Về bài toán xác định nguồn cho phương trình poisson với điều kiện biên dirichlet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ ANH VỀ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ ANH VỀ BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC Nghệ An - 2018 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy TS Nguyễn Văn Đức Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tơi xin cảm ơn thầy chủ nhiệm lớp Toán giải tích 24 q thầy khoa Tốn Trường Đại Học Vinh nhiệt tình truyền đạt kiến thức Toán học quý báu làm hành trang cho đường tìm hiểu tốn học Nhân dịp này, Tơi xin cảm ơn quý thầy cô Trường Đại Học Kỹ thuật Vĩnh Long tạo cầu nối với Trường Đại học Vinh cho tơi bạn có điều kiện học tập chuyên ngành Giải tích Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đồng nghiệp bạn Tốn giải tích K24 tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ để tơi hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều nổ lực học tập nghiên cứu để hoàn thành luân văn Tuy nhiên, lần tiếp cận vấn đề nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, ngày 15 tháng năm 2018 Nguyễn Thế Anh Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu thường dùng luận văn Lời nói đầu Chương1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Lp 1.2 Không gian Sobolev H s với s ∈ (−∞, +∞) 11 1.3 Phương pháp chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh ví dụ 18 Chương2 Về toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet 2.1 32 Một số kết toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet 2.2 32 Phương pháp số để xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet Kết luận Tài liệu tham khảo 45 53 54 Một số ký hiệu dùng luận văn TT 10 11 12 13 Các ký hiệu Γ C (Γ) suppf Giải thích ý nghĩa ký hiệu Biên Γ miền Ω Rn Không gian tất hàm liên tục Γ Giá hàm f xác định Rn xác định suppf = {x ∈ Rn : f (x) = 0} Lp (Ω) Không gian hàm đo Lebergue Ω thoả mãn u p = Ω |u|p dx p < +∞ C m (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục đến cấp m Ω ∞ C (Ω) Không gian hàm khả vi vô hạn Ω ∞ C0 Không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω m W (Ω) Không gian Sobolev W m (Ω) với m ∈ N W s (Ω) Không gian Sobolev W s (Ω) với s ∈ R H s (Ω) Không gian Sobolev H s (Ω) với s ∈ R H s (Γ) Không gian Sobolev H s (Γ) với s ∈ R Γ biên miền Ω Rn Fx→ξ u(x), u(ξ) Biến đổi Fourier hàm u(x) ∗ Fξ→x u Biến đổi Fourier ngược hàm u LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài - Nhiều toán lý thuyết thực tiễn dẫn ta đến toán ngược phương trình đạo hàm riêng Đó tốn kiện q trình vật lý khơng đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Bài tốn xác định nguồn có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật như: xác định vết nứt vật thể, xác định nguồn nhiệt, lý thuyết điện từ (electromagnetic theory), - Các toán ngược vừa đề cập thường tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Một sai số nhỏ kiện dẫn đến sai lệch lớn nghiệm tốn Tính khơng ổn định làm cho tốn đặt khơng chỉnh khó giải tốn đặt chỉnh thường không áp dụng phương pháp giải truyền thống cho toán đặt chỉnh để giải tốn đặt khơng chỉnh mà phải sử dụng phương pháp đặc biệt mà người ta gọi phương pháp chỉnh hóa - Cho đến có nhiều báo nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa phương pháp số cho tốn xác định nguồn phương trình parabolic Các cơng trình nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình hyperbolic elliptic cịn hạn chế - Để tập nghiên cứu có thêm hiểu biết tốn xác định nguồn cho phương trình elliptic, sở