , c ∈ C k+δ Rd với i, j Khi ta có u ∈ C k+2+δ Rd u ∈ C 2+δ Rd Lu − zu ∈ C k+δ Rd với a, z ∈ C Hơn nữa, tồn số z0 > phụ thuộc d, κ, η, δ chuẩn a, b, c C δ Rd cho với z ∈ Eη , |z| ≥ z0 với u ∈ C k+2+δ Rd ta có [u]k+2+δ + |z|(k+2+δ)/2 |u|0 ≤ N [f ]k+δ + |z|(k+δ)/2 |f |0 , (2.23) f := Lu − zu số N phụ thuộc d, κ, η, δ chuẩn a, b, c C k+δ Rd Để định lý trường hợp đặc biệt Định lý 2.6.1, ta viết Lu − zu = aij uxi xj + biz |z|1/2 uxi + cz |z| u, với biz = bi / |z|1/2 , cz = c/ |z| − θ, θ = z/ |z| Đặt Lz u := aij uxi xj + biz uxi + cz u, ý Lzλ u := aij uxi xj + λbiz uxi + λ2 cz u, Lz|z|1/2 u = Lu − zu Đa thức đặc trưng Lz pz (ξ, x) = −aij ξ i ξ j + √ Nếu ta lấy cách hình thức z = ∞, |pz | trở thành I (ξ, x) := aij ξ i ξ j + θ 33 −1biz ξ i + cz Khi arg |θ| ≤ π/4, I (ξ, x) ≥ aij ξ i ξ j + 2−1/2 ≥ κ |ξ|2 + 2−1/2 ≥ κ1 + |ξ|2 Với π/4 ≤ arg |θ| ≤ η ta có Imθ ≥ (sin η) ∧ sin (π/4) Do I (ξ, x) ≥ (sin η) ∧ sin (π/4) với ξ Cũng trường hợp I (ξ, x) ≥ κ |ξ|2 /2 với |ξ| ≥ 2/κ Như vậy, với π/4 ≤ arg |θ| ≤ η ta có I (ξ, x) ≥ κ2 + |ξ|2 , ∀ξ với κ2 = κ2 (κ, η) > Khi |z| lớn, |pz | dần tới I (ξ, x) Từ đó, z ∈ Eη |z| đủ lớn, chẳng hạn |z| ≥ z1 , theo Bổ đề 2.1.1 toán tử Lz elliptic số elliptic bị chặn giả thiết áp a, η Đối với |z| vậy, cỏc chun ca bz , cz khụng gian Hăolder thích hợp bị chặn Do đó, Định lý 2.5.1 ta lấy số λ0 chung cho tất Lz với |z| ≥ z1 z ∈ Eη Sau cần xác định z0 = z1 + λ20 , áp dụng Định lý 2.6.1 cho Lzλ lấy λ = |z| Và từ ta nhận kết tính giải trường hợp định lý Định lý 2.8.2 Giả sử giả thiết Định lý 2.8.1 thỏa mãn lấy số z0 > từ định lý Khi với z ∈ Eη mà |z| ≥ z0 , với 34 f ∈ C k+δ Rd tồn nghiệm u ∈ C k+2+δ Rd phương trình Lu (x) − zu (x) = f (x) , x ∈ Rd Chứng minh Định lý 2.8.1 suy cần xét trường hợp k = Trong trường hợp cần áp dụng phương pháp liên tục Cố định z ∈ Eη ∩ {|z| ≥ z0 } lấy đường cong trơn z (t) ∈ Eη ∩ {|z| ≥ z0 } , t ∈ [0, 1] cho z(1) = z z(0) thực Khi với tốn tử L − z(t), ta lặp lại chứng minh Định lý 2.7.2 sau ý theo định lý phương trình Lu − z(0)u = f giải tập nghiệm tương đương T khác rỗng Định lý chứng minh Ta có hệ trực tiếp định lý sau Hệ 2.8.1 Nếu a, b, c, f khả vi vô hạn đạo hàm chúng bị chặn, kết tương tự nghiệm u phương trình Lu − zu = f Chú ý 2.8.1 Lấy số nguyên k ≥ số K > Định lý 2.8.2 cho ta thấy: |a, b, c|k+δ ≤ K lấy z0 > từ Định lý 2.8.2, với z ∈ Eη , |z| ≥ z0 toán tử z − L : C k+2+δ Rd → C k+δ Rd khả nghịch Hơn nữa, ta ký hiệu Rz tốn tử ngược, theo Định lý 2.8.1 tồn số N phụ thuộc vào κ, η, δ, K, d, z0 cho với f ∈ C k+δ Rd ta có [Rz f ]k+2+δ + |z|(k+2+δ)/2 |Rz f |0 ≤ N |z|(k+δ)/2 |f |k+δ 35 Bằng phép nội suy, ta đạt với r ≤ k + + δ đánh giá sau: [Rz f ]r ≤ N z r/2−1 |f |k+δ , |Rz f |r ≤ N z r/2−1 |f |k+δ Đặc biệt, ta có |Rz f |2 ≤ N |f |δ , |Rz f |1 ≤ |z|−1/2 N |f |δ , |Rz f |1+δ ≤ |z|(δ−1)/2 N |f |δ , |Rz f |δ ≤ |z|−1+δ/2 N |f |δ Định lý 