báo [8] [20], lựa chọn đề tài cho luận văn là: "Về tốn xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn là: - Trình bày hệ thống định nghĩa, định lý, ví dụ số tính chất khơng gian Lp , không gian H s với s ∈ (−∞, +∞), không gian vết H s (Γ) với s ∈ R, - Đưa phương pháp chỉnh hố thưa có ràng buộc cho tốn ngược tuyến tính tập lồi đóng - Trình bày số kết tốn xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet - Trình bày phương pháp số xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu không gian Lp , không gian H s với s ∈ (−∞, +∞), không gian vết H s (Γ) với s ∈ R, toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet - Phạm vi nghiên cứu tính chất, mối quan hệ đối tượng Từ đó, trình bày số kết toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet phương pháp số xác định nguồn cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu số khái niệm, định nghĩa, định lý liên quan như: không gian Lp , không gian H s với s ∈ (−∞, +∞), không gian vết H s (Γ) với s ∈ R, - Nghiên cứu số kiến thức làm sở cho việc chứng minh kết chỉnh hố thưa có ràng buộc cho tốn ngược tuyến tính tập lồi đóng - Tìm hiểu số kết toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet - Tìm hiểu phương pháp số xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet Phương pháp nghiên cứu - Dùng phương pháp nghiên cứu khoa học toán học dựa mơn sở học như: phương trình đạo hàm riêng, giải tích hàm, - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh sử dụng phương pháp suy luận toán học Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành chương: Chương Một số kiến thức bổ trợ - Chương nhằm mục đích trình bày không gian Lp , không gian Sobolev H s (Ω) với Ω miền Rn s ∈ (−∞, +∞), không gian vết H s (Γ) với Γ biên Ω s ∈ (−∞, +∞) để làm sở cho việc trình bày Chương - Sau chúng tơi trình bày khái niệm phương pháp chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh đưa ví dụ phương pháp chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh cách đề xuất chỉnh hóa thưa có ràng buộc (the constrained sparsity regularization) cho tốn ngược tuyến tính tập lồi đóng Các kết mục 1.3 viết thành báo khoa học Chương Về toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet Chương nhằm mục đích trình bày kết lý thuyết kết số việc giải toán xác định nguồn cho phương trình poisson với điều kiện biên Dirichlet sở tham khảo báo [8] [20] Nghệ An, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thế Anh Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Khơng gian Lp Các kết trình bày phần trích từ tài liệu tham khảo [1] Cho Ω miền Rn p số thực dương Ta kí hiệu Lp (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho |f (x)|p dx < ∞ (1.1) Ω Trong Lp (Ω) ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử Lp (Ω) thực lớp tương đương hàm đo đươc thoả (1.1) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Song để tiện lợi ta không qua tâm đến khác biệt viết f ∈ Lp (Ω) f thoả mãn (1.1) f = Lp (Ω) f (x) = hầu khắp Ω Vì |f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x)| + |g(x)|)p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) nên rõ ràng Lp (Ω) không gian vectơ Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm u p · p xác định p |u(x)| dx = Ω p (1.2) 43 giống phần trước Tuy nhiên, điểm khác biệt ta không giả thiết hai nhân tố χω χ]α,β[ g biết Nhận xét 1: Đầu tiên xét hàm điều hòa v0 = v1j = xj (1 ≤ j ≤ d) v2j = xj xd (1 ≤ j ≤ d − 1) Chúng ta đạt R(v0 ) = V (ω )(β − α) (2.39) R(v1j ) = (2.40) xj dx (β − α) (j ≤ d − 1) ω β − α2 = V (ω ) β − α2 j R(v2 ) = xj dx ω R(v1d ) (2.41) (2.42) V (ω ) thể tích ω Rõ ràng thể tích ω biết β−α từ (2.39) ta xác định β − α, sau từ (2.41) ta xác định Do nhân tố χ]β,α[ g xác định, nhân tố χω theo Mệnh đề 2.1.3 Lập luận tương tự hợp lý thay V (ω ), ta giả sử moment bậc ω gốc tọa độ biết khác 0, sử dụng (2.40) (2.42) Nếu khơng có thơng tin hợp lệ, từ phương trình ta β+α xác định , nghĩa tọa độ thứ d trọng tâm ω , α β Nhận xét 2: Một thật rõ ràng ta không đạt kết tốt việc sử dụng hàm điều hòa xây dựng phần trước Thật vậy, với 44 ký hiệu phần này, ta có phương trình sau để xác định ω Rθn = χω , φn L2 (Ω ) χ]α,β[ , ψn L2 (Ω ) ψn (x ) = an eµn x + bn e−µn x µn = √ λn = 0, ψ0 (x ) = a0 x + b0 trường hợp điều kiện Neumann, µ0 = √ λ0 = Trường hợp cuối khai thác trên, xem xét trường hợp khác Ta có δn µn β (e − eµn α ) µn δn Rn2 = − (e−µn β − e−µn α ), µn Rn1 = (2.43) ∀n (2.44) với giá trị n cho δn = 0, chia (2.44) (2.43), ta đạt eµn β − eµn b = ξn (e−µn β − e−µn α ) eµn β − eµn α = −eµ(α+β) (e−µn β − e−µn α ), đại lượng cuối tính toán lần lại α + β! Nhận xét 3: Nếu ω hình chữ nhật (tích khoảng), dễ dàng xác định miền chưa biết nhờ sử dụng đa thức điều hòa bậc bậc hai vij = x2i − x2j 45 không xác định miền có dạng (2.38) theo phương pháp Ta quan sát giả thiết (2.38), miền khơng lồi, khơng phải hình ngơi lồi theo x thỏa mãn điều kiện Isakov tính xác định kiện đo biên Do đó, việc khơng xác định miền có dạng (2.38) quy cho phương pháp sử dụng 2.2 Phương pháp số để xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet Các kết trình bày phần trích từ tài liệu tham khảo [20] Cho Ω miền bị chặn R2 Γ := ∂Ω biên Ω Xét phương trình Poisson −∆u = f Ω (2.45) u|Γ = g ∂Ω (2.46) với điều kiện biên Dirichlet Nếu f ∈ L2 (Ω) g ∈ H (Γ) biết, toán thuận xác định (2.45)(2.46) có nghiệm u ∈ H (Ω) Mục đích phần xác định nguồn điểm chưa biết f (2.45) từ kiện đo đạc biên (2.46): g → f Bài tốn xác định nguồn có nhiều ứng dụng thực tế xác định vết nứt [3, 5], xác định nguồn nhiệt [6], lý thuyết điện từ [21], Nhìn chung, nguồn f (2.45) khơng xác định có đo đạc biên Nó xác định có thêm thơng tin bổ sung Cho ví dụ, nguồn có dạng tích hai hàm hai hàm 46 biết [19, 8] nguồn xác định hình trụ vùng đáy hình trụ biết [8], Khi có thơng tin bổ sung thích hợp, từ kiện biên g xác định nguồn chưa biết f Hơn nữa, u f trơn, số phương pháp chỉnh hóa áp dụng (xem [13] để thấy rõ tổng quan tốn này) Ta định nghĩa hàm hình trụ (cylindrical functions) Φ với bán kính ρ > Φ(r; ρ) := (0 ≤ r < ρ) (r ≥ ρ) (2.47) Ký hiệu vị trí xác N nguồn điểm phân biệt {ξj }N j=1 ⊂ Ω, ta giả sử hàm nguồn chưa biết f ∈ L2 (Ω) tổ hợp tuyến tính hàm Φ (2.47) Hơn nữa, đặt điều kiện sau lên hàm nguồn: tất nguồn điểm phải nằm bên Ω, nghĩa suppf := {x ∈ Ω; f (x) = 0} ⊂ Ω (2.48) Do đó, hàm nguồn biểu diễn dạng N fj Φ(|x − ξj | ; ρj ), ξj ∈ Ω\Γ, x ∈ Ω ∪ Γ f (x) = (2.49) j=1 |.| ký hiệu khoảng cách thông thường R2 Tiếp theo, chúng tơi trình bày phương pháp luận cho kiện biên xác Đầu tiên, ý toán nguồn đơn sau −∆v = Φ(| − ξ|; ρ) Ω, có nghiệm thuộc H xác định 1 v = − | − ξ|2 − ρ2 log ρ + ρ2 Φ(| − ξ| ; ρ) 4 − ρ2 log (| − ξ|) (1 − Φ(| − ξ| ; ρ)) + C(.), (2.50) (2.51) 47 C(.) hàm điều hòa R2 (xem [24]) Chú ý nghiệm mơ hình nguồn nhiều điểm (2.45)–(2.46) tổ hợp tuyến tính nghiệm nguồn đơn với bán kính sở khác ρj (2.51) Do đó, nghiệm có dạng N u= 1 fj − | − ξj |2 − ρ2j log ρj + ρ2j Φ(| − ξj | ; ρj ) 4 j=1 − N (2.52) N sj log(| − ξj |) (1 − Φ (| − ξj | ; ρj )) + j=1 fj Cj (.), j=1 độ mạnh nguồn (source strength) nguồn điểm thứ j xác định theo công thức sj = fj ρ2j với j = 1, · · · , N Sử dụng công thức (2.47), ta có N u|Γ = sj − log (| − ξj |) + cj (.) , j=1 (2.53) Cj , j = 1, · · · , N hàm điều hịa tùy ý ρ2j Vì nghiệm biên Γ (2.53) phụ thuộc vào sj ξj , ta cj = xác định fj ρj cách riêng Nói cách khác, đo đạc kiện biên, khơng thể nhận khác hình dạng hai hình trụ thể tích hai hình trụ Chú ý log |r| triệt tiêu hoàn toàn r = Ta xem xét trường hợp đặc biệt Ω hình trịn đơn vị Nếu hệ số số Cj (.) (2.52) xác định nguồn chưa biết đặt tâm hình trịn Trong trường hợp này, vài điều kiện bổ sung 48 phải áp đặt: chẳng hạn thông lượng tổng thể (the overall flux) số f dΩ = constant, (2.54) Ω ta xác định nguồn chưa biết Trong phần này, ta xét trường hợp đặc biệt miền xét hình trịn đơn vị thông lượng tổng thể 0, tức f dΩ = (2.55) Ω Các hàm cj ≡ λ ∈ R với j = 1, · · · , N áp đặt công thức (2.53) Nếu có thơng lượng tồn thể khác 0, ta đặt λ = để tính tốn tất sj ngoại trừ sj ứng với tâm hình trịn Ta tính tốn sj tâm cách sử dụng thông tin thông lượng tổng thể Trường hợp phức tạp xuất Ω hình trịn đơn vị Giả sử tập hợp vị trí điểm nguồn (2.49) χN := ξj : < ξj − ξj ≤ εξ , j = 1, · · · , N , (2.56) biết, εξ diễn giải sai số đo đạc vị trí nguồn coi sai số lớn tất sai số đo đạc N vị trí nguồn điểm ứng với j = 1, · · · , N Trong phần tiếp theo, ta giải thích phương pháp cho trường hợp kiện biên tự bị nhiễu (noise-free boundary data) Ký hiệu Ball(o, r) hình cầu có tâm o với bán kính r N , B = Ball (χN , εξ ) := Bj , Bj := Ball ξj , εξ ⊂ Ω (2.57) j=1 Theo giả thiết, tập B phải chứa tất vị trí xác χN := {ξj }N j=1 ⊂ B (2.58) 49 Được thúc đẩy phương pháp nghiệm [4], ta chọn dãy tâm thử nghiệm, Yp := {yk , k = 1, 2, · · · , P } ⊂ B, (2.59) với P ≥ N , xấp xỉ nghiệm hạn chế biên (2.53) P u|Γ ≈ u := σk − log (| − yk |) + λ k=1 (2.60) Trong đó, λ ∈ R số σk độ mạnh nguồn (the source strength) liên kết với yk ∈ Yp Mục đích xác định sj từ vị trí B(ξj , ξ ) tập kiện biên GM := {xi ∈ Γ, i = 1, · · · , M } (2.61) với M ≥ P Đầu tiên xem xét trường hợp kiện biên (2.61) xác Sắp theo thứ tự (2.60) M điểm rời nhau, có phân bố Γ phần Γ, kéo theo u(xi ) = − P σk (log (|xi − yk |) + λ) = g(xi ), xi ∈ GM (2.62) k=1 xi ∈ GM yk ∈ YP Hệ M × P (2.62) viết dạng ma trận Aσ = g (2.63) [A]ik := − log |xi − yk | + λ , (2.64) với g = [g(x1 ), · · · , g(xM )]T σ = [s1 , · · · , sk ]T Trong tính tốn số, hệ (2.63) giải cách sử dụng phân tích giá trị kỳ dị (the singular value decomposition) (SVD): A = ∪ΣV ∗ ⇒ σ = V Σ† U ∗ g, (2.65) 50 U V ma trận trực giao Σ ma trận đường chéo chứa giá trị kỳ dị Ma trận nghịch đảo ổn định hóa Σ, ký hiệu Σ† , xác định theo công thức Σ† ii =   [Σ]ii −1 [Σ]ii ≥ τ 0 ngược lại, với i = 1, · · · , P giá trị τ xác định người dùng Nói cách khác, giá trị kỳ dị A có giá trị tuyệt đối nhỏ τ bỏ qua Phương pháp mô tả thường gọi phân tích giá trị kỳ dị chặt cụt (TSVD) (xem [18]) Sau tính tất σk u theo công thức (2.62), chuyển nghiệm hình cầu thành điểm nguồn Sau độ mạnh nguồn thứ j liên kết với hình cầu Bj xác định sj := σk (2.66) σ k yk (2.67) (k:yk ∈Bj ) Khi sj tương ứng với vị trí ξj := sj (k:yk ∈Bj ) Trong tính tốn với điểm nguồn, nhận vị trí ước lượng đầu vào ξ Phương pháp đề xuất cung cấp ước lượng độ mạnh nguồn xác định (2.66) đưa ước lượng cho vị trí điểm nguồn xác định (2.67) Khi xem ξ đầu vào ξ tiếp tục tính ước lượng tốt đạt Cuối cùng, để kết thúc phần này, chúng tơi trình bày phương pháp luận cho kiện biên có nhiễu Đối với tốn đặt khơng chỉnh tốn xem xét phần kết tính tốn thường nhạy sai số 