2.8.2 suy toán tử Rz khơng phụ thuộc k δ 2.9 Tính giải phương trình elliptic cấp cao Trước hết nhắc lại kết phương trình elliptic với hệ số Định lý 2.9.1 Cho L = L (x) = |α|≤m a α (x)Dα Xét số nguyên k < δ < Khi tồn số N cho với u ∈ C k+m+δ (Rd ) số thực λ ta ln có [u]k+m+δ + |λ|k+m+δ |u|0 N ([Lλ u]k+δ + |λ|k+δ |Lλ u|0 ) Phần cuối luận văn dành cho việc trình bày tính giải phương trình elliptic bậc cao với hệ số biến thiên Định lý 2.9.2 Cho L = L (x) = |α|≤m a α (x) Dα toán tử elliptic số nguyên k ≥ Giả thiết aα ∈ C k+δ Rd với α Xét số λ0 phụ thuộc vào số elliptic κ, m, δ, d cực đại |aα |δ Định lý 2.5.1, lấy số thực λ cho |λ| ≥ λ0 Khi với f ∈ C k+δ Rd tồn nghiệm u ∈ C k+m+δ Rd phương 36 trình Lλ u (x) = f (x) , x ∈ Rd Chứng minh Tính nghiệm suy từ Định lý 2.5.1 Từ Định lý 2.6.1 ta thấy cần xét trường hợp k = Để chứng minh tồn ta chia thành bốn bước Ta lại áp dụng phương pháp liên tục Chú ý rằng, L toán tử elliptic cấp hai với x ta có L = khác ta lại có L = − + Cách nối L với − 1, với x − tL + (1 − t) ( − 1) không cho ta họ toán tử elliptic Do ta phải sử dụng họ toán tử khác Bước Giả sử aα khơng phụ thuộc x Thì ta nhận kết từ Định lý 2.9.1 Bước Giả thiết aα (x) ∈ C Rd Với t ∈ [0, ∞] (tức t nhận giá trị ∞), định nghĩa ζ (t, x) = tx , t + |x| aα (t, x) = aα (ζ (t, x)) , Ltλ = aα (t, x) λm−|α| Dα |α|≤m (chú ý: ζ (∞, x) := x) gọi T tập tất điểm t ∈ [0, ∞] mà phát biểu định lý (với Ltλ cho Lλ ) Để ý aα (0, x) = aα (0) Do đó, tập T khác rỗng Tiếp theo ta chứng minh |ζ (t, x) − ζ (t, y)| ≤ |x − y| (2.24) với t, x, y Dễ thấy, ta cần |gradx ζ (t, x)| ≤ với x = 37 Với x = đơn vị l ta có |l · gradx ζ (t, x)| = tl tx l·x − t + |x| t + |x|2 |x| t t |x| + t + |x| (t + |x|)2 |x| t + = ≤ t + |x| t + |x| ≤ Và ta nhận (2.24) Bất đẳng thức (2.24) cho ta thấy, trường hợp riêng [aα (t, ·)]δ ≤ [aα ]δ , theo Định lý 2.5.1 đánh giá Định lý 2.9.1 thỏa mãn với số N cho tất nghiệm phương trình Ltλ u = f Điều suy T tập đóng Do đó, để hồn thành bước cần chứng minh T ∩ [0, ∞) mở [0, ∞) Lấy điểm t0 ∈ T ∩ [0, ∞) định nghĩa tốn tử tuyến tính R : C m+δ Rd → C δ Rd cho biến f ∈ C δ Rd thành nghiệm Ltλ0 u = f Từ giả thiết R xác định theo Định lý 2.5.1 bị chặn Bây để với t ∈ [0, ∞) dần đến t0 , phương trình Ltλ u = f giải được, ta viết phương trình dạng Ltλ0 u = f + Ltλ0 − Ltλ u, u = Rf + R Ltλ0 − Ltλ u, ta chứng tỏ toán tử R Ltλ0 − Ltλ co C m+δ Rd với t ∈ [0, ∞) dần tới t0 38 Theo ta có R Ltλ0 − Ltλ u m+δ ≤N Ltλ0 − Ltλ u δ với số N không phụ thuộc t, u Tiếp theo Ltλ0 − Ltλ u δ {[aα (t0 , ·) − aα (t, ·)]δ |Dα u|0 + |aα (t0 , ·) − aα (t, ·)|0 |Dα u|δ } ≤ |α|≤m Ở |aα (t0 , ·) − aα (t, ·)|0 ≤ N supx |ζ (t0 , x) − ζ (t, x)| ≤ N |t0 − t| |ζt | ≤ Cũng vậy, |x − y| ≤ |t0 − t| , (do tính trơn aα ) ta có I:= |[aα (t0 , x) − aα (t, x)] − [aα (t0 , y) − aα (t, y)]| |x − y|δ |aα (t0 , x) − aα (t0 , y)| |aα (t, x) − aα (t, y)| ≤ + |x − y|δ |x − y|δ ≤ N |x − y|1−δ ≤ N |t0 − t|1−δ Nếu |x − y| ≥ |t0 − t| , I≤ |aα (t0 , x) − aα (t, x)| |aα (t0 , y) − aα (t, y)| + |x − y|δ |t0 − t| ≤ N |t0 − t|1−δ ≤N δ |x − y| |x − y|δ Do vậy, với |t0 − t| ≤ ta có Ltλ0 − Ltλ u δ ≤ N |u|m+δ |t0 − t|1−δ , 39 R Ltλ0 − Ltλ u m+δ ≤ N |u|m+δ |t0 − t|1−δ Vì số N cuối khơng phụ thuộc t, u ta khẳng định toán tử R Ltλ0 − Ltλ co với t dần tới t0 ta hoàn thành bước Bước Ta phải xét trường hợp tổng quát chứng minh tính giải |λ| đủ lớn Với aα (x) bất kỳ, ta xây dựng trơn hóa aεα (x) Để ý [aεα ]δ ≤ [aα ]δ Hơn aεα (x) tiến dần tới aα (x) ε nhỏ dần aα (x) ∈ C δ Rd Do đó, ε đủ nhỏ toán tử Lε = aεα (x)Dα |α|≤m số elliptic κε lớn hơn, chẳng hạn gấp rưỡi số elliptic κ L (xem Bổ đề 1.1.7 [5]) đại lượng λε0 tương ứng với Lε bị chặn đều, ¯ Cuối cùng, aεα (x) ∈ C ∞ Rd Theo bước ta giải chẳng hạn λ b ¯ , f ∈ C δ Rd Hơn nữa, chuẩn uε phương trình Lελ uε = f |λ| ≥ λ C m+δ Rd bị chặn không phụ thuộc vào ε Do ta cho qua giới hạn để đạt điều mong muốn Bước Bằng phương pháp liên tục, tính giải Lλ u = f với λ, |λ| ≥ λ0 (mà với ta có ước lượng tiên nghiệm) suy từ tính giải với |λ| đủ lớn Và định lý chứng minh hoàn toàn Hệ 2.9.1 Nếu aα (x) khả vi vô hạn đạo hàm chúng bị chặn, kết tương tự cho nghiệm u phương trình Lλ u = f 40 Kết luận Luận văn nhằm trình bày tổng qua phương trình elliptic với hệ số biên thiên Rd Luận văn trình bày số vấn đề sau: Trình bày khái niệm tốn tử elliptic tổng qt, v khụng gian Hăolder v bt ng thc ni suy Trong luận văn tác giả trình bày tính quy Lu dẫn tới tính quy u Khảo sát tính giải phương trình elliptic cấp hai với hệ số biến thiên Khảo sát tính giải phương trình elliptic với hệ số biến thiên cấp lớn hai Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q Thầy Cơ bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để thân tác luận văn hoàn thiện hơn! Tác giả xin chân thành cảm ơn 41 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Hoàng Tụy(2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Đức Vân (2003), Lý thuyết phương trình Vi phân Đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] L.C Evans (1998), Partical Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [5] N.V.Krylov (1996), Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Hăolder space, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 42 ... tổng hợp để nhận nghiên cứu số vấn đề phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd Chương Kiến thức chuẩn... cho luận văn là: " Phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd " Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày khái niệm... Chương Phương trình elliptic với hệ số biến thiên Rd (Kiến thức chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [5].) 2.1 Toán tử elliptic Trong mục trình bày số khái niệm tốn tử elliptic với hệ số biến thiên