51 liệu đầu vào Trong toán thực tế, người ta khơng nhận kiện biên xác nghiên cứu tốn xác định nguồn với kiện có nhiễu đặc biệt quan trọng Để đối phó với kiện biện có nhiễu, đưa chế sau để hủy bỏ phép thử xấu để nhận xấp xỉ chấp nhận cho độ mạnh vị trí nguồn chưa biết Giải thuật Giải thuật xác định nguồn Trường hợp kiện biên xác (Noise-free boundary data case) Đảm bảo: đưa N vị trí ước lượng nguồn điểm (2.56) phân biệt Ω Đảm bảo: Tổng số tâm thử nghiệm B xác định (2.57) P Đảm bảo: Tổng số kiện biên M ≥ P quan sát Γ for j = 1, · · · , N Đặt tâm thử nghiệm yk phân bố Bj để hình thành tập YP xác định (2.59) end for Tính ma trận kết theo (2.64) Tính độ mạnh nguồn chưa biết (unknown source strength) liên kết với Y (2.65) for j = 1, · · · , N Tính độ mạnh nguồn chưa biết s (2.66) Tính vị trí nguồn chưa biết ξ (2.67) end for RETURN s ξ 52 Giải thuật Giải thuật xác định nguồn Trường hợp kiện biên có nhiễu (Noisy boundary data case) Đưa tập vị trí nguồn ước lượng (2.56) Chọn tham số θ cho ≤ θ ≤ while means meanξ không hội tụ Quan sát tập kiện biên có nhiễu GM Sử dụng Giải thuật để đạt độ mạnh nguồn(source strength) s vị trí nguồn ξ if |ξ − ξ| < θεξ then lưu s ξ Tính trung bình s ξ end if end while RETURN means meanξ Định lý sau khẳng định hội tụ trung bình Giải thuật 2.2.1 Định lí [20] Với tập cố định vị trí đầu vào, nhiễu kiện biên có giá trị kỳ vọng giá trị trung bình tính Giải thuật hội tụ tới kết xác 53 KẾT LUẬN Kết đạt luận văn Trình bày khái niệm tính chất không gian Lp (Ω), không gian H s (Ω) với s ∈ R, không gian vết H s (Γ) với s ∈ R, Trình bày kết tốn xác định nguồn khơng gian n chiều nguồn có dạng tích sở tham khảo báo [8], Giới thiệu toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet trình bày số tính chất tốn này, Trình bày phương pháp số để xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet sở tham khảo báo [20] Đưa Nhận xét 1.3.7 để nói rõ ý nghĩa Bổ đề 1.3.6 Đề xuất chứng minh Mệnh đề 1.3.4 nói điều kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm bình phương tối thiểu C − J Đề xuất chứng minh Bổ đề 1.3.5, 1.3.6, 1.3.9, 1.3.10 để làm sở cho việc chứng minh kết chỉnh hóa thưa có ràng buộc cho tốn ngược tuyến tính tập lồi đóng Đề xuất chứng minh Định lý 1.3.8, 1.3.11 1.3.12 để khẳng định tồn nghiệm, tính ổn định hội tụ tốn cực tiểu chỉnh hóa thưa có ràng buộc áp dụng cho tốn ngược tuyến tính tập lồi đóng 54 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Minh Chương (2000), Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất giáo dục [2] Andrieux S (1995), "Fonctionnelles d’ecart a la reciprocite generalisee et identification de fissure par les mesures surabondantes de surface", C R Acad Sci., Paris I, 320, 1553–9 [3] Alves Carlos J S , Abdallah Jalel Ben and Mohamed Jaoua,(2004), "Recovery of cracks using a point-source reciprocity gap function", Inverse Problems in Science and Engineering, 12(5),519–534 [4] Alves Carlos J S , Chen C S and Safler B (2002), "The method of fundamental solutions for solving Poisson problems", In: Brebbia, C.A., Tadell, A and Popov, V (eds.) Boundary Elements, XXIV (Sintra, 2002), Advances in Boundary Elements, Vol 13 (WIT Press: Southampton), pp 67–76 [5] Andrieux Ste phane and Ben Abda Amel, (1996),"Identification of planar cracks by complete overdetermined data: inversion formulae", Inverse Problems, 12(5),553–563 [6] Barry J M (1998), Heat Source Determination in Waste Rock Dumps (River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co Inc.), pp 83–90, Papers 55 from the 8th Biennial Conference held at the University of Adelaide, Adelaide, September 29–October 1, 1997 [7] Bonesky, Thomas and Bredies, Kristian and Lorenz, Dirk A and Maass, Peter,(2007), "A generalized conditional gradient method for nonlinear operator equations with sparsity constraints", Inverse Problems, Journal of Approximation Theory,23(5), 2041 [8] Badia A El and T Ha Duong,(1998) "Some remarks on the problem of source identification from boundary measurements", Inverse Problems, 14, 883-891 [9] Daubechies, Ingrid and Defrise, Michel and De Mol, Christine,(2004),"An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint", Communications on pure and applied mathematics, 57(11): 1413-1457 [10] Daubechies, Ingrid and Defrise, Michel and De Mol, Christine,(2008), "Accelerated projected gradient method for linear inverse problems with sparsity constraints", journal of fourier analysis and applications, 14(5-6), 764792 [11] Daubechies, Ingrid and Teschke, Gerd and Vese, Luminita,(2007), "Iteratively solving linear inverse problems under general convex constraints", Inverse Problems & Imaging, 1(1): 29-46 [12] Daubechies, Ingrid and Teschke, Gerd and Vese, Luminita,(2008), "On some iterative concepts for image restoration", Inverse Problems & Imaging, 150, 1–51 56 [13] Engl Heinz W , Hanke Martin and Neubauer Andreas, (1996), Regularization of inverse problems, In: Mathematics and its Applications, Vol 375 (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group) [14] Engl, Heinz Werner and Hanke, Martin and Neubauer, A, Regularization of Inverse Problems,volume 375, Springer Science & Business Media,2000 [15] Ekeland, Ivar and Temam, Roger, Convex analysis and variational problems, Siam volume 28,1999 [16] George C Hsiao, Wolfgang L Wendland, (2008), BoundaryIntegral Equations, Springer [17] Hettlich F and Rundell W (1996), "Iterative methods for the reconstruction of an inverse potential problem", Inverse Problems, 12,251–66 [18] Hansen Per Christian,(1994), "Regularization tools: a Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems", Numerical Algorithms, 6(1–2), 1–35 [19] Kriegsmann G A and Olmstead W E ,(1988), "Source identification for the heat equation", Applied Mathematics Letters, 1(3), 241–245 [20] Leevan L , Hon Y C and Yamamoto M ,( 2005), "Inverse source identification for Poisson equation", Inverse Problems in Science and Engineering, 13(4),433-447 [21] Magnoli N and Viano G A (1997) "The source identification problem in electromagnetic theory", Journal of Mathematical Physics, 38(5),2366–2388 57 [22] Neubauer, Andreas,(1988),"Tikhonov-regularization of ill-posed linear operator equations on closed convex sets", Journal of Approximation Theory, 53(3), 304-320 [23] Petersen B E (1983), Introduction to the Fourier Transform and Pseudodifferential Operators Pitman, London [24] Shigeta Takemi and Hon Y C (2003), "Numerical source identification for Poisson equation", In: M Tanaka (Ed.), Engineering Mechanics IV (Nagano, Japan: Elsevier Science), pp 137–145 ... kết toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet 2.2 32 Phương pháp số để xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet. .. tượng Từ đó, trình bày số kết tốn xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet phương pháp số xác định nguồn cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet. .. gian H s với s ∈ (−∞, +∞), không gian vết H s (Γ) với s ∈ R, toán xác định nguồn cho phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet